6. PROCENT SKŁADANY
6.6. DYSKONTOWANIE SKŁADANE
6.5. PRZECIĘTNA STOPA PROCENTOWA
W ciągu n kolejnych, równych okresów kapitalizacji stopy procentowe są różne i wynoszą i( )1 ,i( )2 , ...,i( )n . Wtedy
F
nP i
jj
=
n+
∏
=( 1
( ))
1wartość przyszła kapitału
zaś zastępcza, przeciętna stopa procentowa na okres kapitalizacji może być wyliczona ze wzoru:
i
przi
jj
n n
= ⎡ +
⎣ ⎢ ⎤
⎦ ⎥ −
∏
=( 1
( ))
/1
11
przeciętna stopa procentowa na okres kapitalizacji
gdzie duże pi, tzn.
∏
, oznacza mnożenie czynników (podobnie jak duże sigma, tzn.∑
, oznacza dodawanie składników).6.6. DYSKONTOWANIE SKŁADANE
P = F ( 1 + i )
−n- obliczenie wartości aktualnej P kapitału na podstawie znajomości wartości przyszłej F dla oprocentowania składanego;
jest to operacja odwrotna do oprocentowania składanego. i - stopa procentowa na okres kapitalizacji, n - liczba (całkowita) okresów kapitalizacji. Dla oprocentowania ciągłego stopą procentową jest nominalna stopa roczna r; odpowiedni wzór przyjmuje postać:
P = F e
−rn .- obliczenie wartości aktualnej P kapitału na podstawie znajomości wartości przyszłej F dla oprocentowania ciągłego
Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej
D = F − P = F [ 1 − ( 1 + i ) ]
−ndyskonto składane.
Dla oprocentowania ciągłego odpowiedni wzór przyjmuje postać
D = F − P = F [ 1 e −
- nr]
dyskonto przy oprocentowaniu ciągłym
Wielkości (1+ i)−n oraz
e
- nr nazywa się czynnikami dyskontującymi.6.7. PRZYKŁADY
6.7.1. Oblicz liczbę okresów kapitalizacji niezbędnych do powiększenia kapitału początkowego P = 2000 zł do wysokości najbliższej zadanej kwocie F = 5000,00 zł przy kapitalizacji półrocznej i stopie procentowej r = 26%. .
Rozwiązanie:
Zgodnie z drugim wzorem z cz. 6.2. dla i=r/2=0,13 obliczam [n]:
n =
+ = ≈
log log
F P i
n
( ) , ,
1
5000 2000
1 13 7 4972 log
log ;
[n]=7
Po 7 półroczach otrzymuje się kwotę 4705,21 zł, a po 8 półroczach - kwotę 5316,89 zł (por. wzór z cz. 6.1).
Odpowiedź: Liczba półrocznych okresów kapitalizacji niezbędnych do powiększenia kapitału P=2000 zł do wysokości najbliższej kwocie F=5000 zł wynosi 7; otrzymana po 7 półroczach kwota będzie nieco mniejsza od 5000 zł (będzie równa 4705,21 zł).
6.7.2. Oblicz kapitał podstawowy P i współczynnik dyskontujący dla kwoty F = 300 zł, uzyskanej po 8 latach przy oprocentowaniu r = 20 % i kapitalizacji kwartalnej.
Rozwiązanie:
Dane:
• F = 300 zł
• r = 0,20 kapitalizacja kwartalna, skąd i = r/4 = 0,05
• n = 8 lat = 32 okresy kapitalizacyjne Szukane:
• P = ?
• Współczynnik dyskontujący ( 1 + i )-n = ?
Wartość aktualną kapitału P wyznacza się na podstawie znajomości przyszłej wartości kapitału F:
P = ⋅F (1+i)−n =300 1 0 05⋅( + , )−32 =62 96, zł
Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej Współczynnik dyskontujący:
(1+i)−n =(1 0 05+ , )−32 =0 2098,
Odpowiedź: Wartość kapitału podstawowego wynosi 62,96 zł , a współczynnik dyskontujący jest równy 0,2098.
6.7.3. Które oprocentowanie jest korzystniejsze dla inwestora: 22 % z kapitalizacją odsetek co miesiąc czy 21 % z codzienną kapitalizacją odsetek ?
Rozwiązanie:
Dla
r
m= 22 % ( kapitalizacja odsetek co miesiąc )r r
eff
= +( )k − = +( , − =
) ,
1 1 1 0 22
12 12 1 0 2436
k czyli rm eff, = 24 36%,
Dla
r
d = 21 % ( kapitalizacja odsetek co dzień )r r
eff
= + ( )
k− = + ( , − =
) ,
1 1 1 0 21
365
3651 0 2336
k
czyli rd eff, = 23 36%,Odpowiedź: Dla inwestora korzystniejsze jest oprocentowanie 22 % z kapitalizacją odsetek co miesiąc.
6.7.4. Podaj oprocentowanie efektywne dla stopy procentowej r = 20 % przy kapitalizacji miesięcznej.
Rozwiązanie:
reff = +( i)k = +( , − =
) ,
1 1 0 20
12 12 1 0 2194 Odpowiedź: Oprocentowanie efektywne wynosi 21,94 %.
6.7.5. Do jakiej kwoty wzrośnie kapitał P przy miesięcznej kapitalizacji odsetek , jeśli w ciągu dwóch pierwszych lat stopa procentowa wynosiła r1 = 20 % , a przez następne trzy lata była równa r2 = 24 % .
Rozwiązanie:
Zapiszemy najpierw w tabeli, jakie stopy procentowe roczne i miesięczne obowiązywały w poszczególnych latach:
Rok 1,2 Rok 3,4,5
r1 = 20% r2 = 24%
i1 = 0,0166666667 i2 = 0,02 n1 = 24 n2 = 36
Po n1 miesiącach kwota P urosła do kwoty P⋅ +(1 i1)n1; podczas następnych n2 miesięcy pomnażana była kwota P⋅ +(1 i1)n1; ostatecznie po pięciu latach otrzymujemy w wyniku kwotę F określoną następująco:
F= ⋅ +P (1 i1)n1 ⋅ +(1 i2)n2 = ⋅ +P (1 0 0166666667, )24⋅ +(1 0 02, )36 =3 0331, ⋅P Odpowiedź: Kapitał P wzrośnie do kwoty 3,0331P.
Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej
6.8. Zadania
6.8.1. Oblicz wartość przyszłą kapitału i wysokość odsetek przy następujących danych:
a) P = 2000 zł, r = 18%, n = 2 lata, kapitalizacja odsetek co pół roku;
b) P = 300 zł, r = 20%, n = 27 miesięcy, kapitalizacja odsetek co kwartał;
c) P = 1000 zł, r = 19%, n = 5 lat, kapitalizacja odsetek co rok;
d) P = 400 zł, r = 22%, n = 4 lata, kapitalizacja odsetek co miesiąc;
e) P = 200 zł, r = 25%, n = 2 lata, ciągła kapitalizacja odsetek;
f) P = 1000 zł, r = 18%, n = 3 lata, ciągła kapitalizacja odsetek.
6.8.2. Oblicz liczbę okresów kapitalizacji (przy oprocentowaniu ciągłym - liczbę lat), niezbędnych do powiększenia kapitału początkowego P do wysokości najbliższej zadanej kwocie F:
a) P = 2000 zł, F = 5000 zł, r = 24%, kapitalizacja odsetek co pół roku;
b) P = 300 zł, F = 1000 zł, r = 20%, kapitalizacja odsetek co kwartał;
c) P = 1000 zł, F = 2000 zł, r = 22%, kapitalizacja odsetek co rok;
d) P = 400 zł, F = 5000 zł, r = 16%, kapitalizacja odsetek co miesiąc;
e) P = 200 zł, F = 400 zł, r = 15%, ciągła kapitalizacja odsetek;
f) P = 1000 zł, F = 1100 zł, r = 18%, ciągła kapitalizacja odsetek.
6.8.3. Dla podanych niżej danych oblicz dokładny (co do dnia) czas, po którym kapitał P powiększy się do wysokości F.
a) P = 2000 zł, F = 5000 zł, r = 18%, kapitalizacja odsetek co pół roku;
b) P = 300 zł, F = 1000 zł, r = 20%, kapitalizacja odsetek co kwartał;
c) P = 1000 zł, F = 2000 zł, r = 22%, kapitalizacja odsetek co rok;
d) P = 400 zł, F = 5000 zł, r = 16%, kapitalizacja odsetek co miesiąc.
6.8.4. Oblicz kapitał podstawowy i współczynnik dyskontujący:
a) F = 200 zł, r = 18%, kapitalizacja odsetek co pół roku, n = 5 lat;
b) F = 300 zł, r = 20%, kapitalizacja odsetek co kwartał, n = 8 lat;
c) F = 100 zł, r = 19%, kapitalizacja odsetek co rok, n = 10 lat;
d) F = 400 zł, r = 22%, kapitalizacja odsetek co miesiąc, n = 15 lat;
e) F = 200 zł, r = 25%, ciągła kapitalizacja odsetek, n = 25 lat;
f) F = 100 zł, r = 18%, ciągła kapitalizacja odsetek, n = 5 lat.
6.8.5. Podaj okres podwojenia kapitału przy danych dotyczących P, r oraz okresu kapitalizacji jak w zadaniu 6.8.1.
6.8.6. Które oprocentowanie jest korztystniejsze dla inwestora:
a) 20% z kapitalizacją odsetek co miesiąc czy 21% z kapitalizacją odsetek co pół roku?
b) 20% z kapitalizacją odsetek co pół roku czy 19% z ciągłą kapitalizacją odsetek?
c) 22% z kapitalizacją odsetek co miesiąc czy 21% z codzienną kapitalizacją odsetek?
d) 32% z kapitalizacją odsetek co kwartał czy 30% z kapitalizacją odsetek co miesiąc?
6.8.7. Która z propozycji oprocentowania lokaty terminowej jest najkorzystniejsza:
a) 13% z kapitalizacją roczną?
Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej b) 12,5% z kapitalizacją półroczną?
c) 12% z kapitalizacją ciągłą?
6.8.8. Bank proponuje wypłaty od ręki lub za jakiś czas. Która z nich jest korzystniejsza?
a) 200 zł teraz czy 350 zł za 3 lata (oprocentowanie20% i kapitalizacja odsetek co miesiąc)?
b) 2000 zł teraz czy 4000 zł za 4 lata (oprocentowanie 21% i kapitalizacja odsetek co pół roku)?
c) 10 000 zł teraz czy 15 000 zł za 2 lata (oprocentowanie 28% i kapitalizacja odsetek co kwartał)?
d) 10 zł teraz czy 10 000 zł za 25 lat (oprocentowani 40% i ciągła kapitalizacja odsetek)?
6.8.9. Podaj oprocentowania równoważne dla następujących danych:
a) 20%, kapitalizacja miesięczna; równoważne przy kapitalizacji półrocznej?
b) 20%, kapitalizacja półroczna; równoważne przy kapitalizacji ciągłej?
c) 23%, kapitalizacja miesięczna; równoważne przy kapitalizacji dziennej?
d) 36%, kapitalizacja roczna; równoważne przy kapitalizacji miesięcznej?
e) 32%, kapitalizacja kwartalna; równoważne przy kapitalizacji miesięcznej?
f) 36,5%, kapitalizacja dzienna; równoważne przy kapitalizacji ciągłej?
6.8.10. Podaj oprocentowanie efektywne dla danych jak w zadaniu 6.8.8.
6.8.11. Za otrzymaną obecnie pożyczkę 10 000 zł zobowiązano się zwrócić 16 500 zł po 3 latach. Obliczyć roczną nominalną stopę procentową przy kapitalizacji odsetek
a) rocznej, b) kwartalnej, c) miesięcznej, d) ciągłej.
6.8.12. Rachunek bankowy jest oprocentowany w stosunku rocznym na 24%. Za każdy pełny rok nalicza się odsetki składane, a za okres krótszy od roku - odsetki proste. Jaka wpłata przyjmie po 3 latach i 9 miesiącach wartość 5000 zł?
6.8.13. W kolejnych kwartałach roku nominalna stopa procentowa przy kwartalnej kapitalizacji odsetek wynosiła 30%, 34%, 33%, 37%. Oblicz przeciętną roczną stopę procentową, przeciętną kwartalną stopę procentową oraz wynikającą z niej efektywną roczną stopę procentową.
6.8.14. Do jakiej kwoty wzrośnie kapitał P (przy rocznej kapitalizacji odsetek), jeśli w ciągu dwóch pierwszych lat stopa procentowa wynosiła r1, a przez następne trzy lata będzie równa r2?
a) r1= 38%, r2=36%; b) r1= 20%, r2=24%; c) r1= 28%, r2=22%.
6.8.15. Rozwiązać zadanie 6.8.14 dla przypadku kapitalizacji odsetek a) co miesiąc b) co kwartał c) co pół roku.
Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej 6.8.16. W ciągu pierwszych n1 lat kapitał był oprocentowany przy stopie rocznej r1,
a przez następne n2 lat - przy stopie r2 . Jaką kwotę zdeponowano w banku, jeśli po czasie n1+ n2 stan konta wyniósł F?
a) r1= 38%, r2=36%, n1= 3 lata, n2= 2 lata, kapitalizacja roczna, F = 15 000 zł;
b) r1= 20%, r2=24%, n1= 2 lata, n2= 1 rok, kapitalizacja kwartalna; F = 10 000 zł;
c) r1= 28%, r2=22%, n1= 1 rok, n2= 1,5 roku, kapitalizacja półroczna; F = 10 000 zł.