Badanie możliwości tranzytu A 4

W rozdziale 4.12 zastąpiono trójwymiarową przestrzeń kartezjańską przez 9 wymiarową przestrzeń współrzędnych złączowych _____ , w której istnieją pod-zbiory związane z komórkami będące zbiorami rozwiązań A4

C⁴, D⁴ dla ruchomych punktów charakterystycznych B, C, D to podzbiory podprzestrzeni, które powstają przez ograniczenie liczby wymiarów w głównej 9 wymiarowej przestrzeni współrzędnych złączowych . Indeks górny w oznaczeniach zbio-rów rozwiązań informuje, że rozważany jest czwarty etapu ruchu.

Należy przetłumaczyć wcześniej podane w rozdziale 7.2 cztery warunki na operacje umożliwiające sprawdzenie możliwości tranzytu A4

między dwoma sąsiednimi komórkami. Problem polega na wyznaczeniu dwóch punktów leżących bardzo blisko siebie - jednego w jednej komórce i drugiego w sąsiedniej. Jest to równoznaczne ze spełnieniem warunków 2, 3 i 4. Punkty muszą leżeć blisko ścianki oddzielającej obie komórki lub na ściance. Poszuki-wane są punkty odpowiadające rozwiązaniom dopuszczalnym przez zbiory rozwiązań A4

obu komórek. Wystarczy w zbiorze rozwiązań A4

komórki pierwszej znaleźć, co najmniej jedną parę uporządkowaną 1

(_____)_k1 o wartościach elementów równych lub bliskich wartościom dla innej pary uporządkowanej ²()_k2 należą-cej do zbioru rozwiązań A⁴ drugiej komórki. Znalezienie, co najmniej dwóch par uporządko-wanych oznacza istnienie poszukiuporządko-wanych punktów i możliwy tranzyt pomiędzy dwoma są-siednimi komórkami.

Sprawdzenie możliwości tranzytu A⁴ pomiędzy dwoma sąsiednimi komórkami będzie zawsze wykonywane w ten sposób, że w zbiorze rozwiązań A⁴ komórki pierwszej będą po-szukiwane takie pary uporządkowane ¹()_k1, aby wszystkie warto-ści ich elementów były równe lub bliskie wartowarto-ści dla innych par uporządkowanych

2

(_____)_k2, ale już ze zbioru rozwiązań A4

drugiej komórki.

Zaproponowane podejście ma dwie zalety. Pierwszą jest eliminacja wszystkich możli-wych błędów mogących się pojawić przy wyznaczaniu tranzytów zgodnie z czterema wcze-śniej podanymi warunkami. Są to jedynie warunki konieczne, a nie konieczne i wystarczające, co oznacza, że pomimo ich spełnienia tranzyty A4

mogą w ogóle nie być możliwe. W uzasad-nieniu pomoże sytuacja przedstawiona na Rys. 7.3-1. Przyjmijmy, że dwie komórki 5 i 6 są-siadują ze sobą. Manipulator, aby dojść do komórek musi ominąć na swojej drodze istniejącą przeszkodę, co ogranicza możliwość dojścia do komórki 5 tylko z lewej strony. Do komórki numer 6 manipulator może dojść tylko od strony przeciwnej. Założono, że końcówka manipu-latora może w obu komórkach osiągnąć pozycję bardzo bliską ścianki oddzielającej komórki

5 i 6 oraz położenie tych obu punktów będzie bardzo bliskie sobie. Jednak w obu

przypad-kach będą to punkty skrajne jakie może osiągnąć manipulator. Dalej ze względu na inne ogra-niczenia nie może już się przesunąć. Oznacza to brak możliwego tranzytu A4. Końcówka ro-bocza nie może przejść z komórki numer 5 do 6, ani odwrotnie z komórki 6 do 5 pomimo spełnienia wszystkich wcześniej podanych czterech warunków. Stąd wniosek, że spełnienie

warunków jest konieczne dla istnienia tranzytu A4, ale z faktu, że są one spełnione nie wynika jeszcze, że tranzyt A4

będzie możliwy. a)

b)

c)

Rys. 7.3-1. Przykład sytuacji, gdy efektor w komórce 5 i komórce 6 może osiągnąć położenie bardzo bli-skie sobie, a mimo to nie jest możliwy tranzyt A⁴ pomiędzy komórkami.

Obszar możliwy do osiągnięcia przez końcówkę roboczą podążającą od strony lewej i prawej został zaznaczony odpowiednio kolorem niebieskim i żółtym. Strzałki na rysunkach 7.3-1 a) i b) oznaczają kierunek dochodzenia do ścianki dzielącej komórki 5 oraz 6.

Udowodniono tym samym, że badanie tranzytów A⁴ polegające na sprawdzeniu wartości współrzędnych kartezjańskich położenia końcówki roboczej jest zawodne. Opisana procedura sprawdzania wartości par uporządkowanych () w zbiorach roz-wiązań A4

sąsiednich komórek jest niezawodna i do opisanych wyżej błędów nie dochodzi. Dla sytuacji przedstawionej na Rys. 7.3-1 komplet współrzędnych złączowych

 dla manipulatora dochodzącego do ścianki pomiędzy komór-kami 5 i 6 od strony lewej będzie się istotnie różnił od kompletu współrzędnych złączowych

 dla tego samego manipulatora dochodzącego do tej samej ścianki od strony prawej. Niektóre wartości współrzędnych złączowych w obu kompletach mogą mieć bliskie wartości, lecz nie wszystkie. W obu przypadkach manipulator, aby dojść do komórek musi ominąć na swojej drodze wspomnianą przeszkodę, co ogranicza możliwość dojścia do komórki. Rozwiązanie realizowane jest w inny sposób – przez przyjęcie innego ułożenia swoich członów względem siebie. Proponowana procedura sprawdzania wartości par uporządkowanych (_____) w zbiorach rozwiązań A4

sąsiednich komó-rek zawsze wykluczy błędne sytuacje jak te przedstawione na Rys. 7.3-1.

Drugą zaletą tego podejścia do sprawdzenia, czy możliwy będzie tranzyt A4

pomiędzy dwoma sąsiednimi komórkami jest fakt, że wyznaczana trajektoria uzyskiwana jest jedno-znacznie w postaci ciągu kolejnych wartości, jakie muszą przyjąć współrzędne złączowe w kolejnych chwilach czasu. Unika się rozwiązywania zadania odwrotnego kinematyki.

Należy określić o jaką wartość maksymalnie mogą się różnić wartości poszczególnych współrzędnych złączowych w parach uporządkowanych c1(_____)_k1 i

c2()_k2 aby był możliwy tranzyt pomiędzy sąsiednimi komórkami oznaczonymi indeksami c₁ oraz c₂. Przyjmijmy, że dla każdej współrzędnej złączowej war-tość bezwzględna tej różnicy nie może być większa od parametru ε₁ o zadanej z góry warto-ści. Załóżmy, że będzie on kilkakrotnie większy od kroku z jakim próbkowano każdą ze współrzędnych złączowych podczas dyskretyzacji jej przedziału wartości. Nie można ustalić wartości ε1 niższej niż wartość kroku dyskretyzacji. W przeciwnym wypadku nie będą istnieć pary uporządkowane c1()_k1 i ^c2()_k2 dla których tranzyt pomiędzy sąsiednimi komórkami indeksami c1 oraz c₂ byłby możliwy.

Następnym zagadnieniem jest ustalenie warunku dla przejścia do kolejnej komórki i związanych z tym możliwych odchyłek w ruchu manipulatora. Należy sprawdzić czy elemen-ty manipulatora nie wyjdą poza przestrzeń wolną. W elemen-tym celu wprowadzony zostanie drugi parametr ε₂ o zadanej wartości. Parametr określa dopuszczalne odchyłki wartości współrzęd-nych kartezjańskich _ , _ , _ położenia punktów charakterystycznych w trakcie przejścia efektora pomiędzy dwoma sąsiednimi komórkami, czyli tranzytu A4. Odchyłki wyznaczane są stosując różniczki zupełne policzone dla współrzędnych _ , _ , _ danego ruchomego punk-tu charakterystycznego. Dla efektora, którego położenie jest funkcją dziewięciu współrzęd-nych złączowych  opisany warunek można wyrazić następująco:

   

 

   

 

   

 

9 1 _{0 0} 2 1 9 1 _{0 0} 2 1 9 1 9 2 1 9 0 0 9 , , , , , , A s s A s s A s s s s s q q q q q q q q q q q q                            _{    }          







(7.3-1) gdzie:

_ , _ , _ - współrzędne w układzie punktu stałego (_{ ,} _{ ,} _)

_ , _ , _ - współrzędne _ , _ , _{ położenia ruchomego punktu charakterystycznego A}

w układzie punktu stałego (_{ ,} _{ ,} _).

_ , _ , _ - różniczki współrzędnych _ , _ , _

s – indeks numerujący współrzędne złączowe

q1,…,q9 – współrzędne złączowe _____.

(q1)0 ,…, (q9)0 – wartości współrzędnych złączowych _____punktu należącego do komórki dla której bada się możliwość wystąpienia tranzytu A do sąsiedniej komórki.

Wielkości |_|, |_|, |_| to wartości bezwzględne różniczek współrzędnych _ , _ ,

_ i należy je traktować jako odchyłki ruchu w trakcie tranzytu A⁴. Ich przybliżona wartość jest znajdowana na podstawie szeregu Taylora funkcji wielu zmiennych po odrzuceniu wyra-zów wyższych rzędów. Wielkość δq_s to różniczka s-tej współrzędnej złączowej za którą pod-stawiamy różnice w wartościach współrzędnej złączowej w parach uporządkowanych

c1()_k1 i ^c2()_k2, dla których badamy tranzyt A⁴. Przez ∂qs ^{oznaczono skrócony zapis pochodnej cząstkowej po s-tej współrzędnej}

złączowej.

Znane są wartości współrzędnych złączowych dla par uporządkowanych

c1(_____)_k1 i ^c2(_____)_k2, dla których badany jest tranzyt A⁴. Możliwe jest wyliczenie współrzędnych położenia efektora _ , _ , _ od-powiadającym obu kompletom współrzędnych złączowych. Pozwala to na zastąpienie wzoru (7.3-1) prostszym, nie stosującym szeregu Taylora, a więc różniczkowania:

   

   

   

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 4 , , 2 4 4 , , 2 4 4 , , 2 c c A A A k A A k c c A A A k A A k c c A A A k A A k m m m m m m                                            (7.3-2)

W wzorze (7.3-2) pary uporządkowane c1(_____)_k1 i

c2()_{k2 oznaczono odpowiednio przez} ^c1m⁴_A,k1 i ^c2m⁴_A,k2 .

Dla pozostałych punktów charakterystycznych warunki (7.3-1) i (7.3-2) będą podobne. Różnica polega na zależności położenia tych punktów od mniejszej liczby współrzędnych złączowych. Należy to uwzględnić w wzorach na różniczki zupełne modyfikując wzory (7.3-1). W wzorze (7.3-2) konieczna jest zmiana indeksów w oznaczeniach współrzędnych punktu charakterystycznego i par uporządkowanych.

Do sprawdzenia drugiego warunku posłuży wzór (7.3-2), który podaje dokładne wartości odchyłek współrzędnych _ , _ , _ . Badając możliwość tranzytu A⁴ sprawdza się warunek dla punktu charakterystycznego A (efektor) oraz dla wszystkich pozostałych ruchomych punktów charakterystycznych znajdujących się w danym etapie ruchu na łańcuchu kinema-tycznym pomiędzy punktami A oraz T.

Wzory (7.3-1) i (7.3-2) sprawdzają odchyłki ruchu narzędzia przy założeniu, że jeśli róż-nice współrzędnych _ , _ , _ skrajnych położeń ruchomych punktów charakterystycznych w trakcie tranzytu A⁴ będą niewielkie, to w trakcie przejścia narzędzia pomiędzy sąsiednimi komórkami odchyłki w ruchu narzędzia też będą niewielkie, co oznacza niewielkie prawdo-podobieństwo wyjścia narzędzia poza obszar przestrzeni wolnej. Wzór (7.3-1) może być pod-stawą do dalszych analiz zagadnienia.

Drugi warunek (ze względu na parametr ε2) nie jest warunkiem koniecznym dla istnienia tranzytu A⁴. Pierwszy warunek wystarcza do istnienia tranzytu A⁴ (ze względu na parametr ε1). Zadaniem drugiego warunku jest odrzucenie tranzytów A⁴, podczas których odchyłki ru-chu będą na tyle duże, że manipulator może znaleźć się poza przestrzenią wolną. Może wy-stąpić sytuacja, że pomimo spełnienia pierwszego warunku istnienia tranzytu A4

pomiędzy dwoma sąsiednimi komórkami, to ze względu na niespełnienie drugiego warunku możliwość przejścia efektora pomiędzy komórkami należy odrzucić.

Konieczność badania drugiego warunku wynika z faktu, że zbiory rozwiązań A4

wszyst-kich komórek są zbiorami dyskretnymi o skończonej liczbie elementów. Jest to wynikiem dyskretyzacji współrzędnych złączowych. Jeżeli wartość kroku przy dyskretyzacji była duża to na podstawie zaproponowanego algorytmu nie można ustalić czy manipulator nie wyjdzie poza przestrzeń wolną w czasie ruchu pomiędzy dwoma kolejnymi jego położeniami

dopusz-czalnymi przez zbiór rozwiązań. Stąd wyznaczając tranzyty A4

w przypadku, gdy wartości współrzędnych złączowych między dwoma parami uporządkowanymi będą różnić się o kilka wartości kroku dyskretyzacji, należy sprawdzać drugi warunek. Jeśli wartość kroku użyta przy dyskretyzacji współrzędnych złączowych była bardzo mała to można przyjąć, że w trak-cie tranzytu A⁴ manipulator nie wyjdzie poza obszar przestrzeni wolnej i pominąć sprawdza-nie drugiego warunku.

Parametry ε1 i ε2 nie są od siebie niezależne, pomimo że każdy z nich dobierany jest in-dywidualnie. Parametr ε1 zależy od ε2 tak, że gdy wartość ε2 maleje to należy przyjąć mniej-szą wartość ε1. Zależność tą zapisano za pomocą dwóch relacji matematycznych:

2 1

   (7.3-2)

2 1

   (7.3-3) Zakładając możliwość wyznaczenia wartość parametru ε1 na podstawie ε2 należy zauwa-żyć, że ε1 nie jest wyłącznie funkcją parametru ε2, lecz również współrzędnych złączowych

_____. Stąd wyznaczanie takiej zależności jest niecelowe. Praktycznie należy założyć z góry określone wartości parametrów ε1 oraz ε2 .

Rozważmy czy na podstawie istnienia możliwości tranzytu A4

z komórki numer 1 do komórki numer 2 jednoznacznie wynika możliwość tranzytu A4

w przeciwną stronę z komór-ki 2 do komórkomór-ki 1. Tranzyt zawsze jest ruchem skomór-kierowanym od jednej do drugiej komórkomór-ki. Fakt, że istniałaby możliwość tranzytu A4

od komórki 1 do komórki 2 oraz możliwość prze-ciwnego tranzytu A⁴ od komórki 2 do 1 byłby związany dwoma różnymi ułożeniami manipu-latora - końcówka robocza podchodzi do ścianki pomiędzy komórkami 1 i 2 z przeciwnych kierunków. Przyjęto, że tranzyty A4

przeciwne zawsze są możliwe, ale oznacza to jedynie wycofywanie narzędzia. W ogólnym przypadku z istnienia tranzytu A⁴ w jednym kierunku nie wynika możliwość tranzytu w kierunku przeciwnym. Dotyczy to również pozostałych rodzajów tranzytów: B, C D oraz A dla wcześniejszych etapów ruchu.

Dla możliwości wystąpienia tranzytu A⁴ pomiędzy sąsiednimi komórkami c1 oraz c2 wy-starczy co najmniej jedna para uporządkowana ^c1(_____)_k1 i

c2()_k2 o wartościach bliskich sobie. Wystąpienie tylko jednej pary oznacza praktyczny problem w ruchu manipulatora. Wtedy przestrzeń wolna może mieć kształt zbliżony do klepsydry i należy przesunąć narzędzie (manipulator) z jednego położenia do drugiego przez przewężenie o grubości porównywalnej do średnicy członów manipulatora. Niewielka odchyłka od właściwej trajektorii może spowodować, że manipulator nie przemie-ści się przez przewężenie. Opisana sytuacja jest wyjątkowa i występuje rzadko.

Dla rozważanego problemu prowadzenia narzędzia chirurgicznego istnienie wąskich przewężeń w ruchu manipulatora może być spowodowane przyczynami:

- błędnie przeprowadzoną budową modelu ludzkiego ciała – źle wyznaczona lub zbyt mała przestrzeń wolna, brak lub niewłaściwie wykonana optymalizacja podziału przestrzeni wolnej na komórki.

Rozwiązanie: Należy ponownie poprawnie zbudować model ciała pacjenta i powtó-rzyć całą procedurę dla tego nowego modelu.

- zbyt małym krokiem próbkowania wartości współrzędnych złączowych. Wąskie przekro-je przejścia nie są spowodowane uwarunkowaniami geometrycznymi obszaru przestrze-ni wolnej, lecz małą liczbą par uporządkowanych (_____) w zbiorach rozwiązań A4

komórek spowodowaną niepoprawnie poprowadzoną dyskrety-zacją wartości współrzędnych złączowych.

Rozwiązanie: powtórzyć proces dyskretyzacji z mniejszym krokiem i wyznaczyć ponownie zbiory rozwiązań.

- kształtem przestrzeni wolnej, przy założeniu poprawnego jej wyznaczenia. Rozwiązanie: Brak rozwiązania. Nie można usunąć przewężenia.

Wyznaczanie tranzytów A⁴ przeprowadza się dla każdej komórki przestrzeni wolnej. Sprawdzana kolejno możliwość tranzytów A z danej komórki do kolejnych jej sąsiadów.

W dokumencie Index of /rozprawy2/10395 (Stron 111-118)