(1.20) ( cechowanie Feynmana )
Jeśli podstawimy α = 0, to licznik propagatora (1.19) przekształci się w operator rzutowania, konieczny dla wzbronienia propagowania się fałszywego modu. Taki cechowanie nazywa się cechowaniem Landaua.
Nie jest ono jednak dogodne do obliczania diagramów Feynmana, jednakże jest użyteczne przy sprawdzaniu unitarności amplitud w przestrzeni Minkowskiego.
Dalej, działanie efektywne zawiera człon sześcienny po polach cechowania :
- g
∫
d4x fABC AAµ ABν∂µ ACν (1.21)Aby otrzymać odpowiednią zasadę Feynmana, powinniśmy przepisać ten człon w przestrzeni pędów następująco :
(1/3! ) A~Aµ(p ) A~Bν(q ) A~Cρ(r ) VABCµνρ (p, q, r ) (1.22)
Czynnik V jest całkowicie symetryczny względem permutacji pól A określa on właśnie zasadę Feynmana.
W szczególności, znamy już strukturę indeksów V, która jest pop prostu postaci fABC. Zatem, możemy zapisać :
VABCµνρ (p, q, r ) = fABC Vµνρ (p, q, r ) (1.23)
Gdzie funkcja Vµνρ (p, q, r ) powinna być antysymetryczna względem permutacji par ( µ, p ), ( ν, q), (ρ , r ), ponieważ składowe fABC same są całkowicie antysymetryczne. Z wyrażenia (1.21) wynika, że do Vµνρ powinien wchodzić iloczyn irµδνρ. Jest to wystarczające, aby z rozważań dotyczących symetrii wypisać wszystkie pozostałe człony. Wynik jest następujący :
gdzie oczywiście ( p + q + r )µ = 0<
Analogicznie działanie efektywne zawiera człon kwadratowy :
¼ g2 fABE fCDE AAµ ABν ACµ ADν (1.25)
który należy przepisać do postaci :
(1/4! ) A~Aµ(p ) A~Bν(q ) A~Cρ(r ) A~Dσ(s ) VABCDµνρσ (p, q, r ,s ) (1.26) gdzie czynnik V jest całkowicie symetryczny względem permutacji trójek ( A, µ, p ), ( B, ν, q ), ( C, ρ, r ), (D, σ, s ).
Z wyrażenia (1.25) wynika, ze człon ten nie zawiera żadnych pędów, a zatem ma następującą strukturę :
¼ g2 fABE fCDE δµρδνσ
Wychodząc z tego wyrażenia zbudujemy wyrażenie symetryczne względem zamiany : (A, µ ) → ( B, ν ) i ( C, ρ ) → ( D, σ )
Ponieważ czynnik f jest antysymetryczny, musimy oddzielnie antysymetryzować wyrażenie ze względu na zamianę µ → ν i ρ → σ, tj. podstawić :
δµρδνσ → ½ (δµρδνσ − δνρδµσ ) aby uwzględnić oba wymagania.
Zatem należy zapewnić jeszcze dwie symetrie – względem zamiany ( A, µ ) → ( D, ρ ) i ( A, µ ) → ( D, σ )
W tym celu dodamy odpowiednie człony i podzielimy otrzymany wynik przez 3. To daje nam ostatnią zasadę Feynmana
Dwie ostatnie zasady Feynmana nie są zależne od cechowania i nie występują w przypadku abelowym.
Wszystkie wypisane zasady Feynmana w cechowaniu kowariantnym zebrano w dodatku B.
Rozpatrzmy teraz cechowanie Arnowitt’a-Ficklera, które zapiszemy w przestrzeni euklidesowej w niestandardowej postaci :
nµ ABµ = 0 , nµ nµ = 1 (1.28)
Łatwo zauważyć, ze przy tym cechowaniu wyrażenie :
δgA(x) / δωB(y ) = nµ ( ∂µδAB + fABCACµ ) δ( x – y ) = (1.29)
= δAB nµ ∂µ δ( x – y ) (1.30)
nie zależy od Aµ. Zatem, tak jak w przypadku abelowym duchy nie związane są z polami cechowania I dlatego możemy się obejść bez nich. Właśnie przy takim cechowaniu struktury teorii abelowej i nieabelowej są najbliższe sobie. Pozostaje nam tylko rozpatrzyć propagator pola cechowania.
Człon kwadratowy po Aµ ma teraz postać :
∫
d4x [ ¼ ( ∂µ ABν – ∂ν ABµ ) ( ∂µ ABν – ∂ν ABµ ) – (1/2α) nµ ABµ nρ ABρ ] lub po scałkowaniu przez części :½
∫
d4x ABµ [ – ∂ρ∂ρδµν – ∂ν∂ν – (1/α ) nµ nν ] ABν (1.31) Propagator feynmanowski jest równy odwrotnej wielkości wyrażenia w nawiasie kwadratowym. W przestrzeni pędów ( zobacz zadanie ) otrzymujemy :( δAB / p2 ) [ δµν – (1/ n • p ) ( nµ pν + nν pµ ) – ( pµ pν / (n • p )2 ) ( αp2 – n2 )) (1.32) Jak łatwo zauważyć, dogodności takiego cechowania są ambiwalentne – duchy nie występują, ale otrzymujemy bardzo złożoną strukturę propagatora.
Zauważmy, że w wyprowadzonych przez nas zasadach Feynmana istnieje pewna dowolność – znak propagatora ducha oraz wierzchołki oddziaływania ducha z polem cechowania nie jest istotny, ponieważ zawsze mamy do czynienia z parzystą liczbą linii duchów.
Na zakończenie zapiszemy dodatkowe zasady Feynmana dla związku pól cechowania z fermionami. Chociaż pola cechowania można związać niezależnie z lewym i prawym polem fermionowym, my zastanowimy się nad czysto wektorowym związkiem, w którym lewe i prawe fermiony związane są jednakowo. W takim przypadku do lagranżjanu cechowania należy dopisać :
£f = Ψ−γ • DΨ + imΨΨ (1.33)
gdzie : Ψ(x) – spinorowe pole Diraca o masie m, D – pochodna kowariantna.
( opuściliśmy wszystkie indeksy )
Dodatkowe zasady Feynmana są następujące : Linia fermionowa :
gdzie : p^ = pµγµ , a, b + indeksy reprezentacji fermionowej.
Wierzchołek oddziaływania fermionu y polem cechowania :
gdzie ( TA )ab – elementy macierzowe generatorów grupy w odpowiedniej reprezentacji fermionowej.
Do tej pory, póki mamy do czynienia z fermionami Diraca, nie ma konieczności rozróżniać między rozpatrywaniem ich w przestrzeni Minkowskiego czy też w przestrzeni Euklidesa, jeśli tylko nie uwzględniać zamiany Ψ− na Ψ†
Dalej zachowamy bardziej dogodny system oznaczeń, odpowiadający przestrzeni Minkowskiego, chociaż zapiszemy również zasady Feynmana w przestrzeni Euklidesa.
Zadania.
A. Wyprowadzić wyrażenie dla propagatora pola cechowania w cechowaniu nµAµ = 0 , nµnµ = 1 , nµ - ustalone.
B. Wyprowadzić zasady Feynmana dla zespolonego pola skalarnego, oddziałującego z polem Y-M. Dla określoności zagadnienia rozpatrzyć lokalną inwariantność względem grupy SU(N) i założyć, że pole przekształca się według N-wymiarowej reprezentacji.
C**. Rozpatrzyć dla SU(N)-teorii cechowania, warunek cechowania ∂µAµ + a {Aµ , Aµ } ( zapisany tutaj w postaci macierzowej ), gdzie a – dowolny współczynnik. Wyprowadzić zasady Feynmana.
Przeanalizujcie wpływ warunków cechowania na wierzchołki. Zauważmy, że ten dziwny warunek cechowania jest możliwy tylko w tym przypadku, kiedy operator {Aµ , Aµ } posiada te same własności grupowe co ∂•A.
§ 2. QED, struktura jednopętlowa.
Przechodzimy teraz do rozważań prowadzonych w ramach teorii zaburzeń najprostszej z teorii cechowaniem, która opisuje oddziaływanie fotonu z cząstkami naładowanymi. Definiujący tę teorię lagranżjan ma postać :
£QEDKL = ¼ ( ∂µ Aν – ∂ν Aµ ) ( ∂µ Aν – ∂ν Aµ ) + Ψ−γµ∂µΨ + imΨ−Ψ + ieAµΨ−γµ Ψ +
+ (1/2α) (∂µ Aµ ) ( ∂ρ Aρ ) (2.1)
gdzie : Ψ - czteroskładnikowe pole Diraca, e – ładunek elektryczny.
W przyrodzie istnieje wiele pól naładowanych : leptony e−, µ− , τ− o ładunku e, kwarki „górne” u, c, t o ładunku 2/3e, kwarki „dolne” d, s, c o ładunku – 1/3 e, wektorowy nośnik oddziaływań słabych W±µ I być może wiele innych pól, jeszcze nie odkryte. Dalej ograniczymy się do pól o spinie ½.
Ponieważ mamy zamiar prowadzić obliczenia w przestrzeni o 2ω wymiarach, zamienimy stałą sprzężenia e na wielkość bezwymiarową :
e → eµ2 - ω (2.2)
gdzie µ - tradycyjny parametr masowy, występujący w schemacie regularyzacji wymiarowej. ( przypomnijmy, że w 2ω wymiarach pola o spinie ½ mają wymiar - ω + ½ , a pola o spinie ½ mają wymiar ω + ½ ).
Zatem, zasady Feynmana w przestrzeni Euklidesa ( przy cechowaniu Feynmana α = 1 ) mają postać :
gdzie opuściliśmy wszystkie indeksy spinorowe, a oprócz tego każdej pętli fermionowej przypisaliśmy znak minus.
Posługując się tymi zasadami, dochodzimy do następujących diagramów jedno pętlowych :
które dają poprawki do fundamentalnych parametrów teorii ora diagramom :
które na pierwszy wzgląd generują nowe oddziaływania.
Na początku omówimy diagram (2.5)
Dobrze wiadomo, ze diracowski człon kinetyczny jest inwariantny względem operacji sprzężenia ładunkowego :
Ψ→ΨC = C + Ψ−T (2.6)
Przy takim dyskretnym przekształceniu diracowskie kowariantny Ψ− Ψ , Ψ−γ5Ψ , Ψ−γ5γµ Ψ są parzyste, podczas gdy kowarianty wektorowy Ψ−γµΨ i tensorowy Ψ−σµνΨ są nieparzyste. Stąd wynika, ze lagranżjan (2.1) jest inwariantny względem kombinacji dyskretnych przekształceń :
Ψ→ΨC , Aµ → - Aµ (2.7)
Dlatego £QED nie może generować oddziaływań, dla których nieparzysta liczba linii fotonowych ( przypomnijmy, ze w przypadku analogicznym teorii λϕ4 która jest symetryczna względem zamiany ϕ → - ϕ, nie mogą istnieć funkcje Greena o nieparzystej liczbie linii )
Stwierdzenie to nazywa się twierdzeniem Furry’ego, twierdzenie to eliminuje diagramy (2.5).
Pominęliśmy diagram :
opisujący rozpraszanie światła na świetle. Przy prostym rachunku potęg diagram ten jest logarytmicznie rozbieżny ( w czterech wymiarach ), ponieważ każdy propagator fermionowy zachowuje się jak 1/ p^.
Ponieważ diagram ten zawiera cztery linie fotonowe i występuje w teorii inwariantnej względem cechowania, to powinien być on proporcjonalny do Fµν4 i powinien mieć rozmiar osiem ( przy ω = 2 ). Zatem, może się okazać, że znaleźliśmy diagram, który jest rozbieżny i nie odpowiada oddziaływaniom fundamentalnym, wchodzącymi do lagranżjanu. Czy z tego może wynikać, że QED jest teorią nierenormalizowalną ?
Na pierwszy wzgląd, wydaje się niemożliwym wyeliminowanie tej rozbieżności, poprzez redefinicje wchodzących do niej parametrów. Jednakże wbrew prostej kalkulacji diagram jest nie logarytmicznie rozbieżny ,ale UV-zbieżny i tym samym cały problem znika. Z tego wynika pierwszy wniosek – w teoriach z cechowaniem nie można ufać prostym rachunkom potęg, ponieważ diagramy rozbieżne mogą w istocie okazać się skończone lub w skrajnym przypadku mogą nie być silnie rozbieżne.
Po takim wstępie zajmiemy się obliczeniem diagramów jedno pętlowych (2.4). Rozpoczniemy od poprawki do linii fermionowej ( opuszczamy indeksy spinorowe ) :
Wykorzystując własności macierzy gamma w przestrzeni euklidesowej :
{ γµ , γν } = - 2δµν (2.11)
przepiszemy propagator fermionowy w postaci :
- i/ ( q^ + m ) = i [ ( q^ – m ) / ( q2 + m2 )] (2.12)
Wprowadzając całkowanie po parametrach feynmanowskich, otrzymujemy :
Przejdziemy teraz do nowej zmiennej całkowania :
ł’ = ł – px (2.14)
i zapiszemy :
Człon z ł’ w mianowniku zeruje się przy całkowaniu, a dwa pozostałe człony dają ( na mocy wzoru (B.16) ) :
Zanim dokonamy rozłożenia w pobliżu ω = 2, należy wykorzystać algebrę macierzy gamma, która teraz zależy od wymiaru. Z (2.11) znajdujemy :
γµγµ = 2ω (2.17)
γµγργµ = [ 2 – 2 (2 – ω)] γρ (2.18)
Podstawiając ε = 2 – ω, można teraz zapisać :
Po rozłożeniu w pobliżu ε = 0 znajdujemy :
gdzie γ - stała Eulera-Mascheroni’ego.
Wynik ten zachowamy na przyszłość.
Teraz rozpatrzymy poprawkę do linii fotonowej, nazywaną również diagramem polaryzacji próżni :
gdzie znak minus brany jest w związku z obecnością pętli fermionowej, a ślad brany jest po indeksach spinorowych, tj.
od iloczynu macierzy gamma. Wyrażenie to możemy przepisać następująco :
Wprowadzając parametr Feynmana oraz nowy pęd w pętli :
ł = ł + px (2.24)
otrzymujemy :
Standardowo człony nieparzyste po ł’ wypadają przy całkowaniu po pętli. Jeśli w 2ω wymiarach macierze gamma rozpatrywać jako 2ω× 2ω wymiarowe, to otrzymamy następujące wzory dla śladów :
Dlatego ślad, wchodzący do licznika wyrażenia (2.25) przepiszemy następująco :
gdzie wykorzystaliśmy ten fakt, że ślad nieparzystej liczby macierzy jest równy zero.
Wykorzystując wzory (2.26) i (2.27) dochodzimy do następującego wyrażenia dla śladu (2.28) :
przy czym dodaliśmy również wielkość δµν p2x ( 1 – x ).
Zbierając wszystkie powyższe wyniki, otrzymujemy :
Całkowanie po pędzie w pętli z wykorzystaniem wzoru (B.16) i (B.17) prowadzi do tego, że pierwsze dwa człony znoszą się wzajemnie, zatem otrzymujemy :
Po rozłożeniu w pobliżu ε = 0 dochodzimy do wyrażenia :
przy czym wykorzystaliśmy następującą wartość całki :
1
∫
dx x( 1 – x ) = 1/6 (2.33)0
Ostatni jedno pętlowy diagram przedstawia sobą poprawkę do wierzchołka :
Jest on bardziej złożony niż dwa poprzednie diagramy. Wprowadzimy dwa parametry Feynmana i przepiszemy (2.35) do postaci :
Po przejściu do nowej zmiennej całkowania :
ł’ = ł + px + qy (2.37)
wyrażenie (2.36) przyjmuje postać
:
Tylko część kwadratowa po ł licznika prowadzi do rozbieżnego całkowania po pętli. Jeśli zapiszemy :
Γp(p, q ) = Γp(1)(p, q ) + Γp(2)(p, q ) (2.39)
gdzie Γp(1) zawiera tylko część licznika, kwadratową po ł, to wykorzystując wzór (B.18), dla części rozbieżnej otrzymamy :
a wykorzystując wzór (B.16), znajdujemy :
W ostatnim wyrażeniu możemy spokojnie przyjąć ω = 2, ponieważ całka jest zbieżna, w wyniku tego otrzymamy :
Do tego wyrażenia wrócimy później.
Użyteczna będzie również następująca tożsamość :
γσγαγργβγσ = 2γβγργα – 2( 2 – ω )γαγργβ (2.43)
która wraz ze wzorem (2.18) pozwala przepisać (2.40) do postaci :
Powrócimy jeszcze do tych wyrażeń, ponieważ zawiera się w nich dużo interesującej fizyki. Aby we właściwy sposób je przeanalizować, musimy dokonać przedłużenia analitycznego w przestrzeń Minkowskiego, a następnie obliczyć
otrzymane wyrażenia na fermionowej powierzchni masowej. Wtedy przekonamy się, że są one IR-rozbieżne ( wszystkie oprócz ∏µν ),dalej rozpatrzymy zagadnienie jak obejść taką trudność.
Póki co skoncentrujemy się na strukturze teorii pola. Obliczenie jedno pętlowych diagramów pozwala wyjaśnić konieczną dla renormalizacji QED strukturę kontrczłonów.
Można pokazać, ze liczba prymitywnie rozbieżnych diagramów w QED jest skończona ( rozdział 5 ). Jak już mówiliśmy, dla renormalizacji koniecznym jest, aby wkład diagramu rozpraszania światła na świetle był skończony w obszarze UV.
Załóżmy, ze jest tak w istocie ( zobacz zadanie ).
Wejściowy lagranżjan w cechowaniu Feynmana ma postać :
Spróbujemy zapisać lagranżjan kontrczłonów w postaci :
Wtedy zrenormalizowany lagranżjan :
£ren = £KP + £kontr (2.48)
można wyrazić przez gołe wielkości :
W postaci :
gdzie wprowadziliśmy mnożniki Dysona Z. Taka forma zapisu pokazuje, że inwariantność cechowania lagranżjanu
£KP jest zachowana również w £ren , jeśli tylko przyjąć Z1 = Z2, z myślą aby zachować strukturę pochodnej kowariantnej, która oczywiście ma w £ren postać
:
Drenµ = ∂µ + ie( Z1/Z2 ) Aµ (2.56)
Jednakże z tego jeszcze nie wynika, że Z1 = Z2 ( chociaż tak właśnie się okaże ), jest tak dlatego, ze naruszyliśmy inwariantność cechowania naszego lagranżjanu, włączając do niego człon, ustalający cechowanie, tak ze czynniki Z stały się zależne od cechowania.
Kontrczłony można znaleźć na drodze obliczeń jedno pętlowych.
Po pierwsze obliczenie poprawki do linii fermionowej :
Σ(p ) = - i( e2/16π2 ) ( p + 4m) (1/ε) + skończone człony (2.57) prowadzi do kontrczłonów :
gdzie F1 i F2 – są dowolnymi skończonymi częściami, analitycznymi przy ε → 0 i zależnymi tylko od m/µ.
Po drugie, poprawki do linii fotonowej :
∏µν (p) = ( pµ pν – δµν p2 ) [ (e2/12π2 ) (1/ε ) + skończona część ] (2.60) prowadzą do nowego propagatora :
Tak, że :
K3 = (e2/12π2 ) [ (1/ε) + F3 ] (2.63)
Gdzie F3 – dowolna bezwymiarowa funkcja. Podłużna cześć propagatora daje :
Kα = (e2/12π2 ) [ (1/ε) + Fα ] (2.64)
Co, oczywiście jest równoważne renormalizacji wielkości α. Zauważmy, ze w cechowaniu Landaua, gdzie α = 0, poprawka do propagatora pola cechowania zawiera ten sam operator rzutowania, co w gołym propagatorze i dlatego α nie zmienia się w wyniku dodania poprawek, jednakże jest to słuszne tylko w cechowaniu Landaua.
Na zakończenie, poprawka do wierzchołka :
Γρ (p, q) = ie µερρ [ (e2 /16π2 )(1/ε) + skończone części ] (2.65)
prowadzi do wyrażenia :
K1 = - (e2/16π2 ) [ (1/ε) + F1 ] (2.66)
Gdzie F1 – skończona część kontrczłonu.
Zatem, sumując wszystkie otrzymane wyniki, otrzymamy :
Widzimy, że zakładana zależność Z1 = Z2 w danym rzędzie teorii zaburzeń jest spełniona z dokładnością do skończonej części kontrczłonów. Dlatego też na podstawie wzoru (2.51) możemy zapisać goły ładunek w postaci :
e0 = eµε [ 1 + (e2 /24π2 )(1/ε) + skończone części + O(e3 )] (2.72)
Zatem, jeśli zignorujemy skończoną część kontrczłonów, przyjmując niezależną od masy receptę renormalizacji, to możemy znaleźć z tej zależności , jak zmienia się stała cechowania w zależności od skali [ rozdział 3, wzór (6.13) ]:
µ( ∂e/∂µ ) = e3 /12π2 (2.73)
Znak jest taki sam jak w teorii skalarnej. Rozwiązanie tego równania ma postać :
(1/e2(µ )) – (1/e2(µ0 )) = - (1/6π2 ) ln(µ/µ0 ) (2.74)
gdzie µ0 - dowolna skala.
W innej formie, która jest może bardziej czytelniejsza, zapisujemy go następująco :
przy czym istnieje osobliwość przy
µ = µ0 exp[ 6π2 e-2(µ0 )] (2.76)
( znana osobliwość Landaua )
Jednakże zanim osiągamy duże skale, równanie (2.74), wyprowadzone w ramach teorii zaburzeń, należy zmodyfikować z uwzględnieniem efektów wyższych rzędów, których nie można zaniedbywać przy dużych skalach mas. Kiedy istnieje dużo naładowanych fermionów, każdy z nich wnosi swój wkład do 92.74) zgodnie ze swoim ładunkiem ( zobacz zadanie ).
To, że ładunek elektryczny staje się coraz słabszy na dużych odległościach ( tj. przy małych skalach ), oznacza, ze uzasadniona jest interpretacja swobodnego lagranżjanu ( e =0 ) na podstawie wyobrażeń o fotonach fizycznych oraz np.
elektronach. Oczywiście daleko- działający charakter pola EM sprawia, ze taka interpretacja nie jest całkowicie dogodna, ale pozostaje faktem, ze elektrony i fotony można obserwować w laboratorium w stanie swobodnym.
Zadania.
A. Pokażcie, że logarytmicznie rozbieżny, na pierwszy wzgląd, diagram :
rozpraszania światła na świetle w istocie jest zbieżny.
B. Pokażcie poprzez proste obliczenia, że diagramy :
zerują się.
C. Znajdźcie zależność e i µ w niższym rzędzie, jeśli istnieje 3nu kwarków o ładunkach 2/3, 3nd kwarków o ładunkach – 1/3 i nł leptonów o ładunku –1. Załóżcie, że e2(µ0 )/4π = 1/137 przy µ0 = 1[MeV]
i znajdźcie położenie osobliwości Landaua w przypadku, kiedy układ zawiera znane naładowane fermiony.
Ile rodzaii fermionów jest potrzebne na to, aby punkt odosobniony Landaua odpowiadał masie Plancka ?
D*. Rozpatrzcie elektrodynamikę ( naładowanego ) pola skalarnego. Wyprowadźcie zasady Feynmana oraz obliczcie polaryzacje próżni od pętli skalarnej. Porównajcie wynik z wynikiem już uzyskanym dla pętli fermionowej.
E*. Obliczcie kontrczłony Z1, Z2 , Z3 , Zm , Zα w dowolnym kowariantnym cechowaniu, tj. przyjąć przy obliczeniach wielkość α dowolną. Pokażcie, ze chociaż kontrczłony z zależą od cechowania ( od α ), to β- funkcja nie zależy od niego.
§ 3 QED. Tożsamości Warda.
Na skutek lokalnej inwariantności cechowania QED nie wszystkie funkcje Greena, generowane przez funkcjonał :
są niezależne. Wyrażenie dla działania efektywnego ma postać :
gdzie : Jµ , χ- , χ - źródła, przy czym dwa ostatnie są źródłami grassmannowskimi.
Funkcjonał tworzący (3.1) nie jest inwariantny względem przekształceń cechowania :
gdzie : Λ(x) – dowolna funkcja.
Tłumaczymy to obecnością w Seff członu, ustalającego cechowanie oraz źródeł.
W niniejszym paragrafie wyprowadzimy układ równań funkcjonalnych dla więzów Z, z których otrzymamy zależności między funkcjami Greena, nazywane tożsamościami Warda.
Metoda, którą zamierzamy wykorzystać, może być łatwo uogólniona na przypadek teorii Y-M; jest ona oparta na pracy [1]. Pierwszy krok polega na tym, aby zaniedbując na jakiś czas źródła, ustanowić określony typ inwariantności, występującej nawet przy obecności członu ustalającego cechowanie. Osiągamy to poprzez ustanowienie lagranżjanu duchów, co w danym przypadku abelowym jest równoważne jedynie redefinicji ( nieskończonej ) stałej normalizacji N.
Nowe działanie efektywne zadane jest przez wyrażenie :
gdzie : η, η* - zespolone pola Grassmanna.
Teraz działanie S’eff jest inwariantne względem specjalnego przekształcenia cechowania :
gdzie : ζ , ζ* - zespolone zmienne Grassmanna, nie zależne od x.
W wyniku takich przekształceń otrzymujemy wyrażenie :
jeśli scałkujemy przez części wariacje ostatniego członu we wzorze (3.4). Powyżej wykorzystaliśmy następującą zasadę dla dwóch liczb Grassmanna ω, χ :
(ωχ )* = ω*χ* (3.9)
tak, że ich iloczyn ωχ jest rzeczywisty, jeśli tylko rzeczywistymi są ω i χ.
Wyjdziemy teraz z nowego funkcjonału tworzącego :
gdzie : σ, σ* - zespolone źródła Grassmanna dla pól –duchów.
Przemieścimy w tym wyrażeniu pola z pomocą przekształcenia BRS (3.5) – (3.7) ; ponieważ działanie S’eff jest inwariantne względem takiego przekształcenia, a jakobian przekształcenia BRS jest równy jeden ( zobacz zadanie ), zmieniają się przy tym tylko człony ze źródłami.
Porównując dwa sposoby zapisu funkcjonału tworzącego (3.10), łatwo znajdujemy, że :
gdzie wariacje dane są przez wyrażenia (3.5) – (3.7).
Zauważmy, że jeśli ograniczymy się do przekształceń BRS, dla których ζ jest wielkością rzeczywista, tj. :
ζ* = ζ (3.12)
to można bez trudu rozłożyć eksponente ( ponieważ ζ2 = 0 ).
W wyniku tego otrzymamy :
Jest to właśnie potrzebna nam zależność, chociaż jest ona tutaj zapisana w nieco złożonej postaci.
Jeśli jednak wprowadzimy funkcjonał tworzący dla 1PI-diagramów :
gdzie Aµ kl itd. – są klasycznymi źródłami, to :
Jµ = - δΓ/ δAµ itd. (3.15)
Zatem, jeśli wyrazimy wszystko przez Γ, to można od razu przepisać (3.13) do postaci :
Jest to najprostsza do analizy postać tożsamości Warda w QED. Zastosujemy teraz ten wzór do najprostszych przypadków. Zależność Γ od ηkl i η*kl jest bardzo prosta, ponieważ pola te nie oddziałują :
gdzie Γ’ nie zależy od ηkl i η*kl jest , a ∆’ – jest odwrotnym, swobodnym bezmasowym operatorem :
1/ ∆( x – y ) = - ∂2δ(x – y ) (3.18)
Wyrażenie dla Γ’ jest bardziej złożone i rozpoczyna się od członów :
gdzie ∆-1µν - jest całkowitym odwrotnym operatorem fotonowym, S-1 – jest całkowitym odwrotnym operatorem fermionowym, Γρ - funkcja trójpunktowa.
Oczywiście Γ’ zawiera wiele innych członów, które odpowiadają oddziaływaniom indukowanym, nie występującym w wejściowym lagranżjanie.
Rozpoczniemy od tego, ze zastosujemy zależność (3.16) do (3.17) i (3.19), zatrzymując tylko człony, zawierające Aµ i η + η*. Wynik ( w przestrzeni pędów ) ma postać :
kµ ∆-1µν (k ) + (1/α) kµk2 = 0 (3.20)
Jeśli zapiszemy :
∆-1µν Aµν + Bkµ kν (3.21)
to tożsamość Warda (3.20) sprowadzi się do postaci :
A + Bk2 + (1/α)k2 = 0 (3.22)
Przykładowo, w cechowaniu Feynmana α = 1tożsamość ta oznacza, że :
∆-1µν = -δµνk2 + ( δµν k2 – kµ kν ) F(k2 ) (3.23)
gdzie F(k2 ) ma rząd w skrajnym przypadku e2.
Wynik ten sprawdziliśmy już w drugim rzędzie względem e.
I dalej, człony zawierające Ψ- , Ψ , η ( lub η* ), prowadzą do drugiej tożsamości :
(1/e ) ∂/∂yµΓµ (x, y, z ) – i S-1(x – z ) δ( z – y ) + i S-1(x – z ) δ( x – y ) = 0 (3.24) To samo równanie można zapisać w przestrzeni pędów :
( p – q )µ Γ~µ ( p, p – q , q ) = S-1(p ) – S-1(q ) (3.25) Jest to pierwotna postać tożsamości Warda. Łatwo sprawdzić, tę zależność w teorii zaburzeń :
Γµ = iγµ + … (3.26)
S-1(p ) = i ( p^ + m ) + ... (3.27)
Ponieważ S-1(p ) jest multiplikatywnie renormalizowane przez czynnik Z2 , a Γµ - przez czynnik Z1 , to z danej tożsamości Warda wynika, że :
Z1 = Z2 (3.28)
tak jak to mówiliśmy wcześniej.
Było by nie mądrze stosować taką procedurę obliczeń, która naruszałaby równość (3.25). Dlatego skończone części Z1 i Z2 zawsze wybierana są jako równe – poprzez proste obliczenia przekonujemy się o tym, że biegunowe części są równe. Zauważmy dalej, że jeśli zapiszemy :
Γµ ( p, p – q , q ) = C1γµ + C2σµν ( p – q )ν (3.29) to człon momentu magnetycznego C2 wypada z (3.25) na mocy antysymetrii.
Już nie raz sygnalizowaliśmy, ze teorie z cząstkami bezmasowymi „cierpią” na IR-rozbieżności, QED ze względu na bezmasowy foton nie jest tutaj wyjątkiem. Jednym ze sposobów uniknięcia takich rozbieżności jest wprowadzenie małej masy fotonu. Zauważmy, że w przypadku QED nie narusza to tożsamości Warda, ponieważ można zachować
inwariantność BRS nawet przy obecności masywnego członu fotonowego, jeśli tylko przyjąć, że duch przyjął tę samą masę. Problem jednak w tym, że człon masowy zmienia się następująco :
Aµ Aµ = λ Aµ∂µ ( ζ*η + ζη ) (3.30)
δ ½ Aµ Aµ = -λ∂• A ( ζ*η + ζη ) + człon powierzchniowy (3.31) W cechowaniu Feynmana α = 1 powyższa wariacja okazuje się równa :
-λ ( ∂η* + η*δη ) = - λδ(η*η ) (3.32)
To oznacza, ze BRS- inwariantność może być zachowana za cenę pojawienia się masywnej duchowej cząstki, która nie oddziałuje z niczym !
Taka okoliczność jak się wydaje nie jest uogólniana na przypadek teorii nieabelowych, o czym powiemy dalej.
Zadania.
A. Pokażcie, ze jakobian przekształcenia BRS jest równy jeden.
B. Niech zadany będzie funkcjonał : exp( - Z[J] ) =
∫
Dϕ exp( -S[ϕ] – < Jϕ > ) Pokażcie, że :∫
Dϕ exp( -S[ϕ] – < Jϕ > ) < Jϕ > = − < (δΓ/ δϕkl ) ϕkl >gdzie :
Γ[ ϕkl ] = Z[J ] – < Jϕkl >
C**. Wyprowadźcie tożsamości Warda dla elektrodynamiki skalarnej.
( zespolone pole skalarne, oddziałujące z fotonem ) przy cechowaniu Feynmana.
D*. Wyprowadźcie tożsamości Warda dla QED przy cechowaniu aksjalnym.
E**. Wyprowadźcie tożsamości Warda dla QED przy następującym cechowaniu :
∂µ Aµ + aAµ Aµ = 0
§ 4.QED - zastosowania.
Zanim przejdziemy do praktycznego zastosowania wyników otrzymanych przez nas dla QED, powinniśmy przedłużyć funkcje Greena do przestrzeni Minkowskiego i wybrać pewną receptę renormalizacji.
Propagator fotonowy w przestrzeni Euklidesa zadany jest przez wyrażenie ( aby uniknąć pomyłki, stawiamy kreseczkę nad pędami euklidesowymi ) :
Skończone części kontrczłonów Z3 , Zα są ustalone poprzez warunek, aby propagator ∆µν przy p-2 → 0 wygląda tak jak wejściowy propagator :
Analogicznie w rzędzie O(e2 ) mamy :
i może się wydawać, że odpowiednia procedura obliczania residuum będzie polegała na przedłużeniu w przestrzeń Minkowskiego, tj. na zamianie :
p^- → - pP i p-2 → - p2 oraz wymaganiem, aby :
S-1(p ) = i ( me – p^ ) przy p2 = me2 (4.5)
które ustala skończone części :
F2 = - γ + 2 – ln (m2/ 4πµ2 ) (4.6)
Fm = γ – 1 + ½ ln (m2/ 4πµ2 ) (4.7)
Jednakże taki wybór procedury obliczania residuum nie jest jednoznaczny.
Problem w tym, ze nasza recepta zakłada, że rozkład
Σ
(p ) w pobliżu p^ = m jest dobrze określony. Jednakże prosteProblem w tym, ze nasza recepta zakłada, że rozkład