Współczesne metody i kierunki badań opcji

Przedstawione w podrozdziale 4.3 metody wyceny opcji należą do najpowszechniej stosowanych w bankach, a zarazem najprostszych metod (pod względem metodologicznym jak i implementacyjnym). Oczywiście jak wszystkie metody, tak i te, ulegały dalszemu rozwijaniu, polegającemu m.in. na zmianie założeń lub parametrów. Przedstawione w tym rozdziale metody są prezentacją przeglądu bardziej „egzotycznych” metod wyceny opcji. Niektóre z tych metod używają zaawansowanych metod matematycznych, co dowodzi rozprzestrzenianiu się wiedzy o opcjach oraz zapotrzebowaniu na coraz to bardziej wyrafinowane oraz bardziej precyzyjne metody wyceny opcji. Wszystko po to, aby być „krok przed konkurencją”.

Jak już wspomniałem, pierwszą metodę do wyceny opcji opartej o drzewa binarne zaproponowali J.C. Cox, S.A. Ross oraz M. Rubinstein w roku 1979 [32]. Ich model był następnie ulepszany oraz rozwijany przez wielu naukowców.

D. Aingworth, R. Motwani oraz J.D. Oldham zaproponowali pierwszy algorytm wyceny opcji z wielomianowym czasem wyliczenia oraz gwarantowanym błędem wyliczeń dla modelu drzewa dwumianowego [1]. Został on nazwany AMO (akronim pierwszych liter nazwisk naukowców wymienionych w kolejności alfabetycznej). Algorytm umożliwia uniknięcia wpływu zmienności ceny aktywa bazowego, przez co ogranicza błąd obliczeń. Algorytm agregujący odcina najbardziej odstające ścieżki z wypłatą z opcji, przez co umożliwia redukcję czasu obliczeń.

A. Shioura i T. Tokuyama w swojej pracy [137] zaproponowali dalsze ograniczenie błędu wyliczeń w algorytmie AMO poprzez przedstawienie losowego algorytmu aproksymującego z tym samym czasem wyliczeń, ale z mniejszym błędem obliczeń. Błąd obliczeń w tym algorytmie, nie zależy od długości drzewa w drzewie dwumianowym (w algorytmie AMO błąd obliczeń zależy od długości drzewa). Proces agregacji w tym algorytmie jest przedstawiony jako martyngał z liczbą kroków (czasem obliczeń) O(n²)

poprzez zastosowanie nowatorskich zmiennych losowych.

P. Chalasani, S. Jha, F. Egriboyum oraz A. Varikooty zaproponowali prosty i szybki algorytm wyceny opcji azjatyckich o amerykańskim stylu wykonania na modelu dwumian-nowym [27]. Zaprezentowali oni udoskonaloną wersję modelu dwumianowego Cox-Ross-Rubinsteina gdzie ruch ceny akcji jest przedstawiony za pomocą drzewa dwumianowego. Każdy węzeł na drzewie jest dzielony na mniejsze „węzełki”, gdzie każdy z nich reprezentuje wszystkie drogi do węzła. Górne ograniczenie wyceny zawiera algorytm przedstawiony przez J.C. Hulla i A. White. Za pomocą wyliczenia górnego ograniczenia metodą rekursywną, otrzymali dobrą zasadę wcześniejszego wykonania opcji amerykańskiej, która jest zgodna z udoskonaloną wersją modelu dwumianowego. Zasada ta jest używana do dolnego ograniczenia ceny. Co więcej pokazali oni, że górne ograniczenie oraz ograniczenie dolne zbiegają do siebie, gdy okres pomiędzy kolejnymi węzłami zbiega do zera.

T.-S. Dai oraz Y.-D. Lyuu [33] zaproponowali wielowymiarowe rozłożenie trójmiano-wego drzewa na podobne składniki do wyceny opcji europejskich oraz amerykańskich. Rozłożenie ma na celu zapewnienie bardziej dokładnego oraz szybszego algorytmu do wyceny opcji.

Dużym zainteresowaniem wśród naukowców cieszą się bardziej egzotyczne odmiany opcji np. opcje azjatyckie. Wielu naukowców rozwija istniejące modele lub wymyśla zastosowanie dla nowych. G. Gastineau opisał wszystkie popularne opcje z grupy opcji zależnej od trajektorii [51]. Natomiast J.C. Hull i A. White zaprezentowali efektywny algorytm do wyceny tych opcji [65]. G.A. Willard zaprezentował model do wyceny opcji

126 zależnych od trajektorii oraz obliczania dla nich współczynników wrażliwości [171]. Model ten był oparty na wieloczynnikowym modelu regresji. W tym samym czasie L. Rogers i Z. Shi zaproponowali własne podejście do rozwiązania problemu związanego z wyceną opcji azjatyckich [129]. P. Boyle i A. Potapchik porównali różne metody wyceny dla opcji azjatyckich. Dla każdej z metod obliczyli współczynniki zmienności [20].

B. Leblanc oraz O. Scaillet użyli nowatorskiej struktury terminowej (Affine Term

Structure) do wyceny opcji zależnych od trajektorii [94]. M.E. Babsiri oraz G. Noel

zaproponowali algorytm symulacyjny do wyceny opcji azjatyckich [11]. M. Broadie, P. Glasseman oraz S.G. Kou przeanalizowali dyskretne oraz ciągłe opcje zależne od trajektorii [21]. Natomiast B.J. Gao, J. Huang oraz M.G. Subrahmanyam zaproponowali analityczne wzory do wyceny tych opcji z amerykańskim stylem wykonania [48]. A. Pascucci, przedstawił dowód istnienia optymalnego problemu zatrzymania (wykonania) opcji azjatyckiej o wykonaniu amerykańskim [118]. X. Chen, G. Deelstra, J. Dhaene oraz M. Vanmaele pokazali statyczne super replikujące strategie (super–replicating strategies) dla opcji azjatyckich oraz koszykowych [30].

A.D. Andricopoulos, M. Widdicks, P.W. Duck oraz D.P. Newton w pracy [8] rozszerzyli metodę kwadratury numerycznej, czyli metodę całek numerycznych do wyceny opcji zależnych od trajektorii oraz opcji, których wypłata zależy od przynajmniej dwóch aktywów (multiassets option).

T.C.F. Vorst opublikował artykuł [168], prezentujący problemy związane z wyceną oraz hedżowaniem opcji azjatyckich wystawionych na kurs walutowy. Natomiast H. Geman i V. Yor do wyceny opcji azjatyckich zastosowali stochastyczne procesy Bessela [53]. J.M. Haykov do szacowania optymalnych cen standardowych opcji azjatyckich zaproponował wykorzystanie stochastycznej teorii sterowania [59]. F.A. Longstaff zbadał strategie hedgingowe chroniące przed ryzykiem stopy procentowej [99] i zaproponował stosowanie strategii opartej na opcjach azjatyckich, wystawionych na stopy procentowe.

J. Vecer w pracy [166] zastosował teorię równań różniczkowych cząstkowych do wyceny arytmetycznych opcji azjatyckich. Równań różniczkowych cząstkowych do sterowania numerycznym wyliczeniem dla korekty powstałej przy wyprowadzaniu metod analitycznych do wyceny ciągłych opcji azjatyckich użył także J.E. Zhang [179].

H. Albrecher i M. Predota dokonali aproksymacji cen dyskretnych opcji azjatyckich przy pomocy Gamma-wariacyjnych modeli (Variance-Gamma Model) [3]. Ci sami autorzy w kolejnym artykule [4] zaproponowali wykorzystanie stochastycznych procesów Levy’ego, zamiast standardowego ruchu Browna, w celu szacowania cen opcji azjatyckich. W modelu Levy’ego, ruch Browna jest zastąpiony przez bardziej uniwersalny proces Levy’ego, który bierze pod uwagę, nie tylko normalny rozkład zwrotów akcji. Nowe podejście zaproponowane przez autorów bazuje na komonotoniczności oraz procesach typu stop-loss.

Metoda aproksymacji (należąca do metod numerycznych) ceny opcji azjatyckich po raz pierwszy została zastosowana w roku 1991 przez S. Turnbulla i L. Wakemana w artykule [155]. Autorzy wykorzystali wspomnianą metodę do wyceny opcji, których funkcja wypłaty zależała od średniej arytmetycznej cen instrumentu bazowego. Niestety dokładność ich algorytmu zależała od liczby zmiennych użytych do wyliczenia średniej.

H. Albrecher , J. Dhaene i W. Schoutens zbadali problem statycznego hedgowania opcji azjatyckich przy pomocy tychże procesów [2].

I.J. Kim, G.H. Chang i S.J. Byun zaproponowali własne podejście do wyceny arytmetycznych azjatyckich opcji [24]. Natomiast J. Vecer i M. Xu opracowali model wyceny opcji azjatyckich oparty na teorii pół-martyngałów [167].

S.-L. Liao oraz C.-W. Wang przedstawili wzory do wyceny opcji binarnych, które to mogą być wykorzystane, jako metoda redukcji wariancji w symulacjach Monte Carlo [97]. Za pomocą tej metody autorzy zaproponowali algorytm wyceny zapadkowych opcji arytme-tycznych o średniej cenie wykonania. Inny estymator redukcji wariancji, tym razem dla opcji azjatyckich został przedstawiony przez K. Kamizono, T. Kariya, R.Y. Liu oraz T. Nakatsuma

127 [84]. Redukcja jest tym lepsza, im większa jest zmiana ceny instrumentu bazowego oraz/lub im większy jest czas trwania opcji.

J.A. Nielsen oraz K. Sandmann rozwinęli formuły analityczne, do wyceny azjatyckich opcji kupna o europejskim stylu wykonania, gdzie instrumentem jest kurs walutowy [116]. Założeniem w tym modelu było to, że gospodarka zawiera tylko dwie waluty (krajową oraz obcą). Obydwa kursy walutowe oraz stopy wolne od ryzyka poruszają się geometrycznym ruchem Browna.

Y. Hishida wraz z K. Yasutomi udowodnili, że cena opcji azjatyckiej zbiega do ceny opcji waniliowej, jeśli czas życia opcji jest wystarczająco długi w porównaniu do liczby dni, w których średnia jest liczona [62]. Otrzymali oni różnicę asymptotyczną, a następnie używając metod Monte Carlo, wycenili opcje azjatyckie. Metody Monte Carlo do wyceny opcji użyła także K. Ziętek-Kwaśniewska [182].

A. Bermúdez, M.R. Nogueiras oraz C. Vázques zaproponowali wycenę opcji azjatyckich o średniej cenie o stylu wykonania europejskim lub amerykańskim [17]. Model ten bazuje na algorytmie iteracyjnym opartym o nierówność wariacyjną (variational

inequalities) oraz metodzie Lagrange-Galerkina do rozwiązywania równań różniczkowych

cząstkowych wyższego rzędu.

M.A. Milevsky oraz S.E. Posner w swojej pracy porzucili założenie o lognormalnym rozkładzie, który jest wynikiem przyjęcia wzoru Black-Scholes’a oraz podstawowym rozkładem używanym przez ekonomistów do modelowania procesów ekonomicznych [110]. Zaproponowali oni użycie dwóch innych funkcji gęstości: odwrotnej Gamma (Reciprocal

Gamma) oraz typu Johnsona (Johnson-type) do wyceny arytmetycznych opcji azjatyckich

oraz opcji koszykowych. Jak dowodzą autorzy, przedstawione przez nich funkcje gęstości mogą dać bardziej precyzyjne i spójne wyniki w porównaniu z rozkładem lognormalnym.

H. Shirakawa zaprezentował metodę wolną od arbitrażu do wyceny azjatyckich opcji kupna w standardowym modelu Black-Scholes’a [138]. Użył akcji, jako wyznacznika ceny (numéraire), co pozwoliło mu stworzyć pojedynczy proces Markova do wyceny opcji azjatyckich.

T.-S. Dai, J.-Y. Wang oraz H.-S. Wei przedstawili nowatorską metodę (adaptive

placement method) wyceny opcji o średniej cenie [34]. Podstawową ideą tej metody jest

stworzenie rekursywnego algorytmu, który będzie limitował błąd liniowej interpolacji pomiędzy sąsiadującymi średnimi.

N. Ju oraz R. Zhong zaproponowali obliczenie gęstości średniej arytmetycznej w procesie Markova [80]. To podejście zostało następnie użyte do wyceny opcji azjatyckich. Zostało również udowodnione, że jak długo istnieją analityczne formuły do wyliczenia zdyskontowanej ceny obligacji, tak długo można wyprowadzić analityczne formuły na funkcję gęstości oraz cenę opcji azjatyckiej. Autorzy przedstawili elastyczną oraz bardzo efektywną numeryczną metodę do wyliczenia średniej funkcji gęstości, gdy zmiana cena instrumentu bazowego jest opisana ze pomocą geometrycznego ruchu Browna (rozkład ceny jest lognormalny). Oparta jest ona na transformacie Fouriera. Transformaty Fouriera do wyceny opcji azjatyckich użył też E. Benhamou w swojej pracy [16].

Metody splotów do wyceny opcji użyli A. Carverhill oraz L. Clewlow [26]. Natomiast C.-H. Shu zaprezentował połączenie transformaty Fouriera z metodą splotów do wyceny opcji azjatyckich i tym samym stworzył model splotów Fouriera [140].

Przedstawione metody świadczą o tym, że sposoby wyceny opcji ciągle ewoluują w stronę bardziej zawansowanych matematycznie metod. Jest to spowodowane popytem na takie metody, gdyż zamawiający je są przekonani, że im bardziej skomplikowane modele będą używać, tym lepsze wyniki otrzymają (tym precyzyjniej określą cenę opcji). Lepsze modele oczywiście, według mniemania zamawiających, mają się przekładać na wyższe zyski banków. Nie zawsze jednak, bardzo skomplikowane modele, są implementowane w praktyce, gdyż zarządzający ryzykiem w bankach, nie mają wystarczającej wiedzy, aby je zaakceptować i w związku z tym, wolą model mniej dokładny, ale za to prostszy.

128

5. Opracowanie strategii opcyjnych