Otrzymać wyniki z poprzednich zadań, wychodząc z równania (4.57)

Obecnie będzie nas interesował odwrotny reżim m2 >> H2. W tym przypadku możemy zaniedbać człony rzędu H2 w nawiasie kwadratowym (4.57), zatem rozwiązanie ma postać χ = const. cos(mt + β), gdzie β - dowolna faza.

Zatem przy m2 >> H2 przybliżenie ku minimum następuje według prawa :

ϕ(t) = ϕ* [ cos(mt + β)/ a3/2(t)] (4.58)

gdzie ϕ* - pewna stała.

Pole oscyluje w pobliżu minimum ze zmniejszającą się amplitudą. Zauważmy, że względna zmiana amplitudy za okres oscylacji co do rzędu wielkości jest równa :

(a^• /a )(1/m) ~ H/m

i jest mała w interesującym nas przypadku m >> H.

Rozwiązanie (4.58) można otrzymać również z rozważań energetycznych. W jednorodnym I izotropowym Wszechświecie o metryce (4.48) działanie (4.47) w przypadku słabego masywnego pola skalarnego ma postać : Przy czynniku skalowym nie zależnym od czasu, energia jest zachowana :

- gdzie przyjmujemy pole jako jednorodne ( tak jak I wszędzie w tym rozdziale).

Przy tym rozwiązania równania pola oscylują z częstością m, tj. ϕ∝ cos(mt + β). Przy wolnej ( adiabatycznej ) zmianie a w czasie, oscylujący charakter rozwiązań jest zachowany ( oczywiście tylko w przybliżeniu ) jak to wiadomo z MK zachowana jest również energia. Stąd wynika, że :

a3(t) ( ½ ϕ^•2 + ½ m2ϕ2 ) = const. (4.59)

To oznacza, ze amplituda pola spada jak a-3/2 tj. dochodzimy do rozwiązania (4.58). Zauważmy, że przybliżone prawo zachowania (4.59) odpowiada zachowaniu energii w współporuszającej się objętości, które jest również przybliżone.

Zauważmy jeszcze, ze w przypadku ogólnym dowolnie szybkiej zmiany a(t) nie istnieje nawet przybliżona całka ruchu typu energii : w zewnętrznych polach zależnych od czasu ( w danym przypadku a(t) )energia nie jest zachowana.

Mówienie o energii w całym Wszechświecie ( z uwzględnieniem energii pola grawitacyjnego ) nie ma sensu, bowiem w OTW takiej całki nie ma. ( W OTW tym niemniej można wprowadzić pojecie energii całkowitej ( z uwzględnieniem pola grawitacyjnego) w przypadkach specjalnych, jednym z których jest asymptotycznie płaska CP. Dlatego też pojęcie energii (masy ) ciała ciążącego, daleko od którego CP jest opisywana przez geometrię Minkowskiego jest dobrze określone )

Na zakończenie tego rozdziału znajdziemy tensor TEP pola skalarnego w różnych reżimach. Ogólne wyrażenie dla TEP teorii o działaniu (4.47) ma postać :

Tµν = (2/ √−g ) δS/δgµν = ∂µϕ∂νg – gµν £ (4.60)

W przypadku jednorodnego pola z potencjałem V(ϕ) w układzie lokalnie lorentzowskim ( tj. zakładając chwilową wartość gµν w (4.60) równe ηµν ) mamy następujące wyrażenia dla niezerowych składowych TEP :

W reżimie wolnego staczania z uwzględnieniem (4.51) mamy :

ϕ^•2 ~ V’2/ H2 << V’ϕ (4.62)

gdzie dla nierówności uwzględniliśmy (4.52).

Dla potencjałów potęgowych słuszne jest V’ϕ ~ V, dlatego z (4.62) otrzymujemy : ϕ^•2 ~ V

Zatem w reżimie wolnego staczania :

ρϕ ≈ - pϕ ≈ V(ϕ) (4.63)

tj. Równanie stanu w przybliżeniu pokrywa się z równaniem próżniowym p ≈ -ρ ( chociaż jak widać z (4.61), zawsze ma miejsce nierówność p > - ρ ).

W reżimie szybkich oscylacji wokół minimum potencjału skalarnego wykorzystujemy (4.55) i z uwzględnieniem (4.58) otrzymujemy :

Gdzie ponownie wykorzystaliśmy zależność H << m.

Uśrednione przez jeden okres oscylacji wartości gęstości energii i ciśnienia są zatem równe :

Zatem, uśredniony za jeden okres TEP koherentnych oscylacji jednorodnego pola skalarnego pokrywa się z TEP nierelatywistycznej materii ; ciśnienie jest równe zero, a energia spada jak 1/a3(t).

Jak już mówiliśmy, ta ostatnia własność odpowiada zachowaniu energii w objętości współporuszającej się ( zobacz (4.59)).

Z punktu widzenia KTP jednorodne oscylujące pole (4.58) można przyjąć jako zbiór spoczywających cząstek swobodnych o masie m znajdujących się w stanie koherentnym. Gęstość liczby takich cząstek jest równa : n = ρ/m = ½ m2 ϕ*2 a-3(t)

Podobnie jak i dowolna gęstość liczby nieoddziałujących cząstek, n(t ) zanika jak 1/a3(t). Równość zero ciśnienia w naturalny sposób możemy interpretować jako przejaw tego faktu, ze cząstki będąc w spoczynku są oczywiście nierelatywistyczne.

4.8.2 Przyspieszone rozszerzanie się Wszechświata w wyniku działania pola skalarnego.

Przyspieszone rozszerzanie się Wszechświata we współczesnej epoce można wyjaśnić wprowadzając pole skalarne ϕ ( kwintesencje ) z działaniem (4.47) i odpowiednio dobranym potencjałem V(ϕ) oraz współczesną wartością pola ϕ, tak aby ewolucja pola ϕ(t) następowała obecnie z reżimie wolnego staczania. Przy tym koniecznym jest założenie, że pole ϕ jest jednorodne w przestrzeni. Takie warunki brzegowe wynikają w sposób naturalny z teorii inflacyjnej, dlatego nie stanowią one szczególnych trudności.

W reżimie wolnego staczania efektywne równanie stanu dla pola skalarnego ma postać pϕ ≈ - ρϕ ( zobacz (4.63)) Dlatego Wszechświat rzeczywiście rozszerza się z przyspieszeniem, jeśli tylko dominujący wkład do gęstości energii wnosi samo pole skalarne. Znajdziemy teraz przy jakich warunkach reżim wolnego staczania rzeczywiście się realizuje.

Dla określoności przyjmiemy, że przy współczesnej wartości ϕ główny wkład do V(ϕ) jest potęgowy , tj. V(ϕ) ∝ϕk i

| k | nie jest zbyt duże. Wtedy warunek wolnego staczania ma postać (4.53). Ponieważ gęstość energii we Wszechświecie określona jest głownie przez gęstość energii pola skalarnego, to równanie Friedmanna przyjmuje postać :

H2 = 8πρϕ /3MPl2 = 8πV(ϕ ) /3MPl2 (4.65)

gdzie wykorzystaliśmy (4.63).

Kombinując (4.53) i (4.65) otrzymujemy :

ϕ >> MPl (4.66)

Jest to właśnie warunek wolnego staczania ( dla potencjałów potęgowych )

Nie bacząc na to, ze wartość pola ϕ obecnie jest nadzwyczaj wielka, sam potencjał V(ϕ) powinien być przy tym bardzo mały :

V(ϕ) ~ ρc

( ściśle V(ϕ) = 0,76 ρc ). Dla potencjału potęgowego ( i nie tylko potęgowego ) oznacza to, że potencjał powinien być nadzwyczaj płaski. Przykładowo, w przypadku V(ϕ) = m2ϕ2 wymagamy :

m <~ √ρc / MPl ~ 10-33 [eV]

a w przypadku V(ϕ) = λϕ4 wymagamy : λ <~ 10-122

Zatem, idea o kwintesencji pracuje tylko przy nadzwyczaj egzotycznych założeniach dotyczących potencjału skalarnego przy wartościach pól ϕ ~> MPl.

Pozytywem teorii kwintesencji jest to, że w zasadzie jest ona możliwa do sprawdzenia z pomocą obserwacji kosmologicznych. W przypadku kwintesencji zależność p = -ρ dla ciemnej energii nie jest ścisłe i dlatego ewolucja Wszechświata przyszłości, ogólnie mówiąc różni się od ewolucji Wszechświata ze stałą kosmologiczną.

Zadanie 13. W przypadku potencjału V(ϕ) = ½ m2ϕ2 znaleźć współczesną wartość parametru w, wchodzącego do równania stanu p = wρ, w zależności od współczesnej wartości ϕ = ϕ0. Dobrać wartość ϕ0 tak, aby współczesna wartość w była równa w0 = 0,9 ; znaleźć w(z) jako funkcje przesunięcia ku czerwieni przy 2 < z < 0.

Podpowiedź. Przyjąć, ze współcześnie Ωϕ ≡ ΩΛ = 0,76 , ΩM = 0,24 ; wykorzystać ten fakt, ze zmiana pola skalarnego w czasie jest wolna.

Zadanie 14. Przy warunkach z zadania 13 oraz z w0 = 0,9 znaleźć zależność liczbową rph(z ) odległości fotometrycznej od przesunięcia ku czerwieni ( zobacz podrozdział 4.6 ). Narysować wykres, analogiczny do rys. 4.2 i porównać z wykresem ΩM = 0,24 , ΩΛ = 0,76 dla Λ zależnego od czasu.

Zauważmy, ze w modelach z kwintesencją przyszłość Wszechświata, ogólnie mówiąc, jest różna od przyszłości Wszechświata z stałą kosmologiczną ( zobacz uwaga we wstępie ). Szczególnie mocno taką różnicę widać dla modeli w których staczanie pola ϕ(t) następuje do ujemnych wartości potencjału V(ϕ); w tym przypadku rozszerzanie

Wszechświata może zamieniać się w kurczenie.

Zadanie 15. Przyjmując, ze współcześnie ϕ = ϕ0 >> MPl , przeanalizować przyszłość Wszechświata w przypadku potencjału V(ϕ) = ½ m2ϕ2 + εϕ, gdzie ε << m2 MPl – mały parametr, m jest takie, że V(ϕ0 ) ~ ρc.

Podpowiedź. Wykorzystać wyniki podrozdziału 4.8.1.

Należy podkreślić, że modele z kwintesencją, ogólnie mówiąc, nie dają rozwiązania problemu stałej kosmologicznej.

Przyjmują one tylko podział tego problemu na dwie części – na pytanie o to, dlaczego „właściwa” stała kosmologiczna ( energia próżni ) jest równa zero i pytanie dlaczego jest tak mała gęstość ciemnej energii – kwintesencji. Odpowiedzi na pytanie pierwsze modele z kwintesencją nie udzielają, pytanie drugie związane jest z naturalnością doboru parametrów potencjału skalarnego. Oprócz tego, w modelach z kwintesencją istnieje pytanie o to, co zapewnia „prawidłową”

współczesną wartość pola skalarnego. Możliwą odpowiedź na to pytanie dają modele „pola śledzącego”, które zamierzamy właśnie omówić.

4.8.3 Pole śledzące.

Rozpatrzmy jedną z klas modeli kwintesencji – model pola śledzącego ( tracker ). Potencjał pola skalarnego wybierzemy w postaci ( Z punktu widzenia fizyki cząstek, takie potencjały są bardzo egzotyczne ) :

V(ϕ) = Mn+4 / nϕn

Gdzie : M – parametr wymiaru masy, n > 2 – parametr liczbowy.

W epoce dominacji promieniowania lub pyłowym, kiedy a(t ) ∝ tα , równanie pola skalarnego (4.50) ma postać :

ϕ^•• + 3(α/t )ϕ^• – Mn+4 / ϕn+1 = 0 (4.67)

Ma ono specjalne „śledzące“ rozwiązanie ( tracker solution ) :

ϕ(tr )(t ) = CM1 + ν tν (4.68)

gdzie :

ν = 2 / n + 2 (4.69)

C = C(n, α) określamy z równania (4.67).

Zadanie 16. Pokazαć, że (4.68) w istocie jest rozwiązaniem równania (4.67). Znaleźć funkcje C(n, α), wchodzącą do (4.68).

Rozwiązanie (4.68) jest atraktorem – jeśli w chwili początkowej ti pole ϕi było mniejsze, niż rozwiązanie (4.68) w tej chwili ϕi < ϕ(tr)(ti ), to siła spychająca :

F(ϕ) ≡ - V’(ϕ) = Mn+4 / ϕn+1

Przewyższa siłę spychającą na rozwiązaniu (4.68) w początkowych i późniejszych chwilach czasu : F( ϕ(t)) > F( ϕ(tr)(t ))

Dlatego rozwiązanie o wartości początkowej ϕi < ϕ(tr)(ti ) dogania rozwiązanie śledzące (4.68). I odwrotnie,

rozwiązanie z ϕi > ϕ(tr)(ti ), stacza się wolniej, niż rozwiązanie śledzące i to ostatnie dościga rozwiązanie z wartością początkową ϕi. To właśnie oznacza, ze rozwiązanie (4.68) jest atraktorem – w wystarczająco szerokie klasie danych początkowych rozwiązania dążą do (4.68) przy dużych czasach; a ewolucja pola ϕ w istocie nie zależy od danych początkowych i opisywana jest przez rozwiązanie (4.68).

Dla rozwiązania (4.68) słuszne jest ( oznaczenie (tr) dalej opuszczamy ) : ϕ^•2 ~ V(ϕ) ∝ 1/t2 –2ν

Po pierwsze widać, ze pole ewoluuje nie w reżimie wolnego staczania, a po drugie, gęstość energii ρc ( zobacz (4.61) zmniejsza się z czasem wolniej, niż gęstość energii dominującej materii ( promieniowania lub pyłu ) :

ta ostatnia ubywa jak H2 ∝ t–2 Względna zawartość pola ϕ do całkowitej gęstości energii wzrasta z czasem jak t2ν. Po trzecie, ponieważ a ∝ tα , to otrzymujemy :

ρϕ ∝ 1 /a( 2 – 2ν)/α

Uwzględniając zależność (3.38), otrzymujemy następujące wyrażenie dla parametru wϕ wchodzącego do efektywnego równania stanu pola śledzącego pϕ = wϕ pϕ :

wϕ = - 1 + 2/3( 1 – ν/α )

Wykorzystując (4.69) i wyniki podrozdziału 3.2.4, otrzymujemy :

wϕ = w( n/ n + 2 ) – (2 / n + 2 ) (4.70)

gdzie w – parametr równania stanu dominującej materii ( w = 1/3 i w = 0 odpowiednio dla promieniowania i pyłu ).

Zatem, równanie stanu pola śledzącego zależy od równania stanu dominującej materii. Stąd właśnie pochodzenie terminu

„pole śledzące”. Zauważmy, że przy dużych n równanie stanu pola śledzącego jest bliskie równaniu stanu dominującej materii wϕ ≈ w.

Zadanie 17. Obliczając ciśnienie i gęstość energii poprzez podstawienie rozwiązania (4.68) do wyrażenia (4.61),