################################################################################
Teoria pola. Współczesne wprowadzenie.
Pierre Ramond
Physics Department. University of Florida
Tytuł oryginału : „Field theory. A modern Primer”
Westview 1981
Tłumaczenie wspomagane przekładem rosyjskim - Moskwa MIR 1984
********************************************************************************
Tłumaczenie z rosyjskiego: R. Waligóra Pierwsze tłumaczenie 2012
Ostatnia modyfikacja : 2013-04-20 Tłumaczenie całości książki.
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
Skróty i oznaczenia zastosowane w tłumaczonym tekście (własne lub stosowane przez autora ).
Przypisy własne oznaczono symbolami (* ... *) MQ – mechanika kwantowa
MK – mechanika klasyczna CP – czasoprzestrzeń
EM – elektromagnetyczna, elektromagnetycznej itp.
STW, OTW – odpowiednio - szczególna i ogólna teoria względności KTP – kwantowa teoria pola ( ang. QFT )
KLTP – klasyczna teoria pola Y-M – teoria Yanga-Millsa
QCD – chromodynamika kwantowa GTU – teoria wielkiej unifikacji FD – funkcjonał działania
FCT – feynmanowska całka po trajektoriach
IUO, NIUO – odpowiednio – inercjalny i nieinercjalny układ odniesienia rr – równanie różniczkowe
GP – grupa Poincarego
GL, PL – odpowiednio grupa i przekształcenie Lorentza
********************************************************************************
Wprowadzenie.
Dowód renormalizowalności teorii Y-M, podany przez t’Hoofta pociągnął za sobą bujny rozwój metod i zastosowań KTP. Jednakże w ostatnich latach nie pojawiło się dużo podręczników związanych z tym tematem, zatem początkujący w tej dziedzinie specjalista musi korzystać z prac oryginalnych lub prac przeglądowych opisujących wspomnianą dziedzinę.
Obecnie istnieje oczywiście wiele pięknych prac przeglądowych, niestety często są one pisane nie z myślą o początkujących naukowcach, a o specjalistach.
Przedstawione tutaj wykłady zostały wygłoszone w CIT ( kalifornijski instytut technologiczny ) w latach 1978-1980, jako kurs teorii pola dla aspirantów pierwszego roku. Ich celem było proste wyłożenie obliczeń, w których zastosowanie ma współczesna teorii pola i które to wykorzystywane są przez specjalistów w omawianej dziedzinie. Z pedagogicznego punktu widzenia w chwili obecnej nie można już wyłożyć w ciągu jednego roku nieperturbacyjnej teorii pola – czasy jednorocznego wykładu, podstaw KTP odeszły do historii na zawsze.
Dlatego, też przedstawiony konspekt wykładów przedstawia tylko wybrany krąg zagadnień.
Współczesne wyłożenie przedmiotu powinno składać się w skrajnym przypadku z trzech części :
z kursu pierwszego, na którym uwagę skupi się na strukturze i metodach perturbacyjnych teorii pola. Ma on za zadanie zapoznać z teorią renormalizacji i obliczaniem diagramów Feynmana w teoriach z cechowaniem.
Na drugim kursie przedstawia się zastosowanie teorii z cechowaniem oraz koncentruje się na obliczeniach teorii zaburzeń w QCD, modelu Weinberga–Salama–Glashowa i być może na teoriach GTU.
Na kursie trzecim wprowadza się techniki nieperturbacyjne.
Przedstawione czytelnikowi wykłady odnoszą się do części pierwszej.
Na początku przedstawiamy w nich, na poziomie elementarnym KLTP, przy czym szczegółowo rozpatrujemy grupę Lorentza, reprezentacje Diraca i Majorany, supersymetrię, następnie opisujemy metody regularyzacji, teorię
renormalizacji oraz inne formalne strony omawianego przedmiotu. Cały materiał wprowadzamy w postaci obliczeń, nie podajemy dowodu renormalizowalności, podpowiadamy jedynie, dlaczego własność ta jest prawdopodobna.
Szczególnie dokładnie rozpatrujemy renormalizacje teorii λφ4, a o renormalizowalności teorii z cechowaniem tylko wspominamy.
Przejście od KLTP do KTP opisano z pomocą feynmanowskiej całki po trajektoriach, co jest szczególnie dogodne z punktu widzenia zagadnień perturbacyjnych i nieperturbacyjnych. Ponadto dla najprostszych teorii opisano technikę obliczania wyznaczników funkcjonalnych, opartą na ζ-funkcjach.
Cały materiał przedstawiono na tyle szczegółowo, aby czytelnik mógł prześledzić każdy krok wykładu.
Jednakże zmuszeni byliśmy opuścić cały szereg ważnych i istotnych zagadnień teoretycznych takich jak, np.
podczerwona struktura nienaruszonych teorii z cechowaniem i obliczeń w takich teoriach z naruszeniem symetrii.
Mamy jednak nadzieję, że nasze wykłady mogą służyć jako wprowadzenie w obliczenia perturbacyjne w teoriach z cechowaniem.
Na końcu każdego paragrafu umieszczono zadania, przy czym stopień ich trudności zaznaczono dodając gwiazdki.
Aby wskazać drogę dalszego zgłębiania omawianych zagadnień na zakończenie podajemy spis literatury.
(* w dalszej kolejności autor składa tradycyjne podziękowania *)
Passadena, lato 1980 P. Ramond
*************************************************************************************************
Rozdział 1. Jak zbudować funkcjonał działania ?
§ 1. Podstawowe wiadomości.
Jest bardzo przyjemnym i użytecznym przyjąć do wiadomości fakt, że wszystkie podstawowe prawa fizyki klasycznej można wyprowadzić z jednej, jedynej konstrukcji matematycznej nazwanej działaniem. Z niej właśnie wynikają klasyczne równania ruchu, a analiza warunków, inwariantności działania pozwala znaleźć wielkości zachowane przy ruchu klasycznym. Na dodatek, jak pokazali Dirac i Feynman, rola pojęcia działania w sposób pełny ujawnia się w fizyce kwantowej. Dzięki temu zapewniony zostaje jasny i elegancki język użyteczny w opisie przejścia od fizyki klasycznej do kwantowej, językiem tym jest feynmanowska całka po trajektoriach (FCT ) (* ang. Feynman path integral (FPT) *).
Zatem, nasz cel jest jasny : na początku nauczymy się budować odpowiednie dla naszych celów funkcjonały działania (FD), a następnie wyprowadzimy kwantowe własności układu, opisanego zadanym FD, obliczając związaną z nim FCT.
Na początku zbadamy FD dla elementarnego układu – cząstki punktowej, której wektor położenia w chwili t jest dany przez funkcje xi(t ) ( i = 1, 2, 3 ) i która porusza się w potencjale niezależnym od czasu V(xi ).
Odpowiedni FD dany jest przez wyrażenie : t1
S( [xi ] ; t1 , t2 ) ≡
∫
dt [ ½ m (dxi /dt ) (dxi /dt ) – V(xi ) ] (1.1) t2Jest on funkcją chwili początkowej i końcowej t1, t2 i funkcjonałem od trajektorii xi(t ) przy t1< t < t2 ( względem powtarzających się indeksów łacińskich prowadzimy sumowanie )
Wszystko to oznacza, że zadanej trajektorii xi(t ) przyporządkowujemy pewną liczbę, nazywaną funkcjonałem ( w danym przypadku S ). Argument funkcjonału będziemy obejmować nawiasem kwadratowym [ ... ].
Przykładowo, długość trajektorii jest funkcjonałem trajektorii.
Zobaczmy teraz jak zmienia się S przy małej deformacji trajektorii :
xi(t ) → xi(t ) + δxi(t ) (1.2)
Mamy :
t2
S[ xi + δxi ] =
∫
dt [ ½ m d(xi δxi )/dt d(xi + δxi )/dt – V(xi + δxi ) ] (1.3) t1Zaniedbując człony O(δx)2 możemy zapisać :
d(xi δxi )/dt d(xi + δxi )/dt =(dxi /dt ) (dxi /dt ) – 2 (d2xi /dt2 ) δxi + 2d/dt (δxi dxi /dt ) (1.4)
V(xi + δxi ) ≈ V(xi ) + δxi ∂iV (1.5)
Gdzie : ∂i ≡ ∂/∂xi Zatem :
t2
S[ xi + δxi ] ≈ S[ xi ] +
∫
dt δxi [ − ∂iV − m (d2xi /dt2 ) ] + m∫
dt d/dt [ δxi ( dxi/dt ) ] (1.6) t1Ostatnia składowa jest członem “powierzchniowym”. (* surface term *)
Możemy się jej pozbyć, jeśli ograniczymy się do wariacji trajektorii zerujących się w punktach końcowych : δxi (t1) = δxi( t2 ) = 0
Jeśli przyjmiemy ten warunek, to z wymogu stałości działania S przy dowolnych δxi wynikają klasyczne równania ruchu danego układu.
Symbolicznie zapiszemy to jako równość zeru pochodnej funkcjonalnej, określonej przez zależność :
S[ xi + δxi ] = S[ xi ] +
∫
dt δxi δS/δxi + … (1.7)Zatem, :
δS/δxi = - [ m (d2xi /dt2 ) + ∂iV ] = 0 (1.8)
Zatem ustanowiliśmy odpowiedniość wzajemną między równaniami ruchu I warunkiem ekstremalności działania S.
Zauważmy jednakże, że warunek ekstremalności działania S prowadzi do całej klasy możliwych trajektorii. Po jakiej z nich w istocie następuje ruch, zależy od warunków brzegowych zadawanych jako wartości początkowe wielkości xi i dxi /dt .
Następnym i najważniejszym faktem w przedstawionej metodzie jest zauważenie, obecność odpowiedniości między symetriami działania S i istnieniem wielkości zachowanych w procesie ruchu danego układu.
Podamy przykład.
Niech V(xi ) – będzie funkcją długości wektora xi tj. wielkości r = (xi xi )1/2. Wtedy działanie S, będzie inwariantne względem obrotów trójwymiarowego wektora xi , ponieważ zależy ono tylko od długości samego wektora, która przy obrotach nie zmienia się. Przy nieskończenie małym, dowolnym obrocie mamy :
δxi = εij xj , εij = - εji ,, przy czym εij nie zależy od czasu (1.9)
Ponieważ działanie S jest inwariantne, to spełniona jest równość δS = 0, jednakże wcześniej widzieliśmy, że δS składa się z dwóch składowych : pochodnej funkcjonalnej, równej zeru dla klasycznej trajektorii i członu powierzchniowego.
Jednakże dla danej konkretnej wariacji nie możemy nałożyć na δxi(t ) warunków granicznych i dlatego inwariantność działania S jest równoważna z równaniami ruchu i prowadzi do następującej równości :
t2
δS =
∫
dt d/dt [ m (dxi /dt ) δxi ] = εij mxj(dxi /dt ) |t2 t1 (1.10) t1Ponieważ jest to słuszne dla dowolnych εij , wielkości :
łij(t ) ≡ ½ m [ xi (dxj /dt ) – xj (dxi /dt ) ] (1.11)
spełniają równość :
łij(t1 ) = łij(t2 ) (1.12)
i dlatego zachowują się one w procesie ruchu.
Jak wiadomo, są to oczywiście składowe momentu pędu. Infinitezymalną formę prawa zachowania można otrzymać, podstawiając t2 → t1.
Dowiedliśmy, zatem, w jednym prostym przypadku znamienitego twierdzenia po raz pierwszy sformułowanego przez Emmy Noether, wiążącego inwariantność ( tutaj akurat względem obrotów ) z prawami zachowania ( tutaj akurat momentu pędu ).
Dokonajmy pewnego podsumowania :
1) klasyczne równania ruchu otrzymujemy z warunku ekstremalności działania S 2) warunki graniczne powinny być zadawane zewnętrznie
3) symetrie działania S mają odpowiedniość z wielkościami zachowującymi się i dlatego odzwierciedlają podstawowe symetrie układu fizycznego. Podany przykład odnosił się do MK. Można go jednak uogólnić na KLTP, np.
elektrodynamikę maxwellowską lub OTW Einsteina.
Działanie jest jedynie pewną konstrukcją matematyczną , a liczba konstrukcji takiego rodzaju jest w zasadzie
nieograniczona. Jednakże działanie powinno opisywać świat fizyczny, który jak zakładamy zbudowany jest w całkowicie określony sposób. Zatem, pośród wielu możliwych powinien istnieć, tej jeden szczególny FD, który prawidłowo opisuje to, co zachodzi w rzeczywistości. Pojawia się wobec tego pytanie – jak odróżnić taki szczególny FD od innych ? Odpowiedź podpowiada nam twierdzenie Noether, wskazujący na związek między symetriami danego układu, a symetriami FD, którym go opisujemy.
Dobrze są nam znane symetrie w rodzaju tych, które wynikają z STW i ze wszystkich możliwych działań powinniśmy wybrać tylko te, które odzwierciedlają te symetrie. Inne symetrie, w rodzaju np. zachowania ładunku elektrycznego,
jeszcze bardziej ograniczają postać szukanego FD. Mamy podstawę zakładać, że natura preferuje określone typy działań, mianowicie te, które posiadają wszelkie inwariantności zmieniającymi się od punktu do punktu. Inwariantności tego rodzaju prowadzą do teorii z cechowaniem, o których będziemy jeszcze mówili.
Póki, co teraz nauczymy się budować FD dla układów, spełniających prawa STW. Formalną własnością takich układów jest inwariantność względem przekształceń należących do niejednorodnej grupy Lorentza, lub inaczej grupy Poincarego.
Do omówienia tej grupy przejdziemy w następnym paragrafie.
Zadania.
Uwagi. 1) zadania ukazane są w porządku wzrostu ich trudności.
2) rozwiązujcie zadania wykorzystując FD, nawet, jeśli znacie bardziej elementarne sposoby ich rozwiązań.
A. 1) Dowieść, że przy ruchu, opisywanym działaniem : S =
∫
dt ½ mx•2 , x•≡ dx/dtpęd jest zachowany.
2) Zakładając, że V(x1) = v [ 1 – cos(r/a )], znaleźć wyrażenie dla prędkości zmiany pędu.
B. Wyprowadzić wyrażenie dla prędkości zmiany kątowego momentu pędu (* angular momentum *) cząstki punktowej, poruszającej się w dowolnym potencjale.
C* Znaleźć inwariantności FD w przypadku cząstki punktowej, poruszającej się w potencjale V = - a/r
Podpowiedź. Orbity newtonowskie nie doznają precesji, co prowadzi do nietrywialne wielkości zachowanej – wektora Rungego-Lenza.
D* Przyjmując FD jako inwariantny względem jednorodnych translacji w czasie, wyprowadzić wyrażenie dla związanej z nim wielkości. Jako przykład wziąć cząstkę punktową, poruszającą się w potencjale niezależnym od czasu.
Co się stanie, jeśli potencjał będzie zależał od czasu ?
§ 2. Grupa Lorentza ( przegląd zagadnienia).
W STW postuluje się, że prędkość światła jest jednakowa we wszystkich IUO. Oznacza to, że jeśli xi – są
współrzędnymi sygnału świetlnego w chwili t, w jednym IUO i sygnał ten jest rejestrowany w punkcie x’i w chwili t’ w drugim IUO, to powinna być spełniona równość :
s2 ≡ c2t2 – x’ix’i = c2t’2 – xixi (2.1)
Zbiór przekształceń liniowych, wiążących ( x’i, t’ ) z ( xi , t ) i zachowujący wyrażenie (2.1), tworzy grupę, nazywaną grupą Lorentza ( zobacz zadanie ). W dalszej kolejności wybierzemy taki układ jednostek, w którym c = 1 i
wprowadzimy następujące oznaczenia :
xµ , µ = 0, 1, 2, 3 , gdzie x0 = t ( x1, x2, x3 ) = ( xi ) = x tj. xµ = ( x0, xi ) = ( t, x ) , i = 1, 2, 3
W takich zwartych oznaczeniach wielkość s2 można zapisać następująco :
s2 = x0x0 – xixi ≡ xµxν gµν (2.2)
gdzie tensor metryczny gµν = gνµ jest równy zeru we wszystkich przypadkach, oprócz przypadku µ = ν , przy czym : g00 = -g11 = -g22 = -g33 = 1
Jeśli nie zapisano inaczej, to względem powtarzających się indeksów prowadzimy sumowanie.
Teraz równanie (2.1) przyjmuje postać :
gµνxµxν = gµνx’µx’ν (2.3)
Rozpatrzmy dalej zbiór przekształceń liniowych o postaci : x’µ = Λµν xν = Λµ
0 x0 + Λµ
i xi (2.4)
zachowujących s2. Zachowanie s2 wymusza, ze wielkości Λµν powinny spełniać warunek :
gµνx’µx’ν = gµν Λµρ Λνσ xρxσ = gρσxρxσ (2.5)
Ponieważ zależność (2.5) powinna być spełniona przy dowolnym xµ mamy :
gρσ = gµν Λµρ Λνσ (2.6)
W wielu zastosowaniach dogodne są oznaczenia macierzowe. xµ będziemy rozpatrywali jako wektor kolumnowy i oznaczać jako x , a gµν – jako macierz oznaczaną jako g, wtedy :
s2 = xTgx (2.7)
x’ = Lx (2.8) gdzie : L – jest macierzą równoważną współczynnikom macierzy Λµν , przez indeks T oznaczono transponowanie macierzy.
Aby macierze L były macierzami przekształcenia Lorentza (PL) powinny one spełniać zależność :
g = LTgL (2.9)
Zbadamy teraz równanie (2.9). Po pierwsze, obliczymy wyznacznik obu jego stron :
det g = det LT det g det L (2.10)
skąd możemy wnioskować, że :
det L = ± 1 (2.11)
Przypadek det L = 1 (-1) odpowiada właściwym ( niewłaściwym ) PL (* proper, improper *)
Przykładowo PL, zadawane macierzą liczbową L = g są niewłaściwe, fizycznie takim przekształceniom odpowiada zamiana : x0 → x0 , x’i → -xi tj. odbicia przestrzenne.
Po drugie, wypiszemy składowe równania (2.6) z indeksami 00 : 1 = Λρ
0 gρσ Λσ 0 = ( Λ0
0 )2 – ( Λi
0 )2 (2.12)
skąd wynika, że :
| Λ0
0 | ≥ 1 (2.13)
Jeśli Λ0
0 ≥ 1, to PL nazywa się ortochronicznym, a Λ0
0 ≤ -1 odpowiada nieortochronicznym PL. Zatem, wszystkie PL możemy podzielić na cztery kategorie ( zobacz zadanie ) :
1) właściwe ortochroniczne ( zwane ograniczonymi ) (L↑
+ ), det L = +1 , Λ0 0 ≥ 1 2) właściwe nieortochroniczne ( L↓
+ ), det L = +1 , Λ0
0 ≤ - 1 ; 3) niewłaściwe ortochroniczne ( L↑
- ), det L = -1 , Λ0 0 ≥ 1 4) niewłaściwe nieortochroniczne ( L↓
- ), det L = -1 , Λ0 0 ≤ - 1 Podamy teraz kilka przykładów.
1) Obroty : x’0 = x0 , x’i = aijxj , gdzie aij – macierz ortogonalna.
Macierz L możemy zapisać w postaci blokowej :
L = ( 1 0 ) (2.14)
( 0 a ) det L = det a
Możliwe są przypadki det a = ± 1, odpowiadające obrotom właściwym i niewłaściwym, przy tym L odnosi się do L↑
+ i L↑ -
2) Pchnięcia (* ang. boosts , stąd po polsku mówimy busty *) Przekształcenia :
x’0 = x0cosh(η ) – x1sinh(η )
x’1 = -x0sinh(η ) + x1cosh(η ) (2.15)
x’2,3 = x2,3
opisują pchnięcie w kierunku osi 1.
Wtedy w zapisie blokowym mamy :
det L ≈ cosh2(η ) – sinh2(η ) = 1 , Λ0
0 = cosh(η ) ≥ 1 Takie przekształcenie należy do typu L↑
+ . Zauważmy, że przechodząc do nowej zmiennej v ( prędkość ruchu układu odniesienia ), związanej z η zależnością :
cosh(η ) ( 1 – v2 )-1/2 , sinh(η ) = v( 1 – v2 )-1/2 (2.19)
otrzymujemy bardziej znaną formę zapisu omawianego przekształcenia.
3. Odwrócenie czasu, określone jako przekształcenie : x’0 = -x0 , x’i = xi
Takie przekształcenie ma det L = -1 i Λ0
0 = -1 i należy do kategorii L↑ -
4. Całkowite odbicie, określone jako przekształcenie : x’µ = − xµ ,
W tym przypadku det L = +1, Λ0
0 = −1 , przekształcenie należy do kategorii L↑ + . Całkowite odbicie można przedstawić jako iloczyn odbicia przestrzennego i czasowego.
Dowolne PL można przedstawić w postaci iloczynu powyższych czterech przekształceń ( zobacz zadanie ).
Możemy zatem, ograniczyć się do badania obrotów i pchnięć. Ponieważ możliwe są trzy obroty i trzy pchnięcia, po jednym z kierunków przestrzennych, PL charakteryzowane jest poprzez sześć parametrów.
Zajmiemy się teraz zbudowaniem odpowiadających im sześciu generatorów.
Rozpatrzmy nieskończenie małe PL :
Λµν = δµν + εµν (2.20)
gdzie : δµν – symbol Kroneckera, równy zeru przy µ ≠ ν i jeden w pozostałych przypadkach.
Podstawienie wyrażenia (2.20) do równania (2.6) daje z dokładnością do O(ε) :
0 = gµρ ερµ + gµρερν (2.21)
W celu opuszczenia indeksu wykorzystamy tensor metryczny, przykładowo :
xµ ≡ gµν xν = ( x0 – x ) (2.22)
Wtedy równanie (2.21) przyjmuje postać :
0 = εµν + εµν (2.23)
tj. εµν – tensor antysymetryczny z 4 • 3/2 = 6 ( tak jak oczekiwaliśmy ) niezależnymi składowymi.
Wprowadzimy następujące generatory hermitowskie :
Lµν = i( xµ∂ν – xν∂µ ) (2.24)
gdzie : ∂µ/∂xµ = ( ∂/∂t ,∇ ) (2.25)
Wtedy można napisać :
δxµ = i ½ ερσLρσ xµ = εµρxρ (2.26)
Łatwo zauważyć, że generatory Lµν tworzą algebrę Liego :
[ Lµν , Lρσ ] = i gνρLµσ - i gµρLνσ - i gνσLµρ + i gµσLνρ (2.27)
którą można utożsamić z algebrą Liego grupy SO(3, 1).
Najogólniejsza reprezentacja generatorów SO(3, 1), spełniających zależności komutacyjne (2.27) ma postać :
Mµν ≡ i(xµ∂ν – xν∂µ ) + Sµν (2.28)
Gdzie : Sµν – są operatorami hermitowskimi, które tworzą tą samą algebrę Liego co operatory Lµν i które komutują z nimi.
Generatory hermitowskie Mij, gdzie i, j = 1, 2, 3 same tworzą algebrę :
[ Mij , Mkł ] = i δjkMił + i δikMjł + i δjłMik – i δiłMjk (2.29)
odpowiadającą grupie obrotów SU(2).
Jeśli wprowadzimy nowe operatory :
Ji ≡ ½ εijkMjk (2.30)
Gdzie : εijk – symbol Leviego-Civity, całkowicie antysymetryczny względem wszystkich swoich indeksów, ε123 = +1 to otrzymamy bardziej znane wyrażenia. Mamy wtedy :
[ Ji , Jj ] = i εijk Jk (2.31)
Wprowadzimy teraz generatory pchnięć :
Ki ≡ M0i (2.32)
Z algebry Liego wynika, że :
[ Ki , Kj ] = -i εijk Jk (2.33)
[ Ji , Kj ] = i εijk Kk (2.34)
Generatory K i J są operatorami hermitowskimi, jednakże K są operatorami niezwartymi (* non -compacts generator *) Zależności komutacyjne można rozczepić poprzez wprowadzenie nowych ich kombinacji liniowych :
Ni ≡ ½ ( Ji + iKi ) (2.35)
Chociaż są one niehermitowskie , tj. Ni ≠ Ni† mają tą dogodną własność, że spełnione są dla nich proste zależności komutacyjne :
[ Ni , Nj† ] = 0 (2.36)
[ Ni , Nj ] = -i εijk Nk (2.37)
[ Ni† , Nj†] = -i εijk Nk† (2.38)
Oznacza to, że zarówno Ni jak i Ni† tworzą algebrę Liego grupy SU(2).
Dlatego, można wykorzystać dobrze znaną teorię reprezentacji tej grupy. Z dobrze znanych wyników tej teorii dla ( spinowej ) grupy SU(2) wynika, w szczególności, że w danym przypadku istnieją dwa operatory Casimira ( tj. operatory, które komutują ze wszystkimi generatorami ) :
Ni Ni o wartościach własnych n(n + 1 ) Ni†Ni† o wartościach własnych m(m + 1 ) gdzie : m, n = 0, ½ , 1, 3/2 , ...
Otrzymane reprezentacje oznaczane są poprzez parę liczb (n, m ), a stany wewnątrz reprezentacji rozróżniane są dodatkowo ze względu na wartości własne operatorów N3 i N3†.
Zauważmy, że dwie grupy SU(2) nie są niezależne, ponieważ można je zamieniać miejscami, przeprowadzając operacje zmiany parzystości P, w wyniku, której otrzymujemy :
Ji → Ji , Ki → − Ki
oraz operacje sprzężenia hermitowskiego, zmieniającej znak jednostki urojonej, co powoduje przekształcenie Ni w Ni†.
W przypadku ogólnym reprezentacje grupy Lorentza nie są stanami własnymi, ani operatora parzystości, ani operatora (sprzężenia ) hermitowskiego. Ponieważ Ji = Ni + Ni† można utożsamić spin reprezentacji z liczbą m + n.
Dla przykładu rozpatrzmy następujące reprezentacje :
a) (0, 0 ) ; spin jest równy zeru, skalarna reprezentacja o określonej parzystości ( może być skalarem lub pseudoskalarem )
b) ( ½, 0 ) ; spin równy ½ , lewy spinor ( definicja lewego i prawego spinora jest umowna ) c) (0, ½ ) ; spin równy ½ , spinor prawy.
Spinory te mają po dwie składowe ( „spin do góry” i „spin na dół” ), nazywamy je spinorami Weyla. W przypadku, kiedy wymagane jest uwzględnienie parzystości, należy rozpatrywać kombinacje liniową (0, ½ ) ⊕ ( ½, 0 ), tworzącą spinor Diraca.
Istotne w tym jest to, że zadając te dwie reprezentacje spinorowe, możemy poprzez ich mnożenie zbudować dowolną inną reprezentacje. Jest to równoważne zbudowaniu stanów z wyższymi spinami na drodze tworzenia
( kroneckerowskiego ) iloczynu wielu stanów ze spinem ½ z grupy obrotów.
Podamy dwa przykłady.
a) Iloczyn ( ½, 0 ) ⊗ (0, ½ ) = ( ½ , ½ ) daje reprezentacje ze spinem 1 o czterech składowych. W oznaczeniach tensorowych zapisywane byłoby to jako 4-wektor.
b) Iloczyn (½, 0 ) ⊗ (½, 0 ) = ( 0 , 0 ) ⊕ ( 1, 0 ). Skalarna reprezentacja zadana jest tutaj poprzez antysymetryczny iloczyn. Nowa reprezentacja (1, 0 ) opisywana jest przez antysymetryczny samodualny tensor drugiego rzędu, tj. przez tensor Bµν , spełniający warunki :
Bµν = − Bνµ (2.39)
Bµν = ½ εµνρσ
Bρσ (2.40)
Gdzie : εµνρσ
– symbol Leviego-Civity w czterech wymiarach, całkowicie antysymetryczny, przy czym ε0123 = +1 Reprezentacja (0, 1) odpowiada tensorowi antysamodualnemu :
Bµν = - ½ i εµνρσ
Bρσ (2.41)
Przykładowo, maxwellowski tensor natężenia pola Fµν przekształca się względem grupy Lorentza jak ( 0, 1 ) ⊕ ( 1, 0 ).
Na zakończenie podkreślmy jeden ważny moment.
Załóżmy, że rozpatrujemy PL w tzw. „przestrzeni Euklidesa”, gdzie zmienna t zamieniona jest na wielkość it ( √−1t ).
Wtedy zależności komutacyjne zostają zachowane tą tylko różnicą, że gµν zamienia się na symbol delty Kroneckera δµν W wyniku, czego dochodzimy do algebry Liego grupy SO(4), tj. grupy obrotów w czterech wymiarach.
W takim przypadku rozczepienie na dwie komutujące grupy SU(2) osiągane jest z pomocą kombinacji hermitowskich Ji ± Ki
Takie dwie grupy SU(2) są całkowicie niezależne, ponieważ nie mogą być one przekształcone w siebie poprzez sprzężenie. Parzystość może wiązać te dwie grupy, jednak w przestrzeni Euklidesa, gdzie kierunki są równoważne, jest to już znacznie mniej interesujące.
Zadania.
A. Pokażcie, że PL spełniają aksjomaty grupy, tj. jeśli L1 i L2 – są dwoma PL, to również ich iloczyn L1L2 jest PL ; istnieje przekształcenie tożsamościowe ; jeśli L jest PL, to L-1 również jest PL.
B. Pokażcie, że det L i znak wielkości Λ0
0 są inwariantami przekształcenia PL i z tego powodu mogą być wykorzystane w celu klasyfikacji PL.
C. Pokażcie, że jeśli L – jest ograniczonym PL ( det L = +1 , Λ0
0 > 1 ), to wszystkie PL mogą być zapisane w postaci : L × odbicie przestrzenne dla L↑
- L × odbicie czasu dla L↓
-
L × odbicie przestrzenne dla × odbicie czasowe dla L↓ +
D. Pokażcie, że ograniczone przekształcenie Lorentza można jednoznacznie przedstawić w postaci iloczynu pchnięcia i obrotu.
E*. Zadanie o przetasowaniu indeksów. Pokażcie, że składowe samodualnego antysymetrycznego tensora drugiego rzędu przekształcają się jeden przez drugi, tj. nieprzywiedlnie względem grupy Lorentza.
§ 3. Grupa Poincarego.
Drugą fundamentalną zasadą jest inwariantność zachowania izolowanego układu fizycznego względem jednorodnych translacji w przestrzeni i czasie. ( aby uwzględnić oddziaływania grawitacyjne, zasadę tę należy uogólnić na dowolne translacje ). Takie przekształcenie zapisujemy w postaci :
xµ → x’µ = xµ + aµ (3.1)
gdzie : aµ – dowolny stały 4-wektor.
Ogólną grupą inwariantności jest zatem 10-cio parametrowa grupa, nazywana grupą Poincarego, dla której :
xµ → x’µ = Λµν xν + aµ (3.2)
Translacje (3.1) nie komutują z PL. Rozważmy, bowiem dwa kolejne przekształcenia grupy Poincarego (GP) z parametrami ( Λ1, a1 ) i ( Λ2, a2 ) :
xµ → Λµ
1ν xν + aµ1 → Λµ 2ρ Λρ
1ν xν + Λµ 2ρ aρ
1+ aµ
2 (3.3)
Widzimy, więc, że parametry translacji doznają obrotu. Nie ma w tym niczego dziwnego, ponieważ tak właśnie być w przypadku 4-wektorów. Podobne związanie grupy translacji z grupą, Lorentza nazywa się iloczynem normalnym. Tym niemniej, jak wynika z samej nazwy, przekształcenia GP tworzą grupę ( zobacz zadanie A ).
Aby otrzymać algebrę generatorów tej grupy, zauważymy, że zmiana współrzędnych punktu świata x przy nieskończenie małej translacji może być zapisana w postaci :
δxµ = iερPρxµ (3.4)
iερPρxµ = εµ (3.5)
gdzie εµ – parametr.
Wielkości :
Pρ = − i∂ρ (3.6)
są to generatory hermitowskie.
Oczywiście komutują one ze sobą :
[ Pµ , Pν ] = 0 (3.7)
ale nie komutują one z generatorami grupy Lorentza :
[ Mµν , Pρ ] = − igµρPν + igνρPµ (3.8)
Poprzez zależności komutacyjne (3.7) i (3.8) jak również poprzez zależności komutacyjne dla Mµν definiowana jest algebra Liego grupy Poincarego. „Długość” PµPµ wektora Pρ jest oczywiście inwariantna względem przekształceń Lorentza i dlatego na mocy wzoru (3.7) jest operatorem Casimira. Nie jest jednak oczywiste jak zbudować drugi operator Casimira, jednakże jak tylko, co zauważyliśmy jak taki operator może służyć długość dowolnego 4-wektora,
komutującego z generatorami Pµ. Takim 4-wektorem jest 4-wektor Pauliego-Lubańskiego Wµ :
Wµ = ½ εµνρσ Pν Mρσ (3.9)
Z uwzględnieniem wzorów (3.7) i (3.8) oraz faktem antysymetrii symbolu Levi-Civity otrzymujemy :
[ Wµ , Pρ ] = 0 (3.10)
a ponieważ Wρ przekształca się tak jak 4-wektor, otrzymujemy :
[ Mµν , Wρ ] = -igµρWν + igνρWµ (3.11)
Dlatego też długość WµWµ danego wektora jest inwariantem Casimira. Najogólniejsze wyrażenia dla dziesięciu generatorów grupy Poincarego są następujące :
Pρ = − i∂ρ
Mµν = i ( xµ∂ν – xν ∂µ ) + Sµν Tak, że :
Wµ = − ½ iεµνρσ Sρσ ∂ν (3.12)
Teoria reprezentacji GP została opracowana przez Wignera. Jej reprezentacje dzielą się na trzy klasy.
1. Wartość własna operatora PρPρ ≡ m2 jest liczbą dodatnią i rzeczywistą. Wtedy wartość własna operatora WρWρ jest równa –m2s(s + 1), gdzie s – spin s = 0, ½ , 1, ....
Takie reprezentacje indukowane są poprzez masę m i spin s. Stany wewnątrz tej reprezentacji rozróżniane są poprzez trzy składowe spinu s3 = -s, -s + 1, ... , s – 1 , jak również poprzez ciągłe wartości Pi. Fizycznie taki stan odpowiada cząstce o masie m i spinie s, trójwymiarowym pędem pi i rzutem spinu s3. Masywne cząstki o spinie s mają 2s + 1 stopni swobody.
2. Wartość własna operatora PρPρ jest równa zeru, co odpowiada cząstce o zerowej masie spoczynkowej. Przy tym wartość własna operatora WρWρ jest również równa zero, a ponieważ PρWρ = 0 to operatory Wµ i Pµ są
proporcjonalne. Współczynnik proporcjonalności nazywa się skrętnością i jest on równy ± s, gdzie s = 0, ½ , 1, 3/2 , ... – jest spinem reprezentacji.
Zatem, cząstki bezmasowe o spinie s ≠ 0 posiadają dwa stopnie swobody. Dodatkowo są one rozróżniane poprzez trzy wartości ich pędu wzdłuż osi x, y, z.
Przykładem cząstek, podpadających pod tę kategorie jest foton o spinie 1 i dwoma stanami o skrętności ± 1 (* jest to oczywiście polaryzacja *)
neutrino o skrętności ± ½ i grawiton o dwóch stanach polaryzacyjnych ± 2.
3. PρPρ = 0, ale spin przyjmuje wartości ciągłe. Długość wektora W jest równa minus kwadratowi pewnej liczby dodatniej. Taki tym reprezentacji opisuje cząstki o zerowej masie spoczynkowej i o nieskończonej liczbie stanów polaryzacji, indukowanych przez zmienną ciągłą. Jak się wydaje takie reprezentacje nie są realizowane w przyrodzie.
Jeśli chodzi o szczegóły, to odsyłam czytelnika do artykułu : V. Bargman , E. P. Wigner [1].
Istnieją również reprezentacje „tachionowe” o PρPρ < 0, których nie będziemy rozpatrywali.
Istnieją również i inne reprezentacje GP, ale są one nie unitarne. MQ dopuszcza utożsamienie ze stanami cząstek tylko reprezentacji unitarnych. Reprezentacje wignerowskie są nieskończenie wymiarowe, co odpowiada cząstkom o nieograniczonych pędach. Użytecznie jest porównać ten przypadek z przypadkiem, jaki otrzymaliśmy dla grupy Lorentza, gdzie mówiliśmy o skończenie wymiarowych, ale nie unitarnych reprezentacjach. Wprowadzając pojęcie pola będziemy mogli wykorzystać takie reprezentacje.
Zadania.
A. Pokażcie, że przekształcenia (3.2) tworzą grupę.
B. Pokażcie, że jeśli PρPρ = m2 > 0 , to wartość własna operatora WµWµ jest równa tak jak to zapisaliśmy –m2s(s + 1).
B*. Znajdźcie reprezentacje generatorów GP na powierzchni przestrzennopodobnej x0 = 0 w przypadku, kiedy m2 = 0 i s = 0.
Podpowiedź. Podstawiając x0 = 0 należy wyrazić wielkość sprzężoną P0 poprzez pozostałe zmienne. W tym celu wykorzystajcie operator Casimira. Następnie wyraźcie wszystkie generatory GP poprzez xi ,Pi oraz m2.
[ Zobacz również artykuł [2] ]
C. Rozwiążcie poprzednie zadanie dla przypadku powierzchni przestrzennopodobnej x3 = 0.
D**. Rozwiążcie zadanie C dla przypadku s ≠ 0, m2 > 0.
(* Dodatek 1.1 Algebra grupy Poincarego- przegląd zagadnienia.
Zobacz dodatki do książki : P. West „Wprowadzenie do supersymetrii i supergrawitacji”
Grupa przekształceń czasoprzestrzeni.
Ogólne przekształcenie działające w przestrzeni Minkowskiego ma, jak wiemy postać :
X’µ = Λµν Xν + Bµ (D3.1.1) Gdzie :
( Λ00 , Λ0 1 , Λ0
2 , Λ0
3 ) - macierz 4× 4 obrotów i odbić przestrzennych oraz pchnięć lorentzowskich (Λ10 , Λ1
1 , Λ1 2 , Λ1
3 ) Λµν = ( Λ20 , Λ2
1 , Λ2 2 , Λ2
3 ) (Λ30 , Λ3
1 , Λ3 2 , Λ3
3 ) det Λ = ± 1
W szczególności możemy zapisać następujące macierze Λ :
( 1, 0, 0, 0 ) - macierz transformacji odbicia przestrzennego ( 0, -1, 0, 0 )
ΛP = ( 0, 0, -1, 0 ) ( 0 , 0, 0, 0 )
( -1, 0, 0, 0 ) - macierz transformacji odbicia – odwrócenia czasu ( 0, 1, 0, 0 )
ΛT = ( 0, 0, 1, 0 ) ( 0 , 0, 0, 1 )
Bµ = ( B0 ) - macierz kolumnowa translacji czasoprzestrzennych ( B1 )
( B2 ) ( B3 )
jest znaną już macierzą Lorentza L. Macierz ta jest macierzą ortogonalną, zatem :
( macierz Λµν „odpowiada” za obroty czasoprzestrzenne i odbicia , macierz wyrazów wolnych Bµ odpowiada za translacje – przesunięcia czasoprzestrzenne )
LT η L = η ; η = diag ( 1, -1, -1, -1 ) (D3.1.2)
Wzór (D3.1.1) określa ogólną postać transformacji przestrzeni M. Transformację o tej postaci nazywa się :
„Transformacją Poincarego”. Jednorodne przekształcenia Poincarego tj. przekształcenia o postaci :
X’µ = Λµν Xν (D3.1.3) Nazywamy „ogólnymi przekształceniami Lorentza”. Zbiór wszystkich transformacji Poincarego tworzy grupę
( grupa transformacji Poincarego ), zbiór wszystkich jednorodnych transformacji Poincarego również tworzy grupę ( podgrupę grupy Poincarego – nazywamy ją grupą Lorentza ).
( 1, 0 , 0 , 0 ) ( 0 , )
Λµν = ( 0 ,
R
) - przykład macierzy „czystych” obrotów.( 0 , )
gdzie macierz R może mieć postać : R = Rx(θ) = ( 1 0 0 ) ( 0 cos(θ) sin(θ) ) ( 0 -sin(θ) cos(θ) ) lub
R = Ry(θ) = ( cos(θ) 0 -sin(θ) ) ( 0 1 0 ) ( sin(θ) 0 cos(θ) ) lub
R = Rz(θ) = ( cos(θ) sin(θ) 0 ) ( -sin(θ) cos(θ) 0 ) ( 0 0 1 )
( γ , -γβ , 0 , 0 ) ( -γβ , γ , 0 , 0 )
Λµν = ( 0 , 0 , 1 , 0 ) - przykładowa macierz pchnięcia w kierunku osi Ox ( 0 , 0 , 0 , 1 )
( γ , 0, -γβ , 0 ) ( 0 , 1 , 0 , 0 )
Λµν = ( -γβ , 0 , γ , 0 ) - przykładowa macierz pchnięcia w kierunku osi Oy ( 0 , 0 , 0 , 1 )
( γ , 0, 0 , -γβ ) ( 0 , 1 , 0 , 0 )
Λµν = ( 0 , 0 , 1 , 0 ) - przykładowa macierz pchnięcia w kierunku osi Oz ( -γβ ,0 , 0 , γ )
Możemy również wykorzystać macierze obrotów hiperbolicznych ( β = tgh(θ) ): ( cosh (ψ) , 0 , 0 , - sinh (ψ) )
Λµν = ( 0 , 1 , 0 , 0 ) ( 0 , 0 , 1 , 0 ) ( -sinh (ψ), 0 , 0 , cosh (ψ) ) lub
( cosh (ψ) , sinh (ψ), 0, 0 ) Λµν = ( -sinh (ψ), cosh (ψ), 0, 0 ) ( 0 , 1 , 1, 0 ) ( 0 , 0 , 0, 1 )
Zbiór ogólnych transformacji Lorentza, dla których det L = +1 nazywa się „zbiorem dodatnich transformacji Lorentza”
Zbiór te oznaczamy następująco : L+(M) ( zbiór ten tworzy grupę )
Transformacje należące do tego zbioru zachowują orientacje czterowektorów.
Zbiór ogólnych transformacji Lorentza, dla których det L = -1 nazywa się „zbiorem ujemnych transformacji Lorentza”
Zbiór te oznaczamy następująco : L-(M) ( zbiór ten nie tworzy grupy )
Transformacje należące do tego zbioru nie zachowują orientacji czterowektorów ( zawierają odbicia czasoprzestrzenne ).
Oczywiście mamy : L(M) = L+(M) ∪ L-(M)
Można pokazać, że dla wszystkich transformacji Lorentza spełniony jest warunek : | Λ00 | ≥ 1 W zależności od znaku elementu Λ00 , zbiór L(M) możemy podzielić na dwa podzbiory :
Jeśli : Λ00 ≥ + 1 mówimy o zbiorze ortochronicznych transformacji Lorentza, który oznaczamy : L↑ (M) Jeśli : Λ00 ≤ - 1 mówimy o zbiorze antychronicznych transformacji Lorentza, który oznaczamy : L↓ (M)
Pod wpływem transformacji ortochronicznych znak współrzędnej zerowej ( czasowej ) wektorów czasowych nie ulega zmianie tj. transformacje te zachowują orientacje czasu – przeprowadzają wektory skierowane ku przyszłości ( czasowe i zerowe ) na wektory skierowane ku przyszłości ( czasowe i zerowe )
Grupa Lorentza jest, więc sumą czterech składowych : L↑
+ = L+ ∩ L↑ odpowiada : det Λ = +1 , Λ00 ≥ + 1 ; ( dodatnia ortochroniczna ) L↓
+ = L+ ∩ L↓ odpowiada : det Λ = +1 , Λ00 ≤ - 1 ; ( dodatnia antychroniczna ) L↑
- = L- ∩ L↑ odpowiada : det Λ = -1 , Λ00 ≥ + 1 ; ( ujemna ortochroniczna ) L↓
- = L- ∩ L↓ odpowiada : det Λ = -1 , Λ00 ≤ - 1 ; ( ujemna antychroniczna ) Jak widać, tylko przekształcenie L↑
+ zawiera w sobie przekształcenie jednostkowe , nazywamy je „przekształceniem właściwym Lorentza”. Do tego zbioru przekształceń, jak łatwo zauważyć, należy również wprowadzone wcześniej szczególne przekształcenie Lorentza, do którego odnoszą się również zwykłe trójwymiarowe ortogonalne obroty.
Zbiory przekształceń : L↓ + , L↑
- , L↓
- nie zawierają przekształcenia jednostkowego i stanowią przekształcenia tzw.
„niewłaściwe”. Dowolny element każdego z tych zbiorów nie może być w sposób ciągły przeprowadzony w inny z tych zbiorów.
Grupa Poincarego jest grupą 10-cio parametrową. Grupa Lorentza jest grupą 6-cio parametrową ( mamy 10 liniowo niezależnych równań na 16 elementów macierzy L ). Grupa Lorentza jest sześcioparametrową grupą Liego, niezwartą, ponieważ nie ma transformacji odpowiadającej granicznej wartości prędkości c.
Grupa Lorentza jest grupą Liego, oznaczamy ją standardowo jako O(1, 3) ( lub dla sygnatury ( +++-) jako O(3, 1) ) Grupa L↑
+ jest grupą Liego, oznaczamy ją zazwyczaj jako SO(1, 3)↑
( lub, jeśli stosujemy sygnaturę ( +++ -) SO(3,1)↑ ). Zatem dekompozycja grupy O(3, 1 ) jest następująca : O(3,1 ) = { SO(1, 3)↑, ΛP SO(1, 3)↑, ΛT SO(1, 3)↑, ΛP ΛT SO(1, 3)↑ }
Grupa SO(3, 1) składa się z dwóch niespójnych składowych : SO(3,1 ) = { SO(1, 3)↑, ΛPΛT SO(1, 3)↑ }
Można pokazać, że zbiór przekształceń Poincarego o macierzy ( ΛΛΛΛ, B ) tj. macierzy o postaci : ( Λ00 , Λ0
1 , Λ0 2 , Λ0
3 , Π0 4 ) (Λ10 , Λ1
1 , Λ1 2 , Λ1
3 , Π1 4 ) Πµν = ( Λ20 , Λ2
1 , Λ2 2 , Λ2
3 , Π2
4 ) (Λ30 , Λ3
1 , Λ3 2 , Λ3
3 , Π3 4 ) ( 0 0 0 0 1 ) również tworzy grupę.
Symbolicznie przekształcenia Poincarego oznacza się jako ( Λ, Π ) ( oczywiście konkretne oznaczenie jest kwestią wyboru ). Iloczyn w grupie Poincarego określany jest za pomocą następującej zależności :
( Λ1, Π1 ) × ( Λ2, Π2 ) = ( Λ1Λ2 , Λ1Π2 + Π1 ) Element odwrotny do elementu ( Λ, Π ) ma postać : ( Λ, Π )-1 = ( Λ-1 , −Λ-1 Π )
Elementem neutralnym jest przekształcenie o postaci : ( 1, 0 )
Jak już wiemy dla grup Liego wprowadza się pojecie generatora danej grupy G ( o składowych gik(α) ) :
Ij = ( ∂gik /∂αj )αi = 0 (D3.1.4)
Często wprowadza się również (lub zamiast ) infinitezymalny operator hermitowski : Jk = i Ik ≡ i ( ∂gik /∂αj )αi = 0 ; i – jednostka urojona
Dowolne przekształcenie infinitezymalne możemy zapisać z użyciem takich generatorów : G(δα) = 1 + Ij (δα) lub G(δα) = 1 + i Ij (δα) ; δα – nieskończenie mały parametr.
Przekształcenie skończone o parametrze α możemy złożyć z nieskończenie wielu następujących po sobie transformacji infinitezymalnych o parametrze δα = α/N , N →∞ :
G(α) = lim ( 1 + i I(α/N) )N = eiαI N→∞
Jeżeli grupa opisana jest wieloma niezależnymi parametrami αr , to posiada ona tyleż samo generatorów Ir , a skończone przekształcenie przyjmuje postać :
G(αr ) = ei ΣΣΣΣr Ir Wielkość : n
Xr ≡
ΣΣΣΣ
(∂xµ /∂αr ) | αr = 0 ∂/∂xµ (D3.1.5) µ=0nazywamy operatorem infinitezymalnym danej grupy Liego zależnej od αr parametrów. ( często nazywamy ja również generatorem grupy G )
Operatory hermitowskie spełniają warunek : [ Jx , Jy ] = i εxyz Jz ; gdzie εxyz - symbol Leviego-Civity Symbol : [ , ] – jest to komutator [ Jx , Jy ] ≡ Jx Jy − Jy Jx ; oczywiście x, y, z = 1, 2, 3
Generatory pchnięć mają, zatem postać : S1= ( ∂Rx(θ)/∂θ ) |θ=0 = ( 0 0 0 ) ( 0 0 -1 ) ( 0 1 0 ) S2= ( ∂Ry(θ)/∂θ ) |θ=0 = ( 0 0 1 ) ( 0 0 0 ) (-1 0 0 )
S3= ( ∂Rz(θ)/∂θ ) |θ=0 = ( 0 -1 0 ) ( 1 0 0 ) ( 0 0 0 )
Oczywiście, aby otrzymać operatory hermitowskie należy powyższe macierze przemnożyć przez i.
Uwaga. Konkretny symbol dla oznaczenia powyższych komutatorów może być inny np. Ji.
Infinitezymalne obroty możemy zadać następująco : Rx(δθ) = 1 + i Sx(δθ), Rx(θ) = ei Jxθ Ry(δθ) = 1 + i Sy(δθ), Ry(θ) = ei Jyθ Rz(δθ) = 1 + i Sz(δθ), Rz(θ) = ei Jzθ ( oczywiście Sx ≡ Jx ... )
Mamy następujące relacje komutacyjne :
[ Jx , Jy ] = i Jz , [ Jy , Jz ] = i Jx , [ Jz , Jx ] = i Jy (D3.1.6) Zależności te z dokładnością do czynnika ħ pokrywają się z regułami komutacyjnymi dla operatorów składowych momentu pędu w mechanice kwantowej.
A tak możemy uzyskać „z powrotem” macierz Rz(θ) korzystając z jej generatora :
Generatory pchnięć mają postać :
K1= ( ∂Λx(ψ)/∂ψ ) |ψ=0 = -i ( 0 1 0 0 ) ( 1 0 0 0 ) ( 0 0 0 0 ) ( 0 0 0 0 )
K2 = ( ∂Λy(ψ)/∂ψ ) |ψ=0 = -i ( 0 0 1 0 ) ( 0 0 0 0 ) ( 1 0 0 0 ) ( 0 0 0 0 ) K3 = ( ∂Λz(ψ)/∂ψ ) |ψ=0 = -i ( 0 0 0 1 ) ( 0 0 0 0 ) ( 0 0 0 0 ) ( 1 0 0 0 )
Generatory Si są generatorami „czystych” obrotów, generatory Ki są generatorami pchnięć- boostów.
Można pokazać, że spełniają one następujące zależności :
[ Ki , Kj ] = - εijk Sk (D3.1.7a,b,c)
[ Si , Sj ] = εijk Sk [ Si , Kj ] = εijk Kk
( Uwaga. zamiast oznaczenia S spotkać możemy oznaczenie I lub J )
Wraz z generatorami J, K wygodnie jest zdefiniować operatory : Ai = ½ ( Ji + iKi ) , Bk = ½ ( Ji − iKi ) , i = 1, 2, 3
Relacje komutacyjne przyjmują teraz postać : [ Ai , Ak ] = i εikj Aj
[ Bi , Bk ] = i εikj Bj [ Ai , Bk ] = 0
Ogólnie możemy powiedzieć, że badanie danej grupy można sprowadzić do badania jej generatorów, a struktura danej grupy będzie zbadana, jeśli zbadamy relacje komutacyjne zachodzące między jej generatorami.
Zamiast wyrażeń macierzowych J, K wielokrotnie dogodnie jest wprowadzić te wielkości w postaci operatorów różniczkowych (infinitezymalnych) , typu (D3.1.5). Postać takich operatorów dla macierzy obrotów jest następująca ( zobacz również wzór (D3.1.8) ) :
Jx = -i ( y ∂/∂z – z ∂/∂y ) Jy = -i ( z ∂/∂x – x ∂/∂z ) Jz = -i ( x ∂/∂y – y ∂/∂x )
Operatory infinitezymalne pchnięć, mają postać : Kx = i ( t ∂/∂x – x ∂/∂t )
Ky = i ( t ∂/∂y – y ∂/∂t ) Kz = i ( t ∂/∂z – z ∂/∂t )
( relacje komutacyjne tych operatorów są takie same jak dla generatorów )
Z teorii grup wynika, że we wszystkich reprezentacjach danej grupy generatory spełniają te same relacje komutacyjne Różne reprezentacje numerowane są wartościami własnymi niezmienników w danej grupie, utworzonymi z ich generatorów. Takie niezmienniki nazywa się operatorami Casimira. Najważniejszą ich własnością jest komutowanie z każdym elementem grupy, z czego wynika, że muszą one być proporcjonalne do jedności grupowej.
W przypadku grupy obrotów operatorem Casimira jest suma kwadratów generatorów, czyli operator kwadratu momentu pędu :
I2 = I12 + I22 + I32
Wartości własne kwadratu momentu pędu, jak wiadomo z mechaniki kwantowej wynoszą j( j + 1 )ħ, gdzie j – to liczba kwantowa, która może przyjmować wartości ½ , 1, 3/2, 2, ....
Zatem, różne reprezentacje możemy numerować dyskretną liczbą j. Grupa obrotów posiada, więc nieskończenie wiele unitarnych reprezentacji skończenie wymiarowych.
Operatorami infinitezymalnymi i hermitowskimi grupy obrotów, spełniającymi relacje (D3.1.6) są wielkości :
Xmn = - i (xm∂n− xn ∂m ) (D3.1.8)
Operatory infinitezymalne grupy Lorentza.
W szczególności operatorami inifinitezymalnymi grupy Lorentza są operatory o postaci : Lµν = i (xµ∂ν− xν ∂µ ) ; µ, ν = 0, 1, 2, 3
Z których tylko 6 jest niezależnych : L01 , L02 , L03 , L12 , L23 , L31.
Operatory te spełniają następujące relacje komutacyjne : [ Lµν , Lρσ ] = i ηνρLµσ - i ηµρLνσ - i ηνσLµρ + i ηµσLνρ
( Uwaga. często zastępuje się elementy metryki Minkowskiego ηµν ogólniejszą metryką Riemanna gµν ) Lµν≡ Mµν = ( 0 K1 K2 K3 )
( -K1 0 -J3 J2 ) ( -K2 J3 0 -J1 ) ( -K3 -J2 J1 0 ) lub: M0i = Ki , Mij = - εijk Jk
Z sześciu niezależnych generatorów Mµν daje się skonstruować dwa zestawy niezależnych operatorów Nk oraz
N+k , k = 1, 2, 3. Są one sprzężone względem siebie po hermitowsku i spełniają jednakowe warunki komutacyjne postaci [ Jx , Jy ] = i εxyz Jz tj. :
[ Nm , N+ k ] = 0 [ Nm , Nk ] = i εmkn Nn
[ N+m , N+
k ] = i εmkn N+ k
Zależności te definiują algebrę Liego grupy Lorentza.
Grupa Poincarego.
W skład generatorów grupy Poincarego wchodzi 6 operatorów infinitezymalnych grupy Lorentza Lµν , oraz dodatkowo 4 generatory translacji :
Pµ = -i∂µ
Operatory te komutują ze sobą, tj. : [ Pµ , Pν ] = 0
oraz spełniają zależność : [ Lµν , Pρ ] = i ηµρPν + i ηνρ Pµ
Pełna algebra grupy Poincarego ma, zatem postać :
[ Lµν , Lρσ ] = i ηνρLµσ - i ηµρLνσ - i ηνσLµρ + i ηµσLνρ [ Lµν , Pρ ] = i ηµρPν + i ηνρ Pµ
[ Pµ , Pν ] = 0
Grupa Poincarego posiada dwa operatory Casimira ( operatory W2 i P2 komutują z generatorami grupy Poincarego ) : C1 = − Pµ Pµ
C2 = Wµ Wµ Gdzie :
Wµ = ½ εµνλσ Lνλ Pσ - wektor Pauliego-Lubańskiego Można pokazać, że [10] :
Wµ Pµ = 0 , [ Wµ, Pν ] = 0
W2 = - ½ Mµν Mµν P2 + Mµσ Mνσ Pµ Pν [ Lµν , Wσ ] = i ( gνσ Wµ – gµσ Wν ) [ Wµ , Wν ] = − i εµνσρ Wσ Pρ
*)
§ 4. Zachowanie pól lokalnych pod działaniem grupy Poincarego.
Rozpatrzmy dowolną funkcję punktu czasoprzestrzennego P. W jednym IUO, w którym to punktowi P odpowiadają współrzędne xµ będzie to funkcja f(xµ ), w drugim IUO, gdzie punktowi P odpowiadają współrzędne x’µ, będzie to funkcja f ’(x’µ ), co wynika z tego, ze zależność funkcjonalna, ogólnie mówiąc, zależy od wyboru układu odniesienia.
Zmianę funkcji przy nieskończenie małym przekształceniu współrzędnych zapiszemy w postaci :
δf = f ‘(x’ ) – f (x ) = f ‘( x + δx ) – f (x ) = f ‘(x ) – f(x ) + δxµ ∂µ f’ + O(δx2 ) (4.1) Z dokładnością do O(δxµ ) można zamienić wielkość ∂µf ’ na wielkość ∂µf . Wtedy :
δf = δ0f + δxµ ∂µf (4.2)
gdzie poprzez δ0f oznaczyliśmy zmianę funkcji w danym punkcie x :
δ0f = f ‘(x ) – f (x ) (4.3)
Drugi człon we wzorze (4.2) nazywa się członem przenoszącym (* transport term *).
Równość (4.2) można formalnie zapisać jako zależność operatorową :
δ = δ0 + δxµ∂µ (4.4)
Przy translacjach w CP pole lokalne nie zmienia się, tj. :
δf = 0 = δ0f + εµ ∂µf (4.5)
lub :
δ0f = -εµ ∂µf = -iεµ Pµf (4.6)
gdzie : Pµ – operator określony wzorem (3.6).
Przy przekształceniach Lorentza sytuacja jest bardziej złożona i dla jej wyjaśnienia rozpatrzymy kilka przykładów.
a) Pole skalarne.
Zbudujmy pewną funkcję φ(x) współrzędnych xµ , przyjmujących jedną i tę samą wartość przy pomiarze w różnych IUO, związanych PL, tj. :
φ’(x’ ) = φ(x ) (4.7)
Poprzez taki warunek definiujemy pewne pole skalarne ( względem PL ).
W przypadku przekształcenia nieskończenie małego, wykorzystując wzory (4.7) i (4.2) znajdujemy, że :
0 = δφ = δ0φ + δxµ ∂µφ (4.8)
gdzie xµ zadane są wzorem (2.26). Podstawiając :
δ0φ = - ½ ερσ Mρσφ (4.9)
i porównując z (4.8) widzimy, że reprezentacje generatorów grupy Lorentza Mµν w przypadku pola skalarnego wyrażają się prosto poprzez i( xµ∂ν – xν∂µ ).
To oznacza, że wprowadzony wcześniej operator Sµν , działając na pole skalarne daje zero. W jaki sposób pojawia się nietrywialne Sµν , możemy zobaczyć rozpatrując konstrukcje ∂µφ(x). Zauważmy, że wyrażenie to jest skalarem ze względu na translacje, tak jak i φ, co wynika z tego, że operator pochodnej nie zmienia się przy translacjach ( oczywiście, tylko przy jednorodnych translacjach ). Mamy zatem :
δ∂µφ = [ δ, ∂µ ] φ + ∂µδφ (4.10)
Ponieważ φ – jest skalarem lorentzowskim, wielkość δx jest równa zeru. Ze wzoru (4.4) widzimy, że :
[ δ , ∂µ ] = [ δ0 , ∂µ ] + [ δxν∂ν , ∂µ ] (4.11)
Operator δ0 nie zmienia wielkości xµ i dlatego komutuje z ∂µ , jednakże do δxν się to nie odnosi. Obliczenie ostatniego komutatora daje nam :
[ δ , ∂µ ] = εµν ∂ν (4.12)
Zbierając wszystkie otrzymane wyniki, znajdujemy, że :
δ0 ∂µ φ = - ½i ερσ Lρσ ∂µ φ – ½i ( ερσ Sρσ )µν ∂νφ (4.13) gdzie :
( Sρσ )µν = i( gρµgνσ – gσµgνρ ) (4.14)
Jak łatwo się przekonać, znalezione operatory spełniają te same zależności komutacyjne, co generatory Lµν. Porównując zależność (4.13) z formą kanoniczną :
δ0 ( cokolwiek ) = − ½i ερσ Mρσ ( cokolwiek ) (4.15)
otrzymujemy reprezentacje generatorów lorentzowskich dla pola ∂µφ.
Pole, przekształcające się jak ∂µφ(x ) nazywa się polem wektorowym. Zauważmy, że rola „części spinowej” Mµν zawiera się w przestawieniu indeksów.
Pole tensorowe z wieloma indeksami lorentzowskimi będzie się przekształcało również według prawa (4.13). Działanie operatora Sρσ na takie pole będzie przedstawiało się jako suma wyrażeń typu (4.14), po jednym na każdy indeks.
Przykładowo, działanie operatora Sρσ na tensor drugiego rzędu Bµν dane jest wzorem :
( Sρσ B )µν = − i( gρµBρν – gρµBσν + gσνBµρ – gρνBµσ ) (4.16)
Teraz już łatwo zbudować z pól skalarnych pewne inwarianty względem grupy Poincarego. Są to dowolne funkcje skalarne φ(x), takie, jak φn , cos( φ(x) ) itp. ; ∂µ∂µφ(x), (∂µφ ) (∂µφ) itp. ( zobacz zadanie )
Jednakże wielkość xµ∂µφ będąc lorentz -inwariantną nie jest poincare -inwariantna.
b) Pola spinorowe.
Spinorowe reprezentacje GL ( ½ , 0 ) i ( 0, ½ ) realizowane są przez dwuskładnikowe zespolone spinory. Spinory takie oznaczymy jako ψL(x) i ψR(x). Dwuznaczne indeksy spinorowe nie są wypisane w postaci jawnej. [ W literaturze indeksy spinorowe L-typu oznaczane są kropką na górze, a indeksy R-typu bez kropki ].
Przekształcenia spinorów zapiszemy w następującej postaci : ψL(x) → ψ’L(x’ ) = ΛLψL(x ) dla ( ½ , 0 )
ψR(x) → ψ’R(x’ ) = ΛRψR(x ) dla ( 0, ½ )
gdzie : ΛL, R – macierze 2 × 2 o elementach zespolonych.
W przypadku, kiedy przekształcenie jest obrotem, jawna postać macierzy ΛL, R jest znana ze spinorowych reprezentacji grupy SU(2) :
ΛL, R = e ½iσω (obrót ) (4.17)
ωi – parametry obrotu, σi – macierze hermitowskie 2 × 2 – macierze Pauliego :
σ1 = ( 0 1 ) , σ2 = ( 0 −i ) , σ3 = ( 1 0 ) (4.18) ( 1 0 ) ( i 0 ) ( 0 –1 )
Macierze te spełniają następującą zależność :
σiσj = δij + iεijkσk (4.19)
Identyfikując generatory obrotów Ji z ½σi, możemy zapisać również w podobnej 2×2-formie również generatory pchnięć. Wiemy już, że generatory Ki nie powinny być unitarne, ponieważ rozczepienie na dwie SU(2)-grupy jest nieunitarne. Przedstawienie tych generatorów w postaci :
K = - ½i σ (4.20)
spełnia wszystkie wymogi zależności komutacyjnych. Dlatego możemy zapisać :
ΛL = e½σ (ω – iν ) (4.21)
gdzie : ν – parametry pchnięcia, związane z generatorami K.
Ponieważ reprezentacje ( ½ , 0 ) i ( 1, ½ ) związane są między sobą przekształceniem parzystości, można znając ΛL zbudować ΛR , zmieniając znak parametrów pchnięcia :
ΛR = e½σ (ω + iν ) (4.22)
Powyższe wyrażenia dla ΛR, L dają możliwość wyprowadzenia szeregu ważnych własności.
Po pierwsze widać, że ΛR i ΛR związane są między sobą poprzez zależność : ΛR-1
= ΛR†
(4.23)
Po drugie, na mocy własności macierzy Pauliego :
σ2σiσ2 = − (σi )* (4.24)
gdzie gwiazdką oznaczono sprzężenie zespolone, możemy zapisać następującą zależność :
σ2ΛLσ2 = e- ½iσ*(ω + iν ) ΛR* (4.25)
Po trzecie, z hermitowsko sprzężonego równania (4.24) z uwzględnieniem hermitowskości macierzy Pauliego wynika, że ΛLT
= σ2ΛL-1σ2 (4.26)
skąd :
σ2ΛLTσ2ΛL= 1 lub ΛLTσ2ΛL= σ2 (4.27)
Taka sama równość jest słuszna dla ΛR.
Wszystkie te zależności będą nam potrzebne przy budowie wyrażeń inwariantnych lorentzowsko, zawierających pola spinorowe. W charakterze pierwszego zastosowania, wykorzystamy sprzężone równanie (4.25), pokażemy , że przy PL spełnione są zależności :
σ2ψL* → σ2ΛL* ψL* = σ2ΛL* σ2σ2 ψL* = ΛRσ2ψL* (4.28)
Wzór (4.28) pokazuje, że jeśli zadany jest spinor ψL , przekształca się jak ( ½ , 0 ), to można zbudować związany z nim spinor σ2ψL* przekształcający się jak ( 0, ½ ). Dokładnie tak samo, jeśli spinor ψR przekształca się jak ( 0, ½ ), to spinor σ2ψR* przekształca się jak ( ½ , 0 ).
Wcześniej zauważyliśmy, że można zbudować reprezentacje skalarną, biorąc antysymetryczny iloczyn dwóch reprezentacji ( ½ , 0 ). Teraz możemy to pokazać to w sposób jawny.
Niech ψL i χL – będą dwoma spinorami, przekształcającymi się według reprezentacji ( ½, 0).
Jak wynika ze wzoru (4.27), przy PL :
χLTσ2ψL → χLTΛLTσ2ΛL ψL = χLTσ2ψL (4.29)
Jest to właśnie szukany skalar.
Z punktu widzenia teorii grup iloczyn skalarny pojawia się jako iloczyn antysymetryczny, dlatego biorąc χL = ψL powinniśmy otrzymać wniosek, ze skalarny inwariant nie powinien istnieć.
W jawnej postaci znajdujemy, że :
ψLTσ2ψL = ( ψL1 ψL2 ) ( 0 – i ) ( ψL1 ) = - iψL1ψL2 + iψL2ψL1 (4.30) ( i 0 ) ( ψL2 )
wyrażenie to zeruje się, jeśli ψL1 i ψL2 – są zwykłymi liczbami. Jednakże jeżeli weźmiemy w charakterze ψL1 i ψL2 liczby Grassmanna, antykomutujące ze sobą, to taki inwariant skalarny będzie miał niezerową wartość.
W istocie, jak zobaczymy dalej, pola spinorowe mogą być rozpatrywane jako klasyczne liczby Grassmanna.
G-liczby ( jak będziemy je oznaczali ) można traktować jak zwykłe liczby z wyjątkiem tego, że wszystkie one antykomutują. Jeśli ψ i χ - są G-liczbami , to :
(ψχ )* = ψ*χ*
Możemy również wziąć χL= σ2ψL* , wtedy inwariant przyjmie postać :
i( σ2 ψL* )Tσ2ψL = -i ψR†ψL (4.31)
Ani jeden z takich inwariantów nie jest rzeczywisty.
Zamieniając L na R ( oraz na odwrót ), otrzymamy sprzężone zespolenie inwarianty.
Z dwóch spinorów możemy zbudować również reprezentacje, odpowiadającą 4-wektorowi. Najprostszą droga
prowadzącą do tego celu będzie rozpoczęcie od spinora ψL ~ ( ½ , 0 ), ponieważ można z niego skonstruować spinor ( 0, ½ ), a następnie pomnożyć te dwa spinory. Wiadomo, ze wielkość ψL†ψL jest inwariantna ze względu na rotacje, które przedstawiane są poprzez operatory unitarne, działające na spinory. Nie jest ona jednak inwariantna ze względu na pchnięcia, ponieważ :
ψL†ψL → ψR†eσν ψL ≈ ψL†ψL + ν ψL† σψL + O(ν2 ) (4.32)
Jednakże dodatkowo pojawiająca się wielkość przekształca się według zasady :
ψL†σi ψL → ψR†e½σν σie½σν ψL = ψL†σi ψL + ½ νj ψL†{ σi , σj }ψL + O(ν2 ) = ψL†σi ψL + νjψL†ψL + O(ν2 )
(4.33)
gdzie : { , } – oznacza antykomutator.
Zatem, pod działaniem pchnięć dwie wymienione wielkości przekształcają się jedna w drugą :
δψL†ψL = νiψL†σiψL , δψL†σiψL = νiψL†ψL (4.34)
,a względem obrotów wielkość ψL†σiψL zachowuje się jak 3-wektor.
Porównajmy zależności (4.34) z prawem przekształcenia 4-wektora :
δVµ = εµν Vν (4.35)
gdzie : ε0i = -vi – są parametrami pchnięcia.
Wynika z tego, że wielkość :
iψLσµψL = i ( ψL†ψL† , ψL†σiψL ) (4.36)
jest 4-wektorem.
Przez σ0 oznaczamy macierz jednostkową 2 × 2.
Rozpoczynając od ψR I zmieniając znak składowych przestrzennych można otrzymać inny 4-wektor :
i ψR σ– µ ψR ≡ i ( ψR†ψR† , ψR†σiψR ) (4.37) Te dwa wektory są rzeczywiste, ponieważ ψL i ψR są zmiennymi Grassmanna :
( ψL†ψR )* = ψLTψR* = - ψR†ψL
i ich suma ( różnica ), posiada dodatnią ( ujemną ) parzystość.
Każdy z tych 4-wektorów, w kombinacji z drugim takim wektorem, może dać inwariant lorentzowski. Jak już widzieliśmy, najprostszym 4-wektorem jest operator pochodnej ∂µ , który na dodatek jest jeszcze translacyjnie inwariantny. Ponieważ operator ten może działać na dowolne z pól, otrzymujemy następujące biliniowe względem pól spinorowych inwarianty :
∂µ ψR†σ– µ ψR , ψR†σ– µ ∂µψR , ∂µ ψL†σµ ψL , ψL†σµ ∂µψL (4.38) Przyjmujemy, że operator pochodnej działa prawostronnie i tylko na najbliższą sobie wielkość.
Wskazane inwarianty lorentzowskie nie są rzeczywiste, można jednakże utworzyć ich rzeczywiste kombinacje, np. :
½ ψL†σµ ∂µψL – ½ ∂µψL†σµ ψL ≡ ½ ψL†σµ ∂µ↔ ψL (4.39) oraz analogiczne wyrażenie, w którym L zamieniono na R , a σµ na σ– µ .
Jeśli parzystość jest istotna, to należy połączyć reprezentacje ( ½ , 0 ) i ( 0, ½ ). Ponieważ nie można przyrównywać spinora ψL do spinora σ2ψL* nie dochodząc do sprzeczności lub do warunku ψL = 0, koniecznym jest zbudowanie czteroskładnikowego spinora (* czterospinora *) nazywanego spinorem Diraca :
Ψ = ( ψL ) (4.40)
( ψR )
dla którego operacja inwersji przestrzennej jest dobrze określona :
P : Ψ → ΨP = ( ψR ) = ( 0 1 )Ψ ≡ γ0Ψ (4.41) ( ψL ) ( 1 0 )
gdzie wprowadzono macierz 4 × 4 γ0.
Z pomocą operatorów rzutowych :
½ ( 1 ± γ5 ) (4.42)
gdzie ( w formie 2 × 2 blokowej ) :
γ5 = ( 1 0 ) (4.43)
( 0 -1 )
można zrzutować spinor Diraca na lewy lub prawy spinor.
Wszystkie zbudowane wcześniej inwarianty można wyrazić przez spinory Diraca. Przykładowo :
ψR†ψL + ψL†ψR = Ψ†γ0Ψ ≡ Ψ– Ψ (4.44)
gdzie : Ψ– = Ψ†γ0 – spinor diracowsko sprzężony. (* sprzężenie Pauliego *)
Ponieważ wielkość (4.44) jest inwariantem lorentzowskim, to spinor Ψ– przekształca się kontragradientnie względem Ψ.
Analogicznie :
½ ( ψL†σµ ∂µ↔ ψL + ψR†σ– µ ∂µ↔ ψR ) = ½ Ψ– γµ∂µ↔Ψ (4.45) gdzie wprowadzono macierz 4 × 4 :
γi = ( 0 -σi ) (4.46)
( -σi 0 )
Ponieważ wielkość (4.45) – jest inwariantem lorentzowskim, indeks µ dla γ-macierzy jest istotnym indeksem 4- wektorowym.
Jest jasne, że są to macierze Diraca w reprezentacji Weyla. Spełniają one zależność :
{ γµ , γν } = 2gµν (4.47)
Macierz γ5 związana jest z pozostałymi macierzami gamma poprzez wzór :
γ5 = i γ0γ1γ2γ3 (4.48)
Uwzględniając równoważność spinorów ψL i σ2ψR* ze względu na przekształcenia Lorentza, możemy zbudować odpowiedni spinor Diraca :
ΨC ≡ ( σ2ψR* ) (4.49)
( -σ2ψL* ) Zauważmy, że :
( ΨC )C = Ψ (4.50)
Spinor ΨC nazywa się ładunkowo sprzężonym (* charge conjugate spinor *)
Ponieważ σ2ψL* przekształca się tak samo jak ψR , to można zbudować specjalny typ czteroskładnikowego spinora, nazywany spinorem Majorany :
ΨM ≡ ( ψL ) (4.51)
( -σ2ψL* )
Jest on ładunkowo sprzężony.
Spinor Majorany, jest spinorem Weyla, zapisanym w formie czteroskładnikowej. Nad fizyczną interpretacją tego spinora zastanowimy się, kiedy zbudujemy z pól spinorowych FD. Teraz zauważymy tylko, że spinor Majorany lub Weyla opisuje obiekty o dwukrotnie mniejszej liczbie stopni swobody niż spinor Diraca.
Jak zauważyliśmy pod koniec paragrafu 2, w przestrzeni Euklidesa nie można powiązać ze sobą dwóch grup SU(2), tworzących ( euklidesową ) GL. Teraz możemy pokazać dlaczego tak właśnie jest.
Każda z grup SU(2) realizuje się poprzez operatory unitarne i dlatego mamy wyrażenia : ΛL → ΛE
L e½σ(ω + ν ) (4.52)
ΛR →ΛE
R e½σ(ω − ν ) (4.52)
skąd widać, że między ΛE L i ΛE
R nie ma żadnego związku. Zatem, w przestrzeni Euklidesa nie istnieją spinory Majorany, co wynika z tego, że nie można związać ψE
L i ψE
R. Jednakże mamy swobodę wyboru ψE
L lub ψE R w oddzielności i możemy nawet utworzyć spinor Diraca ΨE , rozumiejąc, oczywiście, że wprowadzona powyżej operacja sprzężenia ładunkowego przestaje istnieć.
c) Pole wektorowe.
Pole wektorowe przekształca się zgodnie z reprezentacją ( ½ , ½ ). Widzieliśmy już jak działa operator Sρσ na dowolne pole wektorowe Aµ(x). Do tego możemy dodać jeszcze, że istnieje druga reprezentacja pola wektorowego w postaci macierzy hermitowskiej 2 × 2 :
Aµ → A = ( A0 + A3 A1 + iA2 ) (4.53)
( A1 − iA2 A0 − A3 )
PL określone są jako takie przekształcenia przy których zachowany jest warunek A = A† i wielkość det A pozostaje inwariantna.
Można rozważyć szereg inwariantów, takich jak np. Aµ(x )Aµ(x), ∂µAν(x )∂νAµ(x) , ∂µAν(x )∂µAν(x) , ∂µAµ(x) itp.
Ponieważ dla zadanej reprezentacji określona jest parzystość, to możemy zdefiniować zarówno pola wektorowej jak i pseudowektorowe.
d) Pole o spinie 3/2.
Pole o spinie 3/2 możemy zdefiniować na różne sposoby, w zależności od tego jaka rolę powinna odgrywać parzystość.
Jeden z możliwych sposobów polega na tym, aby utworzyć iloczyny trzech reprezentacji ( ½ , 0 ) :
( ½ , 0 ) ⊗ ( ½ , 0 ) ⊗ ( ½ , 0 ) = ( 3/2 , 0 ) ⊕ ( ½ , 0 ) ⊕ ( ½ , 0 ) (4.54) Iloczyn całkowicie symetryczny odpowiada spinowi 3/2 ( dwa przestawienia ( ½ , 0 ) posiadają mieszaną symetrię ).
Zatem, pole o spinie 3/2 przedstawia się jako pole całkowicie symetryczne względem przestawienia trzech jego indeksów spinorowych L-rodzaju.
Własności transformacyjne takiego pola otrzymujemy na drodze odpowiedniego uogólnienia działania operatora Sρσ na indeks L-rodzaju ( zobacz zadanie ).
W tym przypadku stany własne operatora parzystości dane są przez kombinacje reprezentacji ( 3/2, 0 ) ⊕ (0, 3/2 ).
Jednakże taka reprezentacja jest bardzo nieczytelna ze względu na dużą ilość indeksów w symbolu pola.
Bardziej dogodna reprezentacja pola o spinie 3/2 dana jest poprzez iloczyn wektora i spinora :
( ½ , ½ ) ⊗ ( ½ , 0 ) = ( 1, ½ ) ⊕ ( 0 , ½ ) (4.55) Odpowiednia wielkość polowa posiada 4-wektorowe i spinorowe indeksy. Stanem własnym operatora parzystości w tym przypadku będzie czteroskładnikowe pole Rarity-Schwinger’a :
Ψµ = ( ψµL ) (4.56)
( ψµR )
( opuszczono indeksy spinorowe )
Pole zapisane w taki sposób opisuje wszystkie stany, zawarte w iloczynie (4.55), razem z ich partnerami ze względu na parzystość. Zatem, należy w sposób lorentz- inwariantny odrzucić zbędne składowe ( ½ , ½ ) ⊗ ( ½ , 0 ), w tym celu nakładamy na pole dodatkowe warunki :
σµ ψµL ) = σ– µ ψµR = 0 (4.57)
lub, z wykorzystaniem macierzy Diraca :
γµ Ψµ = 0 (4.58)
Można zbudować te same typy kowariantów i inwariantów, co w przypadku spinorowym, z tą tylko różnicą, że teraz mamy jeszcze jeden indeks wektorowy. Przykładowymi inwariantami są :
ψµLT σ2 ψµ
L , ψµRT σ2 ψµ
R , ψµRψµ
L , ... (4.59)
Wykorzystując zbiór wektorów :
ψµL†σρ ψνLεµρνσ , ψµR†σρ ψνRεµρνσ (4.60)
w kombinacji z operatorem ∂µ utworzymy inwarianty o postaci :
∂µ ψσL†σρ ψνLεµρνσ itd. (4.61)
Rzeczywistym, skalarnym inwariantem jest kombinacja :
½ ( ψµL†σρ ∂ρ↔ψνL – ψµR†σ–ρ ∂σ↔ψνR ) εµρνσ = ½Ψ–µγ5 γρ ∂σ↔Ψσ εµρνσ (4.62) Obecność znaku minus, lub co na jedno wychodzi, macierzy γ5 podyktowane jest przez własności tensora ε ze względu na przekształcenie parzystości. Na zakończenie zauważymy, że w przypadku pola o spinie ½ na pola Rarity-Schwinger’a można nałożyć warunki Majorany.
e) pole o spinie 2.
Również w tym przypadku istnieje wiele sposobów opisu pola o spinie 2 : ( 2, 0 ) , (0, 2) , ( 1, 1). Wybierzemy ten ostatni sposób. Taka reprezentacja wynika dla iloczynu :
( ½ , ½ ) ⊗ ( ½ , ½ ) = [ (0, 0) ⊕ ( 1, 1 ) ]S ⊕ [ (0, 1) ⊕ ( 1, 0 ) ]A (4.63) gdzie poprzez indeksy S, A oznaczono odpowiednio części symetryczną i antysymetryczną.
Zatem, pole o spinie 2 może być opisane poprzez symetryczny tensor drugiego rzędu hµν. Śladowi tego tensora odpowiada składowa skalarna, którą można odrzucić, nakładając warunek bezśladowości :
g µνhµν (x) = 0 (4.64)
Inwarianty możemy łatwo zbudować poprzez „nasycenie” (* saturating *) indeksów wektorowych i wykorzystanie operatora ∂µ. Oto przykłady :
hµν hµν , ∂ρhµν ∂ρhµν , ∂ρhµν ∂µhρν , ... (4.65)
Takie pole tensorowe pojawia się w OTW, gdzie wykorzystuje się je dla opisu grawitonów.
Na zakończenie tego paragrafu, zauważymy jeszcze, że można zbudować wiele innych pól, posiadających określone własności ze względu na PL. Omówiliśmy dokładnie tylko te pola, które wykorzystywane są w opisie konkretnych zjawisk fizycznych. Są to te pola, którym możemy przyporządkować cząstki fundamentalne. I tak, spinorom Diraca przyporządkowujemy naładowane fermiony ( elektron, mion, lepton τ, kwarki ), spinorom Weyla – neutrina : elektronowe, mionowe i neutrino τ.
Polom wektorowym przyporządkowujemy foton, gluony ( nośniki oddziaływania silnego ), bozony W ( nośniki oddziaływania słabego ). Polu tensorowemu odpowiada grawiton ( nośnik oddziaływania grawitacyjnego ).
Zadania
A. Znajdźcie w jawnej postaci wynik działania operatora Sρσ na ψL i ψR.
B. Wyraźcie wynik działania operatora Sρσ na spinor Diraca poprzez macierze Diraca, tj. w postaci nie zależnej od reprezentacji.
C. Zbudujcie jawne wyrażenie dla pola, biliniowego ze względu na spinory χL i ψL i przekształcającego się zgodnie z reprezentacją (1, 0).
Czy można zbudować takie pole tylko z pola ψL ?.
D. Wykorzystując macierze ΛL i ΛR znajdźcie formę, którą przyjmują PL działające na macierz (4.53).
E. Wychodząc z pól ψL(x) i Aµ(x) zbudujcie w skrajnym przypadku dwa inwarianty, do których wchodzą oba te pola.
F. Znajdźcie reprezentacje macierzy Diraca, w której składowe spinora Majorany są rzeczywiste. ( Taka reprezentacja nazywa się reprezentacją Majorany ).
§ 5. Ogólne własności działania.
W poprzednich paragrafach zaznajomiliśmy się z tym w jaki sposób zbudować wyrażenie inwariantne względem GP, składające się z pól, o określonych własnościach transformacyjnych ze względu na GP. Teraz możemy połączyć takie inwarianty w wyrażenia składające się na FD, który to z kolei może służyć jako podstawa mniej lub bardziej użytecznych w fizyce teorii. Wymaganie inwariantności względem GP gwarantuje, że takie teorie będą automatycznie spełniały zasady STW. Jednakże zapoznając się głębiej z takimi konstrukcjami, zobaczymy, że otrzymujemy bardzo wiele wariantów takich teorii, zatem jeden tylko warunek inwariantności względem GP nie jest wystarczający, aby wyróżnić właściwe działanie, które opisywałoby świat.
Spróbujemy teraz zacieśnić krąg naszych poszukiwań i wyliczymy pewne sztucznie nakładane warunki, które to jak wyjaśnimy dalej są wystarczające na to, aby uzyskać użyteczne teorie.
1) Wykorzystamy FD o postaci : τ2
S ≡
∫
d4x £ (5.1)τ1
gdzie : τ1 , τ2 – granice całkowania, Wielkość :
d4x = dt dx1dx2dx3 (5.2)
jest miarą całkowania w czterowymiarowej przestrzeni Minkowskiego. Niekiedy, w związku z matematycznym
formalizmem będziemy zmieniali liczbę wymiarów CP lub nawet, będziemy rozpatrywali miarę w przestrzeni Euklidesa, gdzie d4x zamieniamy na miarę euklidesowa :
d4x- = dx0-dx1-dx2-dx3- (5.3)
przy czym : dx0- = ix0 , xi- = xi.
