Istnieją trzy sposoby opisu cząstek swobodnych ze spinem ½ w przestrzeni Minkowskiego : A. Lagranżjan Weyla :
£W = ψL†σ ∂ψL (2.1)
opisuje z pomocą dwuskładnikowego zespolonego spinora ψL lewą bezmasową cząstkę jednocześnie z jej prawą antycząstką ( np. bezmasowe lewe neutrino i prawe antyneutrino ), przy czym cząstki te związane są między sobą CP-przekształceniem dyskretnym :
CP : ψL → σ2 ψL* (2.2)
B. Lagranżjan Majorany :
£M = ψL†σ ∂ψL – im/2 (ψLTσ2ψL + ψL†σ2ψL* ) (2.3) opisuje masywny spinor weylowski. Interpretujemy go jak samosprzężona cząstka o spinie ½ z dwoma stopniami
swobody, odpowiadającymi spinowi, skierowanemu w górę i w dół. Masywny spinor Weyla można wyrazić przez czteroskładnikowe pole Majorany : opisuje cząstkę z dwoma stopniami swobody oraz antycząstkę ( np. elektron i pozyton )
Lagranżjan ten ma dwa razy większą liczbę stopni swobody, niż lagranżjany Weyla i Majorany i oprócz CP zachowuje P.
Dla wygody lagranżjan wyrażamy przez czteroskładnikowy spinor Diraca :
ΨD = ( ψL ) (2.7)
( ψR ) w postaci :
£D = Ψ
-D ( γ∂ + im ) ΨD (2.8)
Jeśli wprowadzimy związek ze zewnętrznymi źródłami, to dla każdego z tych lagranżjanów można zbudować funkcjonał tworzący. Pola Weyla ψL mogą być związane ze źródłami o postaci :
XLTσ2 ψL + człony hermitowsko sprzężone , XR† ψL + człony hermitowsko sprzężone (2.9) Takie dwa typy powiązania są równoważne przy zamianie :
XR = σ2 XL*
Zatem, możemy rozpatrywać tylko jedną zależność.
W przypadku Weyla rozpatrzymy funkcjonał :
Tak jak we wszystkich teoriach swobodnych, możemy go bez trudu obliczyć. Wprowadzimy teraz obrazy Fouriera : ΨL(x ) =
∫
[ d4p/ (2π)2 ] exp( ip x ) Ψ~L(p ) itp. (2.11)
tak jak w rozdziale 3.
Wykładnik eksponenty przyjmuje postać :
(2.12) Przepiszemy go dalej następująco :
gdzie : ϕ~
L(p ) – jest rozwiązaniem równań ruchu : ϕ~
L(p ) = ( σσσσ• p / p2 ) σ2χ*L(-p ) (2.14)
Przy takiej formie zapisu widzimy, że można od razu dokonać całkowania po ψL, zamieniając zmienną całkowania na ψ~
L, co prowadzi nas do zmiany zmiennej normalizacji :
gdzie wykorzystaliśmy następujące zależności [ rozdział 1, wzór (4.37)] :
σσσσ• p σσσσ• p = p2 (2.16)
σ2Tσσσσ- • pσ2 = σσσσ• p (2.17)
Jeśli tak jako to było w przypadku bozonowym, podstawimy :
W = eiZ (2.18)
Gdzie Z – funkcjonał tworzący spójnych funkcji Greena, to :
Stąd otrzymujemy dwupunktową spójną funkcje Greena :
lub w przestrzeni pędów :
a to jest nic innego jak propagator.
W powyższej formie omawiane wyrażenie nie ma sensu, jeśli nie zadano zasady obejścia bieguna przy p2 = 0.
Możemy zadać ją analogicznie do przypadku bozonowego, jednakże obecnie należy mieć na uwadze, to że w przypadku fermionowym zastosowanie (-iε)-zasady nie wiąże się z zasadami zbieżności, ponieważ mamy do czynienia z formalnym całkowaniem grassmonnowskim. Dlatego też aby wprowadzić taki analog obejścia bieguna, należy cały problem sprowadzić do przestrzeni Euklidesa.
Pozostałe dwa przypadki rozpatruje się analogicznie. W przypadku Majorany wychodzimy z :
i dopełniając do pełnego kwadratu, otrzymujemy :
gdzie :
p^ = γµpµ (2.24)
co prowadzi do następującego propagatora :
jeśli uwzględnić równość p^p^ = p2.
Również w tym wyrażeniu należy w jawnej formie dodać zasadę obejścia bieguna.
Przypadek Diraca rozpatruje się w podobny sposób. Analogiczne wywody prowadzą do wyrażenia :
gdzie : ζ , ζ- - czteroskładnikowe diracowskie źródła grassmannowskie.
Analogiczne rozważania prowadzą do wyrażenia :
z którego wynika propagator :
gdzie należy dodać jeszcze (-iε )-dopis.
Tak jak w przypadku bozonowym, możemy zbudować funkcjonał tworzący bezpośrednio w przestrzeni euklidesowej, a następnie przedłużyć funkcje Greena do przestrzeni Minkowskiego.
Grupa Lorentza w przestrzeni euklidesowej jest grupą zwartą, co oznacza ( zobacz rozdział 1 ), że składa się ona z dwóch zupełnie nierówno ważnych SU(2)-składowych. Jednakże operator pochodnej cały czas przekształca się zgodnie z reprezentacją ( ½ , ½ ) i jeśli teraz chcielibyśmy zestawić skalar lorentzowski, liniowy względem pochodnej, to potrzebujemy dwa różne pola ψL ~ ( ½ , 0 ) i ψR ~ ( 0 , ½ ) tak aby utworzyć z nich wielkość wektorową przekształcającą się jak ( ½ , ½ ). Można zbudować dwa takie rzeczywiste wektory o składowych : Pamiętając przy tym, że ponieważ
Pamiętając przy tym, że ponieważ ψL i ψR – są liczbami Grassmanna, to :
( ψL† ψR )* = ψLT ψR* = - ψR† ψL (2.31)
Jeśli wprowadzimy czterowymiarowy spinor Diraca :
ΨE ≡ ( ψL ) (2.32)
( ψR )
to możemy przepisać rozpatrywane wektory w postaci : ΨE† γ-µΨE , ΨE† γ
-5 γ-µΨE (2.33)
gdzie : γ-µ - euklidesowe macierze gamma : γ
-0 = ( -0 i ) , γ
-i = ( 0 -σσσσ ) (2.34)
( i 0 ) ( σσσσ 0 ) spełniające zależności :
{ γ-µ , γ-ν } = - 2δµν (2.35)
γ
-5 = ( 1 0 ) (2.36)
( 0 –1 )
Możliwe człony masowe mają postać ( w przestrzeni Euklidesa istnieje tylko jeden typ masy ) :
ψL† ψL , ψR† ψR (2.37)
tak, że lagranżjan euklidesowy dany jest przez wyrażenie :
£E = ΨE† γ-µ ∂-µ ΨE + imΨE† ΨE (2.38)
przy czym postaraliśmy się aby lagranżjan był rzeczywisty :
£E* = £E (2.39)
Funkcjonał tworzący jest następujący :
Skąd otrzymujemy wyrażenie dla propagatora :
Gdzie uwzględniono to, że p^- p^- = - p-2 Zauważmy, ze tak jak tego należało oczekiwać w mianowniku propagatora stoi wielkość p-2 + m2. Z zadowoleniem widzimy, że ma ona taką samą strukturę jak propagator diracowskim w przestrzeni Minkowskiego.
W przypadku pól Weyla nie powinny występować podobne zależności – w przestrzeni Euklidesa nie można zbudować równań pierwszego rzędu dla pola, przekształcającego się zgodnie z reprezentacją ( ½ , 0 ), wychodząc z inwariantnego lagranżjan, zawierającego tylko to pole ( widzieliśmy, że możemy to łatwo zrobić jeśli rozpatrywać dwa pola
weylowskie ). Jeśli FPI może być dobrze określony tylko w przestrzeni Euklidesa, tak jak twierdzą specjaliści w aksjomatyce, to wtedy prawdopodobnie spotkamy się z całkowicie realnym problemem tam, gdzie mamy do czynienia z polami Weyla, np. w teorii oddziaływań słabych lub jej połączenie z QED. Należy podkreślić, że w ramach teorii zaburzeń z teorii pola zawierającej pola Weyla w przestrzeni Minkowskiego nie następuje nic niedobrego. Może się jednak okazać, ze bardziej pełniejszym badaniu ujawniają się pewne niespodzianki, które wymagają podwojenia liczby fermionów Weyla, niż w przypadku pewnej ( większej 0skali ustanawiają wektoro-podobne struktury oddziaływań słabych.
Z drugiej strony, ponieważ pola Fermiego wchodzą do zrenormalizowanego lagranżjanu kwadratowo ich całkowanie prowadzi tylko do wyznaczników. Dlatego można sądzić, ze potrzebujemy tylko pewnego funkcjonału euklidesowego, który prowadziłby do prawidłowego ( w sensie jego przedłużenia do przestrzeni Minkowskiego ) wyznacznika.
Takie podejścia wymaga właśnie podwojenia liczby niezależnych pól grassmannowskich ( zobacz wykłady : Coleman „The uses of instantons” [1] oraz zadanie D )
Zadania.
A. Obliczcie funkcjonał tworzący dla pól Majorany i Diraca w przestrzeni Minkowskiego.
B. Pokażcie, że w przestrzeni Euklidesa operator ∂µ przekształca się zgodnie z reprezentacją ( ½ , ½ )
C. Niech w przestrzeni Euklidesa zadano ψL ~ ( ½ , 0 ). Zbudujcie formę kwadratową, przekształcającą się zgodnie z reprezentacją (1, 0 )
D. Pokażcie, że spinorowy lagranżjan w przestrzeni Euklidesa posiada następującą dogodna własność – człon masowy w takim lagranżjanie jest inwariantny ze względu na tzw. przekształcenia chiralne ΨE → exp( iαγ5 ) ΨE , a człon
kinetyczny nie !
E. Zdefiniujmy formalnie £ = χ( ∂^ + im )ψ , gdzie χ, ψ - niezależne czteroskładnikowe pola Grassmanna.
Pokażcie, jak należy całkować, aby otrzymać standardowy wyznacznik Diraca.
Przeanalizujcie w takim przypadku inwariantność chiralną.