§ 3 Zasady Feynmana dla pól spinorowych
Rozdział 7. Całka po trajektoriach w teoriach z cechowaniem
*************************************************************************************************
Rozdział 7. Całka po trajektoriach w teoriach z cechowaniem.
Definicja FCT ( feynmannowskiej całki po trajektoriach ) dla teorii z cechowaniem związana jest z trudnościami szczególnego rodzaju. Dopiero co widzieliśmy, że w takich teoriach działanie jest inwariantne względem przekształceń, zależnych od współrzędnych CP :
S[Aµ ] = S[A’µ ]
Dlatego bezmyślne całkowanie po wszystkich konfiguracjach polowych doprowadziłoby do nadzwyczajnego zwiększenia liczby linii nieskończonych całkowań i sprawiłoby, że całka po trajektoriach stała by się jeszcze bardziej rozbieżna, niż była wcześniej.
W dodatku A rozpatrzymy przypadek, kiedy wyrażenie podcałkowe zależne jest od wszystkich zmiennych, po których prowadzimy całkowanie. Zobaczymy, że w tym przypadku całkę można określić poprzez odpowiednią zamianę miary całkowania – nowa miara, zachowująca kowariantną postać, zawiera czynniki ograniczające, dzięki którym całkowanie prowadzi się tylko po zmiennych istotnych. Na zastosowaniu podobnej metody do FCT dla teorii z cechowaniem opiera się procedura Faddeeva-Popova.
Można jednakże wymagać, aby FCT miała realny sens tylko na poziomie formalizmu hamiltonowego w duchu kwantowo-mechanicznej odpowiedniości rozdziału 2. Okazuje się, że obie metody dają ten sam wynik. Tym niemniej użytecznie będzie rozpatrzyć obie te metody.
§ 1. Formalizm hamiltonowski w teoriach z cechowaniem – przypadek abelowy.
Na początku rozpatrzymy przypadek pola abelowego ( teoria maxwellowska ). Lagranżjan ma tutaj postać : ( Fµν = ∂µ Aν – ∂νAµ )
i zapostulujemy następującą wartość nawiasu Poissona (NP) dla jednakowych czasów :
{ Aµ( x , t ) , πν(y , t ) }NP = - gµνδ(x – y ) (1.4)
a wszystkie pozostałe NP przy jednakowych czasach zerują się Gęstość hamiltonianu zadana jest przez wyrażenie :
Ħ(x, t ) = πµ ∂0 Aµ – £ (1.5)
Dla dowolnej funkcji f zmiennych kanonicznych Aµ , πµrównania ruchu mają postać :
f• = { f , H }NP (1.6)
gdzie H – energia określona jako :
H =
∫
d3x Ħ(x, t ) (1.7)Naszkicowaną przez nas procedurę kanoniczną możemy łatwo zastosować w wielu przypadkach np. w skalarnej teorii pola. Jednakże jeśli zastosujemy ją w teoriach z cechowaniem, to od razu napotkamy trudności.
Podstawiając (1.2) do (1.3), znajdujemy że w teorii abelowej :
πµ = F0µ (1.8)
skąd na mocy antysymetrii Fµν wynika, że :
π0 = 0 (1.9)
Jest to sprzeczne z określeniem NP przy µ = ν = 0. Dlatego, jeśli chcemy zachować NP, to należy podchodzić do równości (1.9) w sposób szczególny.
Znajdziemy teraz naiwny hamiltonian, który oznaczymy jako H0. Ze wzoru (1.5) i (1.7) poprzez całkowanie przez części, otrzymamy :
H0 =
∫
d3x [ ¼ Fij Fij – ½ πij πij + A0 ∂iπi ] (1.10)Widzimy, że prędkości nie występują w tym wyrażeniu, na tym właśnie polega sens formalizmu hamiltonowego.
Jednakże równość π0 = 0 oznacza, ze zamiana zmiennych związana z przejściem od prędkości do pędów
∂0Aµ → πµ, jest osobliwa, zatem określenie hamiltonianu Ħ jest niejednoznaczne – można do niego dodać dowolną funkcje, proporcjonalną do π0. Zapiszmy nowy hamiltonian w postaci :
H = H0 +
∫
d3x F π0 (1.11)Gdzie F – dowolna funkcja.
Aby wyjaśnić sens funkcji F, wykorzystamy równania ruchu (1.6) przy f = A0, wtedy :
A0• = { A0, H }NP = (1.12)
= F (1.13)
przy czym wykorzystaliśmy NP (1.4).
Jeśliby funkcja F była zależna od zmiennych kanonicznych, to w wyrażeniu (1.12) wystąpiłyby dodatkowe składowe, jednakże wszystkie one mnożone byłyby przez π0 i koniec końców zerowałyby się. Dlatego bez utraty ogólności można przyjąć, ze F nie zależy od zmiennych kanonicznych. Stąd wynika, że jeśli w zadanej chwili czasu t0 mamy pewną określoną wartość funkcji A0, to w chwili t0 + δt jej wartość będzie określona całkowicie przez pochodną funkcji.
Co to oznacza ?
Dodatkowy człon
∫
d3x Fπ0 powoduje zmianę zmiennej A0, jednakże pozostaje niezmiennym Ai, co jest równoważne przekształceniu cechowania :Aµ → Aµ + ∂µλ (1.14)
w którym λ(x ,t0 ) = 0, ale λ(x ,t0 ) ≠ 0. Zatem, dodatkowy człon we wzorze (1.11) prowadzi do przekształcenia cechowania szczególnego rodzaju.
Jednakże to jeszcze nie wszystko. Zobaczymy teraz, wykorzystując wzory (1.4) i (1.10), jak zmienia się π0 :
π0• = {π0, H }NP = - ∂iπi (x, t ) (1.15)
Jednakże, zgodnie z procedurą kanoniczną π0 = 0 we wszystkich chwilach czasu.
Stąd otrzymujemy drugie ograniczenie :
∂iπi = 0 (1.16)
w które wchodzą tylko pędy kanoniczne !
Na chwilkę przerwiemy nasz tok wykładu. Na początku, wychodząc z procedury kanonicznej, otrzymaliśmy, że π0 = 0.
Dirac nazwał taki typ ograniczeń więzem pierwotnym. (* primary constraint *)
Następnie wykorzystując równania ruchu znaleźliśmy drugie ograniczenie na wielkość π. Ten typ ograniczeń Dirac nazwał więzem wtórnym (* secondary constrraint *) [1]. Zatem, otrzymaliśmy jeszcze więcej zależności między wielkościami π. Powstaje wrażenie, że odwzorowujemy cztery prędkości na dwa niezależne pędy π. Aby pozbyć się takiej dowolności powinniśmy dodać jeszcze jeden ( dodatkowy ) człon do hamiltonianu H – człon o postaci L
Hdod =
∫
d3x G(x, t ) ∂iπi (x , t ) (1.17)Wykorzystując równanie (1.6) oraz zależności (1.4) można przekonać się, do jakiego typu zmiany prowadzi ten dodatkowy człon :
δA0 = { A0 , Hdod }NP = 0 (1.18)
δAj = { Aj , Hdod }NP = ∂iG (1.19)
Zatem, realizuje on stałe w czasie przekształcenie cechowania; funkcja G nie powinna przy tym zależeć od t.
Zatem, zmiana formalizmu kanonicznego doprowadziła do hamiltonianu, który określa ewolucje w czasie całego układu, realizując przy tym przekształcenie cechowania. Włączając A0 I G możemy przepisać nasz nowy hamiltonian w postaci :
Hnowy =
∫
d3x [ ¼ Fij Fij – ½ πij πij + G∂iπi ] (1.20)Zauważmy, ze człon z π0 wypadł z wyrażenia (1.20), ponieważ Hnowy już nie zależy od A0.
Teraz jesteśmy w stanie opisać otrzymany w wyniku takiego hamiltonianu układ fizyczny.
Niech f – będzie dowolną funkcją zmiennych Ai i πi. Pochodna tej funkcji po czasie opisywana jest przez wyrażenie :
f• = { f, Hnowy }NP (1.21)
I zawiera ona dowolny wkład związany z członem ∂iπi
Jest to niedogodne, ponieważ zmiana wielkości fizycznej w czasie nie jest dowolna. Dlatego też wymagamy, aby spełniona była równość :
{ ffiz , ∂iπi }NP = 0 (1.22)
która oznacza, że funkcja ffiz nie powinna zależeć od zmiennej sprzężonej z ∂iπi. Innymi słowy, wielkość fizyczna powinna być określona tylko na pewnej powierzchni płaszczyzny ( Ai , πi ). Taką powierzchnię zawsze można opisać poprzez równanie :
g( Ai , πi ) = 0 (1.23)
przyjmując przy tym, że zamiana zmiennych g → z , gdzie z – zmienna, sprzężona do ∂iπi , jest nieosobliwa, tj. :
det | δg/δz | = det | { g , ∂iπi }NP | ≠ 0 (1.24)
gdzie wykorzystano definicje NP.
Zauważmy, ze z określone jest wzorem :
δ/δz(y) =
∫
d3k [ δ(∂iπi ) (y )/ δπj(x )] δ/δAj(x ) = { , ∂iπi }NP (1.25) Fizyczny sens zależności (1.25) jest jasny – pochodna ∂iπi generuje przekształcenie cechowania, a funkcja g powinna być sposobna do ustalenia cechowania.Zakładając, że warunek (1.24) jest spełniony, można dokonać przekształcenia cechowania : ( Ai , πi ) → (A~i , π~
i – są zmiennymi sprzężonymi, to wyrażenie : det | { g , ∂iπi }NP | = det { (δg/δA~j ) ∂[ ∂iπi ] / ∂π~
j – (δg/δπ~
j ) ∂[ ∂iπi ] / ∂A~j } = det ( ∂[ ∂iπi ]/ ∂π~
3 ) (1.27) przedstawia sobą jakobian przekształcenia ∂iπi → π~
3
Jeśli jest on nieosobliwy, to można rozwiązać równanie ∂iπi = 0 w celu wyrażenia π3 przez pozostałe zmienne.
Zauważmy, ze przy takim przekształceniu hamiltonian nie zmieni się. Podamy teraz pewne przykłady.
1. Cechowanie Coulomba. Cechowanie Coulomba określone jest przez warunek :
g = ∂iAi (1.28)
Utwórzmy wyznacznik :
det { ∂iAi , ∂jπj }NP = det[ ∂xi∂I y δ( x – y )] (1.29)
który należy rozumieć jako iloczyn wartości własnych operatora Laplace’a ∂i ∂i. Dobrze wiadomo, że dla tego typu operatora nie ma zerowych wartości własnych, oprócz stałego rozwiązania, które jednakże wykluczamy poprzez odpowiedni wybór warunków brzegowych. Zatem, cechowanie coulombowskie spełnia nasze kryterium dobrego cechowania. To oznacza, że można wykorzystując równanie ∂iπi = 0 wyrazić sprzężoną do (1.28) przez pozostałe zmienne kanoniczne. Opuszczając tyldę nad literami, zapiszemy :
π1+ πL
Gdzie zgodnie z definicją dywergencja modów poprzecznych jest równa zero :
∂iπT
Właśnie odwracalność operatora Laplace’a pozwala nam podstawić ϕ = 0. Zatem, w tym cechowaniu pozostają nam zmienne kanoniczne πT
i i AT
i z równą zero dywergencją. Hamiltonian, wyrażany przez te zmienne ma postać : H = ½
∫
d3x ( BiBi + πT2. Cechowanie aksjalne Arnowitt’a-Fickler’a, cechowanie to definiujemy następująco :
g = A3 = 0 (1.37)
W tym przypadku warunek dla wyznacznika ma postać :
det [ ∂/∂x3 δ( x – y )] ≠ 0 (1.38) I jest on spełniony, ponieważ operator ∂/∂x3 jest odwracalny.
Zatem, możemy znaleźć π3 wykorzystując równanie (1.16). W wyniku tego otrzymujemy : z
π3 (x, y, z, t ) = −
∫
dz’ ( ∂1π1 + ∂2π2 ) ( x, y, z’, t ) (1.39) -∞gdzie nałożyliśmy ( dowolnie ) warunek brzegowy na π3.
Teraz układ opisywany jest przez zmienne kanoniczne A1 , A2 , π1 , π2 i (nielokalny ) hamiltonian : H = ½
∫
d3x ( B23 + B23(π~⊥ ) – funkcja π3, wyrażona przez zmienne poprzeczne na drodze odwrócenia zależności (1.16). Teraz :
To pozwala przepisać (1.43) w postaci :
Dodaliśmy ( w wyniku obecności δ[A~3 ] ) człon π~A~3 w wykładniku eksponenty, tak że teraz hamiltonian : H = ½ (π~⊥π~⊥ + π~
3 π~ 3 + B~
i B~
i ) (1.47)
Zawiera wszystkie składowe Bi. Dokonajmy odwrotnego przekształcenia kanonicznego zmiennych z tyldą do zmiennych bez tyldy. Naturalnie, że przy tym zajdzie ( pomimo odrzucenia tyldy ) przekształcenie A3 w funkcje cechowania g.
Po tym FCT przyjmie postać:
Na koniec całkujemy po πi. Zauważmy, że całkując przez części człon A0∂iπi można przepisać wykładnik eksponenty do postaci :
π (∂0Ai – ∂iA0 ) – ½ πi πi – ½ BiBi (1.49)
Dopełniając do kwadratu zupełnego, otrzymujemy :
gdzie S[A] – działanie maxwellowskie, wyrażone przez potencjały.
Zakładamy teraz :
π’i = πi – ∂0Ai + ∂iA0 (1.51) i dokonujemy zamiany zmiennych. Jeśli g nie zależy od π, to taka zamiana zmiennych nie wpływa na g i na nawiasy Poissona. Zatem, wielkości te można wyprowadzić z pod znaku całki względem π, zachowując przy tym interpretacje NP. jak nieskończenie małej zmiany funkcji g w wyniku przekształcenia cechowania. Całkowanie po π’ daje
nieskończoną stałą, którą ignorujemy. Ostateczny wynik ma postać :
∫
D Aµ δ[g ] det | δg/δω | exp( iS[A] ) (1.52)gdzie S[A] – działanie maxwellowskie, g – funkcja cechowania, δg/δω - zmiana funkcji cechowania przy nieskończenie małych przekształceniach cechowania.
Stosując ten wzór do przypadku cechowania Coulomba, otrzymamy :
∫
D Aµ δ[∂iAi ] det | ∂2 | exp( iS ) (1.53)widać przy tym, że wyznacznik nie zawiera żadnej zależności od A, zatem można go dołączyć do czynnika normującego.
Zauważmy, że wchodząca liniowo do S0 zmienna A0 prowadzi po scałkowaniu do funkcjonalnej δ-funkcji. To pokazuje, że A0 nie jest zmienną dynamiczną, chociaż często można spotkać twierdzenie, że warunek A0 = 0 przedstawia sobą warunek cechowania ( a tak nie jest ! ). Jednakże jeśli wymagamy spełnienia warunku A0 = 0, to tracimy ograniczenie
∂iπi = 0 ( twierdzenie Gaussa ), które powinno być jednak pozostawione.
Na zakończenie zauważmy, że można również zdefiniować kowariantne cechowanie :
∂µAµ = 0 (1.54)
które w rzeczywistości przedstawia sobą warunek cechowania, ponieważ zawiera on zmienną dynamiczną Ai.
Zadania.
A. Rozpatrując ϕ1 i ϕ2 oraz χ jako pola kanoniczne dokonać procedury kanonicznej stosując ją do działania : S =
∫
d3k [ ½ ∂µ ϕ1∂µϕ1 + ½ ∂µ ϕ2∂µϕ2 + mχ( ϕ12 + ϕ22 )]Określić następnie FCT.
B. Przeanalizujcie stosowalność równości Ai Ai = m2 jako warunek cechowania oraz zapiszcie odpowiednią całkę po trajektoriach dla elektrodynamiki przy takim cechowaniu.
C. Powtórzcie poprzednie zadanie dla następującego warunku cechowania : ( ∂i A3 ) ∂iA3 = 0
Czy można wykorzystać taki warunek w charakterze warunku cechowania ?
§ 2. Formalizm Hamiltona dla teorii z cechowaniem – przypadek nieabelowy.
Wychodząc z yang-millsowskiego lagranżjanu, możemy powtórzyć wszystkie rozważania z poprzedniego paragrafu i dojść do bardzo interesujących wyników. Jednakże na początku wyjdziemy z formalizmu pierwszego rzędu, w którym Fµν i Aµ przyjmujemy jako zmienne niezależne, a działanie S[ F, A ] bierzemy takie, aby Fµν można było wyrazić przez Aµ wychodząc z równania ruchu. Weźmy zatem działanie w następującej postaci :
S = - (1/g2 )
∫
d4x Tr{ ½ Fµν Fµν – Fµν ( ∂µ Aν – ∂ν Aµ + i [ Aµ , Aν ] ) } (2.1) Jest jasne, że wariacja takiego działania po Fµν prowadzi do równania (3.2) z rozdziału 6, jednakże Fµν nie ma teraz dynamicznego sensu, ponieważ nie ma pochodnej po czasie – jest to tylko pole wspomagające.Jednakże przy takiej formie działania możemy go przepisać do postaci nie zawierającej członów kwadratowych pochodnych po czasie. W prowadźmy pola „elektryczne” i „magnetyczne” :
Ei = F0i (2.2) ( wykorzystano cykliczne własności śladu i dokonano całkowania przez części )
Przepisane w ten sposób działanie S łatwo możemy przekształcić do postaci hamiltonowskiej.
Biorąc ślad : Gdzie EBi – pęd kanoniczny, sprzężony z Ai ( kropka oczywiście oznacza różniczkowanie po czasie ), AB
0 odgrywa
i, dla których postulujemy następujące NP przy jednakowych czasach : { ABi ( x , t ) , Ec
j (y , t ) }NP = δBC δij (x + y ) (2.10)
przy czym wszystkie pozostałe NP przy jednakowych czasach są równe zero.
Nie wszystkie takie zmienne są niezależne – powinny one bowiem spełniać równanie więzów : ( Di Ei )B ≡ ∂i EB
i + fBCD ACi ED
i = 0 (2.11)
otrzymywane przez wariacje po AB0.
Równania ruchu maja postać :
Zatem, tak jak w poprzednim paragrafie, zmiana w czasie zawiera dodatkowy człon, związany z mnożnikiem Lagrange’a.
Aby wyjaśnić sens tego członu, obliczymy NP. : δABi ( x , t ) = { AB
i ( x , t ) ,
∫
d3y AC0(y , t ) ( Di Ei )C( y, t )}NP (2.14) który należy interpretować jako zmianę zmiennej ABi przy nieskończenie małym przekształceniu, powodowanym przez dodatkowy człon. Wykorzystując zależność (2.10), znajdujemy, że :δABi ( x , t ) = - ∂i AB
0 (x , t ) – f BCDACi (x , t ) AD
0 (x , t ) (2.15)
co przedstawia sobą przekształcenie kanoniczne.
Zatem, tak jak i w przypadku abelowym, dodatkowy człon w hamiltonianie H realizuje przekształcenie cechowania o parametrze cechowania AB0.
Łatwo zauważyć, ze pochodna po czasie więzów (2.10) sama jest proporcjonalna do nich ( zobacz zadanie). Zatem, żadne inne więzy nie mogą występować.
Tak jak i wcześniej przyjmujemy, że funkcje ABi i EB
i są fizyczne, jeśli ich zmiana przy nieskończenie małej translacji w czasie nie jest dowolna, tj. jeśli :
{ f, ( Di Ei )B }NP = 0 przy ( Di Ei )B = 0 (2.16)
I dalej, NP zawsze można rozpatrywać jako operator całkowy :
δ/δzB(x , t ) = { , ( Di Ei )B( x, t ) }NP (2.17)
jeśli wykorzystamy warunek całkowalności :
δ/δzB(x , t ) δ/δzC(y , t ) – δ/δzC(y , t ) δ/δzB(x , t ) = 0 (2.18) Wykorzystując tożsamość Jakobiego oraz NP między dwoma wielkościami Di Ei ( przy jednakowych czasach ), łatwo pokazać, że warunek ten jest rzeczywiście spełniony ( zobacz zadanie ). Zatem, nasza fizyczna podprzestrzeń może być określona poprzez dwa warunki :
( Di Ei )B = 0 ; { , ( Di Ei )B }NP = 0 (2.19)
Warunki te odpowiadają przejściu od przestrzeni funkcjonalnej, pokrywanej przez funkcje ABi i EB
i ( i = 1, 2, 3 ) do przestrzeni funkcjonalnej, pokrywanej przez funkcje A~B1, A~B
2 , E~B 1, E~B
2 w odpowiednio wybranej bazie.
Można również opisać tą podprzestrzeń inaczej, zamieniając niedogodny warunek z NP. na inny zbiór warunków : gB ( ACi (x , t) , EC
i (x , t ) ) = 0 (2.20)
które nazywamy warunkami cechowania. Taka zmieniona definicja nie powinna zawierać żadnych osobliwych zamian zmiennych, związanych z przejściem od funkcji zC do funkcji qC , tj. ( funkcjonalnie ) :
det | δgC /δzB | = det | { gC , ( Di Ei )B }NP | ≠ 0 (2.21)
Warunek taki jest konieczny po to, aby funkcja gB opisywała żądany wybór cechowania. W przeciwnym wypadku nie będzie ona ustalała cechowania.
Przyjmując, że (2.21) jest spełnione, postąpimy nieco bardziej rozumnie i ograniczymy się do takiego wyboru cechowania, które spełnia ( ponownie przy jednakowych czasach ) warunek :
{ gB , gC }NP = 0 (2.22)
Wtedy możemy rozpatrywać gB jako zmienną kanoniczną.
Rozpatrzmy przekształcenie kanoniczne : ( ABi , EB
i ) → ( A~Bj , E~B
j ) (2.23)
gdzie indeksy j wykorzystujemy po prostu jako pewne metki i nie koniecznie przekształcają się one jak indeksy wektorowe przy obrocie :
Jeśli teraz podstawimy gB = A~B3 = 0, to już nie można nadawać sensu NP. zależności (2.10) zawierającej E~B 3.
To oznacza, że E~B3 należy wyrazić przez pozostałe zmienne. I właśnie to pozwala sformułować warunek (2.25) Z jego pomocą można rozwiązać równanie więzów (2.11), wyrażając E~B3 przez pozostałe zmienne. Zatem, yang-millsowski układ zdefiniowany jest teraz poprzez zmienne niezależne :
A~B⊥ = ( A~B1 , A~B
Hamiltonian H stał się teraz bardzo złożony, oprócz tego, że jest on nielokalny, to zawiera on jeszcze człony kwadratowe i sześcienne oddziaływania.
Przejdziemy teraz do przykładów najczęściej spotykanych warunków cechowania.
1) Cechowanie coulombowskie, definiujemy podobnie jak w przypadku abelowym, poprzez warunek :
∂i ABi = 0 (2.27)
Jak łatwo zauważyć, aby równość (2.27) była dobrym warunkiem cechowania, operator :
∂i ( δABi / δωC ) = ∂i ( ∂i δBC – f BDC ADi ) (2.28) nie powinien posiadać nietrywialnych zerowych wartości własnych.
Uwzględniając (2.27), przepiszemy (2.28) w postaci :
OBC = ∂i ∂i δBC + fBCD ADi δi (2.29)
Niedawno Gribov [2] wskazał na to, że istnieją nietrywialne rozwiązania równania :
OBC fC = 0 (2.30)
I dlatego cechowanie coulombowskie nie jest dobrze określone dla teorii Y-M w tym sensie, że nie pozwala ono jednoznacznie wydzielić niezależne zmienne kanoniczne. Jednakże i w tym bałaganie jest pewien porządek : nie jest tak łatwo dojść do potencjałów ABi , spełniających warunek Coulomba, dla których operator (2.28) posiada zerowe wartości własne. W charakterze przykładu ilustrującego ten problem, rozpatrzymy potencjał ( w oznaczeniach macierzowych ) :
Ai = - iU†∂i U ; ∂iAi = 0 (2.31)
Jeśliby warunek (2.27) był wystarczający dla ustalenia cechowania, to powinniśmy mieć możliwość dowiedzenia tego, że jedynym rozwiązaniem równania (2.31) jest Ai = 0.
Ograniczmy się do przypadku grupy SU(2) i zapiszmy :
U = cos( ½ ω) + iσσσσn sin( ½ ω) (2.32)
Gdzie nn = 1 , ω - zależy tylko od x.
Wtedy poprzez proste obliczenia można się przekonać, że [ a – indeks grupy SU(2) ] :
Takie równanie jest bardzo skomplikowane, jednakże uprościmy go, postępując za Gribovem , ograniczymy się do rozwiązań sferycznie symetrycznych, dla których :
na = ∂ar = xa / r (2.34)
Wtedy to znajdujemy, że ω zależy tylko od r i jako następstwo warunku Coulomba ω® spełnia równanie :
( d2ω/dt2 ) + (dω/dt ) – sin(2ω) = 0 (2.35)
gdzie : t = ln(r).
Z wymagania nieosobliwości U, wynika, że :
ω( t = -∞ ) = 0, 2π, 4π, ... (2.36)
Otrzymane równanie przedstawia sobą równanie drgań zanikających wahadła umieszczonego w polu grawitacyjnym.
Warunek brzegowy (2.36) wymaga, aby drgania rozpoczynały się przy ω( t = - ∞) z położenia niestabilnej równowagi.
Następnie w zależności od początkowej prędkości ciężarka, możliwe są trzy warianty : 1) albo wahadło cały czas będzie oscylować w położeniu ω = 0, 2, albo
2) rozpocznie spadać zgodnie z ruchem wskazówek zegara i przy t = +∞ osiągnie położenie stabilnej równowagi ω = -π , albo
3)albo rozpoczyna spadać przeciwnie do kierunku ruchu wskazówek zegara i przy t = +∞ osiągnie położenie stabilnej równowagi ω = -π.
Na dodatek wahadło może wielokrotnie okręcić się, a następnie przejść do jednej z powyższych trzech kategorii.
Pierwsze rozwiązanie odpowiada wartości Ai = 0, co można było stwierdzić już wcześniej, jednakże dwa pozostałe typy rozwiązań odpowiadają nietrywialnym Ai. Istnienie takich Ai prowadzi do niejednoznaczności Gribova.
Jeśli podstawimy :
Ai = -i exp[ -iLω (σσσσx /r )] ∂i exp[ iLω (σσσσx /r )] (2.37)
Gdzie : L = 0, ±1, ±2, …
to wartość L = 0 odpowiada wartości 1, a wartościom L = ±1 – dwa pozostałe.
Przy t → +∞ mamy następujące warunki graniczne :
U → { 1 przy L = 0 (2.38)
t→∞ { ± i (σσσσx /r ) przy L = ±1
I dalej, jeśli obliczymy indeks Pontriagina dla różnych rozwiązań Gribova, to okazuje się, że :
n = - (1/24π2 )
∫
d3x εijk Tr( Ai Aj Ak ) = { 0 L = 0 (2.39){ + ½ L = ± 1
Zatem, nietrywialne rozwiązania Gribova mają ładunek topologiczny ± ½ ( dla instantonów ± 1 ). Takie rozwiązania jawnie nie odpowiadają standardowym konfiguracjom potencjału !
Dlatego można przyjąć ( z dużym prawdopodobieństwem ), że operator (2.28) ma zerowe wartości własne tylko dla Ai z nietrywailną strukturą topologiczną , tj. z n ≠ 0 ( dowód tego faktu nie jest mi znany ). Zatem, jeśli ograniczamy się zaburzeniami w pobliżu zer potencjałów, mających n = 0, to zadany problem można rozwiązać. Jednakże jego
rozwiązanie jest cały czas problemem otwartym w tych przypadkach, kiedy rozpatrujemy nieperturbowane rozwiązania yang-millsowskie. Z tego powodu można powiedzieć tylko to, że cechowanie Coulomba w wymagany sposób ogranicza przestrzeń fazową, jednakże tylko z dokładnością do kopii odpowiadających L = ±1, ±2 , ...
Powrócimy do tego problemu po tym, jak rozpatrzymy cechowanie aksjalne.
2) Cechowanie aksjalne Arnowitta-Ficklera, charakteryzuje się następującymi warunkami :
ni ABi = 0 , ni ni = 1 (2.40)
gdzie n – stały wektor.
W tym przypadku operator :
ni (δABi /δωC ) = ni [ ∂iδBC + fBCD ADi ] = (2.41)
= ni ∂i δBC (2.42)
prowadzi do tej samej postaci co w przypadku abelowym i jak się wydaje, jest on odwracalny, tak więc wydaje się, że w tym cechowaniu nie powinien pojawiać się problem Gribova ( dokładnie o tym dalej ).
Zatem, można odwrócić równanie więzów (2.11) i rozwiązać go względem EA3 otrzymując w wyniku tego ( ni = δi3 ) : z
EA3 ( x, y, z, t ) = -
∫
dz’ ( D⊥E⊥ )A (x, y, z, t ) (2.43)-∞
przy czym jedynym problemem jest tutaj warunek brzegowy przy z = - ∞ ( jest to najsłabsze miejsce tego cechowania ).
Po tym bezpośrednio znajdujemy hamiltonian, przedstawiający sobą jednakże bardzo skomplikowane wyrażenie, którego nie będziemy tutaj przedstawiali.
Powrócimy teraz do problemu Gribova. Na pierwszy wzgląd, cechowanie aksjalne nie wiąże się z
niejednoznacznościami ujawnionymi w cechowaniu coulombowskim. Jednakże problemy mogą się skrywać w warunku brzegowym dla E3 , koniecznym dla odwrócenia ni∂i Dlatego możliwe są dwa warianty :
1) albo problem nie jest specyficzny dla teorii Y_M i cała trudność związana jest tylko z tym, że cechowanie coulombowskie jest niedobrym wyborem.
2) albo problem tkwi w samej teorii i wtedy powinien on przejawiać się w cechowaniu aksjalnym, a jedynym miejscem , gdzie może się to ujawniać to przestrzenna nieskończoność. Nikt (póki co ) nie zna odpowiedzi, jednakże Singer pokazał, ze jeśli określić całkę po trajektoriach na sferze S4 w przestrzeni Euklidesa, to problem Gribova przysługuje samej teorii a jego sednem jest to, ze nie można posługiwać się jednym i tym samym warunkiem cechowania w całej CP.
Ponieważ interesują nas głównie obliczenia całki po trajektoriach Y-M w teorii zaburzeń, to po prostu zignorujemy dalej problem Gribova. FCT dla teorii Y-M można teraz zbudować dokładnie tak samo jak dla przypadku abelowego, jedynie z większą złożonością związaną z indeksami. My po prostu podamy gotowy wynik :
∫
D ABµ exp( i SYM[A] ) δ[ gA ] det | δgA /δωB | (2.44)gdzie gA – funkcja cechowania, SYM[A] – działanie yang-millsowskie, zapisane tylko przez potencjały.
Zadania.
A. Obliczyć NP :
{ ( Di Ei )A (x , t ) , E } oraz { ( Di Ei )A (x , t ) , ( Di Ei )B (y , t ) }
i pokazać, ze jeśli spełnione jest równanie więzów, to zmiana w czasie ( Di Ei )A jest równa zero.
B. Wykorzystać niektóre wyniki zadania A i pokazać, ze spełnione są warunki całkowalności dla funkcji z, określone jako :
δ/δzA(x , t ) = { , ( Di Ei )A (x , t ) }
C. Wyrazić hamiltonian układu Y-M w cechowaniu coulombowskim i aksjalnym poprzez odpowiednie niezależne zmienne kanoniczne.
D. Wyprowadzić równania ruchu tłumionego wahadła w stałym polu grawitacyjnym i porównać z równaniem Gribova.
Obliczyć ładunek topologiczny (2.39) dla nietrywailnych rozwiązań tego równania.
E. Dowieść, że w cechowaniu Coulomba możliwość wyeliminowanie składowych podłużnych Ei , wykorzystując w tym celu więz ( Di Ei ) = 0 związana jest z odwracalnością operatora ∂iDi.
§ 3 Bezpośrednie określenie Y-M FCT, procedura Faddeeva-Popova.
W dwóch poprzednich paragrafach pokazaliśmy jak można wyprowadzić yang-millsowską FCT, wykorzystując w tym celu formalizm hamiltonowski. Końcowy wynik okazał się jednak złożony, co tłumaczy się obecnością w formalizmie hamiltonowskim ograniczeń powodowanych przez inwariantność cechowania wejściowego działania.
Istnieje jednak inny – prostszy sposób otrzymania tego wyrażenia – procedura zaproponowana przez Faddeeva i Popova [3].
Y-M działanie zgodnie z definicją jest gauge-inwariantne, tj. :
SYM [ Aµ ] = SYM [ AUµ ] (3.1)
Gdzie :
AUµ = UAµ U† – iU∂µ U† , U(x) = exp( iωωω(x) T ) ω (3.2)
To oznacza, że naiwne wyrażenie ( w przestrzeni Euklidesa ) :
∫
D Aµ exp( −S )nie jest dobrze określone, jeśli symbolem DAµ oznaczono sumowanie po wszystkich Aµ , nawet po tych które związane są poprzez przekształcenie cechowania. W dodatku A pokażemy jak obejść taką trudność – należy zdefiniować nową miarę, taką która nie dawałaby niepotrzebnych wkładów, tj. miarę w której sumuje się tylko jeden raz po całym zbiorze cechowania. Ogólnie mówiąc, powinniśmy unikać niepotrzebnych całkowań ( zagadnienie znane matematyką jako definicja miary Haara ).
Rozpatrzmy wielkość :
∆-1g [ Aµ ] =
∫
DU δ[ gB (AUµ )] (3.3)gdzie : AUµ - jest funkcją określoną we wzorze (3.2).
Symbol DU oznacza sumę po wszystkich elementach grupy, gB – jest funkcją, zerującą się dla niektórych AUµ . Wielkość ∆-1
g jest inwariantna ( zaniedbujemy nietrywialne klasy homotopii i problem Gribova ).
Jest tak, ponieważ :
∆-1 g [ AU’
µ ] =
∫
DU δ[ gB ( AU’µU )] (3.4)zmieniamy zmienne całkowania i przechodzimy od U do u’’ :
U’’ = U’U , DU’’ = DU (3.5)