Czyste ubezpieczenie na dożycie

( )

0 1

0 1

≈ 1

+

+

= +

∑

minimalna jednorazowa składka ubezpieczeniowa netto

14.4.4. Czyste ubezpieczenie na dożycie

W tej sytuacji w ubezpieczeniu mieszanym T = 0. Kwota L zostanie wypłacona tylko wtedy, gdy ubezpieczony przeżyje jeszcze co najmniej okres ubezpieczenia obejmujący umowne n lat. Wartość oczekiwana zmiennej losowej W (czyli minimalna jednorazowa składka ubezpieczeniowa netto) będzie wówczas następująca:

0

E W L

l l

x

r

x n

( )

( )

0

≈ 1

+

+

minimalna jednorazowa składka ubezpieczeniowa netto

14.5. PRZYKŁADY

14.5.1. Z tablic trwania życia (lata 1985-1986) odczytujemy, że dla mężczyzny 20-letniego prawdopodobieństwo przeżycia jeszcze co najmniej 1 roku wynosi

p

=

e

=

e

=

p

=

e

=

e

=

Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej

141

14.5.2. Prawdopodobieństwo, że osoba 20-letnia przeżyje jeszcze co najmniej 50 lat wynosi p_{20 50+} = p₇₀ =0,64672 (z tablic trwania życia - lata 1985-1986 - wykorzystano tu następujące dane dotyczace populacji „ogółem”: l₇₀ =62 981, l₂₀ =97 385) . Jeśli to będzie mężczyzna, to p_{20 50+} = p₇₀=0,52973 (l₇₀ =51 353, l₂₀ =96 942) . Jeśli to będzie kobieta, to p_{20 50+} = p₇₀=0,76223 (l₇₀ =74 586, l₂₀ =97 852). Prawdopodobieństwo, że osoba 20-letnia umrze dokładnie w wieku 45 lat (przed ukończeniem 46 roku życia) wynosi q_{20 25+} =q₄₅ =0,00453 wykorzystano tu następujące dane: d₄₅=441 , l₂₀=97 385).

14.5.3. Polisę ubezpieczeniową zamierza wykupić osoba 70-letnia. Okres ubezpieczenia mieszanego ustala się na 5 lat. Ustalić wysokość składki ubezpieczeniowej, jeżeli T = 10 000 zł oraz L = 20 000 zł. Roczna stopa procentowa wynosi 20%.

Rozwiązanie:

Mamy tu do czynienia z ubezpieczeniem mieszanym. Ponieważ nie znamy płci tej osoby, korzystamy z tablic trwania życia „ogółem” (lata 1985-1986). W oparciu o odpowiedni wzór z cz. 13.4 znajdujemy jednorazową składkę ubezpieczeniową netto:

E W( )

Gdy przy niezmienionych pozostałych danych przyjmiemy L = 5000 zł, toE W( ₀)=2777,24 zł.

14.5.4. 90-letni mężczyzna ubezpiecza się bezterminowo na wypadek śmierci, wpłacając jednorazową składkę netto w wysokości 20 000 zł. na jaką wypłatę może liczyć rodzina w roku śmierci ubezpieczonego, jeśli roczna stopa procentowa wynosi 18%?

Rozwiązanie:

E W( ₀)

Tutaj znamy jednorazową składkę netto =20 000 zł. Wielkością obliczaną jest T (wypłata odszkodowania na wypadek śmierci). Przekształcając odpowiedni wzór dotyczący bezterminowego ubezpieczenia na życie i posługując się tablicami trwania życia (lata 1985-1986) otrzymujemy jednorazową składkę ubezpieczeniową netto:

T= ⋅ ⋅⎡ + + + + + + + + + +

14.5.5. Określić składkę ubezpieczenia netto, jeżeli ubezpieczająca się osoba chce zapewnić rodzinie wypłatę 30 000 zł w roku śmierci. Dodatkowe dane: wiek

Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej

142

x = 70 lat, kobieta, okres ubezpieczenia n = 5 lat, roczna stopa procentowa r = 15%.

Rozwiązanie:

Mamy tu do czynienia z terminowym ubezpieczeniem na wypadek śmierci. Podstawiając do odpowiedniego wzoru i posługując się tablicami trwania życia „ogółem” (lata 1985-1986) otrzymujemy jednorazową składkę ubezpieczeniową netto:

E W( )

Gdyby ubezpieczającą się osobą był mężczyzna, to jednorazowa składka ubezpieczeniowa netto, wyliczona w oparciu o tablice trwania życia (lata 1985-86), wynosiłaby 5 267,62 zł.

14.5.6. W ubezpieczeniu na dożycie 10 lat 70-letni mężczyzna wpłacił jednorazową składkę netto w wysokości 20 000 zł. Roczna stopa procentowa wynosi 15%. Na jaką wypłatę L może liczyć ubezpieczony po ukończeniu 80 roku życia?

Rozwiązanie:

Mamy tu do czynienia z czystym ubezpieczeniem na dożycie z następującymi danymi:

20 000 zł,

E W( ₀)= l_x =l₇₀=51 353, n = 10, l_x+10 =l₈₀ =22 932 (tablice trwania życia, lata 1985-1986), r = 0,15.. Po podstawieniu do przekształconego wzoru otrzymujemy

14.6.1. Oblicz prawdopodobieństwo, że a) pan liczący 40 lat przeżyje jeszcze 60 lat b) pani licząca 25 lat przeżyje jeszcze 75 lat c) osoba 50-letnia przeżyje jeszcze 30 lat.

14.6.2. Oblicz prawdopodobieństwo, że a) pan liczący 40 lat umrze po 15 latach b) pani licząca 25 lat umrze po 5 latach c) osoba 50-letnia umrze po 30 latach

14.6.3. Sprawdź w tablicach trwania życia, jaka jest oczekiwana wartość liczby lat dla osoby w twoim wieku.

14.6 4. Jaką (prawdopodobnie) liczbę rent dożywotnich, płatnych corocznie z dołu, otrzyma

a) 70-latek, b) 80-latek, c) 90-latek?

Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej

143

14.6.5. Obliczyć minimalną jednorazową składkę ubezpieczeniową netto dla przypadku, gdy przy wypłatach z dołu i stopie procentowej równej 20% osoba w wieku A lat chce otrzymywać rentę w wysokości B zł rocznie

a) A=70, B=6000 b) A=75, B=4800 c) A=80, B=7200 14.6.6. Rozwiązać zadanie 5 dla przypadku rent płatnych z góry.

14.6.7. Rozwiązać zadanie 5 dla przypadku, gdy renty mają być wypłacane z góry przez a) 5 lat b) 7 lat c) 10 lat d) 20 lat

14.6.8. Rozwiązać zadanie 5 dla przypadku, gdy renty mają być wypłacane z dołu przez a) 5 lat b) 7 lat c) 10 lat d) 20 lat

14.6.9. Obliczyć minimalną jednorazową składkę ubezpieczeniową netto dla przypadku, gdy przy stopie procentowej 15% i corocznych wypłatach z dołu rencista (mężczyzna) chce otrzymywać przez 10 lat rentę, która w pierwszym roku wynosi 6000 zł, a w każdym następnym jest o 300 zł wyższa niż w poprzednim. Kandydatem na rencistę jest

a)70-latek b) 75-latek c) 80-latek

14.6.10. Obliczyć minimalną jednorazową składkę ubezpieczeniową netto dla przypadku, gdy przy stopie procentowej 18% i wypłatach z góry rencistka (kobieta) chce otrzymywać przez 15 lat rentę, która w pierwszym roku wynosi 4800 zł, a w każdym następnym jest 1,2 raza wyższa niż w poprzednim. Kandydatem na rencistę jest

a)70-latek b) 75-latek c) 80-latek

14.6.11. Ubezpieczający się mężczyzna w wieku A lat zawarł w umowie ubezpieczenia zapis, że jeśli umrze w ciągu najbliższych B lat, to jego spadkobiercy otrzymają kwotę T zł, a jeśli przeżyje ten okres, to zostanie mu wypłacona kwota L. Obliczyć wysokość minimalnej jednorazowej składki ubezpieczeniowej netto, jaką musiał zapłacić, aby umowa weszła w życie.

a) A=70 lat, B=10 lat, T = 100 000 zł, L = 50 000 zł, r = 15%

b) A=65 lat, B=5 lat, T = 50 000 zł, L = 150 000 zł, r = 20%

c) A=75 lat, B=10 lat, T = 150 000 zł, L = 100 000 zł, r = 12%

14.6.12. Ubezpieczający się mężczyzna w wieku A lat, który wpłacił jednorazową składkę ubezpieczeniową netto w wysokości S, zawarł w umowie ubezpieczenia zapis, że jeśli umrze w ciągu najbliższych B lat, to jego spadkobiercy otrzymają kwotę T zł, a jeśli przeżyje ten okres, to zostanie mu wypłacona kwota L. Obliczyć wysokość ewentualnej wypłaty L, jaką otrzyma ubezpieczający się po przeżyciu B lat.

a) A=70 lat, B=10 lat, T = 100 000 zł, S = 70 000 zł, r = 15%

b) A=65 lat, B=5 lat, T = 50 000 zł, S = 40 000 zł, r = 20%

c) A=75 lat, B=10 lat, T = 150 000 zł, S = 100 000 zł, r = 12%

Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej

144

14.6.13. Ubezpieczająca się kobieta w wieku A lat zawarła w umowie ubezpieczenia zapis, że jeśli umrze w ciągu najbliższych B lat, to jego spadkobiercy otrzymają kwotę T zł.

Obliczyć wysokość minimalnej jednorazowej składki ubezpieczeniowej netto, jaką musiała zapłacić, aby umowa weszła w życie.

a) A=40 lat, B=20 lat, T = 100 000 zł, r = 15%

b) A=55 lat, B=15 lat, T = 150 000 zł, r = 20%

c) A=60 lat, B=10 lat, T = 150 000 zł, r = 12%

14.6.14. Rozwiązać zadanie 13 dla przypadku, gdy ubezpieczającym się był mężczyzna.

14.6.15. Ubezpieczająca się osoba w wieku A lat postanowiła zabezpieczyć swoją przyszłość, zawierając w umowie ubezpieczenia zapis, że jeśli przeżyje B lat, to zostanie jej wypłacona jednorazowo kwota L zł. Obliczyć wysokość minimalnej jednorazowej składki ubezpieczeniowej netto, jaką musiała zapłacić, aby umowa weszła w życie.

a) A=40 lat, B=30 lat, L = 100 000 zł, r = 15%

b) A=45 lat, B=25 lat, L = 150 000 zł, r = 18%

c) A=55 lat, B=15 lat, L = 150 000 zł, r = 20%

d) A=60 lat, B=10 lat, L = 150 000 zł, r = 12%

14.6.16. Rozwiązać zadanie 15 dla przypadku, gdy tą osobą jest kobieta.

14.6.17. Rozwiązać zadanie 15 dla przypadku, gdy tą osobą jest mężczyzna.

14.6.18. Ubezpieczająca się osoba w wieku A lat postanowiła zabezpieczyć swoją przyszłość, zawierając w umowie ubezpieczenia zapis, że jeśli przeżyje B lat, to zostanie jej wypłacona jednorazowo kwota L zł. Opłacona została przy tym minimalna jednorazowa składka netto w wysokości S. Jakiej wypłaty może się spodziewać ta osoba po B latach?

a) A=40 lat, B=30 lat, S = 20 000 zł, r = 15%

b) A=45 lat, B=25 lat, S = 30 000 zł, r = 18%

c) A=55 lat, B=15 lat, S = 40 000 zł, r = 20%

d) A=60 lat, B=10 lat, S = 50 000 zł, r = 12%

14.6.19. Rozwiązać zadanie 18 dla przypadku, gdy tą osobą jest kobieta.

14.6.20. Rozwiązać zadanie 18 dla przypadku, gdy tą osobą jest mężczyzna.

Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej

145

15. PODSTAWY WYCENY