Termodynamika w rozszerzającym się Wszechświecie
Zadanie 4. Ocenić liczbową wartość potencjału chemicznego dla kwarka u przy temperaturze 1 [GeV]
Na zakończenie tego rozdziału przypomnijmy, że wraz ze stosunkiem barionowo-fotonowym nB często wykorzystuje się bezwymiarowy parametr ΩB definiowany jako stosunek współczesnej wartości (masowej ) gęstości barionów ρB do gęstości krytycznej ρc ( zobacz rozdział 4 ) :
ΩB = ρB/ ρc = mB nB /ρc (5.44)
gdzie mB ≅ 1 [GeV] – masa protonu ( przy tej dokładności z jaką obecnie pracujemy, różnica między masami protonu i neutronu jest nieistotna )
Zgodnie ze wzorem (5.16a), gęstość liczby fotonów reliktowych we współczesnym Wszechświecie jest równa : nγ = 2ζ(3)T03 / π2 = 410 [1/cm3 ]
Wykorzystując wartość gęstości krytycznej (4.4), z (5.42) otrzymamy :
ΩB h2 ≅ 0,022 ± 0,001 (5.45)
Zatem, ΩB ≅ 0,042, co jest znacznie mniejsze od całkowitej względnej gęstości masy materii nierelatywistycznej w modelu ΛCDM , ΩM ≅ 0,24 ( zobacz rozdział 4 ). Zatem, większa część nierelatywistycznej materii we Wszechświecie – to nie bariony, a nieznane cząstki ciemnej materii.
Przypomnijmy ( zobacz wprowadzenie ), że prosta ocena wartości ΩB oparta na pomiarze średniej gęstości materii świecącej ( gwiazd) we wszechświecie, prowadziłaby do wartości Ωlum
B prawie że o rząd mniejszej, niż we wzorze (5.45). To oznacza, ze większa część barionów we wszechświecie znajduje się w stanie nieświecącego gazu
( Alternatywną możliwością jest to, że większa część barionów zawarta jest w gęstych zwartych nieświecących obiektach Jak już wspominaliśmy we wszechświecie, poszukiwanie takich obiektów w naszej galaktyce z pomocą soczewkowania grawitacyjnego pokazuje, że jak się wydaje obiekty takie rzeczywiście istnieją, jednakże ich liczba jest niewystarczająca na to, aby wyjaśnić deficyt świecących barionów ). Jedną z ważnych zadań kosmologii jest wyjaśnienie pochodzenia asymetrii barionowej we Wszechświecie. My ten problem omówimy w rozdziale 11.
Zadanie 5. Podać liczbową ocenę wkładów elektronów i protonów do gęstości entropii we wszechświecie przy 0,5 [MeV] >> T >> 1 [eV]
Podpowiedź. Uwzględnić, że przy takich temperaturach elektrony i protony są nierelatywistyczne i znajdują się w stanie swobodnym ( rekombinacja do atomów jeszcze nie zaszła )i że liczba elektronów jest równa liczbie protonów (
zaniedbujemy przy tym obecność lekkich jąder )
5.3 Procesy nierównowagowe*.
W przedstawionej książce nie jednokrotnie będziemy spotykali się z sytuacją, kiedy większość procesów w ośrodku zachodzi wystarczająco szybko, jednakże istnieje jeden lub wiele na tyle wolnych procesów, że w wyniku ich wolnego tempa ośrodek nie znajduje się w stanie równowagi termodynamicznej. Podamy teraz przykład charakterystyczny ( jednakże nie jedyny ) takiej sytuacji.
Niech teoretycznie istnieją pewne ciężkie cząstki X ( powiedzmy o masie mX ~> 100 [GeV] ), o długim czasie życia, a jedynym procesem w wyniku którego koncentracja nX tych cząstek w ośrodku może się zmieniać jest ich anihilacja z antycząstkami X-. Jednocześnie założymy, że rozpraszanie cząstek X na zwykłych cząstkach, istniejących w plazmie kosmicznej ( leptonach, kwarkach, fotonach itp. ) następuje wystarczająco często. Przy temperaturach T,
przekraczających masę cząstek X mX procesy kreacji i anihilacji cząstek X następują szybko ( w porównaniu z tempem rozszerzania się Wszechświata ), a ich koncentracja jest równowagowa.
Rozpatrzmy symetryczny ośrodek o jednakowej ilości cząstek X i antycząstek X-. Przy T << mX koncentracja cząstek X w takim ośrodku spada wykładniczo wraz z obniżaniem się temperatury, tak że procesy anihilacji cząstek X stają się coraz rzadsze, jest tak ponieważ prawdopodobieństwo tego, że cząstka X spotka swoją antycząstkę, staje się coraz mniejsze. To daje nam przykład rozpatrywanej sytuacji - przy T << mX wszystkie procesy, oprócz kreacji i anihilacji
par X - X-są szybsze, a same procesy X- X- anihilacji i kreacji są wolniejsze, zatem koncentracje nX i nX- mogą nie pokrywać się z koncentracjami równowagowymi. Przy takich warunkach ośrodek, charakteryzuje się temperaturą i liczbami cząstek ( w tym samych cząstek X i X-; w ośrodku symetrycznym nX = nX- )
Funkcje rozkładu zadane są poprzez wzory podrozdziału 5.1, nierównowagowość przejawia się w tym, ze µX ≠ 0, przy czym dla ośrodka symetrycznego µX = µX-.
Nie rozpatrując póki co rozszerzania się Wszechświata omówimy jak następuje w takiej sytuacji relaksacja do stanu równowagi termodynamicznej. W ogólnym przypadku w procesie relaksacji efektywna temperatura ośrodka i gęstość liczby cząstek wszystkich cząstek zmienia się z czasem ( temperatura zmienia się , np. jeśli proces relaksacji następuje z wydzielaniem ciepła; w naszym przykładzie ma to rzeczywiście miejsce, jeśli koncentracja cząstek X przewyższa koncentracje równowagową nX > nXeq i relaksacja następuje na drodze anihilacji cząstek X, a nie kreacji par X-X- ), jednakże w każdej chwili czasu temperatura i potencjały chemiczne mają całkowicie określone wartości. Zatem, ośrodek w każdej chwili czasu można scharakteryzować poprzez energię swobodną ( oczywiście dogodniej jest pracować nie z energią swobodną, a potencjałem termodynamicznym, ustalając nie liczbę cząstek, a potencjały chemiczne. W tym rozdziale jednakże będziemy rozpatrywali stany o określonej liczbie cząstek, dla których słuszny jest wzór (5.46)) F(T, Ni ). Przypomnijmy, że energia swobodna związana jest z liczbą stanów ( sumą statystyczną ) poprzez zależność ( przyjmujemy, że układ ma dużą, ale skończoną objętość ) :
Z = exp( - F/T) (5.46)
Przy zbliżaniu się do równowagi termodynamicznej energia swobodna dąży do swojego minimum, a suma statystyczna - do maksimum.
Niech dany będzie prosty wolny proces, przybliżający układ do stanu równowagi termodynamicznej ( w naszym przykładzie będzie to X- X- anihilacja; dla określoności będziemy przyjmowali, że nX > nXeq )
Oznaczmy tempo takich procesów ( ich liczbę w jednostce czasu ) jako Γ+ ( oznaczenie to związane jest z tym, że w procesie prostym suma statystyczna zwiększa się; z termodynamicznego punktu widzenie proces taki jest dogodniejszy ) Istnieją również procesy odwrotne, tempo których oznaczymy przez Γ- ( w naszym przykładzie jest to proces kreacji par X- X- ). Naszym zadaniem jest znalezienie zależności wiążących Γ+ i Γ- .
W wyniku jednostkowego procesu prostego układ przechodzi ze stanu o większej energii swobodnej F+ ( i odpowiednio, z mniejszą sumą statystyczną Z+ ), do stanu o mniejszej energii swobodnej F- i większą sumą statystyczną Z- .
Niech i+ - będzie jednym z stanów mikroskopowych ( np. w przypadku klasycznej mechaniki statystycznej w stanie i+
ustalone są położenia i pędy wszystkich cząstek ośrodka ) układu na początku procesu prostego, j- - niech będzie jednym ze stanów mikroskopowych, do którego układ może przejść w wyniku działania omawianego procesu.
Prawdopodobieństwo realizacji stanu początkowego i+ jest równa : P(i+ ) = (1/Z+ ) exp( - E(i+ )/T )
Gdzie E(i+ ) – energia stanu i+ ( istotne jest tutaj to, że ze względu na wszystkie inne procesy, oprócz tego który akurat rozpatrujemy ma miejsce równowaga termodynamiczna ).
Niech γ( i+ → j- ) będzie prawdopodobieństwem zajścia procesu prostego i+ → j- wtedy prawdopodobieństwo tego, że jakiś proces prosty zajdzie w ośrodku, jest równe :
Γ+ =
ΣΣΣΣ
P(i+ ) γ( i+ → j- ) = (1/Z+ )ΣΣΣΣ
exp( - E(i+ )/T ) γ( i+ → j- ) i+ , j- i+ , j-Analogicznie prawdopodobieństwo zajścia jakiegoś procesu odwrotnego w ośrodku jest równe : Γ- = (1/Z- )
ΣΣΣΣ
exp( - E(j- )/T ) γ( j- → i+ )i+ , j-
Na mocy równości prawdopodobieństwa procesu i+ → j- i odwrotnego do niego procesu j- → i+ tj. : γ( j- → i+ ) = γ( i+ → j- )
jak również prawa zachowania energii : E(i+ ) = E(j- )
Otrzymamy :
Γ+ / Γ- = Z- /Z+ = exp[ -(1/T) (F- – F+ )]
i ostatecznie :
Γ+ / Γ- = exp( -∆F/ T ) (5.47)
gdzie : ∆F – różnica energii swobodnych po zakończeniu i przez zakończeniem procesu prostego ( zgodnie z podanymi powyżej definicjami ∆F < 0 ).
W dalszej kolejności pod wielkościami Γ+ i Γ- będziemy rozumieli liczbę, odpowiednio procesów prostych i odwrotnych, zachodzących w jednostce czasu w jednostce objętości.
Dla nich zależność (5.47) pozostaje słuszna.
Zauważmy, ze w podanym przykładzie :
Z wyrażenia (5.47) widać, po pierwsze, ze relaksacja rzeczywiście przebiega w stronę zmniejszania się energii swobodnej :
Γ+ > Γ- przy ∆F < 0
I dalej, przy | ∆F | >> T słuszne jest Γ+ >> Γ- i procesy odwrotne można zaniedbać. I odwrotnie – przy | ∆F | << T ma miejsce małe odchylenie od równowagi termicznej ( Γ+ −Γ- ) << Γ+ , Γ- ; procesy prosty i odwrotny zachodzą
praktycznie z jednakową intensywnością. W tym przypadku tempo tych procesów jest bliskie tempu równowagowemu Γ+ ≈ Γ- ≈ Γeq i relaksacja charakteryzuje się tempem :
Γ+ −Γ- = - ∆FΓeq / T , | ∆F | << T (5.49)
W omawianej w niniejszym podrozdziale sytuacji możemy wprowadzić intensywną ( nie zależną od objętości V ) charakterystykę ośrodka : n = N/V.
W danym przykładzie – będzie to gęstość liczby cząstek X, N – jest całkowitą liczba cząstek X w układzie.
Wielkość N nie zmienia się w szybkich procesach i zmienia się o ∆N i ( -∆N ) w wolnych procesach prostym i odwrotnym ( w podanym przykładzie ∆N = - 1, ponieważ przyjmujemy, ze proces prosty – jest to proces anihilacji ) Tak jak poprzednio nie rozpatrując rozszerzania się Wszechświata, zapiszmy dla n(t ) równanie :
dn/dt = ∆N ( Γ+ − Γ- ) (5.50)
( przypominamy, że Γ± - jest prędkością procesów w jednostkowej objętości )
W stanie równowagi termodynamicznej energia swobodna ma minimum N, dlatego w równowadze : ( ∆F )eq = (∂F/∂N)eq ∆N = 0
W pobliżu równowagi termodynamicznej ∆F jest proporcjonalna do odchylenia n od wartości równowagowej neq , tak że :
∆F = - α( n – neq ) gdzie : α - stała dodatnia.
Z uwzględnieniem tego równanie (5.50) przyjmie postać :
dn/dt = (α/T )∆N Γeq ( n – neq ) (5.51)
Ponieważ w równowadze termodynamicznej n nie zależy od czasu, tj. : dneq /dt = 0
ostatnie równanie można zapisać w postaci :
d( n – neq )/dt = (α/T )∆N Γeq ( n – neq ) (5.52)
Stąd widać, ze przybliżenie do równowagi ma charakter wykładniczy ( zauważmy, ze praw część (5.52) jest zawsze ujemna : przy n > neq proces prosty, to proces ze zmniejszaniem n , tj. ∆N < 0 i odwrotnie )
W podanym wyżej przykładzie ośrodka symetrycznego z cząstkami X i X- ich koncentracja przy T << mX zadana jest przez wzór (5.18) i niezerowymi µX i µX- dlatego :
nX = nX- = exp( µX /T ) nXeq
Zatem, w pobliżu równowagi tj. przy µX << 1 mamy ( z uwzględnieniem (5.48)) :
∆F = - 2µX = - 2T[ ( nX – nXeq )/ nXeq ]
Stąd α = 2T / nXeq i z uwzględnieniem ∆N = - 1, przybliżenie do równowagi opisywane jest przez równanie :
d( nX – nXeq )/dt = -2( Γeq /nXeq ) ( nX – nXeq ) (5.53)
Na zakończenie uwzględnimy, to że tempo procesów anihilacji w jednostkowej objętości w stanie równowagi jest równo Γeq = ΓX, eq nXeq
gdzie :
ΓX, eq = τX-1 - czas życia cząstek X w ośrodku Otrzymujemy zatem :
d( nX – nXeq )/dt = -2ΓX, eq ( nX – nXeq )
Wynik ten można otrzymać również sposobem elementarnym. W ośrodku o koncentracji cząstek nX i koncentracji antycząstek nX- prawdopodobieństwo anihilacji w jednostce czasu cząstki X z antycząstką X- jest równe : ΓX = σanihilacja nX- vX
gdzie : v X – prędkość cząstek X, σanihilacja – przekrój anihilacji ( w czasie τX = ΓX-1 cząstka o polu przekroju poprzecznego σanihilacja spotka na swojej drodze dokładnie jedną antycząstkę X- ).
Dlatego prawdopodobieństwo procesu :
Γ+ = ΓX nX = σanihilacja nX- vX nX = Γeq (nX- / nX-eq
) (nX /nX-eq )
Prawdopodobieństwo procesu odwrotnego tworzenia się X-X- –par nie zależy od tego, ile w rzeczywistości jest cząstek X w danym ośrodku, dlatego jest ono równe :
Γ- = Γeq
| << nX stąd właśnie wynika równanie (5.53).
W przypadku rozszerzającego się Wszechświata równanie (5.50) przestaje być słuszne. Jeśli Wszechświat rozszerza się, pozostając przy tym jednorodny ( warunek ten jest konieczny, ponieważ mogą wystąpić etapy ewolucji Wszechświata na których czasowo przestaje on być jednorodny. Przykładami mogą być przejścia fazowe pierwszego rodzaju – zobacz rozdział 10 ), a N – jest parametrem typu liczby cząstek, to jego gęstość zmniejsza się jak 1/a3 nawet przy wykluczonych wolnych procesach , właśnie w wyniku rozszerzania się Wszechświata. W tym przypadku ma sens rozpatrywanie wielkości N we współporuszającej się objętości , N ∝ na3
Równanie dla tej wielkości będzie miało postać :
d(na3 )/dt = ∆N( Γ+ − Γ- ) a3 (5.54)
gdzie : Γ+ i Γ- - tak jak poprzednio są prędkościami wolnych procesów w jednostce czasu i w jednostce objętości fizycznej, między którymi w przypadku ogólnym istnieje zależność (5.47).
Oczywiście zarówno Γ+ jak i Γ- same zależą od czasu, np. w wyniku zmniejszania się temperatury związanej z
rozszerzaniem się Wszechświata . W pobliżu stanu równowagi termodynamicznej równanie (5.51) możemy uogólnić na przypadek rozszerzającego się Wszechświata w następujący sposób :
d(na3 )/dt = (α/T) ∆N Γeq ( n − neq ) a3 (5.55)
Równanie (5.54) – jest to uproszczone równanie Boltzmanna w rozszerzającym się Wszechświecie.
W przedstawionej książce będziemy nie raz wykorzystywali równania podobnego typu oraz ich prostymi uogólnieniami.
************************************************************************************************
Papapetrou Schrödingera Lanczosa Codazzi’ego Schwarzschilda
Möbiusa Liouville’a Lemaitre’a Eddingtona-Finkelsteina Chandrasekhara Boyera-Lindquista Reissnera-Nordströma Weinberga–Salama–Glashowa Fraunhofera , Fresnela Huygensa Eötvösa
Yanga-Millsa Rømer Coulomb Foucault Codazzi’ego – Mainardi’ego Raychaudhuri Lipschitza Rarity-Schwingera de Broglie’a Gell-Manna – Nishijimy Laguerre’a Legendre’a Clebscha-Gordana Wignera-Eckarta Rarity-Schwinger’a Warda-Takahashi’ego Friedmanna-Robertsona-Walkera
( ΩM = 0,24 , ΩΛ = 0,76 , Ωcurv = 0 )
Å 7,297 • 10-3 ≈ 1 xµα ℵ ∇ Ħ ^ ψł = Єł ψł x1• = x12 , x2• = R1 × S2. x• ≡ X(x )
£f ( Ψ(x), ∂µΨ(x) ) a† ħ Aµ(x) A∂↔B = (∂µA) B – A (∂µB) Aµ⊥ = SU(2)×U(1) r → ∞ Ŧ Ħ Ə(ℵ1) Ə0 i Ə0- . GL( n , C ) i GL( n , R ) Ta1...ar b1...bs dxi1 ∧ dxi2 ∧ ... ∧ dxir =
ΣΣΣΣ
q- i ( ( L1, ... ,L2k ) ∇X K ч = ш ⊕ ғ ~⊕ Ə ŋ – џ grupy C Є ŧ Txℵ1 → Txℵ2 Tp*ℵ /∂£ξ bαβ xµ eα xµα ℵ1 → ℵ2 Σ ∇eα θ Ta |τσ = Tb Ta |b |τ σ ( f ° φ)| t= 0 Γ’ λµν (x’) = Γλ
µν (x) + εΓλ µν |τ
σ ξσ, τ - εξλ
, µ ,ν ( u • v) ∇F
u f ∇u u, r → ∞ φ* : Tp*ℵ1 → Tφ*ℵ2 ds2 = gµν θµ θν , g = gµν θµ ⊗θν Σt : £ξ (∂ℑ/∂£ξ AB- ) = 3δℑ/δAB- φ : ℵ1 → ℵ2 δβ1
[ α1δβ2α2 …. δβAαB ] ;
∫
sqrt( ± ds2 ) ℘ := πB- £ξ AB- – ℑ ξσ, τ - dα = αν1...νp, µ dxµ∧ dxν1 ∧ ... ∧ dxνp Єτ + Ŋ v▲G := ¥ µ ¥ µ ) f0 ° φ ( £uv )α = vα ,β uβ - uα ,β vβ = [ u, v]α χ•ij − χip χ ∮ √b bij bkL ∂Σt →∞∮
√b∫ ∮
2Rαβγδ = v▲ £τ Ŋ = £τ Є – ½ Ŋµ Ŋν Dµν Ωµ
αΨΨΨΨ’a Xr )ΨΨΨΨ’a Xr ) Xr )
⊕ Ch~ , A1 ⊕ Ch~ , џ = Cℑ( r (ŋ) ) = џ’ ⊕ Ch~ , = C ( r (ŋ) ) r(grupy C Є
************************************************************************************************