KREDYT JEST WALORYZOWANY O STOPĘ INFLACJI

− − +

1

a

₍ 1_)|(

, )

rata wyrażona poprzez poprzednie saldo (gdzie to kredyt), numer raty, ich całkowitą liczbę N oraz aktualną stopę oprocentowania kredytu

P₀

Z

_k

= ( i i +

_{in k,}

) P

_k−1 odsetki zawarte w racie R_k

T

_k

= R

_k

− Z

_k część kapitałowa raty R_k

P

_k

= − P ( T T

₁

+

₂

+ + ... T

_k

) = P

_k−1

− T

_k saldo po zapłaceniu k-tej raty

R

_k

Z R_k

k N

= −

∑

= 1

P koszt kredytu

12.2. KREDYT JEST WALORYZOWANY O STOPĘ INFLACJI

12.2.1. Raty o stałej części kapitałowej - spłaty zgodne z okresem kapitalizacji

ZNANE:

P=P₀ - wysokość kredytu,

N - liczba rat (równa liczbie okresów kapitalizacji), i - stopa oczekiwanego przez kredytodawcę zysku,

i_{in k,} - stopa inflacji w k-tym okresie spłacania kredytu; k = 1,2,...N.

Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej Wzory do utworzenia planu spłaty długu:

T P i

k

k in

=

₋₁

( 1 +

_,

) N - (k - 1)

k część kapitałowa, uwzględniona w racieR_k

P

_k

= P

_k−1

( 1 + i

_{in k,}

) − T

_k saldo po k-tej racie

Z

_k

= P

_k−1

( 1 + i

_{in k,}

) i

odsetki zawarte w racie R_k

R

_k

= T

_k

+ Z

_k wysokość k-tej raty

Z R_k

k N

= −

∑

= 1

P koszt kredytu

12.2.2. Raty o równych wysokościach płatne z dołu - spłaty zgodne z okresem kapitalizacji

ZNANE:

P=P₀- wysokość kredytu,

N - liczba rat (równa liczbie okresów kapitalizacji), i - stopa oczekiwanego przez kredytodawcę zysku,

i_{in k,} - stopa inflacji w k-tym okresie spłacania kredytu; k = 1,2,...N.

Uwaga: Określenie „raty o równych wysokościach” dotyczy sposobu obliczania rat, a nie ich wysokości!

Wzory do utworzenia planu spłaty długu:

R P i

k k in

N k i

=

₋

+

^k

− − 1

1

1

(

_,

( )|

a

)

rata wyrażona poprzez poprzednie saldo (gdzie to kredyt), numer raty, ich całkowitą liczbę N oraz aktualną stopę oprocentowania kredytu

P₀

Z

_k

= P

_k−1

( 1 + i

_{in k,}

) i

odsetki zawarte w racie

R

_k

T

_k

= R

_k

− Z

_k część kapitałowa raty

R

_k

P

_k

= P

_k−1

( 1 + i

_{in k,}

) − T

_k saldo po zapłaceniu k-tej raty

R

_k

Z R

_k

k N

= −

∑

= 1

P

koszt kredytu

Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej Sposób sporządzania planu spłaty długu

dla stopy oprocentowania będącej sumą stopy zysku oraz stopy inflacji:

Nr raty Saldo przed

Sposób sporządzania planu spłaty długu dla kredytu waloryzowanego o stopę inflacji:

Nr

Dla innych przypadków spłaty rat, przedstawionych w rozdziałach 8, 9, 10 i 11, wzory dotyczące planu spłaty długu w warunkach wysokiej inflacji tworzy się podobnie jak pokazano wyżej.

12.3. PRZYKŁADY

12.3.1. Kredyt o wysokości 20 000 zł ma być spłacany ratami o stałej części kapitałowej, płaconymi z końcem każdego roku Okres spłacania kredytu wynosi 6 lat, stopa zysku kredytodawcy wynosi 12%, a ponadto w umowie zawarto klauzulę, że w razie inflacji stopa zysku będzie powiększona o stopę inflacji. Jak się okazało, w kolejnych latach stopa inflacji wynosiła 33%, 27%, 20%, 14%, 10%

oraz 8%. Obliczyć wysokość raty i koszt kredytu oraz napisać pełny plan spłaty kredytu.

Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej

• iin,6 = 8 %, tzn. iin,6 = 0,08 Szukane:

• Rk = ?

• Z = ?

Posługujemy się wzorami z cz. 12.1.1., które podane są pod planem spłaty długu.

PLAN SPŁATY DŁUGU WG. CZ. 12.1.1.

1 20000,00 45% 9000,00 12333,35 3333,35 16666,65

2 16666,65 39% 6500,00 9833,33 3333,33 13333,32

3 13333,32 32% 4266,67 7599,99 3333,33 9999,99

4 9999,99 26% 2600,00 5933,33 3333,33 6666,66

5 6666,66 22% 1466,67 4800,00 3333,33 3333,33

6 3333,33 20% 666,67 4000,00 3333,33 0

suma: 24500,01 44500,01 20000,00

opis: Koszt

Jak widać z planu spłaty długu, koszt kredytu ostatecznie zamknął się kwotą o 1 grosz większą niż wynikało to ze wzorów. Przyczyną tego stanu rzeczy są błędy zaokrągleń.

Podobnie, na skutek błędów zaokrągleń, pierwsza z części kapitałowych jest większa o 2 grosze od pozostałych - po to, aby suma rat kapitałowych była równa wielkości kredytu.

Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej 12.3.2. Umowa o kredyt dotyczy finansowania projektu przez 4 lata. Spłata

kredytu o wysokości 10 000 zł ma nastąpić w czterech ratach. Oprocentowanie kredytu wynosi 8%. Proces spłat jest zakłócony przez inflację, która w kolejnych latach wynosiła: 42%, 22%, 12% i 10%. Podać plan spłaty kredytu dla przypadku spłat ratami o stałej wysokości przy kredycie waloryzowanym o stopę inflacji.

Rozwiązanie:

Dane:

• N = 4 lat

• r = 8 %, tzn. r=0,08

• P = P₀ = 10 000

• iin,1= 42 %, tzn. iin,1 = 0,42, gdzie iin,k - stopa inflacji w k - tym roku

• iin,2 = 22 %, tzn. iin,2 = 0,22

• iin,3 = 12 %, tzn. iin,3 = 0,12

• iin,4 = 10 %, tzn. iin,4 = 0,10 Szukane:

• plan spłaty długu

Posługujemy się wzorami z cz. 12.2.2.:

R P i

k k in

k

= ₋ +

− 1

5 0 08

1

( _, )

a | ,

k

i

k

k

Z_k =P_k−1(1+i_{in k,} )

T_k =R_k −Z

P_k =P_k−1(1+i_{in k,} )−T

Z R_k

k N

= −

∑

= 1

P

Jak widać ze wzorów, kluczową sprawą jest obliczenie czynników umorzeniowych, zaś określenie „raty o stałej wysokości”, które byłoby zgodne z wynikami przedstawionymi w planie spłaty długu w przypadku braku inflacji, tutaj dotyczy jedynie sposobu obliczania rat, a nie ich wysokości. Następnie każdy element planu spłaty długu musi być obliczany dla danego k w oparciu o saldo po poprzeniej racie.

Obliczamy czynniki umorzeniowe i kolejne elementy planu spłaty rat (wszystko dla i = 0,08):

k=1 a_{5 10 08− | ,} = 3,31212684 P_{1 1−} =10 000 zł, R₁=10000 1 0 42( + , 3,31212684

) = 4287,28 zł

k=2 a_{5 2 0 08− | ,} = 2,577096987 P_{2 1−} =11 048,72 zł, R₂ =11048 72 1 0 22, ( + , )

2,577096987 = 5230,47 zł

Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej

k=3 a_{5 3 0 08− | ,} = 1,783264746 P_{3 1−} = 9327,33 zł, R₃ = 9327 33 1 0 12, ( + , )

1,783264746 = 5858,14 zł

k=4 a_{5 4 0 08− | ,} = 0,925925925 P_{4 1−} = 5423,94 zł, R₄ =5423 94 1 0 10, ( + , )

0,925925925 = 6443,64 zł PLAN SPŁATY DŁUGU WG. CZ. 12.2.2.

Nr raty

Saldo przed zapłacenie

m k-tej raty

Stopa

inflacji Saldo walory-zowane

Część odsetkow

a k-tej raty

k-ta rata Część kapitałowa

k-tej raty

Saldo po zapłaceniu

k-tej raty k Pk-1 iin,k P_w ^Zk = i·Pk-1 Rk Tk Pk =

P

_w - Tk

1 10000,00 42% 14200,00 1136,00 4287,28 3151,28 11048,72

2 11048,72 22% 13479,44 1078,36 5230,47 4152,11 9327,33

3 9327,33 12% 10446,61 835,73 5858,14 5022,67 5423,94

4 5423,94 10% 5966,33 477,31 6443,64 5966,33 0,00

suma: 3527,40 21819,53 18292,39 Koszt kredytu = 21819,53-10000=

=11819,53 zł

Jak widać z planu spłaty długu, poszczególne raty nie są sobie równe, chociaż sposób ich obliczania oparty był o wzory dotyczące rat o równej wysokości.

W tym przypadku odsetki obliczane były w oparciu o ustaloną stopę zysku, zaś inflację uwzględniono, waloryzując saldo o stopę inflacji.

12.4. Zadania

12.4.1. Kredyt o wysokości 20 000 ma być spłacany ratami o stałej części kapitałowej, płaconymi z końcem każdego roku. Obliczyć wysokość raty oraz koszt kredytu oraz napisać pełny plan spłaty kredytu, jeśli okres spłacania wynosi L lat, stopa zysku kredytodawcy wynosi r, a ponadto w umowie zawarto klauzulę, że w razie inflacji stopa zysku będzie powiększona o stopę inflacji.

a) L = 6 lat, r = 10%, inflacja w poszczególnych latach: 25%, 30%, 33%, 20%, 15%,12%;

b) L = 5 lat, r = 5%, inflacja w poszczególnych latach: 30%, 35%, 20%, 15%, 10%.;

c) L = 4 lata, r = 9 %, inflacja w poszczególnych latach: 40%, 30%, 25%, 15%;

d) L = 6 lat, r = 12%, inflacja w poszczególnych latach: 33%, 27%, 20%, 14%, 10%, 8%;

e) L = 5 lat, r = 12%, inflacja w poszczególnych latach: 25%, 30%, 25%, 25%, 15%;

f) L = 4 lata, r = 6,5%, inflacja w poszczególnych latach: 40%, 25%, 12%, 12%.

12.4.2. Rozwiązać zadanie 12.4.1. dla przypadku rat o stałej wysokości.

12.4.3. Kredyt o wysokości 20 000 ma być spłacany ratami o stałej części kapitałowej, płaconymi z końcem każdego roku. Obliczyć wysokość raty oraz koszt kredytu kredytu oraz

Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej napisać pełny plan spłaty kredytu, jeśli okres spłacania wynosi L lat, stopa zysku

kredytodawcy wynosi r, a ponadto w umowie zawarto klauzulę, że w razie inflacji kredyt będzie waloryzowany o stopę inflacji.

a) L = 6 lat, r = 10%, inflacja w poszczególnych latach: 25%, 30%, 33%, 20%, 15%,12%;

b) L = 5 lat, r = 5%, inflacja w poszczególnych latach: 30%, 35%, 20%, 15%, 10%.;

c) L = 4 lata, r = 9 %, inflacja w poszczególnych latach: 40%, 30%, 25%, 15%;

d) L = 6 lat, r = 12%, inflacja w poszczególnych latach: 33%, 27%, 20%, 14%, 10%, 8%;

e) L = 5 lat, r = 12%, inflacja w poszczególnych latach: 25%, 30%, 25%, 25%, 15%;

f) L = 4 lata, r = 6,5%, inflacja w poszczególnych latach: 40%, 25%, 12%, 12%.

12.4.4. Rozwiązać zadanie 12.4.3. dla przypadku rat o stałej wysokości.

12.4.5. Umowa o kredyt dotyczy finansowania projektu przez 4 lata. Spłata kredytu o wysokości sto tysięcy zł ma nastąpić w czterech ratach. Oprocentowanie kredytu wynosi 8%. Proces spłat jest zakłócony przez inflację, która w klejnych latach wynosiła: 42%, 22%, 12% i 12%. Podać plan spłaty kredytu dla przypadku spłat ratami:

a) o stałej części kapitałowej przy stopie będącej sumą stopy zysku oraz stopy inflacji;

b) o stałej części kapitałowej przy kredycie waloryzowanym o stopę inflacji;

c) o stałej wysokości przy stopie będącej sumą stopy zysku oraz stopy inflacji;

d) o stałej wysokości przy kredycie waloryzowanym o stopę inflacji.

Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej

117 13. RENTY 13.1. WZORY OGÓLNE

Oznaczenia:

e renta

i stopa procentowa na okres wypłaty renty (= okres kapitalizacji odsetek) n bieżący numer renty

e_w maksymalna renta wieczysta

K kapitał, stanowiący podstawę wypłacania rent

E_n suma n wypłaconych rent, obliczona na koniec n-tego okresu wypłacania (= koniec n-tego okresu kapitalizacji)

E

₀

= E

_n

( 1 + i )

⁻ⁿ zdyskontowana do chwili początkowej suma E_n, K =E_N(1+i)^−N

K_n =K(1+i)ⁿ−E_n saldo po wypłaceniu z kapitału podstawowego n rent N liczba rent o zadanej wysokości, obliczana z równania

K(1+i)^N−E_N = 0

( )

[

S_{N i} ^N

i i

W dokumencie Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej (Stron 110-117)