Wyznaczanie zwrotów tranzytów

Definiując pojęcia tranzytów Ai

, Bⁱ, Cⁱ, Dⁱ (i to numer etapu ruchu) oraz sposobu ich wy-znaczania w rozdziałach 7.1  4 nie określono sposobu ustalenia ich zwrotu. To zagadnienie jest istotne, ponieważ informacja o możliwych tranzytach jest zapisywana w postaci zbiorów

Eⁱ_A, Eⁱ_B, Eⁱ_C, Eⁱ_D oraz Tⁱ_A,c , Tⁱ_A,c , Tⁱ_A,c , Tⁱ_{A,c1 , a następnie ilustrowana graficznie} wykorzy-stując grafy tranzytów (GA)ⁱ, (G_B)ⁱ, (G_C)ⁱ oraz (G_D)ⁱ. Oba rodzaje zbiorów wymagają ustalenia zwrotów tranzytów. Grafy tranzytów są zawsze grafami skierowanymi (digrafami), budowa-nymi z wykorzystaniem drugiej konwencji opisanej w rozdziale 7.6. Przy tworzeniu digrafu nie uwzględnia się tzw. tranzytów przeciwnych, związanych z cofaniem narzędzia.

Poniżej opisano procedurę ustalania zwrotu tranzytów A4

dla przejść ruchomego punktu charakterystycznego A (efektora) pomiędzy sąsiednimi komórkami w 4-tym etapie ruchu. Przedstawiono sposób wyznaczania zwrotu tranzytu A⁴ oparty na analizie ruchu punktu cha-rakterystycznego A w układzie związanym z efektorem. Metoda dla części przypadków może nie wyznaczać poprawnie zwrotu tranzytu A4

. Z tego powodu opisano drugą metodę bez sto-sowania zaawansowanego aparatu matematycznego.

METODA PIERWSZA

ANALIZA RUCHU EFEKTORA W UKŁADZIE ZWIĄZANYM Z EFEKTOREM Do wyznaczenia zbiorów E⁴_A oraz T⁴_A,c należy przyjąć sposób określania zwrotu tranzy-tu A⁴ między dwoma sąsiednimi komórkami. Do wyznaczenia zwrotu tranzytu A⁴ i spraw-dzenia czy następuje np. cofanie się narzędzia posłużymy się układem współrzędnych zwią-zanych z ruchomym punktem charakterystycznym A (efektorem) i przykładami pokazanymi na rysunkach (Rys. 7.7-1) i (Rys. 7.7-2).

Rys. 7.7-1. Wyznaczanie zwrotu tranzytu A⁴ pomiędzy komórkami 5 i 6 od lewej strony. Tranzyt A⁴ ma zwrot od komórki 5 do 6. Przeciwny zwrot oznacza wycofywanie narzędzia.

Rys. 7.7-2. Wyznaczanie zwrotu tranzytu A⁴ pomiędzy komórkami 5 i 6 od prawej strony. Tranzyt A⁴ ma zwrot od komórki 6 do 5. Przeciwny zwrot oznacza wycofywanie narzędzia.

Na rysunkach przedstawiono przykład badania możliwości tranzytu A⁴ pomiędzy ko-mórkami 5 i 6. W obu przypadkach narzędzie podchodzi do ścianki 5-6 od innej strony. Za każdym razem badana jest możliwość tranzytu A4

z komórki 5 do 6. Na Rys. 7.7-1 pokazano sytuację, gdy narzędzie podchodzi do ścianki rozdzielającej komórki 5 i 6 od lewej strony. Tranzyt A⁴ pomiędzy komórkami jest możliwy, gdy w zbiorach rozwiązań A⁴ obu komórek zostaną wyznaczone co najmniej dwa komplety (jeden dla jednej komórki, drugi dla drugiej) współrzędnych złączowych  o nieznacznie się różniących warto-ściach. Każdemu z kompletów współrzędnych złączowych odpowiada jeden punkt. Na Rys. 7.7-2 pierwszy punkt znajduje się w komórce numer 5, drugi w komórce numer 6. Współ-rzędne 4

4

4

 położenia (w układzie punktu stałego ) obu punktów można wyznaczyć korzystając z macierzy transformacji:

   

4 4 4 _{3 3 3 1} 0 1            ΣA ΣA ΣA R t T (7.7-1)

Wektor t⁴A to współrzędne  końcówki roboczej względem układu punktu stałego

___ w 4-tym etapie ruchu. Współrzędne punktu oznaczono 4

4

4

Są one funkcjami współrzędnych złączowych _____. Układ współrzędnych związany z punktem stałym  nie jest odpowiednim układem do opisu lokalnego ruchu

efek-tora, a ściślej do badania, czy przechodząc między komórkami wykonuje on ruch do przodu, czy się cofa. Dlatego należy zastosować układ związany z efektorem zaczepiony w pierw-szym punkcie, od którego jest badany tranzyt A⁴ do drugiego punktu w sąsiedniej komórce. Efektor w drugim punkcie może mieć inną orientację. Ponieważ efektor ma możliwość ruchu, położenie oraz orientacja układu związanego z efektorem będą się zmieniać. Dla punktów 5 i

6 położenie oraz orientacja układu związanego z efektorem będą różne. Ponieważ wartości

współrzędnych złączowych  są bliskie, to różnica w orientacji układu współrzędnych związanego z efektorem w obu punktach będzie zaniedbywalnie mała. Można przyjąć założenie uproszczające, że orientacja układu związanego z efektorem w trak-cie tranzytu A⁴ nie ulega zmianie, co pokazano na rysunku Rys. 7.7-3.

Rys. 7.7-3. Dwa bliskie położenia efektora. Układy współrzędnych związane z efektorem mają bardzo podobną orientację. Można zastąpić oba układy współrzędnych jednym związanym z pierwszym położe-niem efektora.

Na rysunku Rys. 7.7-3 orientacja układu związanego z efektorem jest inna niż na rysun-kach Rys. 4.2-1, Rys. 4.5-1 oraz Rys. 4.5-2. Oś z na Rys. 7.7-3 jest skierowana wzdłuż osi efektora w kierunku na zewnątrz. Przyjęcie odmiennej orientacji układu efektora, jak na Rys. 7.7-3 pozwala na sprawdzanie, czy efektor podczas tranzytu A⁴ porusza się do przodu, czy się cofa (wyznaczenie zwrotu tego tranzytu) przez porównanie wektora przesunięcia z wersorem osi z. Często w opisie robotów oś z ostatniego układu współrzędnych związanego z efektorem pokrywa się z osią efektora, a zwrot był od narzędzia w kierunku zewnętrznym.

Aby uzyskać orientację osi układu efektora jak na Rys. 7.7-3 należy wykonać dwie na-stępujące po sobie operacje obrotu układu O(x6, y6, z6). Układ O(x6, y6, z6) jest to układ zwią-zany z efektorem, przedstawiony na rysunkach Rys. 4.1-1, Rys. 4.4-1 oraz Rys. 4.4-2. Jego orientacja jest inna niż wymagana do dalszych rozważań. Pierwsza operacja to obrót wzglę-dem osi z₆ o kąt wynoszący – /2. W wyniku uzyskuje się układ oznaczony przez O(x₇, y₇, z₇). Następna operacja to kolejny obrót o kąt wynoszący – /2, ale tym razem względem osi x₇. Uzyskuje się układ oznaczony O(x8, y8, z8) o orientacji jak na rysunku. W dalszych

rozważa-niach współrzędne w układzie O(x8, y8, z8) (układ związany z efektorem o zmienionej orienta-cji) są oznaczane z pominięciem indeksu 8 przez x, y, z. Pozwala to odróżnić je od współrzęd-nych  określających położenie względem układu punktu stałego .

Dalsze rozważania wymagają znalezienia macierzy określającej orientację układu współ-rzędnych związanych z efektorem już po zmianie tej orientacji. W tym celu macierz R4

A trzeba przemnożyć przez macierze R7 i R8 dane wzorami:

4 7 8   _ΣA  R R R R (7.7-2) 7 0 1 0 1 0 0 0 0 1      _{ }     R (7.7-3) 8 1 0 0 0 0 1 0 1 0             R (7.7-4)

Położenia pierwszego punktu względem przyjętego układu współrzędnych nie trzeba wyznaczać, ponieważ układ jest zaczepiony w tym punkcie. Do wyznaczenia położenia dru-giego punktu należy wykorzystać znajomość położenia obu punktów w układzie punktu sta-łego  i znajomość ogólnej postaci macierzy rotacji R⁴_A o wymiarach 33. Wy-znaczane są wartości liczbowe elementów podstawiając wartości współrzędnych złączowych

_____ dla pierwszego punktu oznaczanego przez P₁. Drugi punkt ozna-czymy przez P2. Oba punkty są skrajnymi położeniami efektora. Macierz R⁴_A jest przemna-żana przez macierz R7, a następnie przez R8, co jest równoznaczne z zmianą orientacji układu związanego z efektorem na pokazaną na Rys. 7.7-3. Znajdowana jest macierz odwrotna do iloczynu macierzy: R⁴AR7R8. Położenie punktu P2 wyznaczymy z wzoru (7.7-5). Macierze obrotów są ortogonalne. Pozwala to przekształcić wzór (7.7-5) do postaci (7.7-6).

 

 

2 2 1 2 1 ^{2 1} 2 2 1 4 8 1 7 P P P P P P P P P P x y z                                      _   _   _       ΣA R R R (7.7-5)

 



1



2 2 1 2 2 1 2 2 1 4 7 8 P P P P P P P P P P T x y z                                     _   _   _       ΣA R R R (7.7-6) gdzie:

_P1, _P1, _P1 – współrzędne kartezjańskie położenia efektora w punkcie P₁ względem układu punktu stałego ___

_P2, _P2, _P2 – współrzędne kartezjańskie położenia efektora w punkcie P₂ względem układu punktu stałego ___

x_P2, y_P2, z_P2 – współrzędne kartezjańskie położenia efektora w punkcie P₂ względem ukła-du związanego z efektorem znajukła-dującym się w punkcie P1.

(R⁴A)_P1 – macierz rotacji R⁴A , której wartości elementów wyznaczono dla współrzęd-nych złączowych określających położenie efektora w punkcie P1.

R7, R8 – macierze zmieniające orientacje układu związanego z efektorem.

Analizując położenie punktu P2 względem układu związanego z efektorem i zaczepione-go w punkcie P1, można ocenić, czy efektor podczas tranzytu A4

będzie wykonywał ruch do przodu, czy też będzie się cofał. Mając tą informację możliwe jest przyjęcie właściwego zwrotu tranzytu A⁴. Powracając do sytuacji przedstawionych na rysunkach Rys. 7.7-1 i Rys. 7.7-2, właściwy zwrot tranzytu A⁴ został wyznaczony następującą metodą:

- Na Rys. 7.7-1 narzędzie podchodzi do ścianki pomiędzy komórkami od strony lewej. Patrząc na orientację układu współrzędnych związanego z efektorem i zaczepionego w punkcie pierwszym P1 (leżącym w komórce 5) można zauważyć, że przejście pomiędzy komórkami 5 i 6 związane jest z ruchem efektora do przodu. Zwrot tranzytu A4

należy przyjąć od komórki 5 do komórki 6.

- Sytuacja na Rys. 7.7-2 jest odmienna. Badany jest tranzyt A⁴ pomiędzy komórkami 5 i

6 zaczynając w komórce 5. Aby narzędzie mogło przemieścić się do komórki 5 musi

przejść przez ściankę 5-6 podążając od prawej strony, co pokazano na rysunku. Orien-tacja efektora w pierwszym punkcie P1 (leżącym w komórce 5) będzie inna oraz inna będzie orientacja układu związanego z tym efektorem i zaczepionego w wspomnianym punkcie P1. Jeżeli efektor przejdzie od komórki 5 do komórki 6 to przy aktualnej orien-tacji układu współrzędnych będzie to równoznaczne z wycofaniem narzędzia. Stąd zwrot tranzytu A⁴ musi być od komórki 6 do komórki 5.

Wartości współrzędnych punktu P1 w układzie związanym z efektorem (przy położeniu i orientacji tego układu, gdy efektor znajduje się w punkcie P1) wynoszą 0, 0, 0. W takim ukła-dzie współrzędne punktu P2 są oznaczone przez x_P2, y_P2, z_P2 i wyrażone wzorem (7.7-5). Wek-tor mający początek w punkcie P₁ oraz koniec w punkcie P₂ jest wektorem przemieszczenia się efektora w trakcie tranzytu A4

. Wektor ten oznaczono przez _{P P}

1 2

Δr . Wektor ten ma w przestrzeni ustalony zwrot, kierunek oraz wartość, które nie zależną od przyjętego układu

współrzędnych. W układzie związanym z efektorem wektor _{P P}

1 2

Δr ma współrzędne [x_P2 , y_P2 , z_P2]. Wektor _{P P}

1 2

Δr może posłużyć do określania zwrotu tranzytu A4

. Znajdowany jest rzut na oś z iloczynu wektorowego wersora osi x oraz wektora _{P P}

1 2

Δr , a następnie normalizowana jest jego wartość zgodnie z wzorem (7.7-7). Interpretacja geometryczna tego rzutu przedsta-wiono na Rys. 7.7-4. Znajdowany jest rzut wektora _{P P}

1 2

Δr na oś z i normalizowany zgodnie z wzorem (7.7-8). Występujące we wzorach cos(1) i cos(2) to cosinusy kierunkowe, mogą przyjmować wartości z przedziału [-1 ; 1]. Na ich podstawie ustala się zwrot tranzytu.

 

1

cos

ˆ

ˆ

ˆ

  ^{ }



_{P P} 1 2 P P_{1 2}

x Δr z

x Δr

^(7.7-7) 2

cos ˆ

 

_{P P}



1 2 P P_{1 2}

Δr

Δr

z

(7.7-8) gdzie:

ˆx

– wersor osi x w układzie związanym z efektorem, który ma położenie oraz orientację, dla efektora znajdującego się w punkcie P₁

ˆz

– wersor osi z w układzie związanym z efektorem, który ma położenie oraz orientację, dla efektora znajdującego się w punkcie P1

P P_{1 2}

Δr  wektor zmiany położenia efektora (ruchomego punktu charakterystycznego A w trakcie tranzytu A⁴)

Rys. 7.7-4. Kierunek poruszania się efektor można wyznaczyć na podstawie wektora będącego iloczynem wektorowym wersora osi x i wektora przesunięcia, a ściślej jego rzutu na oś z.

Ustalenie zwrotu tranzytu A⁴ wyłącznie na podstawie rzutu wektora _{P P}

1 2

Δr (wektor zmiany położenia efektora) na oś z układu związanego z efektorem jest błędne. W niektórych przypadkach wartość tego rzutu może być ujemna, a ruch efektora może być uznany za ruch

w przód. Dlatego wyznaczana jest wartość rzutu na oś z iloczynu wektorowego wersora osi x oraz wektora _{P P}

1 2

Δr . Można przyjąć, że jeżeli cos(1) jest większy od zera to ruch narzędzia jest do przodu. W przeciwnym wypadku następuje cofanie narzędzia. Jednakże, gdy wektor

P P_{1 2}

Δr pokrywa się z osią z (lub ma kierunek zbliżony) to wartość cos(1) równa zero (lub bliska zero, gdy wektor _{P P}

1 2

Δr ma kierunek zbliżony do osi z). Wtedy w celu ustalenia zwro-tu tranzyzwro-tu A⁴ należy wykorzystać wartość cos(2). Gdy jest dodatnia to ruch narzędzia jest w przód, gdy natomiast ujemna to następuje cofanie narzędzia.

Podsumowując rozważania, aby wyznaczyć zwrot tranzytu A4

należy sprawdzić wartość cos(1). Jeżeli jest dodatnia i większa niż 0,1 to należy uznać, że efektor przemieszcza się w przód i należy przyjąć zwrot tranzytu A4

od punktu P1 do punktu P2. Gdy wartość cos(1) jest mniejsza niż 0,1 to należy przyjąć przeciwny zwrot. Dla wartości cos(1) z przedziału od -0,1 do 0,1 należy sprawdzać wartość cos(2). Gdy jest dodatnia to efektor przemieszcza się w przód i należy przyjąć zwrot tranzytu A4

od punktu P₁ do punktu P₂. Dla ujemnych warto-ści cos(2) należy przyjąć zwrot przeciwny.

Opisana metoda jest jednoznaczna. Jednak w części przypadków wyznaczone z jej po-mocą zwroty tranzytów A4

mogą być niepoprawne, co skutkuje błędnym grafem tranzytów (GA)⁴ i problemami z wyznaczeniem trajektorii dla narzędzia. Wynika to z faktu, że narzędzie jest redundantne oraz pomiędzy punktami charakterystycznymi B i C znajduje się para kine-matyczna, w której wykonywany jest ruch obrotowy wokół osi będącej jednocześnie osią członów 3 i 4. Powoduje to wiele możliwości ułożenia narzędzia, orientacji efektora, kierun-ku i zwrotu przemieszczenia efektora w trakcie tranzytu A⁴. Dlatego korzystając z lokalnego układu związanego z efektorem, trudno utworzyć ogólne warunki wyznaczające poprawnie zwrot tranzytu A⁴ dla każdego możliwego przypadku.

METODA DRUGA – ANALIZA POŁOŻENIA OSTATNIEGO CZŁONU W KOMÓRKACH PRZESTRZENI WOLNEJ

Druga metoda ustalania zwrotu tranzytu A⁴ jest mniej złożona. Polega na analizie poło-żenia członu, którego końcem (od punktu T) jest ruchomy punkt charakterystyczny, dla któ-rego bada się możliwość i zwrot tranzytu. W przypadku tranzytu A⁴ tym członem jest piąty człon łączący ruchome punkty charakterystyczne A oraz B. Dla dwóch par uporządkowanych

c1(_____)_k1 i ^c2(_____)_k2 dla których stwierdzo-no możliwość tranzytu A4

, ma miejsce przejście ruchomego punktu charakterystycznego A pomiędzy komórkami oznaczonymi indeksami c1 oraz c2. W poprzedniej metodzie przyjęto konwencję, że zwrot tranzytu A4

ru-chomym punkt charakterystycznym A (efektor) przemieszczał się zawsze do przodu i nie był wycofywany. Określenie przemieszczania narzędzia w przód lub wycofywania stanowi istot-nym problem przy badaniu zwrotu tranzytu A⁴ jest. Przyjmijmy definicję ruchu w przód. Za-łóżmy, że dla par uporządkowanych c1()_k1 i

c2(_____)_k2 istnieje możliwość tranzytu A⁴ i jego zwrot jest z komórki c₁ do komórki c₂. W takim przypadku koniec ostatniego członu (rozważany jest człon łączący punkty charakterystyczne A i B, a nie sam efektor) najpierw będzie znajdował się w komórce c₁, lecz nie będzie obecny w komórce c₂. Ta sytuacja wystąpi dla pary uporządkowanej

c1(_____)_k1. Następnie koniec tego członu przejdzie do komórki c2, ale część nadal pozostanie w komórce c1. Sytuacja ma miejsce dla pary uporządkowanej

c2(_____)_k2. Ten fakt można wykorzystać do badania zwrotu tranzytów A⁴. W celu ustalenia zwrotu tranzytu A⁴ dla dwóch par uporządkowanych

c1()_k1 i ^c2()_k2 należy:

1) Znaleźć współrzędne ___ ruchomych punktów charakterystycznych A oraz B (na podstawie wzorów zamieszczonych w rozdziale 4.11)

2) Podzielić odcinek |AB| na kilkadziesiąt punktów i wyznaczyć współrzędne ___

tych punktów (stosując wzory (6.4-11 ‚ 13))

3) Odcinek |AB| podzielić na cztery równe odcinki. Do dalszego sprawdzania brane będą współrzędne punktów podziału odcinka |AB| leżące na odcinku mającym jako jeden z końców ruchomy punkt charakterystyczny A.

4) Zwrot tranzytu A⁴ należy przyjąć od komórki c1 do komórki c2 jeżeli:

‒ dla pary uporządkowanej c1()_k1 punkty podziału będą należeć do komórki c1 i nie będzie żadnego punktu należącego do komórki c₂ ‒ dla drugiej pary uporządkowanej c2(_____)_k2 część punktów

podziału (blisko punktu A) będzie należeć do komórki c2, a część do komórki c1

5) W innym przypadku należy przyjąć zwrot tranzytu A⁴ od komórki c2 do komórki c1. Opisana metoda pozwala ustalić poprawny zwrot tranzytu A⁴. W szczególnych przypad-kach może dawać niepoprawne wyniki. Może się zdarzyć, że dla dwóch par uporządkowa-nych ^c1(_____)_k1 oraz ^c2(_____)_{k2 człon piąty} (łączący punkty A i B) znajduje się odpowiednio w komórce c1 i c2, lecz dla żadnej z tych dwóch par nie zachodzi sytuacja, aby jedna jego część znajdowała się w komórce c1, a druga w komórce c2. W takim przypadku należy korzystać z pierwszej metody.

Procedura wyznaczania zwrotu dla pozostałych tranzytów A¹, A², A³, B², B³, B⁴, C³, C⁴, D⁴ jest podobna. Przy ustalaniu zwrotu nie rozważa się ruchu całego narzędzia, lecz tylko

jego części pomiędzy ruchomym punktem charakterystycznym (dla którego zwroty jego tran-zytów są ustalone), a puntem T. Pozostała część narzędzia nie jest brana pod uwagę. W dru-giej metodzie rozważa się położenie członu, którego końcem jest ruchomy punkt charaktery-styczny, dla którego bada się możliwość tranzytów.

W dokumencie Index of /rozprawy2/10395 (Stron 126-134)