ZDYSKONTOWANA WARTOŚĆ SUMY WPŁAT W PODOKRESACH OKRESU KAPITALIZACJI

Oznaczenia:

K₀ wartość zebranego kapitału K_n, obliczona na chwilę początkową (na początek pierwszego okresu kapitalizacji)

n liczba okresów kapitalizacji

m liczba wpłat w jednym okresie kapitalizacji mn łączna liczba wpłat

i stopa procentowa na okres kapitalizacji

Wzory: zdyskontowany do chwili początkowej

( )

wysokość wpłaty obliczona na podstawie

zdyskontowanej wartości zebranego w wyniku mn wpłat kapitału

( )

czas podany jako liczba okresów kapitalizacji przy wpłatach w podokresach (sens ma tylko część całkowita prawej strony)

Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej

kapitał po nieskończonej liczbie wpłat W po m w każdym okresie kapitalizacji, zdyskontowany do chwili początkowej

( )

wpłaty dla uzyskania (po zdyskontowaniu) kapitału K₀

przy nieskończonie wielu wpłatach po m w każdym okresie kapitalizacji

7.5. PRZYKŁADY

7.5.1. Przez N = 2 lata mamy otrzymywać wpłaty po W = 500 zł kwartalnie. Oblicz, ile warte są te pieniądze na początku i na końcu okresu wpłat . Zakłada się, że nominalna stopa procentowa jest równa r = 12%, a kapitalizacja odsetek następuje co rok.

1. Wpłaty dokonywane „z dołu”

Wzory:

Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej

K_o = 500 4⋅[ + ⋅¹₂ 0 12 4 1, ⋅( − )]⋅a_2|0,12 = 3532 20, zł 2. Wpłaty dokonywane „z góry”

Wzory:

K W m i m

K W m i m

n

o

= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

[ ( )]

[ ( )]

1 2 1 2

1 1

s a

n|i

n|i

Po podstawieniu danych:

K₂ =500 4⋅[ + ⋅¹₂ 0 12 4 1, ⋅ +( )]⋅s_2|0,12 =4558 00, zł K_o =500⋅[4+ ⋅¹₂ 0 12 4 1, ⋅( + )]⋅a_2|0,12 =3633 60, zł

Odpowiedź: Na początku okresu przy wpłatach „z dołu” pieniądze są warte 3532,20 zł , a na końcu 4430,80 zł ; natomiast przy wpłatach „z góry” pieniądze na początku okresu wynoszą 3633,60 zł , a na końcu 4558,00 zł.

7.5.2. Do kapitału 600 zł oprocentowanego w wysokości 12% dodaje się z końcem każdego roku kwotę 100 zł . Jaki powstanie z tego kapitał po 5 latach , jeśli kapitalizacja jest roczna ? Jaka będzie wartość tego kapitału zdyskontowana na początek pierwszego roku ?

Rozwiązanie:

Dane:

• P = 600 zł

• W= 100 zł

• N = 5

• r = i = 12 % Szukane:

• K₀ = ?

• K5 = ?

Obliczamy przyszłą wartość wkładów oszczędnościowych:

K_5W =Ws_n|i =100⋅s_5|0,12 =635 28, zł Obliczamy wartość przyszłą kapitału 600 zł :

K

= ⋅ + P ( 1 i )

= 600 1 0 12 ⋅ + ( , )

= 1057 40 ,

K

= K

+ K

= 635 28 1057 40 1692 68 , + , = ,

K

= + P W a

= 600 100 + a

= 960 48 ,

Odpowiedź: Po pięciu latach powstanie kapitał o wartości 1692,68 zł a jego zdyskontowana wartość na początek pierwszego roku wynosi 960,48 zł.

Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej 7.5.3. Przez ile lat należy wpłacać miesięcznie „z dołu” kwotę 1000 zł, aby przy

stopie procentowej 18% i kapitalizacji rocznej przyszła wartość wkładów oszczędnościowych wynosiła około 20 000 zł ?

Rozwiązanie:

Obliczamy liczbę okresów kapitalizacji, korzystając ze wzoru z cz. 7.2. dla wpłat „z dołu”:

( )

( ) [ ]

[ ]

n

20000 0,18 +1000 12+0,09 11 1000 12+0,09 11

Ponieważ sens ma tylko odpowiedź całkowita, więc przyjmujemy, że będzie to jeden okres kapitalizacji (jeden rok). Dla tego okresu czasu zebrana kwota będzie miała wartość

( )

Dla n = 2 otrzymujemy K₂ = 28318,20 zł, czyli rzeczywiście kwota uzbierana po roku jest najbliższa kwoty 20 000 zł.

Odpowiedź: Aby przyszła wartość wkładów oszczędnościowych była najbliższa kwocie 20 000 zł , kwotę 1000 zł należy wpłacać przez 1 rok.

7.6. Zadania

7.6.1. Planowane wpłaty pod koniec trzech kolejnych miesięcy wynoszą odpowiednio A, B i C zł. Oblicz łączna wartość tych wpłat na koniec trzeciego miesiąca oraz na początku pierwszego miesiąca, jeśli nominalna stopa procentowa wynosi r, a kapitalizacja odsetek jest miesięczna.

a) A = 300 zł, B = 500 zł, C = 600 zł, r = 24%;

b) A = 200 zł, B = 300 zł, C = 400 zł, r = 12%;

c) A = 300 zł, B = 200 zł, C = 500 zł, r = 18%.

7.6.2. Rozwiąż zadanie 7.6.1. dla przypadku wpłat dokonywanych na początku każdego miesiąca.

Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej 7.6.3. Przez N lat mamy otrzymywać wpłaty po A zł kwartalnie. Oblicz, ile warte są te

pieniądze na początku i na końcu okresu wpłat. Zakłada się, że nominalna stopa procentowa jest równa r, a kapitalizacja odsetek następuje co kwartał.

a) N = 2, A = 500 zł, r = 12%, wpłaty następują: (1) z dołu; (2) z góry;

b) N = 3, A = 600 zł, r = 18%, wpłaty następują: (1) z dołu; (2) z góry;

c) N = 5 , A = 900 zł, r = 16%, wpłaty następują: (1) z dołu; (2) z góry.

7.6.4. Rozwiąż zadanie 7.6.3. dla przypadku:

a) wpłat miesięcznych i kapitalizacji półrocznej, b) wpłat kwartalnych i kapitalizacji rocznej, c) wpłat miesięcznych i kapitalizacji kwartalnej.

7.6.5. Dealer sprzedaje samochody za cenę 28 000 zł. 70% zapłata może być rozłożona na 36 miesięcznych rat płatnych „z dołu” przy stopie procentowej r. Jaka będzie wysokość raty, jeśli stopa procentowa wynosi a) 18% b) 24%, c) 26%, d) 30%, a kapitalizacja odsetek jest (1) roczna, (2) miesięczna?

7.6.6. Rozwiązać zadanie 7.6.5. przy ratach płatnych „z góry”.

7.6.7. Jaka jest wartość 10-letnich wkładów oszczędnościowych na początku i na końcu 10 lat przy:

a) wpłatach miesięcznych „z dołu” po 100 zł, r = 18%, kapitalizacja miesięczna;

b) wpłatach miesięcznych „z dołu” po 100 zł, r = 19%, kapitalizacja kwartalna;

c) wpłatach miesięcznych „z dołu” po 100 zł, r = 20%, kapitalizacja roczna;

d) wpłatach kwartalnych „z góry” po 300 zł, r = 12%, kapitalizacja miesięczna;

e) wpłatach kwartalnych „z góry” po 300 zł, r = 18%, kapitalizacja półroczna;

f) wpłatach kwartalnych „z góry” po 300 zł, r = 14%, kapitalizacja roczna.

7.6.8. Do kapitału 600 zł oprocentowanego w wysokości 12%, dodaje się z końcek każdego roku kwotę 100 zł. Jaki powstanie z tego kapitał po 5 latach, jeśli kapitalizacja jest a) roczna, b) kwartalna, c) miesięczna. Jaka będzie wartość tego kapitału zdyskontowana na początek pierwszego roku?

7.6.9. Do kapitału 1000 zł oprocentowanego w wysokości 18%, dodaje się z początkiem każdego miesiąca kwotę 100 zł. Jaki powstanie z tego kapitał po dwóch latach przy kapitalizacji a) rocznej, b) kwartalnej, c) miesięcznej? Jaka będzie wartość tego kapitału zdyskontowana na początek pierwszego roku?

7.6.10. Z kapitału 15 000 zł złożonego na koncie oprocentowanym w takiej wysokości, że przy kapitalizacji półrocznej kapitał ten podwoiłby się po 10 latach, pobierano z końcem każdego miesiąca kwotę 200 zł. Na początku szóstego roku na konto wpłacono dodatkowo kwotę 10 000 zł. Jaki kapitał pozostanie na koncie po okresie 10 lat, jeśli kapitalizacja odsetek jest półroczna?

7.6.11. Zachowując pozostałe warunki rozwiązać zadanie 7.6.10. dla przypadku miesięcznej kapitalizacji odsetek.

Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej 7.6.12. Przez ile lat należy wpłacać rocznie „z góry” kwotę 1000 zł, aby przy stopie

procentowej 18% i kapitalizacji a) rocznej, b) kwartalnej, c) miesięcznej przyszła wartość wkładów oszczędnościowych wynosiła około 20 000 zł?

7.6.13. Rozwiązać zadanie 7.6.12. dla przypadku wpłat miesięcznych „z dołu”.

7.6.14. Jaka powinna być kwota miesięcznej opłaty „z góry” za dzierżawę komputera, aby po pięciu latach, przy oprocentowaniu 12%, teraźniejsza wartość wszystkich opłat była równa 5000 zł przy: a) rocznej, b) półrocznej, c) miesięcznej kapitalizacji odsetek.

7.6.15. Przez ile kwartałów należy wpłacać „z dołu” po 1200 zł, aby zebrać fundusz wynoszący 12000 zł przy oprocentowaniu 16%? Jaka musi być wysokość ostatniej wpłaty, aby zebrać równo 12000 zł?

7.6.16. Koszt budowy domku jednorodzinnego wyniósł 100 000 zł. Domek ten ma zostać wydzierżawiony, a opłata za jego użytkowanie ma być wnoszona z końcem każdego roku.

Przewiduje się, że domek przetrwa 100 lat. Obliczyć wysokość czynszu, zakładając, że ma on zwrócić koszt budowy oraz przynieść właścicielowi zysk 20-procentowy zysk, jeśli przewidywana stopa procentowa (stopa dyskontowa) wynosi 9%, a kapitalizacja odsetek jest roczna.

7.6.17. Rozwiązać zadanie 7.6.16. dla przypadku czynszu płaconego co miesiąc z góry i miesięcznej kapitalizacji odsetek.

7.6.18. Jak zmieni się czynsz obliczony w zadaniu 7.6.16, jeśli przewiduje się, że domek będzie stał wiecznie?

7.6.19. Jak zmieni się czynsz obliczony w zadaniu 7.6.17, jeśli przewiduje się, że domek będzie stał wiecznie?

7.6.20. Jaki był koszt 1 m²powierzchni mieszkalnej domu, w którym czynsz za właśnie otrzymane mieszkanie o powierzchni 60 m²jest równy 350 zł miesięcznie, płatne z końcem miesiąca, jeśli zakłada się wysokość stopy procentowej 6% przy miesięcznej kapitalizacji odsetek?

7.6.21. Jaki był koszt 1 m²powierzchni mieszkalnej domu z zadania 7.6.20, jeśli czynsz wynosi 440 zł miesięcznie płatne z góry, a założona stopa procentowa wynosi 9% przy kapitalizacji rocznej?

Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej