RATY O RÓWNYCH WYSOKOŚCIACH, ODSETKI KAPITALIZOWANE (DOLICZANE) W

NA POCZĄTKU DANEGO OKRESU KAPITALIZACJI

9.4. RATY O RÓWNYCH WYSOKOŚCIACH, ODSETKI KAPITALIZOWANE (DOLICZANE) W

suma odsetek w n-tym okresie kapitalizacji

Z = P [ N −

a _{N |i} 1 ]

suma kontrolna zapłaconych odsetek (koszt kredytu)

Wielkości odniesione do numerów okresów spłat rat (rata R_{k m}_/ =R jest podana wyżej):

P P i

k m/ = n₋₁[1+ − − ]− − −

m(k m(n 1)) [k m(n 1)]R saldo po k-tej racie

T R P i

k m/

= −

n₋₁

m

część kapitałowa k-tej raty R

Z R T P i

k m/

= −

k m/

=

n₋₁

m

wielkość odsetek płaconych w k-tej racie R

9.4. RATY O RÓWNYCH WYSOKOŚCIACH, ODSETKI KAPITALIZOWANE (DOLICZANE) W

PODOKRESACH

Dane : P kredyt,

N liczba rat, tzn. k = 1,2,...,N,

m liczba okresów kapitalizacji odsetek, stanowiących podokresy okresu płacenia rat;

i stopa procentowa na okres kapitalizacji.

Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej

i i

eff =(1+ )m −1

oprocentowanie efektywne na okres płacenia rat Dalej posługujemy się wzorami z części 9.1, zamieniając w nich i nai_eff.

Wzory do utworzenia planu spłaty długu:

dla spłat „z dołu” dla spłat „z góry”

R R P

N i_eff

≡ =

a _| R R P

N _eff

≡ =

(1 +i_eff )a _|_i wysokość k-tej raty

P R

_{N i}

= a

_|eff ^P =^R(1+ⁱeff )aN i_|_eff

dług wyrażony poprzez ratę

P

R

_{N k i}

= a

₋ _|eff

P

R i

_eff _{N k i}

= ( 1 + ) a

₋ _|eff

saldo po zapłaceniu k-tej raty

T

= R ( 1 + i

_eff

)

⁻⁽^{N k}^{− +}¹⁾

T

= R ( 1 + i

_eff

)

⁻⁽^{N k}⁻ ⁾

część kapitałowa raty R_k

Z

= R [ ( 1 1 − + i

_eff

)

^{− − +}⁽^{N k}¹⁾

]

Z_k=R[1 1− +( i_eff )⁻⁽^{N k}⁻ ⁾] odsetki zawarte w racie R_k

Z R N

_{N i}

= [ − a

_|eff

]

Z R N i_eff _{N i}

= [ − +(1 )a _|eff] koszt kredytu

9.5. PRZYKŁADY

9.5.1. Kredyt o wysokości 100 000 jest spłacany stałymi ratami, płaconymi z końcem każdego miesiąca, przy miesięcznej kapitalizacji odsetek.

Obliczyć wysokość raty oraz koszt kredytu, jeśli okres spłacania wynosi L = 20 lat, a przewidywana wysokość stopy procentowej w tym okresie jest r = 18%.

Rozwiązanie:

Dane:

Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej

• P=100 000 zł

• stałe raty „z dołu” miesięczne

• kapitalizacja miesięczna

• L=20 lat

• N=240 okresów kapitalizacji

• r=18% tzn. r = 0,18

• i=1,5% tzn. i = 0,015 Szukane

• R=?

• Z=?

Korzystamy ze wzorów podanych dla spłat „z dołu” w cz.9.1.

Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej

... ... ... ... ... ...

227 19 358,33 1 252,94 290,37 1 543,31 18 105,39 228 18 105,39 1 271,73 271,58 1 543,31 16 833,66 229 16 833,66 1 290,81 252,50 1 543,31 15 542,86 230 15 542,86 1 310,17 233,14 1 543,31 14 232,69 231 14 232,69 1 329,82 213,49 1 543,31 12 902,87 232 12 902,87 1 349,77 193,54 1 543,31 11 553,10 233 11 553,10 1 370,01 173,30 1 543,31 10 183,09 234 10 183,09 1 390,56 152,75 1 543,31 8 792,53 235 8 792,53 1 411,42 131,89 1 543,31 7 381,10 236 7 381,10 1 432,59 110,72 1 543,31 5 948,51 237 5 948,51 1 454,08 89,23 1 543,31 4 494,43 238 4 494,43 1 475,89 67,42 1 543,31 3 018,53 239 3 018,53 1 498,03 45,28 1 543,31 1 520,50 240 1 520,50 1 520,50 22,81 1 543,31 0,00

99 999,91 270 394,49 Kredyt Koszt kredytu

Jak wynika z planu spłaty długu, pierwsza rata powinna zostać zwiększona o 9 groszy, gdyż suma części kapitałowych nie daje całej wysokości kredytu. Zatem powinno być R₁ =1543 40, zł.

9.5.2. Kredyt o wysokości 100 000,00 zł jest spłacany stałymi ratami, płaconymi z końcem każdego miesiąca, przy miesięcznej kapitalizacji odsetek. Obliczyć wysokość raty oraz koszt kredytu, jeśli okres spłacania wynosi 30 lat, a przewidywana wysokość stopy procentowej w tym okresie jest 12%.

Rozwiązanie:

Dane:

• P=100 000 zł

• stałe raty „z dołu” miesięczne

• kapitalizacja miesięczna

• L=30 lat

• N=360 okresów kapitalizacji

• r=12% tzn. r = 0,12

• i=1% tzn. i = 0,01 Szukane

• R=?

Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej

• Z=?

Korzystamy ze wzorów podanych dla spłat „z dołu” w cz.9.1.

Wysokość raty:

R_k ≡R= 100000 =

1028 61

360 0 01

a _, , zł

Koszt kredytu:

Z = 100000 − =

360 270300 53

360 0 01 360 0 01

a a

, [ , ] , zł

Odpowiedź: Wysokość raty wynosi 1028,61 zł , a koszt kredytu 270 300,53 zł.

9.5.3. Kredyt o wysokości 100 000 zł należy spłacić równymi ratami w ciągu 10 lat przy rocznej stopie procentowej 12%. Wyznaczyć wysokość rat i koszt kredytu dla

1. rat płaconych co rok „z dołu”;

2. rat płaconych co kwartał przy rocznej kapitalizacji odsetek, w podokresach odsetki liczone wg aktualnego stanu długu, „z dołu”;

3. rat płaconych co kwartał przy rocznej kapitalizacji odsetek, w podokresach odsetki doliczane w równych częściach wg stanu długu na początku roku;

4. raty płacone co roku przy kwartalnej kapitalizacji odsetek.

Rozwiązanie:

Dane:

• P=100 000 zł

• stałe raty „z dołu” roczne (warianty 1 i 4) , kwartalne (warianty 2 i 3)

• kapitalizacja roczna (warianty 1,2,3), kwartalna (wariant 4)

• L=10 lat

• N=10 okresów kapitalizacji (warianty 1,2,3),

• N=40 okresów kapitalizacji (wariant 4)

• m=1 (warianty 1 i 4), m=4 (warianty 2 i 3)

• r=12% tzn. r = 0,12

• i=12% tzn. i = 0,12 (warianty 1,2,3) oraz r = = 0,1255088 (wariant 4)

r_eff Szukane

• R=?

• Z=?

Wariant 1:

Korzystamy ze wzorów podanych dla spłat „z dołu” w cz.9.1.

Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej

Korzystamy ze wzorów podanych dla spłat „z dołu” w cz.9.2.

Wysokość raty: R=

Jak łatwo zauważyć, różnica kosztu kredytu z wariantu 1 i wariantu 2, wynosząca 762,14 zł, po podzieleniu przez 10 jest równa 76,21, tzn. jest równa

(rata z wariantu 1 - cztery razy rata z wariantu 2).

1769 84 4 423 41, − ⋅ , Wariant 3:

Korzystamy ze wzorów podanych dla spłat „z dołu” w cz.9.3.

Wysokość raty: R= 10000 = 442 46

10 0 12

4a _, , _zł

Koszt kredytu jest identyczny jak w wariancie 1 i wynosi 7698,42 zł.Jak łatwo zauważyć, pomnożona przez 4 rata z wariantu 3 jest równa racie z wariantu 1.

Różnica pomiędzy ratą z wariantu 3 i z wariantu 2 wynosi 16,05 zł (jest to wyliczona wyżej kwota 76,21 zł podzielona przez 4).

Wariant 4:

Korzystamy ze wzorów podanych dla spłat „z dołu” w cz.9.4. Jak już przedstawiono w danych, r_eff= 0,1255088. Stąd wysokość raty:

R_k ≡ =R 10000 =

10 0 1255088 10 0 1255088

a a

, [ , ] , zł

Zarówno rata jak i koszt kredytu są wyższe niż w wariancie 1, co wynika z kwartalnej kapitalizacji odsetek.

9.6. Zadania

Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej

9.6.1. Kredyt o wysokości 100 000 jest spłacany stałymi ratami, płaconymi z końcem każdego miesiąca, przy miesięcznej kapitalizacji odsetek. Obliczyć wysokość raty oraz koszt kredytu, jeśli okres spłacania wynosi L lat, a przewidywana wysokość stopy procentowej w tym okresie jest r.

a) L = 30 lat, r = 18%; b) L = 25 lat, r = 18%; c) L = 20 lat, r = 15%;

d) L = 30 lat, r = 9%; e) L = 25 lat, r = 12%; f) L = 20 lat, r = 12%;

g) L = 30 lat, r = 6%; h) L = 25 lat, r = 6%; i) L = 20 lat, r = 6%.

9.6.2. Jaką kwotę będą musieli spłacić żyranci pożyczkobiorcy z zad. 9.6.1., jeśli umrze on po a) 10 latach, b) 15 latach, c) 19 latach?

9.6.3. Oblicz koszt kredytu oraz wysokość raty pożyczkobiorcy z zad. 9.6.1., jeśli ma ona być wpłacana na początku każdego miesiąca

przez L lat przy stopie r i miesięcznej kapitalizacji odsetek, gdy:

I) L = 30 lat, r = 6%; II) L = 25 lat, r = 12%; III) L = 20 lat, r = 18%.

Jakie będzie saldo a) po 3 latach?

b) na 3 lata przed spłaceniem kredytu?

c) na 3 miesiące przed spłaceniem kredytu?

9.6.4. Jakie są części kapitałowa i odsetkowa raty z zadania 9.6.1. wpłaconej a) na końcu trzeciego roku spłat?

b) na 36 rat przed spłaceniem kredytu?

c) na 3 miesiące przed spłaceniem kredytu?

9.6.5. Jakie są części kapitałowa i odsetkowa raty z zadania 9.6.3. wpłaconej a) w ostatnim miesiącu trzeciego roku spłat?

b) na 36 rat przed spłaceniem kredytu?

c) na 3 raty przed spłaceniem kredytu?

9.6.6. Dla kredytu o wysokości 100 000 zł wyznacz koszt kredytu i wysokość raty miesięcznej, płaconej z dołu w przypadku, gdy kapitalizacja odsetek jest roczna, a odsetki obliczane są według aktualnego stanu długu.

I) L = 30 lat, r = 18%; II) L = 25 lat, r = 18%;

III) L = 20 lat, r = 18%; IV) L = 30 lat, r = 12%;

V) L = 25 lat, r = 12%; VI) L = 20 lat, r = 12%;

Jakie będzie saldo

a) na 3 lata przed spłaceniem kredytu?

b) na początku szóstego miesiąca piątego roku spłacania pożyczki?

c) na 3 miesiące przed spłaceniem kredytu?

9.6.7. Jakie są części kapitałowa i odsetkowa raty z zadania 9.6.6. wpłaconej

Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej a) na 3 lata przed spłaceniem kredytu?

b) na końcu szóstego miesiąca piątego roku spłacania pożyczki?

c) na 3 raty przed spłaceniem kredytu?

9.6.8. Oblicz koszt kredytu oraz wysokość raty pożyczkobiorcy, który zadłużył się na 100 000 zł, jeśli ma ona być wpłacana na początku każdego kwartału przez L lat przy stopie r i rocznej kapitalizacji odsetek, gdy:

I) L = 30 lat, r = 6%; II) L = 25 lat, r = 12%; III) L = 20 lat, r = 18%.

Jakie będzie saldo

a) na 3 lata przed spłaceniem kredytu?

b) na początku trzeciego kwartału piątego roku spłacania pożyczki?

c) na 3 kwartały przed spłaceniem kredytu?

9.6.9. Jakie są części kapitałowa i odsetkowa raty z zadania 9.6.6. wpłaconej a) na 3 lata przed spłaceniem kredytu?

b) na początku drugiego półrocza piątego roku spłacania pożyczki?

c) na 3 kwartały przed spłaceniem kredytu?

9.6.10. Dla kredytu o wysokości 100 000 zł wyznacz koszt kredytu i wysokość raty miesięcznej, płaconej z dołu w przypadku, gdy kapitalizacja odsetek jest roczna, a odsetki doliczane są w podokresach w równych częściach według stanu długu na początku roku.

I) L = 30 lat, r = 6%; II) L = 25 lat, r = 12%; III) L = 20 lat, r = 18%;

Jakie będzie saldo

a) na 3 lata przed spłaceniem kredytu?

b) na początku szóstego miesiąca piątego roku spłacania pożyczki?

c) na 3 miesiące przed spłaceniem kredytu?

9.6.11. Jakie są części kapitałowa i odsetkowa raty z zadania 9.6.10. wpłaconej a) na 3 lata przed spłaceniem kredytu?

b) na końcu szóstego miesiąca piątego roku spłacania pożyczki?

c) na 3 raty przed spłaceniem kredytu?

9.6.12. Dla kredytu o wysokości 100 000 zł wyznacz koszt kredytu i wysokość raty półrocznej, płaconej z dołu w przypadku, gdy kapitalizacja odsetek jest miesięczna.

I) L = 30 lat, r = 6%; II) L = 25 lat, r = 12%; III) L = 20 lat, r = 18%;

Jakie będzie saldo

a) na 3 lata przed spłaceniem kredytu?

b) w drugim półroczu piątego roku spłacania pożyczki?

c) w pierwszym półroczu ostatniego roku przed spłaceniem kredytu?

Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej 9.6.13. Dla kredytu o wysokości 50 000 zł wyznacz koszt kredytu i wysokość raty półrocznej, płaconej z dołu w przypadku, gdy kapitalizacja odsetek jest kwartalna..

I) L = 10 lat, r = 9%; II) L = 15 lat, r = 12%; III) L = 20 lat, r = 18%;

Jakie będzie saldo

a) na 2 lata przed spłaceniem kredytu?

b) w drugim półroczu piątego roku spłacania pożyczki?

c) w pierwszym półroczu ostatniego roku przed spłaceniem kredytu?

9.7. Rozwiązania zadań

9.6.1. Stosujemy wzory z cz. 9.1. dla spłat „z dołu”. Ponieważ przy wyznaczaniu wysokości stałej raty popełniony jest błąd zaokrąglenia wyniku do 1 grosza, więc po przemnożeniu wyznaczonej stałej raty przez ilość rat z reguły otrzymuje się kwotę różniącą się nieznacznie od kwoty kredytu. Różnicę tę dodaje się zazwyczaj do pierwszej raty - stąd zaznaczona kolumna, dotycząca raty . Koszt kredytu obliczony jest także z dokładnością do 1 grosza. Jednocześnie w tabeli podano wysokość salda po latach, wymienionych w zadaniu 9.6.2, co odpowiada kwocie, jaką będą musieli spłacić żyranci. W tabeli podano niektóre wartości pośrednie.

Ponieważ wysokość kredytu jest za każdym razem taka sama i równa P = 100 000 zł, więc jej osobno w tabeli nie zaznaczano. Odpowiedzi zaznaczono tłustym drukiem.

R₁

N r i a_{N i|} ^{R Z}N R P⋅ − R₁

ppkt: rat % % zł zł zł zł

a) 360 18 1,50 66,353242 1507,09 442550,73 442552,40 1505,42 b) 300 18 1,50 65,900901 1517,43 355228,98 355229,00 1517,41 c) 240 15 1,25 75,942278 1316,79 216029,50 216029,60 1316,69 d) 360 9 0,75 124,281866 804,62 189664,14 189663,20 805,56 e) 300 12 1,00 94,946551 1053,22 215967,24 215966,00 1054,46 f) 240 12 1,00 90,819416 1101,09 164260,67 164261,60 1100,16 g) 360 6 0,50 166,791614 599,55 115838,19 115838,00 599,74 h) 300 6 0,50 155,206864 644,30 93290,42 93290,00 644,72 i) 240 6 0,50 139,580772 716,43 71943,45 71943,20 716,68

9.6.2. Stosujemy wzory z cz. 9.1. dla spłat „z dołu”. Odpowiedzi zaznaczono tłustym drukiem.

9.6.1 .

9.6.2 N r i po k a_{N k i}_{− |} P_k- do spłacenia ppkt: ppkt: rat % % latach przez żyrantów (zł)

Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej

a) a) 360 18 1,50 10 120 64,795732 97653,00 a) b) 360 18 1,50 15 180 62,095562 93583,60 a) c) 360 18 1,50 19 228 57,325714 86395,01 b) a) 300 18 1,50 10 120 62,095562 94225,67 b) b) 300 18 1,50 15 180 55,498454 84215,02 b) c) 300 18 1,50 19 228 43,844667 66531,21 c) a) 240 15 1,25 10 120 61,982847 81618,39 c) b) 240 15 1,25 15 180 42,034592 55350,73 c) c) 240 15 1,25 19 228 11,079312 14589,13 d) a) 360 9 0,75 10 120 111,144954 89429,45 d) b) 360 9 0,75 15 180 98,593409 79330,23 d) c) 360 9 0,75 19 228 83,606420 67271,40 e) a) 300 12 1,00 10 120 83,321664 87756,04 e) b) 300 12 1,00 15 180 69,700522 73409,98 e) c) 300 12 1,00 19 228 51,150391 53872,62 f) a) 240 12 1,00 10 120 69,700522 76746,55 f) b) 240 12 1,00 15 180 44,955038 49499,54 f) c) 240 12 1,00 19 228 11,255077 12392,85 g) a) 360 6 0,50 10 120 139,580772 83685,65 g) b) 360 6 0,50 15 180 118,503515 71048,78 g) c) 360 6 0,50 19 228 96,459599 57832,35 h) a) 300 6 0,50 10 120 118,503515 76351,81 h) b) 300 6 0,50 15 180 90,073453 58034,33 h) c) 300 6 0,50 19 228 60,339514 38876,75 i) a) 240 6 0,50 10 120 90,073453 64531,32 i) b) 240 6 0,50 15 180 51,725561 37057,74 i) c) 240 6 0,50 19 228 11,618932 8324,15

9.6.3. Stosujemy wzory z cz. 9.1. dla spłat „z góry”. Odpowiedzi zaznaczono tłustym drukiem. Dla orientacji podano osobno wartości czynnika umorzeniowego dla przypadku salda po 3 latach:

Ia IIa IIIa a_{N i|} ^166,791614 ^94,946551 ^64,795732

N r i R Z R₁ ^k a_{N k i}_{− |} P_k

Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej

ppkty rat % % zł zł zł zł

Ia 360 6 0,5 596,57 114764,37 595,74 36 160,260172 96084,44 Ib 360 6 0,5 596,57 114764,37 595,74 324 32,871016 19707,91 Ic 360 6 0,5 596,57 114764,37 595,74 357 2,970248 1780,82 IIa 300 12 1,0 1042,80 212838,85 1041,65 36 92,769683 97707,63 IIb 300 12 1,0 1042,80 212838,85 1041,65 264 30,107505 31710,07 IIc 300 12 1,0 1042,80 212838,85 1041,65 297 2,940985 3097,53 IIIa 240 18 1,5 1520,50 264920,95 1521,45 36 63,468978 97952,15 IIIb 240 18 1,5 1520,50 264920,95 1521,45 204 27,660684 42688,94 IIIc 240 18 1,5 1520,50 264920,95 1521,45 237 2,912200 4494,42

9.6.4. Stosujemy wzory z cz. 9.1. dla spłat „z dołu”. Wysokość kredytu jest za każdym razem taka sama i równa P = 100 000 zł. Odpowiedzi zaznaczono tłustym drukiem.

9.6.1 9.6.4 N r i a_{N i|} ^R ^k T_k Z_k

ppkt: ppkt: rat % % zł zł zł

a) a) 360 18 1,50 66,353242 1507,09 36 11,93 1495,16 a) b) 360 18 1,50 66,353242 1507,09 324 868,75 638,34 a) c) 360 18 1,50 66,353242 1507,09 357 1419,96 87,13 b) a) 300 18 1,50 65,900901 1517,43 36 29,35 1488,08 b) b) 300 18 1,50 65,900901 1517,43 264 874,71 642,72 b) c) 300 18 1,50 65,900901 1517,43 297 1429,70 87,73 c) a) 240 15 1,25 75,942278 1316,79 36 103,17 1213,62 c) b) 240 15 1,25 75,942278 1316,79 204 831,57 485,22 c) c) 240 15 1,25 75,942278 1316,79 237 1252,96 63,83 d) a) 360 9 0,75 124,281866 804,62 36 70,95 733,67 d) b) 360 9 0,75 124,281866 804,62 324 610,27 194,35 d) c) 360 9 0,75 124,281866 804,62 357 780,93 23,69 e) a) 300 12 1,00 94,946551 1053,22 36 75,40 977,82 e) b) 300 12 1,00 94,946551 1053,22 264 728,83 324,39 e) c) 300 12 1,00 94,946551 1053,22 297 1012,12 41,10 f) a) 240 12 1,00 90,819416 1101,09 36 143,20 957,89 f) b) 240 12 1,00 90,819416 1101,09 204 761,96 339,13 f) c) 240 12 1,00 90,819416 1101,09 237 1058,13 42,96 g) a) 360 6 0,50 166,791614 599,55 36 118,54 481,01 g) b) 360 6 0,50 166,791614 599,55 324 498,52 101,03

Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej

g) c) 360 6 0,50 166,791614 599,55 357 587,71 11,84 h) a) 300 6 0,50 155,206864 644,30 36 171,82 472,48 h) b) 300 6 0,50 155,206864 644,30 264 535,73 108,57 h) c) 300 6 0,50 155,206864 644,30 297 631,57 12,73 i) a) 240 6 0,50 139,580772 716,43 36 257,71 458,72 i) b) 240 6 0,50 139,580772 716,43 204 595,70 120,73 i) c) 240 6 0,50 139,580772 716,43 237 702,28 14,15

9.6.5. Stosujemy wzory z cz. 9.1. dla spłat „z góry”. Wysokość kredytu jest za każdym razem taka sama i równa P = 100 000 zł. Odpowiedzi zaznaczono tłustym drukiem.

9.6.3 .

9.6.5 N r i a_{N i|} ^R ^k T_k Z_k

ppkt: ppkt rat % % zł zł zł

I a) 360 6 0,50 166,791614 596,57 36 118,54 478,03 I b) 360 6 0,50 166,791614 596,57 324 498,52 98,05 I c) 360 6 0,50 166,791614 596,57 357 587,71 8,86 II a) 300 12 1,00 94,946551 1042,80 36 75,40 967,40 II b) 300 12 1,00 94,946551 1042,80 264 728,84 313,96 II c) 300 12 1,00 94,946551 1042,80 297 1012,13 30,67 III a) 240 18 1,50 64,795732 1520,50 36 72,93 1447,57 III b) 240 18 1,50 64,795732 1520,50 204 889,63 630,87 III c) 240 18 1,50 64,795732 1520,50 237 1454,08 66,42

9.6.6. Stosujemy wzory z cz. 9.2. dla spłat „z dołu”. Wysokość kredytu jest za każdym razem taka sama i równa P = 100 000 zł. Liczba okresów kapitalizacji jest tu równa liczbie lat L, zaś m=12. Jeśli przez N oznaczymy liczbę rat, to N = 12L.

W tabeli 1 przedstawiono wysokość miesięcznej raty, koszt kredytu, koszt wraz z odsetkami od rat, różnicę obu kosztów oraz wielkość pierwszej raty (obliczonej z uwzględnieniem popełnionego błędu zaokrągleń przy obliczaniu wysokości raty miesięcznej). W tabeli 2 przedstawiono salda z podpunktów a) b) i c).

Ponieważ saldo na 3 lata przed spłaceniem kredytu jest obliczane na podstawie wzorów zawierających numer okresu kapitalizacji, a pozostałe salda wymagają znajomości sald z początku okresu kapitalizacji i obliczane są ze wzorów, zawierających numer raty, w którym są obliczane, w tabeli 2 przedstawiono także odpowiednie wyniki pośrednie. Odpowiedzi zaznaczono tłustym drukiem.

Tabela 1.

12L r=i R Z Z* Z*−Z N R P⋅ − R₁

rat % zł zł zł zł zł zł

Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej

I 360 18 1395,41 402349,11 443792,92 41443,80 402347,60 1396,92 II 300 18 1408,15 322445,33 357297,07 34851,74 322445,00 1408,48 III 240 18 1438,18 245163,94 273639,96 28476,02 245163,20 1438,92 IV 360 12 980,60 253015,14 272430,97 19415,83 253016,00 979,74 V 300 12 1007,11 202132,63 218749,92 16617,29 202133,00 1006,74 VI 240 12 1057,49 153798,64 167757,56 13958,92 153797,60 1058,53

W tabeli 2 k oznacza numer raty, n - nr okresu kapitalizacji, którego dotyczy obliczane saldo. Odpowiedzi zaznaczono tłustym drukiem. Zauważmy, że saldo , obliczane dla podpunktu b), jest na dla kredytów I, II i III ogół wyższe niż saldo , chociaż dotyczy okresu spłaty rat o numerze wyższym niż

P_k

P_n−1 (n− ⋅1 12) .

Wynika to z logiki spłacania rat: do każdej kolejnej raty dodają się odsetki od poprzednich rat zapłaconych w rozpatrywanym okresie kapitalizacji. Przy wysokiej stopie procentowej może się okazać, że pierwsze raty po zakończeniu kolejnego okresu kapitalizacji mają część kapitałową ujemną, a dopiero w dalszych udział odsetek od wcześniejszych rat podwyższa (i to znacznie) część kapitałową raty. Zjawisko to zilustrowano tabelami 3 i 4, w których przedstawiono skrócony plan spłaty kredytu dla podpunktów III i VI.

Tabela 2.

9.6.6. 12L r k n-1 a_N_{− −}₍_n ₁_)|_i a_{N n i}_{− )|} P_n−1 P_n P_k

ppkty: rat % nr ok zł zł zł

I a) 360 18 324 26 2,690062 2,174273 48761,22 39411,81 39411,81 I b) 360 18 53 4 5,480429 5,466906 99340,61 99095,49 99604,77 I c) 360 18 357 29 0,847458 0,000000 15361,38 0,00 4122,92 II a) 300 18 264 21 2,690062 2,174273 49206,29 39771,55 39771,55 II b) 300 18 53 4 5,383683 5,352746 98477,71 97911,81 98611,56 II c) 300 18 297 24 0,847458 0,000000 15501,60 0,00 4160,55 III a) 240 18 204 16 2,690062 2,174273 50255,73 40619,76 40619,76 III b) 240 18 53 4 5,162354 5,091578 96443,09 95120,84 96269,67 III c) 240 18 237 19 0,847458 0,000000 15832,20 0,00 4249,28 IV a) 360 12 324 26 3,037349 2,401831 37706,77 29817,21 29817,21 IV b) 360 12 53 4 7,895660 7,843139 98019,61 97367,60 97919,54 IV c) 360 12 357 29 0,892857 0,000000 11084,26 0,00 2903,44 V a) 300 12 264 21 3,037349 2,401831 38726,19 30623,34 30623,34 V b) 300 12 53 4 7,562003 7,469444 96415,52 95235,38 96100,04 V c) 300 12 297 24 0,892857 0,000000 11383,93 0,00 2981,94 VI a) 240 12 204 16 3,037349 2,401831 40663,66 32155,42 32155,42

Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej

VI b) 240 12 53 4 6,973986 6,810864 93366,88 91183,02 92642,00 VI c) 240 12 237 19 0,892857 0,000000 11953,46 0,00 3131,13

Plan spłaty kredytu dla podpunktu III. Stopa procentowa w tym przypadku wynosi 18%, co spowodowało powstanie ujemnych rat kapitałowych w pierwszych miesiącach pierwszych lat spłacania kredytu. Wynikło to stąd, że w pierwszych latach wysokość raty była mniejsza od miesięcznych odsetek od salda i dlatego dopiero po kilku miesiącach danego okresu kapitalizacji rata wraz z odsetkami liczonymi w podokresach od rat zapłaconych wcześniej w tym okresie kapitalizacji „doganiała” , a następnie „przeganiała” odsetki od salda z początku okresu kapitalizacji. . Suma rat kapitałowych zamknęła się kwotą 99999,99 zł, co oznacza, że pierwsza rata kapitałowa powinna zostać zwiększona o 1 grosz. Z tabeli 1 wiadomo, że wysokość pierwszej raty R też powinna zostać zmodyfikowana do wysokości 1438,92 zł. W prezentowanym planie spłaty dokonano tych modyfikacji, ale przede wszystkim skupiono się na „efekcie ujemnych rat kapitałowych”.

Tabela 3.

Nr R R* n-1 P_n−1 P_n T_k Z_k P_k

raty zł zł zł zł zł zł zł

1 1438,92 18682,00 0 100000 99318,01 -61,81 1500,00 100061,82 2 1438,18 18682,00 0 100000 99318,01 -40,24 1478,42 100102,06 3 1438,18 18682,00 0 100000 99318,01 -18,67 1456,85 100120,73 4 1438,18 18682,00 0 100000 99318,01 2,90 1435,28 100117,83 5 1438,18 18682,00 0 100000 99318,01 24,47 1413,71 100093,36 6 1438,18 18682,00 0 100000 99318,01 46,05 1392,13 100047,31 7 1438,18 18682,00 0 100000 99318,01 67,62 1370,56 99979,69 8 1438,18 18682,00 0 100000 99318,01 89,19 1348,99 99890,50 9 1438,18 18682,00 0 100000 99318,01 110,76 1327,42 99779,71 10 1438,18 18682,00 0 100000 99318,01 132,34 1305,84 99647,37 11 1438,18 18682,00 0 100000 99318,01 153,91 1284,27 99493,46 12 1438,18 18682,00 0 100000 99318,01 175,48 1262,70 99318,01 13 1438,18 18682,00 1 99318,01 98513,25 -51,59 1489,77 99369,60 14 1438,18 18682,00 1 99318,01 98513,25 -30,01 1468,19 99399,62 15 1438,18 18682,00 1 99318,01 98513,25 -8,44 1446,62 99408,06 16 1438,18 18682,00 1 99318,01 98513,25 13,13 1425,05 99394,94 17 1438,18 18682,00 1 99318,01 98513,25 34,70 1403,48 99360,24 18 1438,18 18682,00 1 99318,01 98513,25 56,28 1381,90 99303,96 19 1438,18 18682,00 1 99318,01 98513,25 77,85 1360,33 99226,12

Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej

20 1438,18 18682,00 1 99318,01 98513,25 99,42 1338,76 99126,70 21 1438,18 18682,00 1 99318,01 98513,25 120,99 1317,19 99005,71 22 1438,18 18682,00 1 99318,01 98513,25 142,57 1295,61 98863,14 23 1438,18 18682,00 1 99318,01 98513,25 164,14 1274,04 98699,01 24 1438,18 18682,00 1 99318,01 98513,25 185,71 1252,47 98513,25 25 1438,18 18682,00 2 98513,25 97563,64 -39,52 1477,70 98552,77 26 1438,18 18682,00 2 98513,25 97563,64 -17,94 1456,12 98570,72 27 1438,18 18682,00 2 98513,25 97563,64 3,63 1434,55 98567,09 28 1438,18 18682,00 2 98513,25 97563,64 25,20 1412,98 98541,89 29 1438,18 18682,00 2 98513,25 97563,64 46,78 1391,40 98495,12 30 1438,18 18682,00 2 98513,25 97563,64 68,35 1369,83 98426,78 31 1438,18 18682,00 2 98513,25 97563,64 89,92 1348,26 98336,86 32 1438,18 18682,00 2 98513,25 97563,64 111,49 1326,69 98225,37 33 1438,18 18682,00 2 98513,25 97563,64 133,07 1305,11 98092,31 34 1438,18 18682,00 2 98513,25 97563,64 154,64 1283,54 97937,67 35 1438,18 18682,00 2 98513,25 97563,64 176,21 1261,97 97761,46 36 1438,18 18682,00 2 98513,25 97563,64 197,78 1240,40 97563,64 37 1438,18 18682,00 3 97563,64 96443,09 -25,27 1463,45 97588,91 38 1438,18 18682,00 3 97563,64 96443,09 -3,70 1441,88 97592,62 39 1438,18 18682,00 3 97563,64 96443,09 17,87 1420,31 97574,75 40 1438,18 18682,00 3 97563,64 96443,09 39,45 1398,73 97535,30 41 1438,18 18682,00 3 97563,64 96443,09 61,02 1377,16 97474,29 42 1438,18 18682,00 3 97563,64 96443,09 82,59 1355,59 97391,70 43 1438,18 18682,00 3 97563,64 96443,09 104,16 1334,02 97287,54 44 1438,18 18682,00 3 97563,64 96443,09 125,74 1312,44 97161,80 45 1438,18 18682,00 3 97563,64 96443,09 147,31 1290,87 97014,49 46 1438,18 18682,00 3 97563,64 96443,09 168,88 1269,30 96845,61 47 1438,18 18682,00 3 97563,64 96443,09 190,46 1247,72 96655,16 48 1438,18 18682,00 3 97563,64 96443,09 212,03 1226,15 96443,09 49 1438,18 18682,00 4 96443,09 95120,85 -8,46 1446,64 96451,56 50 1438,18 18682,00 4 96443,09 95120,85 13,11 1425,07 96438,46 51 1438,18 18682,00 4 96443,09 95120,85 34,68 1403,50 96403,78

... ... ... ... ... ... ... ... ...

60 1438,18 18682,00 4 96443,09 95120,85 228,84 1209,34 95120,85 61 1438,18 18682,00 5 95120,85 93560,61 11,37 1426,81 95109,48

... ... ... ... ... ... ... ... ...

Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej

72 1438,18 18682,00 5 95120,85 93560,61 248,67 1189,51 93560,61 73 1438,18 18682,00 6 93560,61 91719,51 34,77 1403,41 93525,83

... ... ... ... ... ... ... ... ...

228 1438,18 18682,00 18 29249,32 15832,20 1236,74 201,44 15832,20 229 1438,18 18682,00 19 15832,20 0,00 1200,70 237,48 14631,51 230 1438,18 18682,00 19 15832,20 0,00 1222,27 215,91 13409,24 231 1438,18 18682,00 19 15832,20 0,00 1243,85 194,33 12165,39 232 1438,18 18682,00 19 15832,20 0,00 1265,42 172,76 10899,98

... ... ... ... ... ... ... ... ...

237 1438,18 18682,00 19 15832,20 0,00 1373,28 64,90 4249,31 238 1438,18 18682,00 19 15832,20 0,00 1394,85 43,33 2854,46 239 1438,18 18682,00 19 15832,20 0,00 1416,43 21,75 1438,04 240 1438,18 18682,00 19 15832,20 0,00 1438,00 0,18 0,00

Suma: 100000 245163,21

Plan spłaty kredytu dla podpunktu VI. Stopa procentowa w tym przypadku wynosi tylko 12 %, przez co nie doszło do ujemnych rat kapitałowych w pierwszych ratach po zakończeniu kolejnego okresu kapitalizacji, ale zjawisko narastania rat kapitałowych w okresie kapitalizacji jest tu dobrze widoczne. Raty o numerach nieco większych od 12(n-1) mają część kapitałową mniejszą niż raty o numerach bliskich 12n. Suma rat kapitałowych zamknęła się kwotą 99999,88 zł, co oznacza, że pierwsza rata kapitałowa powinna zostać zwiększona o 12 groszy. Z tabeli 1 wiadomo, że wysokość pierwszej raty R też powinna zostać zmodyfikowana do wysokości 1058,53 zł. Zmiany te zwykle wprowadza się tylko w odniesieniu do raty całkowitej. W tabeli zmodyfikowano tylko ratę R nie zmieniając raty T . Jest jednak dość oczywiste, że przy zmodyfikowanej pierwszej racie suma rat zawiera odsetki o sumie Z, wskazanej w tabeli 1, co oznacza, że został spłacony cały zaciągnięty kredyt, a 12 groszy różnicy pomiędzy sumą części kapitałowych a wysokością kredytu to wyłącznie błąd zaokrągleń.

Tabela 4.

Nr R R* n-1 P_n−1 P_n T_k Z_k P_k

raty zł zł zł zł zł zł zł

1 1058,53 13387,88 0 100000 98612,14 57,49 1000,00 99942,53 2 1057,49 13387,88 0 100000 98612,14 68,07 989,42 99874,46

... ... ... ... ... ... ... ... ...

12 1057,49 13387,88 0 100000 98612,14 173,82 883,67 98612,19 13 1057,49 13387,88 1 98612,14 97057,71 71,37 986,12 98540,77 14 1057,49 13387,88 1 98612,14 97057,71 81,95 975,54 98458,82

Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej

15 1057,49 13387,88 1 98612,14 97057,71 92,52 964,97 98366,31 16 1057,49 13387,88 1 98612,14 97057,71 103,10 954,39 98263,21 17 1057,49 13387,88 1 98612,14 97057,71 113,67 943,82 98149,54 18 1057,49 13387,88 1 98612,14 97057,71 124,25 933,24 98025,30 19 1057,49 13387,88 1 98612,14 97057,71 134,82 922,67 97890,48 20 1057,49 13387,88 1 98612,14 97057,71 145,40 912,09 97745,09 21 1057,49 13387,88 1 98612,14 97057,71 155,97 901,52 97589,12 22 1057,49 13387,88 1 98612,14 97057,71 166,55 890,94 97422,58 23 1057,49 13387,88 1 98612,14 97057,71 177,12 880,37 97245,46 24 1057,49 13387,88 1 98612,14 97057,71 187,70 869,79 97057,77 25 1057,49 13387,88 2 97057,71 95316,76 86,92 970,57 96970,80 26 1057,49 13387,88 2 97057,71 95316,76 97,49 960,00 96873,31

... ... ... ... ... ... ... ... ...

36 1057,49 13387,88 2 97057,71 95316,76 203,24 854,25 95316,82 37 1057,49 13387,88 3 95316,76 93366,89 104,33 953,16 95212,44

... ... ... ... ... ... ... ... ...

48 1057,49 13387,88 3 95316,76 93366,89 220,65 836,84 93366,95 49 1057,49 13387,88 4 93366,89 91183,04 123,83 933,66 93243,07

... ... ... ... ... ... ... ... ...

119 1057,49 13387,88 9 79493,20 75644,51 368,31 689,18 76023,45 120 1057,49 13387,88 9 79493,20 75644,51 378,89 678,60 75644,56 121 1057,49 13387,88 10 75644,51 71333,97 301,05 756,44 75343,46

... ... ... ... ... ... ... ... ...

228 1057,49 13387,88 18 22626,20 11953,46 947,56 109,93 11953,52 229 1057,49 13387,88 19 11953,46 0,00 937,96 119,53 11015,51 230 1057,49 13387,88 19 11953,46 0,00 948,53 108,96 10066,98

... ... ... ... ... ... ... ... ...

239 1057,49 13387,88 19 11953,46 0,00 1043,71 13,78 1054,34 240 1057,49 13387,88 19 11953,46 0,00 1054,28 3,21 0,06

Suma: 99999,88 153797,72

9.6.7. Stosujemy wzory z cz. 9.2. dla spłat „z dołu” z tabeli dotyczącej rat kapitałowych i odsetkowych w podokresach okresu kapitalizacji. Ponieważ do obliczenia raty kapitałowej w podokresie okresu kapitalizacji konieczna jest znajomość salda na początku okresu kapitalizacji P_n−1, więc podano je w tabeli

Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej jako wynik pośredni, podobnie jak czynnik umorzeniowy a_N_{− −}₍_n ₁_)|_i. Ponownie liczba rat N równa jest 12L. Odpowiedzi zaznaczono tłustym drukiem.

9.6.6 .

9.6.7 N r=i k n-1 a_N_{− −}₍_n ₁_)|_i P_n−1 T_k Z_k

ppkt: ppkt: rat % nr ok zł zł zł I a) 360 18 324 26 2,690062 48761,22 894,24 501,17 I b) 360 18 54 4 5,480429 99340,61 9,96 1385,45 I c) 360 18 357 29 0,847458 15361,38 1332,44 62,97 II a) 300 18 264 21 2,690062 49206,29 902,40 505,75 II b) 300 18 54 4 5,383683 98477,71 36,60 1371,55 II c) 300 18 297 24 0,847458 15501,60 1344,61 63,54 III a) 240 18 204 16 2,690062 50255,73 921,65 516,53 III b) 240 18 54 4 5,162354 96443,09 99,40 1338,78 III c) 240 18 237 19 0,847458 15832,20 1373,28 64,90 IV a) 360 12 324 26 3,037349 37706,77 711,40 269,20 IV b) 360 12 54 4 7,895660 98019,61 49,43 931,17 IV c) 360 12 357 29 0,892857 11084,26 948,20 32,40 V a) 300 12 264 21 3,037349 38726,19 730,63 276,48 V b) 300 12 54 4 7,562003 96415,52 93,31 913,80 V c) 300 12 297 24 0,892857 11383,93 973,84 33,27 VI a) 240 12 204 16 3,037349 40663,66 767,18 290,31 VI b) 240 12 54 4 6,973986 93366,88 176,70 880,79 VI c) 240 12 237 19 0,892857 11953,46 1022,56 34,93

9.6.8. W zadaniu brak informacji o sposobie naliczania odsetek - stąd przyjmuje się wariant najkorzystniejszy dla kredytobiorcy, tzn. odsetki płacone wg aktualnego stanu długu. Stosujemy wzory z cz. 9.2. dla spłat „z góry”. Wysokość kredytu jest za każdym razem taka sama i równa P = 100 000 zł.

W tabeli 1 przedstawiono wysokość miesięcznej raty, koszt kredytu, koszt kredytu wraz z odsetkami od rat, wielkość czynnika umorzeniowego oraz wielkość pierwszej raty (obliczonej z uwzględnieniem popełnionego błędu zaokrągleń przy obliczaniu wysokości raty miesięcznej).

W tabeli 2 przedstawiono salda z podpunktów a) b) i c). Ponieważ saldo na 3 lata przed spłaceniem kredytu jest obliczane na podstawie wzorów zawierających numer okresu kapitalizacji, a pozostałe salda wymagają znajomości sald z początku okresu kapitalizacji i obliczane są ze wzorów, zawierających numer raty, w którym są obliczane, w tabeli 2 przedstawiono także odpowiednie wyniki pośrednie. Odpowiedzi zaznaczono tłustym drukiem.

Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej Wobec rocznej kapitalizacji odsetek liczba rat N równa jest 12L.

Tabela 1.

9.6.8 N r=i a_{N i|} ^{R Z Z*} ^{N R P}^{⋅ −} R₁

ppkt: rat % zł zł zł zł zł

I 120 6 13,764831 1750,58 110069,14 117946,73 110069,60 1750,12 II 100 12 7,843139 2965,12 196511,56 218749,92 196512,00 2964,68 III 80 18 5,352746 4198,20 235856,15 273639,96 235856,00 4198,35

Tabela 2.

N r=i k n-1 a_N_{− −}₍_n ₁_)|_i a_{N n i}_{− )|} P_n−1 P_n P_k

rat nr ok zł zł zł

Ia 120 6 108 26 3,465106 2,673012 25173,62 19419,1 4

19419,14 Ib 120 6 19 4 13,003166 12,783356 94466,59 92869,6

93308,30

Ic 120 6 117 29 0,943396 0,000000 6853,67 0,00 5179,64 IIa 100 12 88 21 3,037349 2,401831 38726,19 30623,3

30623,34 IIb 100 12 19 4 7,562003 7,469444 96415,52 95235,3

95663,85

IIc 100 12 97 24 0,892857 0,000000 11383,93 0,00 8671,37 IIIa 80 18 68 16 2,690062 2,174273 50255,73 40619,7

40619,76 IIIb 80 18 19 4 5,162354 5,091578 96443,09 95120,8

95734,78

IIIc 80 18 77 19 0,847458 0,000000 15832,20 0,00 12157,53

9.6.9. Na podstawie takich samych przesłanek jak w zadaniu 9.6.8. stosujemy tu wzory z cz. 9.2. dla spłat „z góry”. Wysokość kredytu jest za każdym razem taka sama i równa P = 100 000 zł. Ponieważ do obliczenia raty kapitałowej w podokresie okresu kapitalizacji konieczna jest znajomość salda na początku okresu kapitalizacji , więc podano je w tabeli jako wynik pośredni, podobnie jak czynnik umorzeniowy

P_n−1

a_N_{− −}₍_n ₁_)|_i. Odpowiedzi zaznaczono tłustym drukiem.

9.6.8 .

9.6.9 N r=i k n-1 a_N_{− −}₍_n₁_)|_i P_n−1 T_k Z_k

ppkt: ppkt: rat % nr ok zł zł zł I a) 120 6 108 26 3,465106 25173,62 1478,01 272,57 I b) 120 6 19 4 13,003166 94466,59 412,35 1338,23 I c) 120 6 117 29 0,943396 6853,67 1674,03 76,55 II a) 100 12 88 21 3,037349 38726,19 2159,14 805,98 II b) 100 12 19 4 7,467444 96415,52 339,51 2625,61

Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej

II c) 100 12 97 24 0,892857 11383,93 2712,55 252,57 III a) 80 18 68 16 2,690062 50255,73 2692,37 1505,83 III b) 80 18 19 4 5,162354 96443,09 425,02 3773,18 III c) 80 18 77 19 0,847458 15832,20 3674,67 523,53

9.6.10. Stosujemy wzory z cz. 9.3. dla spłat „z dołu”. Wysokość kredytu jest za każdym razem taka sama i równa P = 100 000 zł. W tabeli 1 przedstawiono wysokość miesięcznej raty, koszt kredytu, różnicę sumy rat i kredytu oraz wielkość pierwszej raty (obliczonej z uwzględnieniem popełnionego błędu zaokrągleń przy obliczaniu wysokości raty miesięcznej). W tabeli 2 przedstawiono salda z podpunktów a), b) i c). Ponieważ saldo na 3 lata przed spłaceniem kredytu jest obliczane na podstawie wzorów zawierających numer okresu kapitalizacji, a pozostałe salda wymagają znajomości sald z początku okresu kapitalizacji i obliczane są ze wzorów, zawierających numer raty, w tabeli 2 przedstawiono także odpowiednie wyniki pośrednie. Odpowiedzi zaznaczono tłustym drukiem.

Tabela 1.

N r=i a_{N i|} ^{R Z}N R P⋅ − R₁

rat % zł zł zł zł

I 360 6 13,764831 605,41 117946,73 117947,60 604,54 II 300 12 7,843139 1062,50 218749,92 218750,00 1062,42 III 240 18 5,352746 1556,83 273639,96 273639,20 1557,59

Tabela 2.

N r=i k n-1 a_N_{− −}₍_n ₁_)|_i a_{N n i}_{− )|} P_n−1 P_n P_k

rat zł zł zł

Ia 360 6 324 26 3,465106 2,673012 25173,62 19419,14 19419,1 4 Ib 360 6 53 4 13,003166 12,783356 94466,59 92869,69 93801,2 1 Ic 360 6 357 29 0,943396 0,000000 6853,67 0,00 1713,42 IIa 300 12 264 21 3,037349 2,401831 38726,19 30623,34 30623,3 4 IIb 300 12 53 4 7,562003 7,469444 96415,52 95235,38 95923,8 0 IIc 300 12 297 24 0,892857 0,000000 11383,93 0,00 2845,98 IIIa 240 18 204 16 2,690062 2,174273 50255,73 40619,76 40619,7 6 IIIb 240 18 53 4 5,162354 5,091578 96443,09 95120,84 95892,1 5 IIIc 240 18 237 19 0,847458 0,000000 15832,20 0,00 3958,05

Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej 9.6.11. Stosujemy wzory z cz. 9.3. dla spłat „z dołu”. Odpowiedzi zaznaczono tłustym drukiem

9.6.10. 9.6.11. N r=i k n-1 a_N_{− −}₍_n ₁_)|_i P_n−1 T_k Z_k

ppkt: ppkt: rat % nr ok zł zł zł I a) 360 6 324 26 3,465106 25173,62 479,54 125,87 I b) 360 6 54 4 13,003166 94466,59 133,07 472,34 I c) 360 6 357 29 0,943396 6853,67 571,14 34,27 II a) 300 12 264 21 3,037349 38726,19 675,24 387,26 II b) 300 12 54 4 7,562003 96415,52 98,34 964,16 II c) 300 12 297 24 0,892857 11383,93 948,66 113,84 III a) 240 18 204 16 2,690062 50255,73 803,00 753,83 III b) 240 18 54 4 5,162354 96443,09 110,19 1446,64 III c) 240 18 237 19 0,847458 15832,20 1319,35 237,48

9.6.12. Stosujemy wzory z cz. 9.4. dla spłat „z dołu”. Wysokość kredytu jest za każdym razem taka sama i równa P = 100 000 zł. Oprocentowanie na okres płacenia raty obliczono jako oprocentowanie efektywne. Obliczono pierwszą ratę, dodając do raty R różnicę pomiędzy kosztem kredytu Z a N R P⋅ − ; otrzymano dla podpunktu I =3642,59zł, dla podpunktu II =6479,49 zł, dla podpunktu III

=9614,05zł. Odpowiedzi zaznaczono tłustym drukiem.

R₁ R₁

R₁

N r i a_{N i|} ^{R Z}^k ^a_N_{− −}₍_n ₁_)|_i P_k

rat % % zł zł zł

Ia 60 6 3,0378 27,453142 3642,57 118554,22 54 5,410420 19707,83 Ib 60 6 3,0378 27,453142 3642,57 118554,22 9 25,763707 93846,11 Ic 60 6 3,0378 27,453142 3642,57 118554,22 58 1,912423 6966,14 IIa 50 12 6,1520 15,433407 6479,45 223972,54 44 4,893926 31709,95 IIb 50 12 6,1520 15,433407 6479,45 223972,54 9 14,849033 96213,57 IIc 50 12 6,1520 15,433407 6479,45 223972,54 48 1,829494 11854,12 IIIa 40 18 9,3443 10,401349 9614,14 284565,51 34 4,440237 42689,06 IIIb 40 18 9,3443 10,401349 9614,14 284565,51 9 10,030610 96435,69 IIIc 40 18 9,3443 10,401349 9614,14 284565,51 38 1,750930 16833,68

9.6.13. Stosujemy wzory z cz. 9.4. dla spłat „z dołu”. Wysokość kredytu jest za każdym razem taka sama i równa P = 50 000 zł. Oprocentowanie na okres płacenia raty obliczono jako oprocentowanie efektywne. Obliczono pierwszą ratę, dodając do raty R różnicę pomiędzy kosztem kredytu Z a N R P⋅ − ; otrzymano dla podpunktu I =3860,64 zł,dla podpunktu II =3667,36 zł, dla podpunktu III

=4741,54 zł. Odpowiedzi zaznaczono tłustym drukiem.

R₁ R₁

R₁

Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej

10. KREDYTY Z DODATKOWĄ OPŁATĄ

W dokumencie Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej (Stron 80-101)