5. Opracowanie strategii opcyjnych zabezpieczających przed ryzykiem inwestycji
5.2. Wykorzystanie opcji azjatyckich do budowy strategii opcyjnych
5.2.3. Badania współczynników wrażliwości opcji azjatyckich
wrażliwości opcji azjatyckich
Dla europejskich opcji waniliowych pokazałem w rozdziale 5.1.2, że inwestor ma wpływ na cenę opcji poprzez dobór dwóch parametrów (ceny wykonania oraz długości trwania opcji), jakie może negocjować przy zawieraniu kontraktu opcyjnego. W przypadku standardowych opcji put, im dłuższy okres życia opcji, tym drożej inwestor musi zapłacić za opcję, co jest związane z tym, że opcja ma więcej czasu, aby przynieść wypłatę. Natomiast jeśli chodzi o cenę wykonania, to im jest ona wyższa, tym drożej bank (inwestor) musi zapłacić za opcję, gdyż wypłata z tej opcji będzie większa. Ponieważ, w porównaniu do opcji waniliowych opcje azjatyckie o średniej cenie są bardziej skomplikowane, podobna analiza dotycząca wpływu parametrów obieralnych na premię opcyjną, zostanie przeprowadzona również dla nich.
Do zbadania wrażliwości premii opcyjnej użyłem opcji azjatyckiej wystawionej 3 stycznia 2005 roku na trzy następujące akcje ASSECO, KGHM oraz WAWEL. Wrażliwość ceny zostanie zbadana, przesuwając cenę wykonania o 10%, 20% oraz 30% od ceny instrumentu bazowego na datę zawarcia kontraktu opcyjnego (wszystkie opcje azjatyckie kupowane były at-the-money). Odchylenia zastosuję zarówno, aby zwiększyć cenę wykonania, jak i ją zmniejszyć. Analizując czas trwania opcji, zbadam terminy od jednego miesiąca do jednego roku (w pracy zakładałem pół roku – gdyż taki jest horyzont czasowy inwestycji).
Tabela 44 przedstawia wrażliwość na cenę wykonania oraz długość życia, ceny (premii opcyjnej) opcji azjatyckiej put o średniej cenie i europejskim stylu wykonania, wystawionej na akcję ASSECO. Tabela 45 przedstawia wrażliwość na te same parametry, ceny opcji azjatyckiej put o średniej cenie i stylu wykonania europejskim, wystawionej na akcję KGHM. Natomiast tabela 46 przedstawia wyniki podobnej analizy dla opcji azjatyckiej put o średniej cenie o stylu wykonania europejskim, wystawionej na akcję WAWEL. Dane zawarte we wszystkich trzech tabelach są w PLN. Wyliczenia wrażliwości poszczególnych cen opcji azjatyckiej, w zależności od ceny wykonania oraz długości trwania opcji, zaprezentowanych w tabeli 44, tabeli 45 oraz tabeli 46 zostały policzone w programie Mathematica. Zrzuty ekranu z tego programu są przedstawione odpowiednio w załączniku 8, załączniku 9 oraz załączniku 10 do rozprawy.
185 Tabela 44. Ceny opcji azjatyckiej put o średniej cenie wystawionej na akcje ASSECO
w zależności od ceny wykonania opcji oraz jej długości trwania (w PLN) Cena wykonania
Długość życia opcji
19,39 PLN 22,16 PLN 24,93 PLN 27,70 PLN 30,47 PLN 33,24 PLN 36,01 PLN 1 miesiąc 0,00 0,00 0,01 0,56 2,71 5,43 8,19 2 miesiące 0,00 0,00 0,06 0,76 2,72 5,34 8,07 3 miesiące 0,00 0,00 0,13 0,91 2,75 5,26 7,95 4 miesiące 0,00 0,01 0,20 1,03 2,80 5,20 7,84 5 miesięcy 0,00 0,03 0,27 1,13 2,84 5,15 7,74 6 miesięcy 0,00 0,04 0,33 1,22 2,88 5,12 7,65 7 miesięcy 0,00 0,06 0,39 1,29 2,91 5,09 7,56 8 miesięcy 0,01 0,09 0,44 1,36 2,95 5,06 7,49 9 miesięcy 0,01 0,11 0,50 1,42 2,98 5,04 7,41 10 miesięcy 0,02 0,13 0,55 1,48 3,01 5,02 7,35 11 miesięcy 0,02 0,16 0,59 1,53 3,03 5,00 7,28 12 miesięcy 0,03 0,18 0,64 1,58 3,06 4,99 7,22
Źródło: opracowanie własne na podstawie danych z
http://bossa.pl/index.jsp?layout=mstock&page=0&news_cat_id=706&pkind=metastock
Tabela 45. Ceny opcji azjatyckiej put o średniej cenie wystawionej na akcje KGHM w zależności od ceny wykonania opcji oraz jej długości trwania (w PLN) Cena wykonania
Długość życia opcji
21,98 PLN 25,12 PLN 28,26 PLN 31,40 PLN 34,54 PLN 37,68 PLN 40,82 PLN 1 miesiąc 0,00 0,00 0,02 0,69 3,08 6,16 9,28 2 miesiące 0,00 0,00 0,10 0,95 3,13 6,06 9,15 3 miesiące 0,00 0,01 0,20 1,13 3,19 5,99 9,02 4 miesiące 0,00 0,03 0,29 1,28 3,26 5,93 8,90 5 miesięcy 0,00 0,05 0,38 1,41 3,33 5,90 8,80 6 miesięcy 0,01 0,08 0,46 1,52 3,39 5,88 8,71 7 miesięcy 0,01 0,11 0,54 1,62 3,44 5,86 8,62 8 miesięcy 0,02 0,14 0,62 1,71 3,49 5,84 8,55 9 miesięcy 0,03 0,18 0,69 1,78 3,54 5,83 8,48 10 miesięcy 0,03 0,21 0,75 1,86 3,58 5,83 8,41 11 miesięcy 0,05 0,24 0,81 1,92 3,62 5,82 8,36 12 miesięcy 0,06 0,28 0,87 1,98 3,66 5,81 8,30
Źródło: opracowanie własne na podstawie danych z
http://bossa.pl/index.jsp?layout=mstock&page=0&news_cat_id=706&pkind=metastock
Tabela 46. Ceny opcji azjatyckiej put o średniej cenie wystawionej na akcje WAWEL w zależności od ceny wykonania opcji oraz jej długości trwania (w PLN)
Cena wykonania Długość życia opcji
71,05 PLN 81,20 PLN 91,35 PLN 101,50 PLN 111,65 PLN 121,80 PLN 131,95 PLN 1 miesiąc 0,00 0,00 0,03 1,95 9,90 19,91 30,01 2 miesiące 0,00 0,00 0,20 2,67 9,90 19,55 29,57 3 miesiące 0,00 0,01 0,42 3,19 9,99 19,25 29,14 4 miesiące 0,00 0,04 0,65 3,61 10,11 19,00 28,73 5 miesięcy 0,00 0,08 0,87 3,95 10,24 18,81 28,35
186 Cena wykonania
Długość życia opcji
71,05 PLN 81,20 PLN 91,35 PLN 101,50 PLN 111,65 PLN 121,80 PLN 131,95 PLN 6 miesięcy 0,01 0,13 1,08 4,25 10,35 18,65 27,99 7 miesięcy 0,01 0,19 1,28 4,52 10,47 18,51 27,66 8 miesięcy 0,02 0,26 1,47 4,75 10,57 18,39 27,35 9 miesięcy 0,03 0,33 1,65 4,97 10,67 18,29 27,07 10 miesięcy 0,05 0,40 1,81 5,16 10,75 18,20 26,80 11 miesięcy 0,06 0,48 1,97 5,34 10,83 18,11 26,55 12 miesięcy 0,08 0,55 2,12 5,50 10,91 18,03 26,31
Źródło: opracowanie własne na podstawie danych z
http://bossa.pl/index.jsp?layout=mstock&page=0&news_cat_id=706&pkind=metastock
W celu większej przejrzystości oraz porównania zmian cen wszystkich trzech opcji, w zależności od ich ceny wykonania oraz długości życia, przedstawię powyższe trzy tabele w formie rysunku (patrz rysunek 58). Wyliczenia wrażliwości poszczególnych cen opcji, w zależności od ceny wykonania oraz długości trwania opcji, zaprezentowane na rysunku 58 zostały policzone w programie Mathematica, a zrzuty ekranu z tego programu są przedstawione odpowiednio w załączniku 8, załączniku 9 oraz załączniku 10 do rozprawy w zależności od akcji będącej instrumentem bazowym.
Rysunek 58. Wrażliwość ceny opcji azjatyckiej put o średniej cenie na zmiany ceny jej wykonania oraz długości życia
Źródło: opracowanie własne
Analizując dane zawarte w tabelach (patrz tabela 44, tabela 45 oraz tabela 46) oraz rysunek 58, łatwo zauważyć pewną zależność, gdyż wszystkie wykresy wyglądają analogicznie. Co więcej, wykresy dla opcji azjatyckich są bardzo zbliżone do wykresów dla opcji waniliowych. Nie wydaje się to takie zaskakujące, gdyż do wyceny obydwu rodzajów opcji, używa się identycznego modelu, jedynie w opcjach azjatyckich, używa się pewnych efektywnych zmienności. Zarówno w przypadku opcji azjatyckich jak i opcji waniliowych, im dłuższy okres życia opcji, tym drożej inwestor musi zapłacić za opcję, co jest związane z tym,
że opcja ma więcej czasu, aby przynieść wypłatę. Natomiast, jeśli chodzi o cenę wykonania,
to im jest ona wyższa, tym drożej bank (inwestor) musi zapłacić za opcję put (zarówno waniliową jak i azjatycką), gdyż wypłata z tej opcji będzie większa. Wynika to z ich funkcji wypłaty. Wyjątek stanowią opcje, które na dzień zawarcia kontraktu opcyjnego mają znacznie większą cenę wykonania, niż wartość instrumentu bazowego (opcje in-the-money). Dla tych
ASSECO
Cena
opcji Cena opcji
KGHM
Cena opcji
187 opcji, wraz ze wzrostem czasu trwania opcji zwiększa się prawdopodobieństwo, że wartość instrumentu bazowego znacząco wzrośnie i te opcje nie przyniosą przychodu.
Podsumowując, inwestor chcąc jak najmniej zapłacić za opcję azjatycką, powinien wybierać opcje o jak najkrótszym terminie zapadalności i z jak najniższą ceną wykonania. Niestety, biznesowo, mogą się one jednak nie przydać do zabezpieczenia pozycji.
Podobnie jak dla europejskich opcji waniliowych w rozdziale 5.1.3, przeprowadzę analizę wrażliwości ceny opcji azjatyckiej put o średniej cenie ze stylem wykonania europejskim, na zmiany parametrów rynkowych (stopy procentowej oraz ceny i zmienności instrumentu bazowego). Do tego celu użyję współczynników greckich zdefiniowanych również w rozdziale 5.1.3.
Zacznę od współczynnika delta, który pokazuje jak zmieni się wartość opcji, przy zmianie wartości instrumentu bazowego. Z punktu widzenia matematycznego, delta jest pierwszą pochodną ceny opcji po cenie aktywa bazowego. Pokażę, jak będzie się zmieniał współczynnik delta dla opcji azjatyckiej typu put o średniej cenie i europejskim stylu wykonania, przy zmianie długości czasu trwania opcji oraz jej ceny wykonania. Analizę wrażliwości współczynnika delta dla opcji azjatyckiej typu put o średniej cenie wystawionej na akcję ASSECO przedstawia tabela 47 oraz rysunek 59, który został wykonany na podstawie danych zawartych w tabeli. Analiza przedstawia wartość współczynnika delta, w zależności od czasu trwania opcji (od jednego miesiąca do jednego roku) oraz ceny wykonania (cena wykonania została zwiększona oraz zmniejszona o 10%, 20% oraz 30% od wyjściowej ceny wykonania, równej cenie instrumentu bazowego, w dniu zawarcia kontraktu opcyjnego). Wyliczenia wrażliwości współczynnika delta, w zależności od ceny wykonania oraz długości trwania opcji, zaprezentowane w tabeli 47 oraz na rysunku 59 zostały policzone w programie Mathematica, a zrzuty ekranu z tego programu są przedstawione w załączniku 11.
Tabela 47. Współczynnik delta dla opcji azjatyckiej wystawionej na akcję ASSECO Cena wykonania
Długość życia opcji
19,39 PLN 22,16 PLN 24,93 PLN 27,70 PLN 30,47 PLN 33,24 PLN 36,01 PLN 1 miesiąc 0,00 0,00 -0,02 -0,47 -0,95 -1,00 -1,00 2 miesiące 0,00 0,00 -0,07 -0,45 -0,87 -0,98 -0,99 3 miesiące 0,00 -0,01 -0,10 -0,44 -0,81 -0,96 -0,99 4 miesiące 0,00 -0,01 -0,13 -0,43 -0,76 -0,93 -0,98 5 miesięcy 0,00 -0,02 -0,15 -0,43 -0,72 -0,90 -0,96 6 miesięcy 0,00 -0,03 -0,16 -0,42 -0,69 -0,87 -0,95 7 miesięcy 0,00 -0,04 -0,17 -0,41 -0,66 -0,84 -0,93 8 miesięcy -0,01 -0,05 -0,18 -0,40 -0,64 -0,82 -0,91 9 miesięcy -0,01 -0,05 -0,19 -0,40 -0,62 -0,79 -0,89 10 miesięcy -0,01 -0,06 -0,19 -0,39 -0,60 -0,77 -0,88 11 miesięcy -0,01 -0,07 -0,19 -0,39 -0,59 -0,75 -0,86 12 miesięcy -0,01 -0,07 -0,20 -0,38 -0,57 -0,73 -0,84 Źródło: opracowanie własne na podstawie danych z
188 Rysunek 59. Współczynnik delta dla opcji azjatyckiej wystawionej na akcję ASSECO
Źródło: opracowanie własne
Dla opcji azjatyckiej typu put będącej in-the-money wartość współczynnika delta chwilę przed wygaśnięciem wynosi -0,5, co jest związane z tym, że cena opcji może spaść albo wzrosnąć z podobnym prawdopodobieństwem. Delta opcji azjatyckiej typu put o średniej cenie dąży do -1, gdy opcja jest głęboko w pieniądzu i szansa, że zostanie ona wykonana jest znacząca (prawdopodobieństwo, że opcja zostanie wykonana jest prawie pewne). Z drugiej strony, wartość współczynnika delta dąży do 0, gdy opcja put jest głęboko poza pieniądzem (out-of-the-money), co powoduje, że prawdopodobieństwo wykonania opcji jest znikome i nawet największe ruchy instrumentu bazowego, nie mogą tego w znaczącym stopniu zmienić.
Drugim współczynnikiem greckim, dla którego przedstawię analizę wrażliwości jest gamma. Pokazuje on miarę wrażliwości współczynnika delta, na zmiany ceny instrumentu bazowego. Z punktu widzenia matematycznego, współczynnik ten jest drugą pochodną cząstkową ceny opcji po cenie instrumentu bazowego lub pierwszą pochodną współczynnika delta po cenie instrumentu bazowego. Pokażę, jak będzie się zmieniał współczynnik gamma dla opcji azjatyckiej typu put o średniej cenie ze stylem wykonania europejskim przy zmianie długości czasu jej trwania oraz ceny wykonania. Analizę wrażliwości współczynnika gamma dla opcji azjatyckiej typu put o średniej cenie wystawionej na akcję ASSECO przedstawia tabela 48 oraz rysunek 60, który został wykonany na podstawie danych zawartych w tabeli. Analiza przedstawia wartość współczynnika gamma w zależności od czasu trwania opcji (od jednego miesiąca do jednego roku) oraz ceny wykonania (cena wykonania została zwiększona oraz zmniejszona o 10%, 20% oraz 30% od wyjściowej ceny wykonania, równej cenie instrumentu bazowego, w dniu zawarcia kontraktu opcyjnego). Wyliczenia wrażliwości współczynnika gamma, w zależności od ceny wykonania oraz długości trwania opcji, zaprezentowane w tabeli 48 oraz na rysunku 60 zostały policzone w programie Mathematica, a zrzuty ekranu z tego programu są przedstawione w załączniku 12.
Delta opcji
189 Tabela 48. Współczynnik gamma dla opcji azjatyckiej wystawionej na akcję ASSECO Cena wykonania
Długość życia opcji
19,39 PLN 22,16 PLN 24,93 PLN 27,70 PLN 30,47 PLN 33,24 PLN 36,01 PLN 1 miesiąc 0,00 0,00 0,03 0,27 0,06 0,00 0,00 2 miesiące 0,00 0,00 0,06 0,19 0,10 0,01 0,00 3 miesiące 0,00 0,01 0,07 0,15 0,10 0,03 0,00 4 miesiące 0,00 0,01 0,07 0,13 0,10 0,04 0,01 5 miesięcy 0,00 0,02 0,07 0,12 0,10 0,05 0,02 6 miesięcy 0,00 0,02 0,07 0,10 0,09 0,05 0,02 7 miesięcy 0,00 0,02 0,06 0,10 0,09 0,06 0,03 8 miesięcy 0,00 0,02 0,06 0,09 0,08 0,06 0,03 9 miesięcy 0,00 0,02 0,06 0,08 0,08 0,06 0,03 10 miesięcy 0,01 0,02 0,06 0,08 0,08 0,06 0,04 11 miesięcy 0,01 0,03 0,05 0,07 0,07 0,06 0,04 12 miesięcy 0,01 0,03 0,05 0,07 0,07 0,06 0,04
Źródło: opracowanie własne na podstawie danych z
http://bossa.pl/index.jsp?layout=mstock&page=0&news_cat_id=706&pkind=metastock
Gdy opcja azjatycka typu put o średniej cenie jest blisko swojego terminu wykonania w pozycji at-the-money (ATM), współczynnik gamma osiąga maksimum lokalne. Warto zaznaczyć, że opcje azjatyckie, które mają wysoki współczynnik gamma charakteryzują się tym, że delta jest bardzo wrażliwa na zmianę ceny instrumentu bazowego i nawet niewielka zmiana instrumentu bazowego powoduje znaczącą zmianę ceny opcji.
Blisko terminu zapadalności, gdy opcja zbiega w pozycję in-the-money (ITM) albo out-of-the-money (OTM), gamma dąży do zera, gdyż ruchy ceny instrumentu bazowego nie mają prawie żadnego wpływu na cenę opcji. Jeśli gamma jest mała, wtedy delta zmienia się powoli i wszystkie zabiegi, aby zabezpieczyć akcje za pomocą opcji azjatyckiej są bardzo efektywne.
Rysunek 60. Współczynnik gamma dla opcji azjatyckiej wystawionej na akcję ASSECO
Źródło: opracowanie własne
Gamma opcji
190 Gdy termin do wygaśnięcia opcji jest dość długi (powyżej pół roku) struktura współczynnika gamma jest dość płaska, z niewielkim „garbem” dla opcji w pieniądzu (z lokalnym maksimum dla danego terminu zapadalności) i prawie nie ma znaczenia, czy opcja jest w pieniądzu, czy też nie. Dla opcji azjatyckiej głęboko w pieniądzu (in-the-money) lub głęboko poza pieniądzem (out-of-the-money), gamma delikatnie maleje wraz z upływem czasu trwania opcji.
Również wykresy dla współczynników gamma opcji waniliowej i azjatyckiej są do siebie dość zbliżone, co jest związane z jednakową metodą budowy modeli ich wyceny.
Kolejnym współczynnikiem greckim, dla którego będę analizował wrażliwość premii opcyjnej jest rho. Współczynnik ten informuje o zmianie ceny opcji azjatyckiej na skutek zmiany stopy procentowej bez ryzyka. Z punktu widzenia matematycznego współczynnik ten jest pierwszą pochodną cząstkową ceny opcji po stopie procentowej bez ryzyka.
Pokażę, jak będzie się zmieniał współczynnik rho dla opcji azjatyckiej typu put o
średniej cenie ze stylem wykonania europejskim, przy zmianie długości czasu jej trwania oraz
ceny wykonania. Analizę wrażliwości współczynnika rho dla opcji azjatyckiej typu put o
średniej cenie wystawionej na akcję ASSECO przedstawia tabela 49 oraz rysunek 61, który
został wykonany na podstawie danych zawartych w tabeli. Analiza przedstawia wartość współczynnika Rho, w zależności od czasu trwania opcji (od jednego miesiąca do jednego roku) oraz ceny wykonania (cena wykonania została zwiększona oraz zmniejszona o 10%, 20% oraz 30% od wyjściowej ceny wykonania, równej cenie instrumentu bazowego, w dniu zawarcia kontraktu opcyjnego). Wyliczenia wrażliwości współczynnika rho, w zależności od ceny wykonania oraz długości trwania opcji, zaprezentowane w tabeli 49 oraz na rysunku 61 zostały policzone w programie Mathematica, a zrzuty ekranu z tego programu są przedstawione w załączniku 13.
Tabela 49. Współczynnik rho dla opcji azjatyckiej wystawionej na akcję ASSECO Cena wykonania
Długość życia opcji
19,39 PLN 22,16 PLN 24,93 PLN 27,70 PLN 30,47 PLN 33,24 PLN 36,01 PLN 1 miesiąc 0,00 0,00 -0,02 -0,58 -1,32 -1,60 -1,83 2 miesiące 0,00 0,00 -0,16 -1,16 -2,45 -3,16 -3,64 3 miesiące 0,00 -0,02 -0,38 -1,73 -3,46 -4,63 -5,42 4 miesiące 0,00 -0,06 -0,63 -2,30 -4,41 -6,01 -7,14 5 miesięcy 0,00 -0,13 -0,92 -2,87 -5,30 -7,32 -8,80 6 miesięcy -0,01 -0,22 -1,22 -3,43 -6,17 -8,56 -10,40 7 miesięcy -0,03 -0,33 -1,54 -3,99 -7,00 -9,74 -11,94 8 miesięcy -0,05 -0,45 -1,87 -4,53 -7,81 -10,87 -13,43 9 miesięcy -0,08 -0,59 -2,20 -5,08 -8,60 -11,97 -14,86 10 miesięcy -0,12 -0,75 -2,54 -5,62 -9,37 -13,03 -16,24 11 miesięcy -0,16 -0,91 -2,88 -6,15 -10,12 -14,06 -17,57 12 miesięcy -0,21 -1,09 -3,23 -6,68 -10,86 -15,05 -18,87 Źródło: opracowanie własne na podstawie danych z
191 Rysunek 61. Współczynnik rho dla opcji azjatyckiej wystawionej na akcję ASSECO
Źródło: opracowanie własne
Dla opcji azjatyckiej typu put o średniej cenie współczynnik rho ma zawsze wartość ujemną. Jest to spowodowane tym, że model Black-Scholes’a, zakłada, że wzrost ceny instrumentu bazowego jest pozytywnie zależny od stopy wolnej od ryzyka (im stopa jest wyższa, tym szybciej rośnie cena instrumentu bazowego), co powoduje, że prawdo-podobieństwo wykonania opcji put jest mniejsze. Gdy okres pozostały do wygaśnięcia opcji azjatyckiej jest coraz krótszy, wpływ stopy procentowej na cenę opcji jest coraz mniejszy, więc rho zbiega do zera, wraz z upływem czasu. Natomiast, gdy okres ważności opcji azjatyckiej jest długi, wpływ stopy procentowej na cenę opcji jest wysoki, więc rho w wartościach bezwzględnych jest największe. Można również zauważyć, że stopa procentowa ma większy wpływ na opcje głęboko w pieniądzu, gdyż rho w wartościach bezwzględnych jest większa. Skoro stopa procentowa powoduje wzrost ceny instrumentu bazowego, to dla wystawcy azjatyckiej opcji put będzie bardziej ryzykowne, gdy stopa procentowa będzie mała, gdyż istnieje większe prawdopodobieństwo wykonania opcji i większa wypłata dla kupującego opcję. Z tego powodu wystawcy opcji pobierają większą premię za azjatyckie opcję put z mniejszą zależnością od stopy procentowej bez ryzyka. Dla inwestora zatem tańsza będzie opcja z mniejszym rho w wartościach bezwzględnych, gdyż prawdo-podobieństwo wykonania tej opcji jest mniejsze.
Ostatnim współczynnikiem greckim, którego analizę przedstawię jest współczynnik vega. Bank, który zamierza nabyć opcję azjatycką, powinien również przeanalizować ten współczynnik, mimo, iż model Black-Scholes’a zakłada, że zmienność instrumentu bazowego jest stała w czasie trwania opcji. Vega pokazuje jak zmieni się premia opcyjna, jeśli zmienność instrumentu bazowego zmieni się o 1%. Z punktu widzenia matematyki vega jest pierwszą pochodną cząstkową ceny opcji, po zmienności instrumentu bazowego.
Zbadam, jak będzie się zmieniał współczynnik vega dla opcji azjatyckiej typu put o
średniej cenie ze stylem wykonania europejskim, przy zmianie dwóch parametrów: długości
czasu jej trwania oraz ceny wykonania. Analizę wrażliwości współczynnika vega dla opcji azjatyckiej typu put o średniej cenie wystawionej na akcję ASSECO przedstawia tabela 50 oraz rysunek 62, który został wykonany na bazie danych zawartych w tabeli. Analiza przedstawia wartość współczynnika vega w zależności od czasu trwania opcji (od jednego
Rho opcji
192 miesiąca do jednego roku) oraz ceny wykonania (cena wykonania została zwiększona oraz zmniejszona o 10%, 20% oraz 30% od wyjściowej ceny wykonania równej cenie instrumentu bazowego w dniu zawarcia kontraktu opcyjnego). Wyliczenia wrażliwości współczynnika vega, w zależności od ceny wykonania oraz długości trwania opcji, zaprezentowane w tabeli 50 oraz na rysunku 62 zostały policzone w programie Mathematica, a zrzuty ekranu z tego programu są przedstawione w załączniku 14.
Tabela 50. Współczynnik vega dla opcji azjatyckiej wystawionej na akcję ASSECO Cena wykonania
Długość życia opcji
19,39 PLN 22,16 PLN 24,93 PLN 27,70 PLN 30,47 PLN 33,24 PLN 36,01 PLN 1 miesiąc 0,00 0,00 0,23 1,83 0,44 0,01 0,00 2 miesiące 0,00 0,03 0,85 2,58 1,36 0,19 0,01 3 miesiące 0,00 0,13 1,44 3,15 2,15 0,61 0,09 4 miesiące 0,01 0,31 1,94 3,63 2,82 1,13 0,28 5 miesięcy 0,03 0,53 2,38 4,04 3,39 1,68 0,56 6 miesięcy 0,07 0,78 2,76 4,41 3,90 2,22 0,91 7 miesięcy 0,13 1,03 3,11 4,74 4,36 2,74 1,29 8 miesięcy 0,20 1,27 3,43 5,05 4,77 3,23 1,70 9 miesięcy 0,29 1,52 3,72 5,33 5,15 3,70 2,12 10 miesięcy 0,39 1,75 3,99 5,60 5,50 4,14 2,54 11 miesięcy 0,50 1,98 4,24 5,85 5,83 4,55 2,95 12 miesięcy 0,61 2,20 4,48 6,08 6,13 4,95 3,36
Źródło: opracowanie własne na podstawie danych z
http://bossa.pl/index.jsp?layout=mstock&page=0&news_cat_id=706&pkind=metastock
Rysunek 62. Współczynnik vega dla opcji azjatyckiej wystawionej na akcję ASSECO
Źródło: opracowanie własne
Vega opcji
193 Jeśli zmienność instrumentu bazowego jest duża, szczególnie w okresach niepewności na rynku, wystawcy opcji azjatyckich (zarówno call, jak i put) ponoszą większe ryzyko, gdyż jest większe prawdopodobieństwo, że mogą ponieść koszty związane z rozliczeniem opcji dla jej posiadacza. Z tego powodu wystawcy opcji azjatyckich pobierają większą premię za opcje z większą zmiennością instrumentu bazowego. Dla inwestora zatem tańsza będzie opcja z mniejszym poziomem zmienności ceny instrumentu bazowego. Jeśli wartość vegi jest duża, cena opcji azjatyckiej jest bardzo wrażliwa na małe zmiany zmienności ceny instrumentu bazowego. Jeśli wartość vegi jest mała, cena opcji azjatyckiej jest relatywnie mało wrażliwa na zmiany zmienności wartości instrumentu bazowego. Wartość vega nie może być mniejsza niż zero. Analizując rysunek 62, można zauważyć, że im dłuższy okres pozostały do wygaśnięcia opcji, tym wartość współczynnika vega będzie większa, gdyż zmienność instrumentu bazowego ma duży wpływ na wykonanie opcji. Natomiast w miarę zbliżania się do terminu zapadalności wartość vegi maleje. Vega bez względu na pozostały okres zapadalności posiada lokalne maksimum, gdy opcja jest ATM, gdyż nawet najmniejsze ruchy wartości instrumentu bazowego mogą spowodować przesunięcie opcji w pozycję ITM lub ATM. Natomiast wartość vegi spada, gdy opcja przesuwa się w pozycję ITM lub ATM. Obrazowo można powiedzieć, że vega posiada „grzbiet”, gdy opcja jest ATM.
Podobnie jak dla opcji waniliowych, również dla opcji azjatyckich nie będę analizować wrażliwości premii opcyjnej na zmianę czasu (współczynnik theta), gdyż dla każdego poprzedniego współczynnika wrażliwości został pokazany ten wpływ. Ogólnie theta jest ujemna, gdyż wartość opcji zwykle maleje wraz z upływem czasu.
Oprócz analizy opisanych wyżej współczynników greckich, premia opcyjna dla opcji azjatyckich może być analizowana za pomocą współczynników greckich wyższego rzędu, które są mieszanymi pochodnymi cząstkowymi wzoru wyceny opcji azjatyckich dla różnych zmiennych (czynników rynkowych). Nie zostaną one jednak zaprezentowane w pracy.