W dalszej kolejności Dirac spróbował zastosować taki analog do głównej funkcji Hamiltona, w której q = q’ w chwili t i Q = q w chwili T :
t
< q’t | qT > ~ exp[ - (i/ħ )
∫
L dt ] (2.1)T
Tylda oznacza jedynie pewien nieokreślony związek między prawą i lewą stroną powyższej zależności, tak jak przy wyprowadzaniu wzoru (1.41).
Dirac musiał wprowadzić wiele założeń bez możliwości ich weryfikacji. Jak bowiem łatwo zauważyć, znak równości we wzorze (2.1) byłby nieprawidłowy, jeśli przyjąć całkę oznaczoną w granicach T , t jako skończoną.
Rozbijmy bowiem przedział T – t na N nieskończenie małych odcinków czasowych : ta = t + aε ; Nε = T – t.
Niech qa = qta ,wtedy wykorzystując zależność zupełności (1.33) dla każdego ta można napisać :
< q’t | qT > =
∫
dq1dq2 ... dqN-1 < q’t | q1 > < q1 | q2 > ... < qN-1 | qT > (2.2) Jest to ścisły wzór kwantowo mechaniczny.Jeśli teraz przyjmiemy, że zależność (2.1) jest równością, to całkę w wykładniku można rozbić na wiele obszarów całkowania, a to doprowadzi nas do nieprawidłowego wzoru :
< q’t | qT > = < q’t | q1 > < q1 | q2 > ... < qN-1 | qT > (2.3) różniącego się od wzoru prawidłowego brakiem całkowań pośrednich.
W ostatnim wzorze q1... qn – są to klasyczne odcinki trajektorii, wzięte w chwilach t1... tn.
Jeśli przyjmiemy, że we wzorze (2.1) spełniona jest równość ( z dokładnością do stałej ) tylko dla nieskończenie małego odcinka czasu, tj. :
< q’t | qt+δt > = Aexp[ - (i/ħ ) δt L (q’t , qt+δt )] (2.4)
gdzie : L – ( podobnie jak w teorii Hamiltona-Jakobiego ) rozumiana jest jako funkcja zmiennych (q’t , qt+δt ), to nie będzie to sprzeczne ze wzorem (2.2). Właśnie tak postąpił Feynman [ 3].
Jeśli podstawimy (2.4) do (2.2), to doprowadzi nas to do feynmanowskiej całce po trajektoriach amplitudy przejścia : N-1 t
< q’t | qT > = lim AN
∫
(Π
dqi ) exp[ - (i/ħ )∫
L(q, q• ) dt ] ≡ (2.5) N→∞ i=1 T≡
∫
ℜq exp[ - (i/ħ ) S( t, T[g] ) ] (2.6)gdzie wyrażenie (2.6) jest sprytnym sposobem skrycia pewnej miary całkowania.
Warunkami brzegowymi są wartości trajektorii, wzięte w chwilach – początkowej i końcowej.
Wzór (2.5) oznacza, że jeśli chcemy obliczyć amplitudę prawdopodobieństwa tego, że cząstka znajdująca się w chwili T w punkcie q, będzie się znajdowała w chwili t’ w punkcie q’, to musimy przedstawić taką amplitudę jako sumę po wszystkich możliwych trajektoriach, które rozpoczynają się w chwili T w punkcie q i kończą się w chwili t w punkcie q’, z wagą równą eksponencie iloczynu stosunku (- i/ħ ) i działania, obliczanego dla konkretnej trajektorii.
Z takiego wzoru jasno wynika, różnica między MK i MQ. W pierwszym przypadku cząstka porusza się tylko po jednej trajektorii zawartej między punktami q i q’; w drugim wkład dają wszystkie trajektorie.
Wzór (2.6) w sposób jasny wskazuje na to, jaki jest związek między MK i MQ. W granicy klasycznej ħ → 0 i wyrażenie podcałkowe przy zmianie q będzie oscylowało z coraz większą częstotliwością i będzie się wygaszało, jeśli tylko działanie S nie będzie prawie stałe, a ma to miejsce tylko w tedy, kiedy S jest stacjonarne, wtedy to q – jest trajektorią klasyczną ( A czy może występować kilka punktów stacjonarnych ? ). Zatem, widzimy, że przy ħ → 0 trajektoria klasyczna w sposób naturalny jest predysponowana i w ten sposób otrzymujemy wzór (2.3), ale tylko dla obszaru klasycznego.
Dzięki wskazanemu związkowi – który po raz pierwszy zauważył Dirac – FD wciąż jest ważnym pojęciem.
Widzieliśmy już, że działanie S odgrywa w MK nie wielką rolę, ponieważ akurat dla MK musimy znać tylko położenie jego ekstremów. W MQ działanie wykorzystywane jest we wszystkich punktach. Odwołując się do przeszłości możemy w związku z powyższym zastanowić się dlaczego fizycy przed odkryciem Diraca, nie zadali pytanie dlaczego tak mało czerpiemy z pojęcia działania.
Obecnie poprzez jawne rachunki przekonamy się na ile słuszna jest hipoteza Feynmana (2.4).
Niech H^ - będzie niezależnym od czasu operatorem Hamiltona zadanego układu jednowymiarowego.
W obrazie Heisenberga stan | q > w chwili t + δt otrzymuje się ze stanu w chwili t w następujący sposób :
| qt+δt > ≈ | qt > + (i/ħ ) δt H^ | qt > + O( (δt )2 ) (2.7)
Stąd :
jeśli wykorzystamy wzór (1.32) I całkowe przedstawienie δ-funkcji : ∞
δ( x – x’ ) =
∫
(dk/2π ) exp[ ik ( x – x’ ) ] (2.12) −∞Jeśli teraz zebrać wszystkie te wzory I wykonać całkowanie po q, to otrzymujemy : ∞
Na tym etapie manipulacja wzorami jest formalna, ale nie jest dobrze określona (* z punktu widzenia matematyki *).
Chcemy wziąć całkę po k, ale wyrażenie podcałkowe jest funkcją oscylującą.
Istnieją dwa sposoby wyjścia z takiego położenia – albo sztucznie wprowadzimy w celu zapewnienia zbieżności czynnik e-εk2
,albo formalnie przyjmiemy iδt jako wielkość „rzeczywistą” , tj. przedłużymy wyrażenie do przestrzeni euklidesowej, zamieniając t na it. Zachowamy na jakiś czas czynnik iδt i będziemy rozpatrywali go jako stałą rzeczywistą. Wtedy, dokonując zamiany zmiennych : Przypominamy, że wielkość q• określona poprzez wzór (2.15) wchodzi do niego zarówno jako q’ jak i q.
Wielkość [ ½q•2– V(q )] w istocie jest lagranżjanem, zatem hipoteza Feynmana okazuje się prawidłowa, jeśli poniechać fakt, że pojawia się pewna stała zazwyczaj nieistotna. Zatem, dla skończonego interwału czasu mamy :
N-1 t
< qft | qi
T > = lim
∫
…∫ Π
{ dqj (1/ 2πiδtħ )½ exp[ (i/ħ )∫
Ldt ] , ( qf ≡ qN , qi ≡ q0 ) (2.20) δt→∞ j=1 TNδt ustalone
Zakładając, że taka granica ma sens, widać, że można opuścić stałą proporcjonalności między amplitudą przejścia i całką po trajektoriach. Wniosek ten jest ścisły dla układów opisywanych przez hamiltonian o postaci (2.9).
Załóżmy teraz, że chcemy obliczyć amplitudę przejścia dla układu o klasycznym hamiltonianie postaci :
H = ½ p2 v(q) (2.21)
Gdzie : v(q) – pewna funkcja zmiennej q.
Teraz należy bardzo ostrożnie zdefiniować odpowiedni operator Hamiltona, ponieważ p^ i q^ nie komutują.
Zanim to uczynimy podamy pewien przepis uporządkowania. Mianowicie zdefiniujemy uporządkowanie symetryczne
‘’... ‘’ w ten sposób, że :
∞
< q’t | ‘’ ½ p^2 v(q^) ‘’ | qt > =
∫
( dk/2π) ½ħ2 k2 v[ ½ (q + q’ )] e-ik( q’ – q ) (2.22) −∞Jak łatwo się przekonać poprzez taki warunek w istocie definiujemy pewne uporządkowanie. Przy tym q i q’ rozpatruje się równoprawnie.
Dalej, zakładając ħ = 1, poprzez bezpośrednie obliczenia otrzymujemy, że : ∞
< q’t+δt | qt > =
∫
( dk/2π) exp{ ik( q’ – q ) – iδt ½k2 v[ ½ (q + q’ )] } + O((δt )2 ) (2.23) −∞Dokonując zamiany zmiennych :
k’ = sqrt(iδt) ( kv½ – v½q• ) (2.24)
gdzie : q• jest wielkością zdefiniowaną poprzez wzór (2.15) znajdujemy :
∞
< q’t+δt | qt > = (1/2π) exp( - iδtq•2/ 2v ) [ 1/ sqrt( iδtv)]
∫
dk’ exp( -½ k’2 ) = (2.25) −∞= [ 1/ sqrt( 2πiδt )] (1/ √v ) exp( - iδt ½ v -1q•2 ) (2.26) Wyrażenie ½ v -1q•2 można interpretować jako lagranżjan :
L = ½ v -1q•2 (2.27)
Łatwo się o tym przekonać, budując w sposób kanoniczny hamiltonian ( zobacz zadanie ). Jednakże w (2.26) istnieje również człon dodatkowy (1/√v ) , który w danym przypadku wnosi wkład do całki po trajektorii, mającej postać : N-1 t
< q’t | qT > =
∫
…∫ Π
[ dqi / (2πiδtħ )½ ] [ v( qi + qi-1 )] ½ exp( i∫
Ldt ) (2.28) i=1 TZauważmy, że powyższe wyrażenie różni się od naiwnego wyrażenia, w którym trajektorie brane są tylko z wagą eiS.
Zatem, magiczna miara „ℜq” niekiedy zawiera dziwne niespodzianki, np. w postaci czynnika 1/√v w powyższym przypadku. Z takiego faktu możemy wyciągnąć jedną lekcje – prawidłowe wyrażenie dla amplitudy przejścia otrzymujemy tylko w tym przypadku, jeśli od początku wykorzystujemy formalizm Hamiltona.
Bardziej prawidłowe wyrażenie ma postać : t
< q’t | qT > =
∫
…∫
ℜq ℜp exp{ i∫
dτ [ p(dq/dτ) – H( p, < q > ) ] } (2.29) TGdzie : ℜp oznacza
Π
( dqi /2π ) , < q > - wartość średnia zmiennej q na danym odcinku.Zatem, każde wyrażenie dla amplitudy przejścia w postaci eksponenty od działania należy rozpatrywać jako wyrażenie wyprowadzone z formy podstawowej (2.29), zawierającej hamiltonian.
Zadania.
A. Wyprowadźcie wzór (2.11), obliczając bezpośrednio elementy macierzowe operatora H w reprezentacji pędowej, następnie dokonajcie przekształcenia do reprezentacji współrzędnościowej ( q-reprezentacji ).
B. Znajdźcie ścisłe wyrażenia dla ‘’ q^np^ ‘’ i ‘’ q^np^2 ‘’ zgodnie z definicją uporządkowania (2.22).
C. Wykorzystując standardową procedurę, pokażcie, że lagranżjan : L = ½ v -1q•2 prowadzi do hamiltonianu H = ½ p2 v(q ).
D. Pokażcie, że jeśli : T < t1 , t2 < t , to :
∫
ℜq ℜp q(t1)q(t2 ) exp{ i∫
dt [ p(dq/dt) – H ] } = < q’t | T[ q^(t1)q^(t2 )] | qT >gdzie symbol T [ ... ] oznacza uporządkowany iloczyn chronologiczny (* time ordered product *) : T[ q^(t1)q^(t2 )] = { q^(t1 )q^(t2 ) przy t1 > t2
{ q^(t2 )q^(t1 ) przy t2 > t1