Termodynamika w rozszerzającym się Wszechświecie
5.1 Funkcja rozkładu bozonów i fermionów
Rozdział 5
Termodynamika w rozszerzającym się Wszechświecie.
5.1 Funkcja rozkładu bozonów i fermionów.
W szeregu dalszych rozdziałów będziemy rozpatrywali procesy, zachodzące w rozszerzającym się Wszechświecie, który wypełniony jest gorąca plazmą, składającą się z różnych oddziałujących ze sobą cząstek. Jak się przekonamy dalej, prędkość zachodzenia oddziaływania miedzy tymi cząstkami w wielu przypadkach jest większa niż tempo rozszerzania się Wszechświata, tak że można przyjąć, że w każdej chwili czasu Wszechświat znajduje się w stanie równowagi termodynamicznej. Dlatego będzie nam potrzebne szereg zależności związanych z termodynamiką równowagową, które to właśnie mamy zamiar wyprowadzić w niniejszym rozdziale. Należy zauważyć, że najbardziej interesujące momenty to te kiedy określona reakcja wychodzi ze stanu równowagi ( „wymraża się” ). Równowagowe prawa termodynamiczne zwykle okazują się użyteczne dla jakościowego opisu w takiej właśnie sytuacji – pozwalają one ocenić chwilę czasu, kiedy następuje wyjście z równowagi oraz określić kierunek takiego lub innego procesu nierównowagowego.
We wczesnym Wszechświecie materia znajduje się w bardzo gorącym i gęstym stanie, tak że intensywnie zachodzą procesy zmieniające liczbę cząstek i naruszające liczby kwantowe, zachowane w standardowych warunkach.
Przykładowo, tak jak to zaprezentujemy w rozdziale 11, przy temperaturze T ~> 100 [GeV] aktywnie następuję reakcje ze zmianą liczby barionowej. Dla opisu termodynamicznego takiego układu należy wprowadzić dla każdego rodzaju cząstek właściwy potencjał chemiczny µ. Przy tym, jeśli istnieją reakcje postaci :
A1 + A2 + ... + An ↔ B1 + B2 + ... + Bn’ (5.1)
Gdzie Ai , Bi – różne typy cząstek
,to dla odpowiednich potencjałów chemicznych w równowadze termodynamicznej ( Ściśle, równość (5.2) jest słuszna, kiedy reakcja (5.1) znajduje się w równowadze chemicznej tj. kiedy prędkość jej przebiegu jest większa niż prędkość charakterystyczna zmiany parametrów układu ( np. od tempa rozszerzania Wszechświata ))
słuszna jest następująca własność :
µA1 + µA2 + ... + µAn = µB1 + µB2 + … + µBn’ (5.2)
Przykładowo, w dowolnej reakcji, w której uczestniczy choćby jedna cząstka naładowana, zawsze istnieje możliwość wyemitowania dodatkowego fotonu ( np. możliwa jest reakcja e-e- → e-e- γ ).
Dlatego z równania (5.2) wynika, że potencjał chemiczny fotonu jest równy zero : µγ = 0
W charakterze drugiego zastosowania zależności (5.2) rozpatrzymy reakcje anihilacji pary elektron-pozyton na dwa fotony :
e+ + e- ↔ 2γ
Ponieważ µγ = 0, z możliwości zachodzenia takiej reakcji wynika, że : µe- + µe+ = 0
Jest jasne, że taka zależność jest słuszna dla dowolnych innych cząstek i antycząstek, ponieważ dla nich zawsze istnieje możliwość zanihilowania w fotony.
Zatem, potencjał chemiczny dowolnej antycząstki jest równy potencjałowi chemicznemu odpowiedniej cząstki, wziętemu ze znakiem odwrotnym.
W ośrodku jednorodnym z wieloma typami cząstek dogodny sposób uwzględnienia wszystkich reakcji typu (5.1) polega na wprowadzeniu niezależnych potencjałów chemicznych µi tylko do zachowanych liczb kwantowych Q(i )
Przy tym Q(i ) powinny być niezależne między sobą i powinny tworzyć zbiór zupełny liczb zachowanych. Potencjał chemiczny cząstek typu A jest równy :
µA =
ΣΣΣΣ
qi Q(i )A (5.3)i
gdzie Q(i )A – liczby kwantowe, które niesie cząstka A.
Przykładowo przy temperaturach 200 [MeV] << T << 100 [GeV] liczbami zachowanymi są : liczba barionowa B, liczby leptonowe Le , Lµ , Lτ i ładunek elektryczny Q ( Zobacz dodatek B, kolor kwarków i gluonów jest dla nas obecnie nieistotny )tj. całkowity zbiór niezależnych liczb zachowanych ma postać :
Q(i ) = B, Le , Lµ , Lτ , Q
W tej sytuacji potencjał chemiczny , np., kwarka u ( liczba barionowa 1/3, ładunek elektryczny 2/3 ) jest równy : µA = 1/3 µB + 2/3 µQ
a dla kwarka d, elektronu i neutrina elektronowego mamy odpowiednio :
µd = 1/3 µB – 1/3 µQ , µe = µLe – µQ , µνe = µLe
Zależności typu (5.2) są automatycznie spełnione we wszystkich reakcjach z udziałem tych cząstek ( tak jak i wszystkich innych cząstek, występujących w przyrodzie ). Przykładem niech będzie reakcja :
u + e- → d + νe
powodowana przez oddziaływanie słabe.
Zadanie 1. Pokazać w ogólnym przypadku, że zależności (5.2) są spełnione automatycznie, jeśli potencjały chemiczne cząstek mają postać (5.3), a ładunki Q(i ) są jednakowe dla początkowego i końcowego stanu reakcji (5.1), tj. : Q(i )A1+ ... + Q(i )An = Q(i )B1 + … + Q(i )Bn’
Same potencjały chemiczne można znaleźć, jeśli znane są gęstości liczb zachowanych, które oznaczymy jako n(i ).
Gęstość każdego typu cząstek nA wyraża się przez µA , dlatego układ równań :
ΣΣΣΣ
Q(i )AnA = nAA
wraz z (5.3) pozwala wyrazić wszystkie µi przez n(i) ( Istotne jest tutaj to, że liczby Q(i) są niezależne i tworzą zbiór zupełny )
W plazmie kosmicznej oddziaływania między cząstkami, są bardzo słabe ; będziemy uściślać to stwierdzenie w odpowiednich miejscach. W tym przypadku równowagowe funkcje rozkładu cząstek względem pędów p w lokalnie-lorentzowskim układzie współrzędnych są równe funkcjom rozkładu idealnych boze- i fermi-gazów :
f(p) = [1/(2π)3 ]{ 1/exp[ (E(p) – µ )/T ] -/+ 1 } (5.4)
gdzie :
E(p ) = sqrt( p2 + m2 ) (5.5)
Jest energią cząstki o masie m, T – temperatura ośrodka.
Znak „-„ we wzorze (5.4) odnosi się do cząstek, podlegające statystykę Bosego, a znak ”+” – do cząstek podlegających statystyce Fermiego.
W przypadku, kiedy można zaniedbać składowe ±1 w mianowniku we wzorze (5.4), funkcja rozkładu przyjmuje uniwersalną formę rozkładu Maxwella-Boltzmanna :
fB(p) = [1/(2π)3 ] exp[ −(E(p) – µ )/T ] (5.6)
Ważny przypadek, kiedy stosujemy wzór (5.6) stanowi granica nierelatywistycznego rozgrzanego gazu, dla którego m >> T, ( m – µ ) >> T. W tym przypadku :
fB(p) = [1/(2π)3 ] exp[( µ – m )/T ] exp[ – p2/2mT ] (5.7) Całkując funkcje rozkładu względem pędów, otrzymujemy następujące ogólne wyrażenie dla gęstości liczby cząstek i-tego typu :
ni = gi
∫
f(p) d3p = 4π gi∫
f(E ) sqrt( E2 – mi2 ) E dE (5.8)gdzie w drugiej równości scałkowaliśmy po kątach i wykorzystaliśmy zależność :
E dE = | p | d| p | (5.9)
Wynikającym z relatywistycznej zależności dyspersyjnej (5.5).
Czynnik gi w zależności (5.8) jest równy liczbie stanów spinowych danego typu cząstek. Przykładowo dla fotonów, elektronów i pozytonów mamy :
gγ = ge- = ge+ = 2
a dla neutrina i antyneutrina : gν = gν- = 1
Z jawnej postaci funkcji rozkładu (5.4) wynika, że różnica liczb cząstek i antycząstek danego typu w jednostce objętości zależy od wartości potencjału chemicznego. Jak szybko się przekonamy, przy wystarczająco dużych temperaturach we wszechświecie różnica liczb cząstek i antycząstek jest skrajnie mała w porównaniu z samą liczbą cząstek. Przykładowo przy T ~> 1 [GeV] dla cząstek o ładunku barionowym ( przy takich temperaturach są to kwarki i antykwarki ) mamy ( zobacz podrozdział 1.5.5 ) :
nB – nB- / nB + nB- ~ 10-10
Względna różnica liczb elektronów i pozytonów ma ten sam rząd wielkości ( Wszechświat globalnie jest elektrycznie neutralny, dlatego naddatkowy dodatni ładunek, zawarty w kwarkach jest dokładnie kompensowany przez naddatkowy ujemny ładunek znajdujący się w elektronach ). Zatem, potencjały chemiczne były skrajnie małe we wczesnym Wszechświecie i dla wielu celów można je zaniedbać.
Gęstość energii ρi cząstek i-tego typu zadana jest przez następującą całkę funkcji rozkładu :
ρi = gi
∫
f(p) E(p) d3p = 4π gi∫
f(E ) sqrt( E2 – mi2 ) E2 dE (5.10) gdzie w drugiej równości, podobnie jak w zależności (5.8), scałkowaliśmy po kątach i wykorzystaliśmy (5.9).Aby znaleźć wyrażenie dla ciśnienia ośrodka, rozpatrzymy małe pole ∆S, umieszczone prostopadle do osi z. Liczba cząstek o pędach zawartych w interwale p do p + dp nadlatujących z jedne strony na tą powierzchnię w czasie ∆t, jest rwana :
∆n = ½ vz f(p) d3p ∆S ∆t gdzie :
vz = pz /E
jest rzutem prędkości cząstek na oś z, a czynnik ½ związany jest z tym, że połowa cząstek porusza się w stronę
rozpatrywanego obszaru. Cząstka o rzucie pędu pz przy odbiciu sprężystym od zadanej powierzchni przekazuje jej pęd w kierunku osi z, który jest równy :
∆pz = 2pz
Zatem, ciśnienie równe stosunkowi całkowitego pędu, otrzymanego przez powierzchnię S, do czasu ∆t i powierzchni ∆S, ma postać :
Gdzie wykorzystaliśmy ten fakt, że na mocy izotropii układu można zamienić pz2 na : 1/3 p2 = 1/3 ( E2 – m2 )
Zbadamy teraz wyrażenia (5.8), (5.10), (5.11) dla gęstości liczby cząstek, gęstości energii i ciśnienia w różnych fizycznie interesujących przypadkach granicznych.
Na początku rozpatrzymy przypadek cząstek ultrarelatywistycznych : T >> mi
O zerowym potencjale chemicznym : µi = 0
W tej granicy wyrażenie (5.10) dla gęstości energii przyjmuje postać ( prawo Stefana-Boltzmanna ) :
ρi = (gi /2π2 )
∫
( E3/ EE/T -/+ 1 ) dE = { gi π2T4 /30 – Bose (5.12) { 7/8 gi π2T4 /30 – FermiObliczenia przedstawione w niniejszym rozdziale całek podano np. w książce [17] ; podsumowanie wzorów podano na końcu rozdziału. Tak jak należało oczekiwać z analizy wymiarowej, gęstość energii w tym przypadku jest równa T4 z dokładnością do współczynnika liczbowego; wkład fermionów do gęstości energii różni się od wkładu bozonów o czynnik 7/8. Zauważmy, ze w przypadku relatywistycznym cząstki często dogodnie jest scharakteryzować poprzez chiralność – rzut spinu na kierunek ruchu; parametr gi można wtedy rozumieć jako liczbę stanów chiralnych.
Jeśli w plazmie istnieją cząstki ultrarelatywistyczne różnych typów o jednej i tej samej temperaturze T, a potencjał chemiczny można zaniedbać, to gęstość energii składowej ultrarelatywistycznej jest równa :
ρ = g
*π2T4 / 30 (5.13)
gdzie :
g* =
ΣΣΣΣ
gi + 7/8ΣΣΣΣ
gi (5.14)bozony fermiony z m << T z m << T
jest efektywną liczbą stopni swobody.
Wyrażenie (5.11) dla ciśnienia w przypadku ultrarelatywistycznym ma postać :
ρi = (gi /6π2 )
∫
( E3/ EE/T -/+ 1 ) dE = 1/3 ρi (5.15) Zatem, równanie stanu materii ultrarelatywistycznej ma postać :P = 1/3 ρ
Wyrażenie (5.8) dla gęstości liczby cząstek w przypadku ultrarelatywistycznym ma postać :
ni = (gi /2π2 )
∫
( E3/ EE/T -/+ 1 ) dE = { gi ζ(3)T3 – Bose (5.16a) { 3/4 gi ζ(3)T3/π2 – FermiLiczbowa wartość funkcji dzeta jest równa : ζ(3) ≈ 1,2
Wykorzystując równości (5.12), (5.16) można znaleźć średnią energię cząstki w przypadku ultrarelatywistycznym :
< E > = ρi / ni ≈ { 2,7 T – Bose (5.17)
{ 3,15 T – Fermi
W charakterze prostego przykładu zastosowania podanych wzorów ocenimy, przy jakiej temperaturze relatywistyczny ośrodek kosmiczny znajduje się w równowadze termicznej ze względu, np. na oddziaływania EM. Ograniczymy się przy tym do przypadku wysokich temperatur T >> 1 [MeV], kiedy to elektrony są relatywistyczne. Interesujące dla tego przypadku procesy – to rozpraszanie comptonowskie, e+e- -anihilacja (rys. 5.1 ) itp.
Rys. 5.1 Przykłady diagramów Feynmana dla rozpraszania comptonowskiego i e+e- -anihilacji.
Amplitudy tych procesów są proporcjonalne do α ≡ e2/4π, a przekroje do α2. Stąd oraz z rozważań wymiarowych od razu otrzymujemy ocenę dla tempa tych procesów :
Γ ~ α2T
Procesy zachodzą w równowadze termicznej, jeśli wielkość ta znacznie przewyższa tempo rozszerzania się Wszechświata :
Γ >> H(T)
Uwzględniając ( zobacz podrozdział 3.2.2 ), że : H(T) = T2 / M*Pl
Otrzymujemy, że ośrodek znajduje się w równowadze przy : T << α2 M*Pl ~ 102 [GeV]
Taka ocena jest słuszna dla oddziaływań słabych i silnych (kolorowych ) ( Wyjście z równowagi termodynamicznej przy niskich temperaturach jest ważnym zagadnieniem, które będziemy omawiali w różnych miejscach tej książki ).
Zatem, założenie o równowadze termicznej jest rzeczywiście dobrze spełnione w przeciągu dużej części gorącego stadium ewolucji Wszechświata ( ściślej należałoby mówi o równowadze kinetycznej, tj. o równowagowym rozkładzie po pędach; omówienie równowagi chemicznej , tj. równowagi między rodzajami cząstek, należy prowadzić oddzielnie ) Rozpatrzmy teraz granicę nierelatywistycznego rozgrzanego gazu, kiedy funkcja rozkładu przyjmuje postać
boltzmannowską (5.6). W tej granicy wyrażenie dla gęstości liczby cząstek ma postać :
ni = gi ( miT/ 2π )3/2 exp( µi – mi / T ) (5.18) a gęstość energii i ciśnienie są odpowiednio równe :
ρi = mi ni + 2/3 ni Ti (5.19) pi = Tni << ρi (5.20) Jak było oczywistym od samego początku, gaz nierelatywistycznych cząstek opisywany jest równaniem stanu p = 0, z dokładnością do poprawek O(T/m ).
Zadanie 2. Pokazać, że przy wysokich temperaturach ( większych od masy wszystkich cząstek ) i małych potencjałach