Opracowanie modelu matematycznego przestrzennego toru cząstki płynu za wirnikiem promieniowym pracującym w zabudowie osiowej

Rzeczywisty przestrzenny tor cząstki za wirnikiem wyznaczono w oparciu o badania termoanemometryczne przedstawione przez autora w rozdziale 6.4.1.

Sonda termoanemometryczna mierzy wektory prędkości względem lokalnego układu współrzędnych, którego punktem środkowym „P” jest miejsce przyłożenia sondy –

skrzyżo-S t r o n a | 103

wanie włókien. Na rysunku 6.23 przedstawiono relacje trygonometryczne pomiędzy global-nym walcowym układem współrzędglobal-nym (θ,r,x), a lokalglobal-nymi układami współrzędnych dla punktów pomiarowych P(x,y,z). Punkt zerowy (0,0,0) globalnego układu współrzędnych przy-jęto w osi obrotu wirnika, po wewnętrznej stronie tarczy tylnej.

a) b)

Rys.6.23. Tor cząstki – relacje trygonometryczne pomiędzy globalnym (φ,r,x), a lokalnymi układami

współrzędnych (x,y,z)

Ustawienie czujnika względem wirnika zachowano zgodnie z rysunkiem 5.9. Sondę prze-mieszczano w kolejnych seriach pomiarowych wzdłuż szerokości wirnika tj. w kierunku osiowym – x. Każda kolejna seria Si oddalona była od wirnika o znaną odległość ∆𝑟 = 𝑟_𝑖+1− 𝑟_𝑖. W przygotowanym przez autora programie generującym tor cząstki założono, że kolejne punkty obliczeniowe należące do tego toru będą leżały na powierzchniach walco-wych o promieniach równych kolejnym odległością sondowania od osi obrotu wirnika. Do określenia pozostały zatem dwie współrzędne tj. współrzędna biegunowa θ i przemieszczenie w kierunku osiowym x. W oparciu o zmierzone wartości wektorów prędkości w danym punk-cie pomiarowym P, otrzymuje się następujące relacje:

𝑐𝑡𝑔𝛼_𝑝,𝑖 =^{𝑐𝑢𝑝,𝑖} 𝑐_{𝑟𝑝,𝑖} ⁼ ∆𝑧_𝑝,𝑖 ∆𝑦_𝑝,𝑖 ^(6.9a) 𝑐𝑡𝑔𝛾_𝑝,𝑖 =^{𝑐𝑥𝑝,𝑖} 𝑐_{𝑟𝑝,𝑖} ⁼ ∆𝑥_𝑝,𝑖 ∆𝑦_𝑝,𝑖 ^(6.9b) gdzie:

p - numer punktu w danej serii pomiarowej związany z przemieszczeniem po kierunku osiowym,

i - numer kolejnej serii pomiarowej,

∆x, ∆y, ∆z - przemieszczenia cząstki w lokalnym układzie współrzędnych.

Powiązanie przemieszczeń cząstki w lokalnym układzie współrzędnych z przemiesz-czeniem względem układu globalnego dokonano w oparciu o twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego (rys.6.23a). Zapis równania jest następujący (6.10):

𝑟_𝑖+1= (𝑟_𝑖+ ∆𝑦_𝑝,𝑖)2+ ( ∆𝑧_𝑝,𝑖)2 (6.10) Ostatecznie, po podstawieniu (6.9a) do (6.10) otrzymuje się równanie:

Badani a t er moa ne mo m et ryc zne

S t r o n a | 104

𝑟_𝑖+1 = (𝑟_𝑖 + ∆𝑦_𝑝,𝑖)2+ ( 𝑐𝑡𝑔𝛼_𝑝,𝑖∙ ∆𝑦_𝑝,𝑖)2 (6.11)

Ponownie korzystając z własności trygonometrycznych trójkąta prostokątnego, relacje na współrzędną biegunową wyrażone są równaniem (6.12):

𝜃_𝑖+1 = 𝜃_𝑖+ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ^{∆𝑧𝑝,𝑖}

𝑟_𝑖+ ∆𝑦_𝑝,𝑖 ^(6.12)

Przemieszczenie cząstki w kierunku osiowym jest bardziej oczywiste i zostało określone dla kolejnych punktów jako suma algebraiczna przemieszczenia globalnego (punkt przyłożenia sondy) i lokalnego (6.13):

𝑥_𝑖+1 = 𝑥_𝑖+ ∆𝑥_𝑝,𝑖 (6.13)

Z każdej serii pomiarowej do obliczeń toru cząstki wykorzystano tylko dane z jednego punktu pomiarowego. Aby był to tor przestrzenny należało oprócz zmiany serii pomiarowej w każdej iteracji, zmienić również numer analizowanego punktu w serii. Ponieważ pomiar przebiegał co 3 mm po kierunku osiowym oznaczonym jako x, skorzystano z relacji (6.14) na zmianę pozycji punktu w kolejnej analizowanej serii pomiarowej (zmianę indeksu „p”):

𝑝_𝑖+1= 𝑝_𝑖+ 𝑟𝑜𝑢𝑛𝑑 (^{∆𝑥𝑝,𝑖}

3 ^{) (6.14)}

gdzie:

round - funkcja w Matlabie zaokrąglająca wartość do najbliższej liczby całkowitej Cały kod źródłowy z opisami udostępniono w załącznikach do pracy.

Na rysunku 6.24 pokazano wygenerowane tory cząstek opuszczających wirnik w różnych odległościach od tarczy tylnej. Wygenerowano 9 torów pierwszy na tarczy tylnej (TT, b2=0 mm), następnie co 5 mm każdy, aż do tarczy przedniej (TP, b2=54 mm).

S t r o n a | 105

Jak wynika z rysunku 6.24 tory cząstek są odchylone zarówno w kierunku obwodo-wym jak i w kierunku osioobwodo-wym zgodnie z kierunkiem przepływu czynnika (przepływ prze-ciwny do kierunku x). Ponieważ trudno interpretować wyniki w układzie przestrzennym, tor cząstki zapisano jako superpozycję dwóch funkcji równaniem (6.15):

𝑝(𝜃) = 𝑟(𝜃) + 𝑥(𝜃) (6.15)

gdzie:

𝑝(𝜃) - równanie toru cząstki za wirnikiem,

𝑟(𝜃) - równanie ruchu cząstki w układzie promieniowo-obwodowym, 𝑥(𝜃) - równanie ruchu cząstki w układzie osiowo-obwodowym.

Na rysunku 6.25 przedstawiono analizę toru bezwzględnego cząstki na dwa prostsze składniki zgodnie z zaproponowanym w równaniu (6.15) podziałem.

a) b)

Rys.6.25. Tory cząstek za wirnikiem F2K80 w rozkładzie na dwa ruchy,

a) po kierunku promieniowym - ∆x=0, b) po kierunku osiowym - ∆r=0

Na rysunku 6.25a zamieszczono zależności promienia od kąta rozwinięcia w ruchu obwodowym cząstki, z kolei, na rysunku 6.25b zaprezentowano odchylenie strugi wypływa-jącej z wirnika w kierunku osiowym. Indeksy liczbowe krzywych oznaczają odległości od tarczy tylnej wirnika.

W obu grupach przeprowadzono dopasowanie krzywych teoretycznych do danych pomiarowych. Poszukiwane były, funkcje o kształcie przybliżonym do rzeczywistych torów cząstek. Do określenia równania krzywej, jej parametrów oraz oceny statystycznej jakości dopasowania użyto narzędzia CFTOOL z pakietu Matlab. Wynikiem obliczeń są parametry funkcji i wykres zaprezentowany na rysunku 6.26. Dopasowanie przeprowadzono dla zależ-ności r=f(θ) w połowie szerokości wirnika (1

Badani a t er moa ne mo m et ryc zne

S t r o n a | 106

Dopasowanie modelu funkcją CFTOOL: Model ogólny:

f(θ) = a · exp(-b · θ) + c

Współczynniki (z 95% przedziałem ufności):  a = 40,95 (35,89; 46)  b = -1,953 (-2,09; -1.816)  c = 118,2 (112,4; 124) Ocena dopasowania:  SSE: 2,092  R2 : 0,9998  Skorygowany R2 : 0,9998  RMSE: 0,5114

Rys.6.26. Dopasowanie krzywej do danych rzeczywistych dla toru cząstki w połowie szerokości

wirni-ka –obliczenia Matlab CFTOOL

Wygenerowana krzywa (model) jest spiralą o bardzo dobrym dopasowaniu. Współ-czynnik determinacji dla zaproponowanego modelu wynosi niemal 1 (R²=0.9998). Proble-mem otrzymanego modelu jest powiązanie współczynników funkcji (a,b,c) z geometrią i warunkami pracy maszyny. W wyniku poszukiwań właściwych relacji ustalono, że zadowa-lającą zgodność uzyskuje się dla spirali logarytmicznej wyrażonej następującym równaniem (6.16):

𝑟 = 𝑟₀∙ 𝑒𝜃𝑡𝑔𝛼_𝑟 (6.16)

gdzie:

𝑟₀ - promień początku toru cząstki ≈ r2,

𝛼_𝑟 - rzeczywisty kąt prędkości bezwzględnej na wylocie z wirnika.

Z porównania trójkątów prędkości na wylocie z wirnika dla przepływu teoretycznego i rzeczywistego (rysunek 6.27), możemy zbudować relację na 𝑡𝑔𝛼_𝑟 wykorzystując współ-czynnik zmniejszenia mocy μ zdefiniowany równaniem (6.8a).

Rys.6.27. Poślizg prędkości na wylocie z wirnika

Z trójkąta prędkości wynikają relacje trygonometryczne zapisane równaniami (6.17) i (6.18):

𝑡𝑔𝛼_∞ = ^𝑐𝑟

S t r o n a | 107 𝑡𝑔𝛼_𝑟 = ^𝑐𝑟

𝑐_𝑢∞− ∆𝑐_𝑢 ^(6.18)

Po podstawieniu równań (4.1) i (6.18) do równania (6.17) wynika zależność:

𝑡𝑔𝛼_∞ = ¹

𝜇^{𝑡𝑔𝛼∞ (6.19)}

Ostatecznie równanie toru cząstki może być zapisane w postaci (6.16a):

𝑟 = 𝑟₀∙ 𝑒^{𝜃𝑡𝑔𝛼}𝜇 ^∞ (6.16a)

Podstawiając wartość współczynnika zmniejszenia mocy zgodnie z wykresem 6.17a. lub równaniem (6.8a) dla b₂=27mm otrzymano funkcję na przykładową spiralę logarytmiczną dla wirnika F2 w zabudowie kanałowej K80, o równaniu (6.20):

𝑟 = 158,5 ∙ 𝑒0,71𝜃 (krzywa SLr) (6.20)

Tak obliczony tor cząstki naniesiono na wykres 6.25a w postaci krzywej kreskowej oznaczo-nej jako SLr. Dla porównania naniesiono również tor cząstki, obliczony według równania spirali Archimedesa, zapisanej jako (6.21):

𝑟_𝐴 = 𝑟₀+ 𝜃 ∙ 𝑟₀∙ 𝑡𝑔𝛼 (krzywa SAr) 6.21)

Z porównania z danymi pomiarowymi widać, że tor cząstki opisany według spirali Archime-desa (krzywa SAr) znacząco odbiega od rzeczywistości.

Podobną procedurę dopasowania (budowy) modelu przeprowadzono dla przemiesz-czenia cząstki po kierunku osiowym. W tym przypadku dobrą zbieżność uzyskano dla spirali Archimedesa, zdefiniowanej zgodnie z następującym równaniem (6.22):

𝑥 = 0,1(𝐷_𝑜𝑏− 𝐷₂)𝜃 + ∆𝑏₂ (6.22)

gdzie:

𝐷_𝑜𝑏 - średnica obudowy kanałowej w [mm],

𝐷₂ - średnica zewnętrzna wirnika promieniowego w [mm],

∆𝑏₂ - miejsce początku toru cząstki - odległość od tarczy tylnej w [mm].

Po podstawieniu wymiarów geometrycznych dla wirnika F2 pracującego w zabudowie kana-łowej K80 i przyjęciu miejsca „wylotu” cząstki w połowie szerokości b2, otrzymano zależ-ność (6.23):

𝑥 = 0,1(800 − 315)𝜃 + 27 = 48,5𝜃 + 27 (6.23)

Dla porównania z danymi pomiarowymi, tor obliczony według modelu (6.22) naniesiono linią kreskową na wykres 6.25b i opisano jako SAx. Opracowany model dobrze przybliża rzeczy-wisty tor cząstki w analizowanym układzie ruchu.

S t r o n a | 108