Dyskusja otrzymanych wyników

Niniejsza praca ma charakter analityczny. Teza rozprawy doktorskiej zakłada możliwość zaplanowania w sposób jednoznaczny trajektorii dla wieloczłonowego redundantnego narzę-dzia chirurgicznego stosując metody analityczne i elementy teorii grafów. Zdefiniowano cel główny pracy, który zmierzał do udowodnienia metodami analitycznymi prawdziwości po-stawionej tezy. Zdefiniowano cel dodatkowy - opracowanie modelu matematycznego będące-go rozwiązaniem oryginalnebędące-go problemu naukowebędące-go prowadzenia wieloczłonowebędące-go redun-dantnego narzędzia dla dalszego rozwoju i implementacji w ramach projektu badawczego (MNiSW 2376/B/T02/2010/38). Podano uzasadnienie podjęcia tematu. Wskazano ogranicze-nia istniejących metod opisu ruchu manipulatorów i konieczność opracowaogranicze-nia nowego opisu. Dowód prawdziwości postawionej tezy przeprowadzono na podstawie rozumowania ma-tematycznego zrealizowanego dla jednego wybranego typu narzędzia. Należy podkreślić ogólny charakter opracowanej metody i możliwości jej zastosowania dla innych typów narzę-dzi spełniających warunek, że środki par kinematycznych narzęnarzę-dzia są połączone członami, których oś jest wycinkiem prostej o końcach leżących w środkach tych par kinematycznych. Metoda nie ma zastosowania do planowania trajektorii narzędzi o krzywoliniowych członach. Ma to uzasadnienie praktyczne – taki kształt narzędzi utrudnia wprowadzanie przez trokar i dalszą penetrację ciała pacjenta. Wykazanie prawdziwości tezy dla jednego wybranego narzę-dzia jest jednoznaczne z udowodnieniem jej dla pozostałych typów narzędzi, spełniających podane ograniczenie kształtu. Wybrany konkretny rodzaj narzędzia pozwolił przedstawić opracowaną metodę w sposób ścisły, unikając możliwych niejasności.

W rozdziale 3 zdefiniowano problem naukowy, który został rozwiązany, dowodząc prawdziwości postawionej tezy. Postawiony problem łączy zagadnienia z zakresu analizy cyfrowych obrazów medycznych, modelowania komputerowego tkanek ludzkich, grafiki trójwymiarowej, programowania, automatyki, robotyki, mechaniki, teorii maszyn i mechani-zmów, anatomii oraz chirurgii. Przyjęto założenia ogólne, które musi spełniać opracowana metoda oraz przyjęto założenia upraszczające wynikające z konieczności zawężenia zakresu rozprawy doktorskiej. Są one zgodne z założeniami ogólnymi.

W rozdziale 4 udowodniono, że możliwa jest adaptacja opisu w notacji Denavita-Hartenberga na potrzeby opisu ruchu rozważanego narzędzia. Zdefiniowane zostały punkty charakterystyczne: efektor, podstawa oraz środki par kinematycznych, w których

wykonywa-ny jest ruch obrotowy zginający narzędzie. Ruch narzędzia podzielono na etapy i opisano osobnym modelem. Dla kolejnych etapów ruchu wzrastała liczba współrzędnych złączowych wymaganych do opisu ruchu narzędzia. Stopniowe wprowadzanie kolejnych członów narzę-dzia modelowano z użyciem wirtualnej pary kinematycznej, której ruch opisano współrzędną złączową . Uwzględniono ruch zewnętrznego ramienia robota. Zdefiniowano korekcje ce-lem powiązania ze sobą kompletów wartości współrzędnych złączowych dla następujących po sobie etapów ruchu. Przedstawiono modele matematyczne opisujące ruch narzędzia dla wszystkich czterech etapów ruchu oraz możliwe korekcje. Opisano sposób prowadzenia dys-kretyzacji współrzędnych złączowych. Opracowano jednoznaczny sposób zapisu informacji o wartościach kolejnych współrzędnych złączowych stosując do tego celu pary uporządkowane. Zapis umożliwił sformułowanie wzorów porównujących ze sobą komplety współrzędnych złączowych z różnych etapów ruchu.

W rozdziale 5 zdefiniowano przestrzeń wolną, czyli obszar w modelu ciała pacjenta, w którym narzędzie może w sposób bezpieczny być prowadzone bez szkody dla zdrowia pa-cjenta. Zaproponowano sposób podziału przestrzeni wolnej na mniejsze elementy (komórki) i ich opis za pomocą układu ośmiu prostych liniowych nierówności. Udowodniono, że korzy-stając z dwuwymiarowych obrazów przekrojów ciała pacjenta wykonanych w jednym ustalo-nym kierunku możliwe jest wyznaczenie modelu przestrzeni wolnej. Wskazano sposób zapisu granic przestrzeni wolnej (układy nierówności definiujące komórki przestrzeni wolnej) w układzie punktu stałego ___ względem, którego jest opisywany ruch narzędzia.

Udowodniono, że korzystając z modelu przestrzeni wolnej i modelu opisującego ruch na-rzędzia można wyznaczyć położenia, dla których części nana-rzędzia znajdujące się poniżej tro-kara nie wychodzą poza obszar przestrzeni wolnej. W rozdziale 6 zdefiniowano zbiory roz-wiązań Ai

, Bⁱ, Cⁱ oraz Dⁱ , wyznaczane niezależnie dla każdej komórki przestrzeni wolnej, których elementami są pary uporządkowane wartości współrzędnych złączowych oraz przed-stawiano sposób wyznaczania zbiorów rozwiązań na przykładzie zbioru rozwiązań A⁴ (czwar-ty etap ruchu). Podano matema(czwar-tyczną definicję zbiorów rozwiązań oraz sposób ich wyzna-czenie stosując metody analityczne. Dla narzędzia rozważanego w rozprawie doktorskiej ist-nieje 10 zbiorów rozwiązań: A¹, A², A³, A⁴, B², B³, B⁴, C³, C⁴, D⁴.

W rozdziale 7 zdefiniowano pojęcie tranzytów Ai

, Bⁱ, Cⁱ oraz Dⁱ czyli przejścia ruchome-go punktu charakterystyczneruchome-go między dwoma sąsiednimi komórkami w i-tym etapie ruchu. W trakcie tranzytu część narzędzia znajdująca się w ciele pacjenta łącząca końcówkę trokara i rozważany punkt nie wychodzi poza obszar przestrzeni wolnej. Wykazano, że można wyzna-czać tranzyty na podstawie zbiorów rozwiązań. Sformułowano matematyczne warunki

istnie-nia tranzytu. Opracowano metody wyznaczeistnie-nia zwrotu tranzytu. Wykazano, że można przed-stawić tranzyty Aⁱ, Bⁱ, Cⁱ i Dⁱ w postaci grafów tranzytów (GA)ⁱ, (GB)ⁱ, (GC)ⁱ, (GD)ⁱ.

Zdefiniowano tranzyty A^i-1Aⁱ, B^i-1Bⁱ, C^i-1Cⁱ w których następuje zmiana etapu ruchu z i-1 na i. Udowodniono, że stosując podobne warunki, jak dla tranzytów Aⁱ, Bⁱ, Cⁱ, Dⁱ możliwe jest badanie możliwości wystąpienia tego rodzaju tranzytów. W tym celu wprowadzono funk-cje, które pełnią rolę metryki. Opracowanie i zastosowanie tych funkcji stanowi istotne osią-gnięcie rozprawy doktorskiej. Pozwalają one na powiązanie ze sobą kompletów współrzęd-nych złączowych dla dwóch następujących po sobie etapów ruchu. Tranzyty Ai-1

Aⁱ, B^i-1Bⁱ, C

i-1

Cⁱ mogą zachodzić pomiędzy dwoma sąsiednimi komórkami lub w obszarze tej samej ko-mórki. Wymusiło to odmienną definicję zbiorów, które odpowiadają zbiorom E oraz T zdefi-niowanym wcześniej dla tranzytów Ai

, Bⁱ, Cⁱ, Dⁱ.

W rozdziale 8 wykazano konieczność weryfikacji dróg na grafach tranzytów (GA)ⁱ, w ce-lu sprawdzenia czy odpowiada im rodzina ciągłych i realizowalnych fizycznie trajektorii. W tym celu opracowano dwie metody. Metoda określona jako druga jest bardziej ogólna. Wyko-rzystuje teorię grafów. Opisano procedurę sklejania grafów tranzytów, pozwalającą na łącze-nie informacji z grafów tranzytów sporządzonych dla kolejnych etapów ruchu. Termin skleja-nie grafów skleja-nie funkcjonuje w teorii grafów. Użyto go do nazwania specjalnej procedury wy-korzystywanej do łączenia informacji zawartej na grafach tranzytów. Drogi z dwóch skleja-nych grafów tranzytów zostaną połączone tylko wtedy, gdy spełnione są dodatkowe warunki zapewniające, że połączonej drodze może odpowiadać rodzina ciągłych i realizowalnych fi-zycznie trajektorii. Przedstawione zasady sklejania grafów tranzytów są ogólne Wykazano, że możliwe jest połączenie w sposób użyteczny informacji zawartej na grafach tranzytów wy-znaczonych dla kolejnych etapów ruchu, w których stosowane są różne modele matematyczne opisujące ruch narzędzia. Wykazano, że możliwe jest wykorzystanie informacji zawartej na grafie (G_A,cont)⁴ oraz w zbiorach T do wyznaczenie trajektorii najpierw w postaci dyskretnych punktów w przestrzeni współrzędnych złączowych, a następnie wykazano, że możliwe jest zastosowanie procedur interpolacyjnych celem wyznaczenia ciągłej trajektorii. Stanowi to istotne osiągnięcie pracy.

W pracy podano metody pozwalające na uniknięcie rozwiązywania problemu odwrotne-go kinematyki, który w przypadku redundantnych narzędzi jest zazwyczaj trudny. Trajektoria jest wyznaczana w sposób jednoznaczny w przestrzeni współrzędnych złączowych. Uniknięto również niejednoznaczności wynikających z faktu, że danym współrzędnym położenia efek-tora w przestrzeni kartezjańskiej może odpowiadać wiele kompletów wartości współrzędnych złączowych. Zasadniczą zaletą metody jest zbadanie na drodze analizy matematycznej, czy danym narzędziem z zadanego punktu wejścia można dojść się do obszaru wykonywania ope-racji chirurgicznej.

Stosując wywód matematyczny wykazano prawdziwość postawionej tezy rozprawy dok-torskiej. Stosując metody analityczne oraz elementy teorii grafów możliwe jest zaplanowanie w sposób jednoznaczny trajektorii dla redundantnego wieloczłonowego narzędzia robota chi-rurgicznego. Cel główny rozprawy doktorskiej został osiągnięty. W ramach rozprawy doktor-skiej utworzono model, którą stanowi rozwiązanie oryginalnego problemu naukowego pro-wadzenia wieloczłonowego redundantnego narzędzia laparoskopowego. Metoda pozwala na planowanie trajektorii dla narzędzia opracowanego w ramach projektu badawczego 2376/B/T02/2010/38, co wykazano matematycznie. Przewidywany jest dalszy rozwój metody i jej późniejsza implementacja. Cel dodatkowy rozprawy doktorskiej został osiągnięty.

Należy podkreślić, że w pracy wykorzystywano złożony aparat matematyczny. Z tego powodu załączniku do pracy zamieszczono wykaz oznaczeń stosowanych w rozprawie dok-torskiej. Wymagane było wprowadzenie szeregu pojęć, których krótkie definicje zestawiono w załączniku. Na końcu pracy umieszczono spisy literatury, ilustracji i tabel.