Dodatek A Całki Gaussa
Rozdział 3. Całka feynmanaowska po trajektoriach w teorii pola
*************************************************************************************************
Rozdział 3. Całka feynmanaowska po trajektoriach w teorii pola.
§ 1. Funkcjonał tworzący.
Uogólnimy teraz całkę po trajektoriach na przypadek teorii pola. Prowadząc rozważania analogiczne do tych jakie prowadziliśmy w przypadku MQ i dla dogodności biorąc jako przykład rzeczywiste pole skalarne, możemy opisywać stany układu w danej chwili czasu t poprzez wektor ket | φ(x) >t. Stan taki nazwiemy konfiguracją. Możemy dalej obliczyć amplitudę przejścia między konfiguracją w chwili t0 i nowa konfiguracją w chwili późniejszej t, jednakże przy tej okazji spotykamy się bezpośrednio z koniecznością wyrażania keta konfiguracji poprzez możliwe fizyczne stany danego układu. Identyfikacja stanów układu standardowo w istotny sposób zależna jest od możliwości wykorzystania metody małych zaburzeń. Na początku rozpatruje się teorie w przybliżeniu zerowym, w tym przypadku stan możemy łatwo określić. Przejście do pełnej teorii realizowane jest poprzez dodanie małego zaburzenia do idealizowanej teorii zerowego rzędu. Następnie obliczamy wpływ takiego małego zaburzenia na stany idealizowane w zerowym rzędzie.
Kroki te są możliwe tylko w tym przypadku, kiedy uda się zbudować całkowitą teorie, rozpatrując małe zaburzenia układu prostego i na podstawie takiej teorii obliczyć poprawki do stanów idealizowanych zerowego rzędu.
Przykładem takiej procedury jest QED, w której to łatwo identyfikujemy mały parametr α = 1/137.
Teoria zerowego rzędu odpowiada wartości α = 0. Taką teorię bez trudu opisujemy z pomocą idealizowanych stanów fotonu i elektronu ( lub mionu, kwarku, ... ). Za pomocą szeregu w każdym rzędzie wielkości względem α obliczamy wpływ oddziaływania na dane stany i ich wzajemne oddziaływania. Po zastosowaniu pewnych sztuczek ( teorii renormalizacji ) możemy stwierdzić, że takie poprawki prowadzą do stanów fizycznych elektronu i fotonu oraz ich oddziaływania wzajemnego. Celem powyższego wstępu jest podkreślenie, że powodzenie QED oparte jest na tym, że udało się wyprowadzić idealizowane stany fotono- i elektrono-podobne w teorii zerowego rzędu. A taka sytuacja była możliwa tylko dzięki temu, że α – jest małą liczbą. Przykładem jeszcze nie do końca opracowanej teorii jest QCD – chromodynamika kwantowa, która jak się zakłada opisuje oddziaływania kwarków i gluonów ( analog fotonów w QED ).
Przyjmuje się, że kwarki nie są cząstkami fizycznymi, a takimi stanami są stany związane kwarków – protony, mezony π itp. Jednakże apriori nie ma przeciw wskazań przyjąć, że kwarki są stanami fizycznymi. Aby rozwinąć dalej taką teorię powinniśmy ustalić jakie są stałe oddziaływania wzajemnego kwarków. Jeśli są one małe, to kwarki można rozpatrywać jako stany fizyczne ( „fizyczne” oznacza tutaj, że „przeżywają” w izolacji ), jeśli stałe są wielkie, to mówienie o kwarkach jako osobnych cząstkach nie ma szczególnego sensu, ponieważ będą one silnie związane ze sobą, a nie będą istniały w postaci stanów asymptotycznych.
Zatem, znajomość stanów fizycznych w teorii pola uzależnione jest bardzo od rozwiązania. Tego właśnie poszukujemy.
Musimy znaleźć takie sformułowanie teorii, oparte na całkach po trajektoriach przy którym nie trzeba by znać jej stanów fizycznych ( pokażemy to ). Sposób w jaki można wyjść z tego problemu jest bardzo prosty. Każdy zgodzi się, że jakimkolwiek nie byłyby stany, powinno istnieć stan o najniższej energii, który nazwiemy stanem próżniowym.
Może on mieć bardzo złożoną strukturę ( np. patrz nadprzewodnictwo ) i może on być zasiedlony przez różnego rodzaju dziwne obiekty, jednakże jaki by on nie był przyjmuje się, że istnieje.
Załóżmy teraz, że interesuje nas amplituda przejścia układu ze stanu próżniowego przy t = −∞ do stanu próżniowego przy t = ∞ w przypadku obecności dowolnej siły wymuszającej. To oznacza, że w dowolnej chwili czasu zachowujemy sobie dogodny sposób w jaki zaburzamy układ a następnie obserwujemy powrót układu do stanu pierwotnego.
W ten sposób możemy uzyskać odpowiedź na wszelkie pytania, jeśli tylko jesteśmy wystarczająco rozumni, aby stosować takie próby, które dają rozpoznawalne wyniki.
Nasz plan będzie zatem następujący.
a) rozwiązać zagadnienie dotyczące budowy amplitudy < Ω | Ω >J dla dowolnego źródła J(x) b) zinterpretować otrzymane wyniki poprzez pojęcia związane z amplitudą rozpraszania
c) wychodząc z tych amplitud, wyciągnąć wnioski dotyczące fizycznych konsekwencji danej teorii.
Zgodnie z tradycją źródło wiążemy z polem lokalnym, ponieważ prowadzi to do członu wymuszającego o ogólnej postaci, za pomocą którego można zbudować wszystkie inne możliwe źródła. W przypadku, kiedy stosowalna być może teoria zaburzeń, pola lokalne w sposób naturalny będą interpretowane jako cząstki.
Rozpoczniemy od najprostszej teorii pola – pola skalarnego z samoodziaływaniem, opisywanego przez działanie :
S =
∫
d4x [ ½ ∂µφ ∂µφ − ½ m2φ2 – V(φ) ] = (1.1)=
∫
d4x £ ( φ, ∂µφ ) (1.2)Aby zbudować gęstość hamiltonianu Ħ, zdefiniujemy pęd kanoniczny : gdzie : N – stała ( zwykle słabo określona ), symbol < ... > oznacza teraz całkowanie po zmiennych czasoprzestrzennych, J(x) – dowolne źródło.
Całkując po π metodą którą przedstawiliśmy w poprzednim rozdziale, otrzymamy :
W[J] = N’
∫
ℜφ exp[ i < ½ ∂µφ ∂µφ − ½ m2φ2 – V(φ) + J(x)φ > ] (1.7) W tym przypadku poprzez ℜφ ( lub ℜπ ) oznaczono iloczyn wszystkich dφk , gdzie φk jest wartością φ przy x = xk.Wyrażenie podcałkowe w (1.7) oscyluje i nawet całki po trajektoriach są słabo określone.
Istnieją jednak dwa sposoby wyjścia z tej trudności.
a) wprowadzić czynnik exp( - ½ ε < φ2 > ) , ε > 0 zapewniający zbieżność całki
b) zdefiniować W w przestrzeni Euklidesa, podstawiając : x = ix-0 , d4x = - id4x- , ∂µφ∂µφ = − ∂-µφ∂-µφ gdzie kreseczką oznaczono zmienne zadane w przestrzeni Euklidesa, ∂-µ = ∂/∂x-µ.
Wtedy wyrażenie (1.7) przyjmie postać :
WE[ J] = NE
∫
ℜφ exp{ − < ½ ∂-µφ∂-µφ + ½ m2φ2 + V(φ) – Jφ > } (1.8) Teraz już wykładnik eksponenty stojący pod znakiem całki jest określony ujemnie przy dodatnich m2 i V.W obu przypadkach funkcjonał tworzący wykorzystywany jest dla zbudowania funkcji Greena, będącej współczynnikami rozkładu funkcjonalnego :
Naszym głównym celem będzie teraz obliczenie funkcji G(N ) ( x1, ... ,xN ) za pomocą metody teorii zaburzeń lub w inny sposób.
W przestrzeni pędów funkcje te utożsamimy z amplitudami przejścia. Jest to nietrywialne, ponieważ amplitudy przejścia powinny spełniać wymogi unitarności i zupełności. W celu zbudowania takich funkcji G(N )E (x
-1, ... ,x -N ) wykorzystamy funkcjonał WE[J] w przestrzeni euklidesowej. Funkcje G(N )
E związane są z G(N )
poprzez przedłużenie analityczne ( obrotem Wicka ), a to zawczasu wymaga, aby w procesie obrotu konturu nie przeciąć osobliwości.
Takie warunek jest wystarczający dla zdefiniowania struktury osobliwości G(N ), jednakże nietrywialnym zagadnieniem jest dowiedzenie tego, że podobna procedura jest zgodna z warunkiem unitarności. Mamy nadzieję, że wszystkie te nieco zawiłe uwagi staną się jaśniejsze po wprowadzeniu jawnych obliczeń.
§ 2. Propagator Feynmana.
W niniejszym paragrafie obliczymy W[J] dla przypadku V = 0. Dokonamy tego w przestrzeni Minkowskiego z pomocą ε-procedury.
Załóżmy, że :
WE[ J] = N
∫
ℜφ exp{ < ½ ∂µφ ∂µφ + ½ (m2 – iε )φ2 + Jφ > } (2.1) Obliczenia łatwiej jest prowadzić w przestrzeni obrazów Fouriera ( przestrzeni pędów ) w sposób taki jakiwprowadziliśmy w przypadku wymuszanego oscylatora harmonicznego.
Wykładnik pod całką może być łatwo wyrażony przez obrazy Fouriera funkcji φ i J, w wyniku takiej zamiany w wykładniku eksponenty pojawi się następujące wyrażenie : Przy czym zauważamy, ze człon zależny od φ’ okazuje się dokładnie taki sam jak człon, zależny od φ w wyrażeniu (2.1) przy J = 0. Zatem :
W0[J ] =W0[0 ] exp{ - ½ i
∫
d4p J~(p) J~(-p) /( p2 + m2 + iε ) (2.9) Wybierając w odpowiedni sposób N, możemy podstawić W0[0 ] = 1.Zauważmy, że W0[0 ] można formalnie obliczyć, wykorzystując wzory z Dodatku A.
Ważne jest to, że udało się znaleźć jawną zależność W0[J ] od J.
Wykorzystując odwrotne przekształcenie Fouriera, otrzymujemy :
W0[J ] = W0[0 ] exp{ - ½ i < J1∆F12 J2 >12 } (2.10)
Gdzie ∆F12 oznacza ∆F ( x1 – x2 ) :
∆F ( x – y ) =
∫
[ d4p / (2π)2 ] exp[ -ip ( x – y ) ] / ( p2 – m2 + iε ) (2.11) Jest to w istocie właśnie propagator Feynmana.Teraz można zinterpretować otrzymaną z W0 funkcje Greena.
Z wyrażenie (1.10) znajdujemy :
G(2 )0 (x1,x2 ) = i ∆F ( x1 – x2 ) (2.12)
G(2 )0 (x1, x2, x3, x4 ) = - [ ∆F( x1 – x2 )∆F( x3 – x4 ) + ∆F( x1 – x3 ) ∆F( x2 – x4 ) +
+ ∆F( x1 – x4 )∆F( x2 – x3 ) ] (2.13)
itd.
przy czym jednocześnie z tym wyrażeniem wszystkie G o nieparzystej licznie zmiennych zerują się. Fakt ten łatwo zrozumieć, ponieważ W0[J ] zależy tylko od J2. Tak na marginesie, zauważmy, że wszystkie G są funkcjami tylko różnicy współrzędnych, w czym odzwierciedla się translacyjna inwariantność dane teorii.
Drugi wniosek jest taki, że wszystkie funkcje Greena wyższych rzędów można wyrazić poprzez G(2 )0.
Dlatego może się okazać dogodniejszym podstawienie :
W[J] = eiz[J] (2.14)
i zdefiniowanie nowych funkcji Greena z pomocą Z[J] :
iZ[J] =
ΣΣΣΣ
( iN /N ) < G(N )C (1, ... , N ) J1, ... , JN >1 ... N (2.15) Teraz widać, że w skrajnym przypadku gdy mamy do dyspozycji W0 wielkość GC jest dużo prostsza w obliczeniach niż G.Wyjaśnimy teraz fizyczny sens funkcji Greena, generowanych przez funkcjonał W0. Prostymi rachunkami znajdujemy, że :
( ∂µ∂µ + m2 ))∆F(x) = - δ4(x) (2.16)
tym samym utożsamiamy ∆F z funkcją Greena operatora + m2.
Warunki brzegowe dla niej określamy z (-iε)-procedury, dyktowanej poprzez całkę po trajektoriach. Dlatego też można utożsamić ∆F( x – y ) z propagatorem pewnego sygnału z punktu x do punktu y.
Sygnał ten reprezentuje sobą stany jednej cząstki lub jednej anty cząstki, ponieważ stany takie są rozwiązaniami równania Kleina-Gordona :
( + m2 )φ = 0 (2.17)
O tym jakie rozwiązania się rozprzestrzeniają, mówi nam (-iε)-procedura. Można pokazać, ze rozwiązania o dodatniej energii równania Kleina-Gordona propagują się w przód w czasie, a rozwiązania z ujemną energią – w tył ( zobacz zadanie ).
Ponieważ takie rozwiązania powinny być przyporządkowane stanom cząstek ( lub anty cząstek ) o energii E = p0 = sqrt( p2 + m2 ) ( lub – sqrt( p2 + m2 ) ), dochodzimy do nadzwyczaj symetrycznego obrazu fizycznego : informacja przenosi się do przodu w czasie za pomocą cząstek, a w tył – za pomocą anty cząstek.
Zapytajmy – na ile sposobów można przenieść jakąś liczbę kwantową z punktu x do punktu y, jeśli mamy do dyspozycji cząstkę, niosącą jednostkę takie liczby kwantowej i anty cząstkę niosąca minus jednostkę.
Liczbą kwantową może być np. ładunek elektryczny, a cząstką np. mezon π+.
Odpowiedź – na dwa sposoby : albo w wyniku propagacji takiego mezonu z x do y z anihilacją ładunku+1 w punkcie x i przeniesieniem go do y, albo w wyniku propagacji mezonu π- ( antycząstki mezonu π+ ), z przeniesieniem ujemnego ładunku z punktu y do punktu x.
Wnioski.
1) ustanowiliśmy, że rozpatrywana funkcja Greena jest propagatorem określonych sygnałów.
2) wiemy jakie sygnały ona propaguje, stąd naturalnie wynika, ze w naszym przykładzie stany powinny być stanami cząstek o masie m2, a funkcje G(2)0 ( x – y ) interpretujemy jako amplitudą przejścia cząstki z punktu x do punktu y.
Można wprowadzić reprezentacje diagramową w przestrzeni x, przyporządkowując ∆F( x – y ) linie, wiążącą dwa punkty czasoprzestrzenne x i y :
G(2)0 ( x – y ) : • • x y
Dla funkcji Greena wyższych rzędów za pomocą odpowiednich diagramów uwzględniamy wkłady, powiedzmy, odpowiadające wzorowi (2.13) :
Jest jasne, że G(4)0 – jest obiektem istotnie niespójnym. Funkcje tą można interpretować jako amplitudę np. przejścia z x1, x2 do x3, x4. W danym przybliżeniu istnieje tylko tyle sposobów rozprzestrzeniania się sygnału, ile przedstawiono powyżej za pomocą diagramów.
Znacznie jaśniejsza okazuje się interpretacja w przestrzeni obrazów Fouriera. Widzieliśmy już, że struktura operatora
∆F zmusza nas do interpretacji pµ jako 4-pędu stanu cząstki. Jest to zgodne z translacyjną inwariantnością i prowadzi do zachowania pędu. W istocie, ponieważ G zależy tylko od różnicy współrzędnych x, proste przekształcenie Fouriera :
∫
d4x1 ... d4xN exp[ -i ( p1x1 + ... + pNxN )] G(N )(x1 ... xN ) obowiązkowo zawiera δ-funkcje od ( p1+ ... + pN ).Dlatego zakładamy, że :
G~(N )(p1, ... , pN ) (2π )4 δ(4 )( p1+ ... + pN ) =
∫
d4x1 ... d4xN exp[ -i ( p1x1 + ... + pNxN )] G(N )(x1 ... xN ) (2.18) Gdzie funkcja G~(N )(p1, ... ,pN ) jest określona tylko przy warunku p1+ ... + pN = 0Przykładowo :
G~(2 )0 ( p, - p ) = 1 / p2 – m2 + iε (2.19)
Przedstawia sobą amplitudę propagacji cząstki z pędem p i masie m2. Można to przedstawić z pomocą następującego diagramu :
G~(2 )0 (p ) = > (2.20)
p
Jednakże w przypadku ogólnym będziemy przedstawiali funkcje Greena G~(N )(p1, ... , pN ) jako okrąg z wchodzącymi do niego N liniami o symbolach p1, ... ,pN przy warunku p1+ ... + pN = 0, wyrażającym zachowanie pędu :
Taki diagram będziemy interpretowali jako amplitudę rozpraszania stanów o pędach p1, ... , pj do stanów o pędach pj+1, ... , pN , jeśli przy tym przyjąć linie j+1, ... , N jako wychodzące.
Zauważmy ponownie, że to właśnie postać funkcji G~(2 )0 określa charakter stanów zewnętrznych. Na określonych ograniczeniach, które nakładają na G~ warunki jej unitarności zastanowimy się później.
Zadania.
A. Wychodząc z euklidesowego wyrażenia dla W0 [J], wyprowadzić odpowiednie wyrażenie dla propagatora Feynmana i pokażcie, że po wykonaniu przedłużenia analitycznego do przestrzeni Minkowskiego sprowadza się od do
standardowego operatora.
B. Pokażcie, że ∆F(x ) – jest propagatorem sygnałów o dodatniej energii do przodu w czasie, a dla sygnałów o ujemnej energii – do tyłu w czasie.
C. Znaleźć rzeczywistą i urojoną część propagatora ∆F(x ). Wyjaśnić ich sens fizyczny.
Czy można wyrazić ∆F przez Im ∆F ?