Badania i modele teoretyczne przepływu w wentylatorach

Zaletą badań teoretycznych (analitycznych) jest szybkość rozwiązania tworzonych modeli, bazujących na prostych prawach fizyki uzupełnionych empirycznymi zależnościami, wynikającymi z dostosowania modelu do rzeczywistości. Powiązanie osiągów maszyny z geometrią przy wykorzystaniu uproszczonych modeli przepływu jest niezwykle ważne w przypadku nowych konstrukcji, a przyjęcie wstępnej geometrii wirnika, kierownic czy obu-dowy, może być udoskonalane w badaniach stanowiskowych bądź numerycznych. Właściwe przyjęcie geometrii wstępnego modelu znacznie skraca drogę do opracowania optymalnej konstrukcji.

W równaniu (3.1) ujmującym ilość energii przekazanej do płynu o znanej geometrii (kąty łopatkowe, średnice wlotu i wylotu palisady profili) założono, iż nieskończona liczba łopatek kształtuje przepływ styczny do ich powierzchni. Kąt wektora prędkości względnej

S t r o n a | 35

𝑤⃗⃗⃗ jest więc równy kątowi łopatkowemu, co pokazano na rysunku 3.2. W rzeczywistości wir-nik ma skończoną liczbę łopatek, a przepływ jest bardzo zróżnicowany w całym przekroju maszyny. Już na krawędziach wlotowych do wieńca następuje oderwanie strugi, poza jedy-nym punktem pracy – nominaljedy-nym, na który maszyna była projektowana. W innych punktach przepływ może mieć dwa scenariusze. Pierwszy, jeżeli struga oderwana przy krawędzi wlo-towej przylgnie do łopatek wtedy zakładamy, że straty przepływu są nieduże. Drugi, jeżeli obszar oderwania rozszerza się w kierunku przekroju wylotowego, a straty przepływu są znaczne. Strugi przylegające do łopatek mogą ulegać oderwaniu w miarę rozwijania przepły-wu i błędnego ukształtowania profilu łopatek [22]. Oderwania te mogą wystąpić, zarówno po stronie nadciśnieniowej jak podciśnieniowej łopatki, a ich obszar wystąpienia jest ściśle zwią-zane z punktem pracy wirnika, co wykazano w publikacjach [71,60,100]. Zjawiska te prowa-dzą do zmniejszenia ilości energii przekazanej do płynu, a równanie (3.1) na prace teoretycz-ną zostaje uzupełnione o odpowiednie wielkości korygujące tj. liczbę zmniejszenia mocy i sprawność. Określenie rzeczywistej pracy wirnikowej, w praktyce badawczej sprowadza się do dwóch podstawowych zagadnień [28,45,83]:

 niedoboru mocy w wyniku skończonej liczby łopatek,

 strat i dyssypacji energii w przepływie.

Jako parametr charakteryzujący stopień odchylenia prędkości względnej od kierunku stycznego do toru wyznaczonego przez powierzchnię łopatek, wprowadzono liczbę zmniej-szenia mocy, zwaną również liczbą przekazania pracy lub niedoboru mocy, zdefiniowaną równaniem (4.1).

𝜇 = ^𝑐𝑢2

𝑐_𝑢2∞ ^{= 1 −} ∆𝑐_𝑢

𝑐_𝑢2∞ ^(4.1)

gdzie poszczególne wielkości wynikają z relacji wektorów prędkości pokazanych na rysunku 4.1.

Rys.4.1. Odchylenie prędkości na skutek skończonej liczby łopatek

W anglojęzycznej literaturze zjawisko odchylania strugi znacznie częściej opisywane jest za pomocą współczynnika poślizgu (ang. slip factor). Należy zwrócić szczególną uwagę na sposób definiowania tej wielkości, istnieją bowiem dwa podejścia. Pierwsze w pełni

ana-Przegląd literatury w zakresie badań przepływu przez wentylatory

S t r o n a | 36

logiczne do definicji liczby zmniejszenia mocy wyrażonej równaniem (4.1) np. Dixon, Lewis [28,68], oraz druga odmienna definicja [113,133] zapisana równaniem (4.2):

𝜇′ =^{𝑢2− ∆𝑐𝑢}

𝑢₂ ^(4.2)

Formułę zapisaną równaniem (4.2) w prosty sposób można interpretować, jako niedo-bór mocy przy zerowej wydajności wirnika promieniowego dla której 𝑐_2𝑢∞ = 𝑢₂.

W literaturze polskojęzycznej często spotyka się zamienione definicje liczby zmniej-szenia mocy i współczynnika poślizgu, wynikające z nieprecyzyjnego tłumaczenia. Szczegól-ną uwagę zwraca na ten fakt Witkowski w publikacji [138], a precyzuje Otte w monografii [83]. Zależność pomiędzy obiema wielkościami definiuje równanie (4.3).

𝜇 =^{𝜇′ − 𝜑2𝑟𝑐𝑡𝑔𝛽2} 1 − 𝜑_2𝑟𝑐𝑡𝑔𝛽₂ ^(4.3) gdzie: 𝜑_2𝑟 = ^𝑐2𝑟 𝑢₂ ^(4.4)

Jednym z pierwszych badaczy próbujących ustalić średnią zależność odchylenia pręd-kości względnej w kanale międzyłopatkowych od warunków pracy i geometrii wirnika był Busemann (1926). Bazował on na rozwiązaniu równania płaskiego przepływu względnego przez promieniowe palisady profili z łopatkami o rozwinięciu logarytmicznym [16]. Współ-czynnik poślizgu według Busemanna podany w postaci funkcji liczby łopatek Z i stosunku promieni r₁/r₂, w ujęciu graficznym zaprezentowany na rysunku 4.2.

Rys.4.2. Liczba zmniejszenia mocy według Busemanna - wybrane relacje [68]

Szczególnie interesujące w analizie przedstawionej przez Busemanna jest fakt, iż dla pewnej granicznej wartości stosunku podziałki wirnika do cięciwy łopatek t/l=1, liczba zmniejszenia mocy ma wartość stałą dla danej liczby łopatek Z. Wskazane jest więc, aby pro-jektować wirnik dobierając liczbę łopatek i stosunek promieni tak, że stosunek t/l <1, w celu

S t r o n a | 37

utrzymania wysokiej wartości 𝜇, a tym samym wysokiej wartości pracy przekazanej do czyn-nika. Utrzymanie optymalnego stosunku t/l jest niezwykle ważne, bowiem wydłużanie łopa-tek przy danej ich liczbie, nie „prostuje” przepływu, a jest przyczyną dodatkowych strat tar-cia. Z drugiej strony zbyt krótkie, lub zbyt szerokie kanały międzyłopatkowe, powodują znaczny poślizg przepływu na wylocie, co negatywnie wpływa na pracę wentylatora. Ustale-nia Busemanna pozwoliły sformułować warunek na minimalną liczbę łopatek w wieńcu, daną równaniem (4.5). 𝑍 > ^2𝜋 ln (^𝑟2 𝑟₁⁾ (𝑑𝑙𝑎 𝑡/𝑙 < 1 ) _(4.5)

Przytoczona metoda Busemanna jest dosyć skomplikowana w wykorzystaniu inży-nierskim, dlatego kilka metod uproszczonych rozwiązywania przepływu zdobyło większą popularność, między innymi Stodoli, Stanitza, czy Wiesnera.

Stodola (1945) założył, że prędkość poślizgu ∆𝑐_𝑢 jest konsekwencją wiru względnego o promieniu a/2 wpisanego w płaszczyźnie poprzecznej kanału międzyłopatkowego, zgodnie z rysunkiem 4.3. Prędkość kątowa wiru jest przeciwna do częstości wirnika i wynosi –, więc poślizg jest równy c_u=a/2 [115]. W przybliżeniu dla liczby Z łopatek możemy zapisać a≈(2r2/Z)sin(2).

Rys.4.3. Koncepcja wiru względnego według Stodoli [115]

Uwzględniając relacje trygonometryczne dla poszczególnych składowych prędkości bezwzględnej z rysunku 4.1 oraz definicję liczby zmniejszenia mocy, ostateczne wyrażenie przyjmuje postać (4.6):

𝜇 = 1 − ^{(𝜋/𝑍)𝑠𝑖𝑛𝛽2}

1 − 𝜑_2𝑟𝑐𝑡𝑔𝛽₂ ^(4.6)

Stanitz (1952) wykorzystał metodę różnic skończonych w rozwiązaniu równania prze-pływu względnego dla ośmiu kątów łopatkowych z zakresu 45<2 <90. Bazując na wyni-kach własnych obliczeń stwierdził, iż na efekt odchylenia strugi nie ma wpływu ani kąt 2 , ani efekt ściśliwości gazu [114]. Wyrażenie poślizgu sformułował równaniem (4.7):

Przegląd literatury w zakresie badań przepływu przez wentyl atory

S t r o n a | 38

z którego wynika następujące równanie na liczbę zmniejszenia mocy (4.8):

𝜇 = 1 − ^{0,63 ∙ 𝜋/𝑍}

1 − 𝜑_2𝑟𝑐𝑡𝑔𝛽₂ ^(4.8)

Z wyrażeniem Stanitza koresponduje doświadczalnie wyznaczona zależność przez Traupela w późniejszym okresie. Traupel zawęził jednak zakres stosowalności formuły do wieńców o liczbie łopatek z zakresu 20<Z<30.

Wiesner (1967) bazując na przeglądzie dostępnych modeli przepływu przez promie-niowy wieniec łopatkowy sformułował własne wyrażenie na wielkość poślizgu składowej obwodowej [133], w postaci (4.9):

∆𝑐_𝑢 =^{𝑢2√𝑠𝑖𝑛𝛽2}

𝑍0,7 (4.9)

oraz odpowiadające mu wyrażenie na liczbę zmniejszenia mocy (4.10):

𝜇 = 1 − ^{√𝑠𝑖𝑛𝛽2/𝑍}

0,7

1 − 𝜑_2𝑟𝑐𝑡𝑔𝛽₂ ^(4.10)

Eck (1973) rozpatrując przepływ na bazie modelu Stodoli w swoich rozważaniach dodatkowo ujął wpływ krzywizny łopatek i długość kanału międzyłopatkowego. Wziął więc pod uwagę siły bezwładności, działające w kierunku normalnym do toru elementu płynu w ruchu względnym [29]. Poślizg składowej obwodowej według Ecka wyraża równanie w postaci (4.11): ∆𝑐_𝑢 = ¹ 1 +^𝜋𝐷2²∙ 𝑏₂∙ 𝑠𝑖𝑛𝛽₂ 8𝑧 ∙ 𝑆 (4.11) Gdzie S to moment statyczny przekroju łopatki równy (4.12):

𝑆 = ∫ (𝑟 ∙ 𝑏)𝑑𝑟

𝑟₂ 𝑟₁

(4.12)

Otrzymany współczynnik poślizgu wynosi więc (4.13): 𝜇 = ¹ 1 +^𝜋𝑟2² ∙ 𝑏₂∙ 𝑠𝑖𝑛𝛽₂ 2𝑧 ∙ 𝑆 (4.13) Eckert jako uzupełnienie modelu Ecka proponuje uwzględnienie oderwania strugi od powierzchni łopatki. Wprowadza współczynnik korygujący wynikający z relacji wypełnienia kanału przez strumień płynu i wyrażony stosunkiem a*

/a, zgodnie z rysunkiem 4.4. Eckert proponuje przyjąć a*

/a=0,8 dla łopatek zagiętych do tyłu i a^*/a=0,7 dla pozostałych typów [31].

Nowy prosty, ale dość dokładny współczynnik poślizgu dla wirników promieniowych sformułowali K. S. Paeng and M. K. Chung (2001). Uzyskana formuła wynika z korelacji pomiędzy promieniami wiru względnego wpisanego w kanał międzyłopatkowy, a okręgu opi-sującego przepływ na wyjściu z kanału. Proponowane wyrażenie jest funkcją liczby łopatek Z, kąta wyjścia łopatki β₂ i stosunku promieni r₁/r₂ [84].

S t r o n a | 39

Rys.4.4. Wpływ oderwania na czynną szerokość kanału międzyłopatkowego [45]

Jednym z najnowszych modeli przepływu przez wirnik promieniowy jest model okre-ślany jako model pojedynczego wiru względnego SRE (Single Relative Eddy), zaproponowa-ny przez Von Backtröma (2006) [125]. Zakłada on istnienie jednego wiru względnego obej-mującego cały wirnik, o środku obrotu w osi wirnika. Droga wiru prowadzi od krawędzi na-tarcia łopatki A, po torze stycznym do podciśnieniowej strony łopatki A-B, poprzez łuk opisu-jący wylot z kanału międzyłopatkowego B-C, dalej po stronie nadciśnieniowej łopatki C-D, aż ponownie do krawędzi natarcia D, co pokazano na rysunku 4.5a.

Teoria SRE zakłada, iż całka z prędkości obwodowej po objętości kontrolnej OABCDO po-dzielona przez powierzchnię objętości kontrolnej jest równa zawirowaniu strugi. Poślizg prędkości dany jest równaniem (4.14):

∆𝑐_𝑢 = ^{𝜔 ∙ 𝑟2} 1 + 𝐹^{(1 − 𝑟}1⁄𝑟₂)𝑍 2𝜋sin 𝛽₂ (4.14) gdzie F jest bezwymiarowym współczynnikiem korygującym nierównomierny rozkład pośli-zgu w całym kanale międzyłopatkowym, określonym jako (4.15):

𝐹 =^{∆𝑐𝑝− ∆𝑐𝑠}

∆𝑐_𝑢 ^(4.15)

cp i cs to odpowiednio średni poślizg na powierzchni nadciśnieniowej i podciśnieniowej łopatki. Współczynnik F w ujęciu graficznym zaprezentowano na wykresie 4.5b.

a) b)

Rys.4.5. Metoda SRE a) koncepcja wiru względnego wg Von Backtröma b) współczynnik F w funkcji

Przegląd literatury w zakresie badań przepływu przez wentylatory

S t r o n a | 40

Qiu i inni (2008) zunifikowali dostępne modele poślizgu, budując na ich podstawie swój własny model. Uniwersalność modelu Qiu polega na możliwość obliczania uśrednio-nych odchyleń strumienia dla dowolnej geometrii wirnika tj. promieniowej, osiowej i osiowo promieniowej. Współczynnik zmniejszenia mocy został zdefiniowany jako suma współczyn-ników kierunkowych, uwzględniających nie tylko tradycyjne parametry takie jak kąty łopatek i ich liczbę oraz stosunek promieni, ale także stopień skręcenia łopatki (dβ/dm) i zmienność warunków przepływu. Zaproponowana korelacja jest wyrażona wzorem (4.16):

𝜇 = 1 − ∆𝜇_{𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑙}− ∆𝜇_{𝑡𝑢𝑟𝑛}−∆𝜇_{𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑔𝑒} (4.16) gdzie: ∆𝜇_{𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑙} – poślizg spowodowany wirem na kierunku promieniowym, ∆𝜇_{𝑡𝑢𝑟𝑛} – poślizg spowodowany skręceniem łopatki od kierunku merydionalnego, ∆𝜇_{𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑔𝑒} – poślizg na sku-tek zmiany szerokości kanału międzyłopatkowego. Metodę, w tym definicję poszczególnych składników równania (4.16), przedstawiono w publikacjach [89,56]. W publikacjach tych potwierdzono jej skuteczność na ponad 90 różnych modelach wentylatorów, sprężarek i pomp oraz dla ponad 1650 warunków przepływowych.

W Polsce znaczące dokonania z zakresu uporządkowania wiedzy z zakresu teorii nie-doboru mocy w wirnikach promieniowych przedstawił Otte w monografii [83]. Przeprowadził eksperymentalną weryfikację 10 formuł obliczeniowych, ustalając ich rozbieżności i wprowadzając optymalne współczynniki korygujące.

Rys.4.6. Wykres doboru współczynników liczby korekcji mocy [44]

Nieco inne podejście do określenia niedoboru mocy w wirnikach promieniowych za-proponował Fortuna w 2011 roku [44]. Zwraca on uwagę na dużą rolę „krętu naturalnego” na wlocie do wieńca w kształtowaniu przepływu przez kanał międzyłopatkowy. W wyniku prze-prowadzonych badań stanowiskowych, Autor ten proponuje zastąpienie liczby zmniejszenia mocy μ, liczbą korekcji mocy μ_k zdefiniowanej według równania (4.17).

𝜇_𝑘= ^𝑎

S t r o n a | 41 gdzie:

𝑉̇_𝑠𝑝 – wydajność na ssaniu przeliczona na warunki umowne, a,b – współczynniki hiperboli zgodnie z wykresem na rysunku 4.6.

Obliczona praca rzeczywista w oparciu o teorię zaproponowaną przez Fortunę, daje przebieg rzeczywistej pracy wirnikowej jak na rysunku 4.7a (krzywa l’ut). Podobne wyniki przedstawione na rysunku 4.7b uzyskał Protić i Nedeljković [87]. Kształt rzeczywistej krzy-wej odpowiedniej dla pracy wirnikokrzy-wej, przy skończonej liczbie łopatek, wyrażonej w formie bezwymiarowej ψ_th,rec, tłumaczą zjawiskiem przepływów recyrkulacyjnych.

Przedstawione modele dotyczą przepływu przez koło wirnikowe. Dla określenia pa-rametrów użytecznych wentylatora współpracującego z instalacją, należy uzupełnić analizę przepływu o zagadnienia strat w maszynie. Analityczne określenie strat jest trudne ze wzglę-du na różnorodność konstrukcji, a przez to wielorodność struktur przepływowych, ich interfe-rencje i wzajemne oddziaływanie. Modele strat budowane są w oparciu o wydzielone modele zjawisk podstawowych w tym: oporów profili i palisad, tarcia w prostych odcinakach rurocią-gu, na powierzchniach płaskich bądź zakrzywionych, w nagłych rozszerzeniach i zwężeniach, w przepływach konfuzorowych i dyfuzorowych, niestycznego napływu i uderzenia.

a) b)

Rys.4.7. Analiza pracy wirnikowej wentylatorów a) Fortuna [44], b) Protić i Nedeljković [87]

Dokonując przeglądu modeli strat, jako najważniejsze należy wyróżnić opis według Ecka (1972) zaproponowany w monografii na temat wentylatorów [30]. Eck w swym modelu wyodrębnił 7 jednostkowych strat, odpowiednio dotyczących: komory wlotowej, tarcia w kanałach międzyłopatkowych, opóźnienia przepływu względnego w wieńcu, niestycznego napływu na łopatki, strat dyfuzorowych obudowy, nagłego rozszerzenia na wylocie z wirnika i strat przecieku pomiędzy wirnikiem a rurociągiem (strata wolumetryczna).

Nieco bardziej rozszerzony model strat w stosunku do modelu Ecka zaproponowali Łokszin i Sołomachowa (1975) wprowadzając straty leja wlotowego i komory wirnika [72,109,110]. Na podstawie wyników badań eksperymentalnych, prowadzonych w ITC Poli-techniki Łódzkiej, model strat zaproponował Kuczewski (1978) [66]. Kuczewski ujednolicił

Przegląd literatury w zakresie b adań przepływu przez wentylatory

S t r o n a | 42

stratę leja i komory wlotowej, definiując stratę wlotu do wirnika. Pozostałe straty ujął w klasycznym zestawieniu, nieznacznie modyfikując obowiązujące równania.

Najnowsze ujęcie strat zaproponował Fortuna (2011), wprowadzając 8 znaczących ob-szarów dyssypacji energii i dzieląc straty na: stratę leja wlotowego, zmiany kierunku, tarcia, niestycznego napływu, brodzenia tarczy, wolumetryczną, obudowy i przepływów powrot-nych. Skuteczność zaproponowanej metody potwierdził w monografii [44].