Segmentacja brzegów narządów – przybliżenie za pomocą wielokątów

Procedura przedstawiona w poprzednim rozdziale umożliwia tworzenie teoretycznej przestrzeni wolnej, w której narzędzie chirurgiczne może być swobodnie prowadzone bez szkody dla zdrowia pacjenta. Brzegi przestrzeni wyznaczają w kolejnych płaszczyznach prze-kroju granice narządów, głównych naczyń i nerwów, będące zamkniętymi krzywymi. Prze-strzeń wolna ma skomplikowany kształt, co uniemożliwia zastosowanie jej prostego opisu matematycznego. Jednym z możliwych rozwiązań problemu jest proces segmentacji krzy-wych. Segmentacja sprowadza się do zastąpienia brzegów narządów będących krzywymi cią-głymi przez możliwie najlepiej oddający ich kształt wielokąt o bokach złożonych z prostych odcinków. Dla narządów wrażliwych wielokąty tworzy się zawsze na zewnątrz – wielokąt jest opisany na konturze narządu. W przypadku narządów odkształcalnych należy utworzyć wie-lokąt od wewnątrz – wiewie-lokąt będzie wpisany w brzeg narządu. Dla narządów odkształcal-nych podczas segmentacji brzegów dochodzi powiększenia przestrzeni wolnej. Przykład seg-mentacji dla obu typów narządów pokazano na Rys. 5.4-1.

Wykonując segmentację należy pamiętać, że jest przeprowadzana dla brzegów już po-większonych i pomniejszonych narządów. Dla każdego przekroju narządu przeprowadza się ją niezależnie. Zakłada się, że nie zachodzi potrzeba dopasowywania procesu segmentacji danego konturu do tego, jak proces przebiegał dla sąsiednich narządów, czy też nawet tego samego narządu, lecz w sąsiedniej kolejnej płaszczyźnie przekroju.

Rys. 5.4-1. Segmentacja brzegów narządów przez przybliżenie ich wielokątem

Na Rys. 5.4-2 pokazano przykład segmentacji konturów dla dwóch sąsiednich narządów w dwóch sąsiednich płaszczyznach przekroju - dla każdego konturu odpowiadający wielokąt ma inną liczbę wierzchołków.

Rys. 5.4-2. Segmentacja dla każdego konturu przebiega niezależnie

Segmentacje narządów można przeprowadzić na dwa sposoby. Pierwsza polega na wy-korzystaniu regresji wielomianowej oraz wzoru na styczną do funkcji w punkcie. Obszar na-rządów jest powiększany, albo pomniejszany (w zależności, czy zaklasyfikowany został do narządów czułych, czy odkształcalnych) stosując metody cyfrowego przetwarzania obrazów. Proponuje się wykorzystać do tego celu operacje morfologiczne - odpowiednio dylatacji i erozji. W niektórych przypadkach konieczne jest stosowanie bardziej złożonych operacji mor-fologicznych będących kombinacją obu wymienionych, celem uniknięcia możliwych błędów opisanych w rozdziale 5.3. Następnie dla przekształconego obrazu narządu znajdowany jest jego brzeg. Należy dokonać binaryzacji obrazu, tak, aby piksele należące do obszaru narządu miały wartość 1, otoczenia wartość równą 0. Następnie należy użyć filtru cyfrowego wyzna-czający laplasjan obrazu. W wyniku dostaje się obraz, na którym wartość różną od zera (rów-ną jeden) mają piksele, które tworzyły brzeg narządu na oryginalnym obrazie. Położenie każ-dego piksela jest określone przez współrzędną x, y, które przyjmują wartości całkowite. Wy-konywane jest sortowanie pikseli brzegu oraz ich parametryzacja przy pomocy parametru t,

który przyjmuje wartości liczb naturalnych. Parametryzacja jest przeprowadzana, aby od t równego 1 wraz ze wzrostem parametru t przemieszczać się do kolejnych pikseli brzegu na-rządu i poruszać się po tym brzegu w jednym ustalonym kierunku. Dla każdej wartości para-metru t są określone współrzędne x, y piksela, który odpowiada tej wartości parapara-metru t. Przedział zmienności parametru t jest dzielony na równe przedziały. Dla każdego przedziału parametru t sprawdzane jest czy wartościom x odpowiada tylko jedna wartość y. Jeżeli tak nie jest to wykonuje się dodatkowy podział, aby uzyskać przedziału parametru t spełniające ten warunek. Następnie dla każdego przedziału jest wykonywana regresja wielomianem stopnia czwartego, aby za jego pomocą przybliżyć brzeg narządu. Wartości współczynników wielo-mianu są wyznaczane metodą minimalnych kwadratów. Po wyznaczeniu wielowielo-mianu, w środku przedziału wyznaczana jest styczna. Ze stycznych wyznaczonych dla kolejnych prze-działów parametru t uzyskuje się wielokąt przybliżający brzeg narządu. Miarą jakości przy-bliżenia jest różnica pomiędzy polem obszaru narządu wyznaczanym jako iloczyn liczby pik-seli znajdujących w obszarze narządu oraz pola pojedynczego piksela, które znane jest z roz-miarów woksela uzyskanego podczas badania CT lub MRI. Pole wielokąta (zakładając, że jest to wielokąt prosty, co jest spełnione) można uzyskać stosując wzór Meistera-Gaussa:

 



x0, y0 – współrzędne pierwszego wierzchołka wielokąta prostego x_r, y_r – współrzędne wierzchołków wielokąta prostego

Stosując pierwszą metodę, przybliżanie wielokątem odbywa się zawsze z zewnątrz. Dru-ga metoda poleDru-ga na wykorzystaniu jednej z metod Monte Carlo. Do rozwiązania problemu stosowany jest algorytm Metropolisa, zwany symulowanym wygrzewaniem. Obraz narządu poddawany jest binaryzacji. Następnie dla narządów odkształcalnych znajdowany jest obraz odwrócony (wartość 0 – piksele należące do obszaru narządu, wartość 1 – piksele otoczenia). Dla narządów wrażliwych obraz nie jest odwracany. Otrzymany obraz jest oznaczony przez

I₁. Dzięki odwróceniu obrazu dla narządów odkształcalnych można przeprowadzić przybliże-nie wielokątem brzegu tych narządów od wewnątrz. Następprzybliże-nie znajdowany jest brzeg narzą-du, stosując identyczne postępowanie, jak w przypadku pierwszej metody. W trakcie tej ope-racji obraz I₁ pozostaje niezmieniony. Natomiast obraz brzegu narządu jest zapisywany, jako niezależny obraz I₂. Obrazy I₁ i I₂ są reprezentowane w postaci macierzy, których elementy mogą przyjmować wartość 0 lub 1.

Losowana jest określona liczba początkowych położeń wierzchołków. Sprawdzane jest, czy tworzą one wielokąt prosty. Jeżeli wierzchołki nie tworzą wielokąta prostego, to

losowa-nie ich położeń jest przeprowadzone do momentu uzyskania takiego wielokąta. Definiowana jest funkcja energii E dla danego wielokąta. Każdy bok wielokąta jest dzielony na odcinki, których długość jest równa. Liczba odcinków na jaki dzielony jest bok określa równanie:

0 1 j L n l   _{ }   ^(5.4-2) gdzie:

Lj – długość j-tego wielokąta prostego l0 – parametr o stałej wartości

Liczba odcinków na jakie dzielony jest dany bok wielokąta zależy od jego długości. Jed-nak dany bok jest dzielony na co najmniej dwa odcinki. Dzięki temu wkład do energii danego boku wielokąta będzie uzależniony od jego długości. Znajdowane są punkty podziału boków wielokąta. Znajdowana jest odległość punktów podziału od brzegu narządu stosując metrykę euklidesową. Aby znaleźć odległość danego punktu od brzegu narządu (reprezentowanego przez piksele o współrzędnych x, y) należy wyznaczyć odległości tego punktu od wszystkich pikseli brzegu narządu (o współrzędnych x, y), a następnie znaleźć spośród tych wartości mi-nimalną. Jeżeli obraz przedstawiał narząd wrażliwy to od odległości punktów podziału od brzegu tego narządu należy odjąć wartość (b + d0/2). Z kolei dla narządu odkształcalnego należy odjąć wartość (p + d0/2). Wyznaczoną wartość, niezależnie dla każdego punktu po-działu boku wielokąta, należy zwiększyć o jeden i podnieść do kwadratu jeżeli punkt znajduje się w obszarze obrazu I1, którego piksele są równe 0. W innym wypadku do wartości należy dodać jeden i podnieść do potęgi czwartej. Energia jest sumą wspomnianych wartości wyzna-czonych dla wszystkich punktów podziałów wszystkich boków wielokąta. Boki, które prze-chodzą przez obszar obrazu I1, o wartościach pikseli równą jeden będą miały wyższą energię. Wyliczana jest energia dla początkowego wielokąta i oznaczana, jako E0. Następnie lo-sowane są wektory przesunięcia dla kolejnych wierzchołków wielokąta. Sprawdzane jest, czy uzyskany po przemieszczeniu wierzchołków wielokąt będzie wielokątem prostym. Jeżeli tak nie jest to odrzuca się ten wektor i przeprowadza się ponowne losowanie wektorów przesu-nięcia do momentu, aż ten warunek będzie spełniony. Następnie dla nowego wielokąta jest wyznaczana wartość energii E w sposób podobny. Rozróżnia się tutaj dwa przypadki:

Przypadek 1: Energia nowego wielokąta jest mniejsza, bądź równa niż poprzednio wyznaczo-nego wielokąta (E – E₀ 0) to bezwarunkowo przyjmowany jest nowy wielokąt, a jako E0 przyjmowana jest wartość E:

Przypadek 1: Energia nowego wielokąta jest większa niż poprzednio wyznaczonego wieloką-ta (E – E0 > 0) to nowy wielokąt jest przyjmowany z prawdopodobieństwem da-nym wzorem (5.4-3). W praktyce losuje się wartość z przedziału od 0 do 1. Jeśli

wartość wylosowana jest mniejsza niż prawdopodobieństwo dane wzorem (5.4-3) to przyjmuje się nowe rozwiązanie, a w przeciwnym wypadku odrzuca.

0 exp b E E k T         ^(5.4-3)

Występujący we wzorze (5.4-3) parametr T to temperatura wyrażana w kelwinach, a k_b to stała Boltzmanna. Ponieważ nie jest rozważany układ fizyczny, a algorytm Metropolisa jest stosowany do rozwiązania problemu matematycznego, stąd zamiast iloczynu obu parametrów należy przyjąć jeden parametr T. Określenia energia, temperatura są nazwami umownymi i nie reprezentują w tym wypadku wielkości fizycznych.

Wykonuje się co najmniej kilkadziesiąt kroków (losowań nowych położeń wierzchołków wielokąta) dla jednej wartości parametru T. Za każdym razem losowanie przeprowadza się do momentu, gdy uzyska się wielokąt prosty. W zależności jaka jest wartość energii kolejno uzy-skiwanych nowych rozwiązań, są one przyjmowane, albo nie. Przy podejmowaniu decyzji stosuje się opisaną wcześniej procedurę. Wartość parametru T nie jest stała, lecz stopniowo zmienia się od dużych wartości (dla których wartości prawdopodobieństwa (5.4-3) są małe) do wartości bliskich zeru.

Po wykonaniu dużej liczby kroków uzyskuje się wielokąt, który możliwie dokładnie (przy założonej liczbie wierzchołków) przybliża brzeg powiększonego lub pomniejszonego narządu. Uzyskano to bez powiększania/pomniejszania obrazu narządu. Można zastosować zewnętrzną pętlę pozwalającą dopasować wielokąty o liczbie wierzchołków zmieniającej się od 3 (trójkąt) do ustalonej liczby celem wybrania optymalnego rozwiązania.

Segmentacja brzegów narządów umożliwia uproszczenie opisu matematycznego brze-gów obszarów reprezentujących narządy poddane modyfikacji celem wyznaczenia przestrzeni wolnej. Dzięki segmentacji możliwy jest podział trójwymiarowej przestrzeni wolnej na mniejsze komórki, których wszystkie ścianki są wycinkami płaszczyzn. Dzięki temu do opi-sania każdej komórki wystarczy jedynie układ kilku liniowych nierówności matematycznych.