Stosunek jasność ( bolometryczna) – przesuniecie ku czerwieni dla oddalonych „świec standardowych”

Omówimy teraz ogólnie jeden z ważniejszych sposobów określenia takich kosmologicznych parametrów jak wartość parametru Hubble’a H0 , gęstość względną energii materii nierelatywistycznej ΩM , ciemnej energii ΩΛ oraz parametr Ωcurv charakteryzujący krzywiznę przestrzenną. W perspektywie sposób ten może wyjaśnić czy rzeczywiście ciemna energia posiada próżniowe równanie stanu o postaci p = -ρ, czy też reprezentuje ona coś innego niż próżnię ( np.

charakteryzuje się równaniem stanu p = wρ z w ≠ 0 ). Mówimy o jednoczesnym pomiarze przesunięcia ku czerwieni z i jasności „świec standardowych”, znajdujących się od nas na odległościach porównywalnych z rozmiarem horyzontu kosmologicznego i mających dlatego nie małą wartość z. W charakterze takich „świec standardowych” tj. wystarczająco jasnych obiektów, których jasność absolutna znana jest z dobrą dokładnością współcześnie wykorzystuje się supernowe typu Ia. (* w skrócie SnIa *) ( Tak jak i w całej książce nie zastanawiamy się nad obserwacyjnymi i astrofizycznymi aspektami całego zagadnienia. W szczególności pozostawiamy na boku zagadnienia dotyczące natury obiektów SnIa i tego faktu, dlaczego właśnie one służą jako dobre obiekty do roli :świec standardowych” ).

Znajdziemy teraz zależność między przesunięciem ku czerwieni i widoczną jasnością źródła o jasności absolutnej L.

Chociaż przytoczone rozważania ( ale nie konkretne wyniki ! ) można uogólnić na przypadek, kiedy ciemna energia nie posiada próżniowego równania stanu, to ograniczymy się póki co do przypadku próżniowego ρΛ, niezależnego od czasu.

Jednocześnie użytecznym będzie włączyć do rozważań możliwość występowania niezerowej krzywizny przestrzennej i odejść od ograniczenia (4.9). Dla określoności wybierzemy model otwartego Wszechświata z κ = - 1 i Ωcurv > 0.

Model płaski otrzymujemy w granicy Ωcurv → 0 lub, co równoważne przy a0 → ∞ ( zobacz zależność (4.32))

Wykorzystamy formę metryki (2.10) :

ds2 = dt2 + a2(t) [ dχ2 + sinh2(χ) ( dθ2 + sin2 (θ) dϕ2

)]

(4.34)

Standardowo odległość współrzędnościowa między źródłem, emitującym światło w chwili ti i odbiornikiem, znajdującym się na Ziemi w chwili t0 jest równa :

t0

χ =

∫

dt/ a(t) (4.35)

ti

Znajdziemy teraz zależność między odległością współrzędnościową i przesunięciem ku czerwieni z źródła.

W tym celu wykorzystamy równanie Friedmanna w postaci (4.11) w którym zaniedbujemy wpływ radiacji. Przechodząc w całce (4.35) do zmiennej całkowania :

z(t ) = [ a0 /a(t) ] – 1 otrzymamy :

t0

Całka ta nie może być obliczona analitycznie, jednakże łatwo ją znaleźć numerycznie przy zadanych wartościach parametrów.

Na mocy (4.34), fizyczne pole powierzchni sfery, przez którą współcześnie przelatują fotony, wyemitowane przez źródło jest równa :

S(z) = 4πr2(z) (4.37)

Gdzie :

r(z ) = a0sinh( χ(z)) (4.38)

Liczba fotonów przenikających przez jednostkę powierzchni odbiornika jest odwrotnie proporcjonalna do S, a energia każdego fotonu różni się od jego energii w chwili emisji czynnikiem poczerwienienia 1/ ( 1 + z ). Taki czynnik pojawia się dodatkowo, jeśli interesuje nas liczba fotonów przechodzących przez zadaną powierzchnię w jednostce czasu, ponieważ interwały czasowe dla źródła i odbiornika różnią się właśnie 1/ ( 1 + z ) razy.

Okoliczność tę możemy wyjaśnić następująco.

We współrzędnych konforemnych ( η, x ) fotony zachowują się tak jak we Wszechświecie statycznym ( zobacz podrozdział 2.3 ). Dlatego w takich współrzędnych odcinki czasu między emisją dwóch fotonów i między ich

zarejestrowaniem są jednakowe dηi = dη0. Stąd właśnie wynika zależność między odpowiednimi odcinkami czasowymi czasu fizycznego dt0 = ( 1 + z )dti.

Zatem, jasność ( tj. strumień energii na odbiorniku ) jest równa :

J = L / ( 1 + z ) S(z) (4.39)

Gdzie L – jest jasnością absolutną źródła ( energia promieniowana w jednostce czasu ).

Jest to właśnie szukana zależność między jasnością i przesunięciem ku czerwieni źródła, którego jasność absolutną przyjmujemy jako znaną.

Jeśli wprowadzimy odległość fotometryczną rph tak, aby związek między L i J miał formalnie taką samą postać jak w przestrzeni Minkowskiego :

J = L/ 4πrph2

to z (4.39) otrzymamy :

rph = ( 1 + z ) r(z) (4.40)

gdzie r(z) zadane jest przez (4.38).

Na pierwszy wzgląd może wydawać się, że zależność (4.39) zawiera w sobie pięć parametrów kosmologicznych : H0 , a0 , ΩM , ΩΛ , Ωcurv

W istocie niezależnych parametrów jest tylko trzy, ponieważ spełnione są zależności ( zobacz (4.6), (4.2) i (4.5)) :

ΩM + ΩΛ + Ωcurv = 1 (4.41)

Ωcurv = 1/ a02 H02 (4.42)

Zauważmy, ze przy z << 1 w wyrażeniu podcałkowym (4.36) można zaniedbać z’, wtedy χ(z) = z /a0 H0 i r(z) = a0χ(z) Tak więc powracamy do prawa Hubble’a r(z) = H0-1z.

Przy tym w głównym rzędzie względem z jasność zadawana jest przez standardowy wzór : J = L/ 4πr2(z ) ; z << 1

Powróćmy do przypadku ogólnego. Jak widać ze wzorów (4.36) – (4.42), wszystkie trzy niezależne parametry

kosmologiczne wchodzą do zależności między jasnością i przesunięciem ku czerwieni w nietrywialny sposób i pomiary w szerokim obszarze z, mogą określić te parametry. Zilustrowano to na rysunkach 4.2 i 4.3

Aby zrozumieć, co przedstawiono na rysunkach 4.2 i 4.3 zauważmy, że zależność od parametrów kosmologicznych wchodzi do wzoru (4.39) przez funkcje r(z ). Jeśli mierzyć r(z ) w jednostkach Hubble’a H0-1, to :

H0r(z ) = [ 1/ sqrt(Ωcurv )] sinh(χ(z)) (4.43)

z

χ(z ) =

∫

sqrt(Ωcurv )dz’ / sqrt[ ΩM ( z’ + 1)3 + ΩΛ + Ωcurv ( z’ + 1 )2 ] } 0

Rys. 4.2 Zależność H0 r(z) od przesunięcia ku czerwieni z dla różnych modeli kosmologicznych.

Rys. 4.3 Ilustracja zdegenerowania w przestrzeni parametrów ( ΩM , ΩΛ ). Przypadek ( ΩM = 0, ΩΛ = 0,55 ) i ( ΩM = 0,6 , ΩΛ = 0,85 ) odpowiadają modelom otwartemu i zamkniętemu, przy czym Ωcurv = 1 – ΩM – ΩΛ.

Zatem, prawa cześć (4.43) nie zależy jawnie od H0 ; właśnie ona pokazana jest na rysunkach 4.2 i 4.3

Na początku omówimy czarną i ciemn0-szarą krzywą na rysunku 4.2, które odpowiadają Wszechświatowi przestrzennie płaskiemu z ΩM = 0,24 , ΩΛ = 0,76 ( krzywa czarna ) i ΩM = 1 , ΩΛ = 0 ( ciemno-szara krzywa, Wszechświat płaski bez członu lambda ). Dla otrzymania z wyrażeń (4.36), (4.38) wzoru modelu płaskiego weźmiemy granicę a0 → ∞, Ωcurv → 0 otrzymując :

z

r(z ) = (1/H0 )

∫

dz’ / sqrt[ ΩM ( z’ + 1)3 + ΩΛ ] , Ωcurv = 0 0

przy czym ΩM + ΩΛ = 1. Widać, ze przy dużych ΩΛ ( i odpowiednio mniejszych ΩM ) funkcja r(z) rośnie szybciej w funkcji z; oddalone supernowe są mętniejsze w modelu ΛCDM w porównaniu z modelem płaskim bez członu lambda.

Właśnie ten fakt ujawniono w obserwacjach ( zobacz rysunki 4.4, 4.5 )

Czarna linia i szara krzywe na rysunku 4.2 odpowiadające modelowi ΛCDM oraz modelom bez stałej kosmologicznej, ale z przestrzenną krzywizną, również różnią się między sobą już przy umiarkowanych z. Dlatego modele z ΩΛ = 0, Ωcurv = 0,76 również są sprzeczne z obserwacjami. Ogólnie, dane dotyczące SnIa nie są zgodne z modelami bez członu kosmologicznego lambda ( Jeśli nie rozpatrywać mało prawdopodobnej możliwości tego, że same te dane zawierają silne systematyczne niezgodności ) ( zobacz rysunki 4.4, 4.5, 4.6 )

Jest to jeden z najsilniejszych argumentów na korzyść istnienia ciemnej energii, otrzymany w ramach pomiaru jednej klasy ( a nie porównania wyników różnych obserwacji ).

Zwróćmy teraz uwagę na 4.3. Został on umieszczony aby pokazać, ze modele o znacznie różniącymi się parametrami prowadzą do bardzo podobnych wyników przy umiarkowanych z. Jest jasne, że obiekty z bardzo dużymi przesunięciami ku czerwieni, znajdującymi się na ultra dalekich odległościach, jest bardzo trudno obserwować, dlatego właśnie

przypadek umiarkowanych z przedstawia znaczne zainteresowanie. Spotykamy się tutaj z przykładem przybliżonego zdegenerowania względem pewnych parametrów. Aby zrozumieć o co chodzi, znajdziemy pierwszą poprawkę względem z do prawa Hubble’a.

Uwzględnimy, to że ΩΛ = 1 – ΩM – Ωcurv i zapiszemy w rzędzie kwadratowym po z : χ(z ) = (1/ a0H0 ) [ z – ¼ z2 ( 3ΩM + 2Ωcurv )]

W tym rzędzie r(z ) = a0 χ(z ) + O(z3 ) dlatego w kwadratowym rzędzie po z mamy :

r(z ) = (1/H0 ) [ z – ¼ z2 ( 3ΩM + 2Ωcurv )] (4.44)

Druga składowa po prawej stronie przedstawia sobą szukaną poprawkę. Z wyrażenia (4.44) widać, że zależy ona tylko od kombinacji z2 ( 3ΩM + 2Ωcurv ) lub z użyciem ΩM , ΩΛ od kombinacji (ΩM – 2ΩΛ ), a nie od ΩM i ΩΛ

oddzielnie. Stąd właśnie wynika zdegenerowanie po tych parametrach przy małych z. Aby zbadać zdegenerowania przy umiarkowanych z należy we wzorze (4.44) uwzględnić następne człony w rozkładzie względem z. Przy tym wkłady zależne od (ΩM – 2ΩΛ ), rzędu z2 i z3 efektywnie kompensują się w interesującym nas obszarze parametrów kosmologicznych. Pozostający wkład rzędu z3 określony jest przez inną kombinacje liniową wielkość (2ΩM – ΩΛ ) i właśnie na nią są czułe eksperymenty w których bada się prawo Hubble’a przy umiarkowanych z. Eksperymentalnie kombinacja ta jest bliska zeru, a wzdłuż ortogonalnej do niej kombinacji liniowej następuje zdegenerowanie.

Przy dużych z zdegenerowanie to zanika, ale rosną błędy eksperymentalne, ponieważ rozpracowany obszar parametrów rozciąga się wzdłuż linii 2ΩM – ΩΛ = 0. Fakt ten dobrze widać na rysunku 4.6

Zadanie 8. Pokazać, ze w wymaganym rzędzie wielkości po z zdegenerowanie po parametrach kosmologicznych znika, tj. r(z ) określone przez zależność (4.38), zawiera nietrywialną zależność od wszystkich trzech parametrów H0, ΩM , ΩΛ Przekonać się o tym, ze w interesującym nas obszarze parametrów kosmologicznych przy umiarkowanym z pozostaje przybliżone zdegenerowanie wzdłuż linii 2ΩM – ΩΛ = 0.

W zdegenerowaniu po parametrach nie ma niczego dziwnego. Jest bowiem jasne, ze pierwszą poprawkę po z do prawa Hubble’a, oprócz współczesnej wartości parametru Hubble’a może wnosić tylko współczesna wartość parametru przyspieszenia. Parametr te zdefiniujemy następująco :

( W literaturze tradycyjnie wykorzystuje się parametr zwolnienia, różniący się znakiem od parametru przyspieszenia (4.45). Wykorzystanie parametru zwolnienia dla wszechświata, który rozszerza się z przyspieszeniem nie jest jednak uzasadnione. My będziemy wykorzystywali zależność (4.45) )

q0 = ( 1/H02 ) ( a^•• /a )0 (4.45)

Mierząc parametr q0 możemy określić tylko jedną z kombinacji ΩM i ΩΛ , a nie oba te niezależne parametry od razu.

W związku z rysunkiem 4.6 podamy teraz pewien komentarz. Szczególnie często będziemy przedstawiali obszary leżące na płaszczyźnie parametrów, opracowane przez takie lub inne obserwacje. Jeśli nie powiedziano inaczej, to trzy włożone w siebie obszary będą odpowiadały wartościom parametrów, opracowanym na poziomie wiarygodności 1σ, 2σ, 3σ przy założeniu rozkładu normalnego ( Gaussa ) dla odpowiedniej wielkości, tj. 68,3 %, 95,4 % , 99,7 %

Zadanie 9. Znaleźć pierwszą poprawkę po z do prawa Hubble’a, tj. funkcje r(z) z dokładnością kwadratową po z, z użyciem H0, q0 ; nie wykorzystywać przy tym równania Friedmanna. Pokazać, ze z użyciem równanie Friedmanna odpowiednie wyrażenie sprowadza się do (4.44).

Z

Rys. 4.4 Diagram Hubble’a dla SnIa [14]. Na rysunku górnym pokazano rozkład obserwowanych SnIa po jasności ( z poprawką na jasność własną ). Na rysunku dolnym zilustrowano różnicę obserwacji i przewidywań różnych modeli kosmologicznych oraz przewidywań modelu CDM z przestrzenną krzywizną ( ΩM = 0,2 , ΩΛ = 0 , Ωcurv = 0,8 ) Oznaczenie na osi pionowej związane jest z wykorzystywaną w astronomii charakterystyką jasności (absolutnej ) – wielkością gwiazdową. Figurująca tutaj różnica m – M związana jest z odległością fotometryczną rph poprzez zależność m – M = 5 ln( rph ) + 25.

Większe m – M odpowiadają obiektom bardziej mętnym.

Wskazane przybliżone zdegenerowanie względem wymienionych parametrów sprawia, ze zadanie określenia

parametrów ΩM , ΩΛ i Ωcurv tylko z pomocą świec standardowych jest trudne. Jednocześnie, pomiar anizotropii CMB daje silne ograniczenie na Ωcurv

| Ωcurv | < 0,02

Wykorzystując to ograniczenie, można z dobrą dokładnością ustanowić wartość ΩM , ΩΛ w pomiarach SnIa; na rysunku 4.6 gdzie prosta Ωcurv = 0 oznaczona jest jako Ωtot = 1 widać, ze obserwacje supernowych dają : 0,23 < ΩM < 0,39

0,77 > ΩΛ > 0,61

na poziomie wiarygodności 95%.

Rys. 4.5 Diagramy [15] ilustrujące różne warianty wyjaśnienia wyników obserwacji SnIa.

Na diagramach tych pokazano odchylenia krzywych zmętnienia od odpowiedniej krzywej w pustym Wszechświecie z krzywizną przestrzenną ( ΩM = ΩΛ = 0 , Ωcurv = 1 , przypomnijmy, ze taki Wszechświat rozszerza się ze stałą prędkością a^• = 0 ). Pośród modeli kosmologicznych rozpatrzono modele ΛCDM bez stałej kosmologicznej ( ΩM = 0,27 , ΩΛ = 0,73 ) oraz model CDM bez stałej kosmologicznej ( ΩM = 1 , ΩΛ = 0 )

Pośród modeli ewolucyjnych rozpatrzono model ze supernowymi, których jasność własne spada proporcjonalnie do parametru z ( w modelu CDM ). Pośród modeli z niestandardowym ośrodkiem międzygalaktycznym zaprezentowano modele z „pyłem” pochłaniającym promieniowanie, który prowadzi do efektywnego matowienia dalekich supernowych;

rozpatrzono modele z gęstością „pyłu” ρ(z ) = ρ0( 1 + z )α , gdzieα = 3 ( linia punktowo-przerywana ) , α = 3 przy z < 0,5 z α = 0 przy pozostałych z ( cienka linia przerywana ). Na rysunku górnym pokazano wyniki obserwacji dalekich supernowych, przeprowadzone na ST Hubble’a (* space teleskope Hubble *) ( okręgi ) oraz teleskopów naziemnych ( rombki ); dla ilustracji na rysunku dolnym wyniki te zostały uśrednione po określonych interwałach przesunięcia ku czerwieni. Zauważmy, że w niezależnych obserwacjach SnIa [16] otrzymano wyniki, zgodne z przywołanymi na niniejszym rysunku.

Rys. 4.6 Obszar w przestrzeni parametrów kosmologicznych ΩM , ΩΛ zgodny z obserwacjami SnIa [15]; linią punktową oznaczono kontury odnoszące się do wcześniejszych obserwacji, a linią ciągłą oznaczono obszary wiarygodności odnoszące się do późniejszych obserwacji dalekich supernowych ( ukazanym na rysunku 4.5 ).

Widać, ze wyniki różnych obserwacji ( i ogólnie mówiąc, licznych i różnych analiz takich obserwacji ) dobrze zgadzają się ze sobą. Zauważmy, ze na powyższym rysunku q0 oznacza parametr zwolnienia różniący się znakiem od parametru przyspieszenia, określonego w (4.45)

Rys. 4.7 Obszary w przestrzeni parametrów kosmologicznych ΩM , w opracowane na podstawie wyników obserwacji anizotropii CMB ( linie ciągłe ) i zgodne z obserwacjami SnIa ( ciemne obszary ) [5]. Obszary o mniejszym i większym rozmiarze odpowiadają 68% i 95% poziomom wiarygodności.

Na zakończenie tego rozdziału podkreślimy, ze obserwacje oddalonych supernowych typu Ia, wraz z pomiarami anizotropii CMB oraz badaniami wielkoskalowej struktury Wszechświata, stanowią jedno z głównych świadectw istnienia ciemnej energii. Kombinacja istniejących wyników obserwacji kosmologicznych prowadzi do następujących wartości :

ΩM = 0,24 ± 0,04 ΩΛ = 0,76 ± 0,05

na poziomie wiarygodności 68%.

Analogiczne obserwacji z większą dokładnością jak również przy dużych z pozwolą, jak się wydaje, przekonać się czy człon kosmologiczny lambda zależy od czasu ( lub postawić silne ograniczenie na taką zależność )

Przy tej okazji należy wspomnieć, że wszystkie istniejące obecnie dane nie sprzeciwiają się nie występowaniu takiej możliwości tj. równaniu stanu ciemnej energii o postaci p = - ρ, a dla parametru w równania stanu ciemnej energii p = wρ z takich danych wynika następujące ograniczenie ( zobacz rysunek 4.7 ) :

-1,2 < w < - 0,8 (4.46)

Uściślenie tego ograniczenia jest jednym z ważniejszych zadań.

Zadanie 10. Uogólnić wzory z niniejszego rozdziału na przypadek ciemnej energii o równaniu stanu p = wρ. Przyjmując Ωcurv = 0 m ΩM = 0,25, narysować wykres r(z) dla w = - 2, w = - 1,5 , w = -1 , w = -0,5

Wykorzystując rysunek 4.6 przekonać się, ze współczesne dane rzeczywiście pozwalają otrzymać ograniczenie na parametr w na poziomie, wskazanym w (4.46)

W dokumencie Wprowadzenie do teorii wczesnego Wszechświata. Teoria gor (Stron 48-55)