Termodynamika w rozszerzającym się Wszechświecie
Zadanie 3. Znaleźć różnicę gęstości cząstek i antycząstek ( asymetrię ) dla wszystkich typów ultrarelatywistycznych cząstek w równowagowym, elektrycznie neutralnym ośrodku przy temperaturze T = 400 [MeV], przyjmując jako znaną
gęstość liczb – barionowej i leptonowej nB , nLe, nLµ , nLτ, przy czym nB , nLe, nLµ, nLτ<< T3
Podpowiedzi. 1) Uwzględnić, że przy takiej temperaturze relatywistycznymi są kwarki u, d, s, gluony, fotony, elektron, mion oraz wszystkie typy neutrin, a pozostałe cząstki modelu standardowego są nierelatywistyczne.
2) Uwzględnić, że neutrina mają jedną spiralność, a pozostałe fermiony – dwie 3) Uwzględnić, że kwarki mają trzy stany kolorowe.
Na marginesie podamy wartości pewnych całek występujących w niniejszym rozdziale.
1)
∞
∫
dz / ez + 1 = ln(2) 02) Dla całkowitych liczb naturalnych n :
∞
gdzie ζ(x) – funkcja dzeta Riemanna, której wartości szczególne są równe : ζ(3) = 1,202 , ζ(5) = 1,037 , ζ(3/2) = 2,612 , ζ(5/2) = 1,341
Przypomnijmy, ze dla całkowitych i dodatnich n słuszne jest : Γ(n ) = ( n – 1 )!
Wartości funkcji gamma przy dowolnych połówkowych x można znaleźć wychodząc z następującej wartości : Γ( ½ ) = √π
a następnie wykorzystując własność : Γ( 1 + x ) = xΓ(x)
5.2 Entropia w rozszerzającym się Wszechświecie. Stosunek barionowy.
Jedną z podstawowych charakterystyk termodynamicznych danego układu jest jego entropia. Ponieważ mamy zamiar stosować prawa termodynamiczne do rozszerzającego się Wszechświata, użytecznym będzie omówić własności entropii w takim układzie. Przypomnijmy, że w termodynamice klasycznej pojęcie entropii pojawia się w pierwszej zasadzie termodynamiki. W ogólnym przypadku zmiennej liczby cząstek przyrost energii wewnętrznej dE ma postać :
dE = TdS – pdV +
ΣΣΣΣ
µA dNi (5.23)i
gdzie S – jest entropią układu, a indeks I oznacza rodzaj cząstek; w dalszej części indeks ten i sumowanie względem niego będziemy opuszczali ( tam gdzie to możliwe ).
Energia wewnętrzna oraz liczba cząstek są charakterystykami ekstensywnymi tj. zmieniają się one liniowo ze zmianą objętości, a temperatura i ciśnienie są charakterystykami lokalnymi, niezależnymi od objętości układu. Dlatego z pierwszej zasady termodynamiki (5.23) wynika, że entropia jest wielkością ekstensywną. W związku z tym dogodnie jest przejść od energii, liczby cząstek i entropii do ich gęstości :
ρ ≡ E/V , n ≡ N/V , s ≡ S/V (5.24)
Biorąc różniczki od równości (5.24), otrzymamy :
dE = ρ dV + Vdρ (5.25)
dN = n dV + Vdn (5.26)
dS = s dV + Vds (5.27)
Podstawiając wyrażenie (5.25), (5.26) I (5.27) dla różniczek do równania (5.23), dochodzimy do następującej formy zapisu pierwszej zasady termodynamiki :
( Ts – p – ρ + µn)dV + ( Tds – dρ + µdn)V = 0 (5.28)
Zależność ta może być zastosowana zarówno do całego układu jak i jego dowolnej części.
My zastosujemy ją do obszaru o stałej objętości wewnątrz układu otrzymując : T ds = dρ – µ dn
Teraz można zastosować (5.28) do całego układu, którego objętość zmienia się i znaleźć szukane wyrażenie dla gęstości entropii :
s = p + ρ – µn/ T
W charakterze ważnego przykładu rozpatrzymy na początku ultrarelatywistyczną materię o zerowych potencjałach chemicznych, dla której :
s = p + ρ / T (5.29)
Wykorzystując to równanie i wyrażenia dla ρ i p, otrzymane w poprzednim rozdziale, dochodzimy do następujących wyrażeń dla wkładów cząstek i-tego typu do gęstości entropii :
si = 4/3 ρi/ T = { gi (4π2/90) T3 – Bose (5.30) { 7/8 gi (4π2/ T3 ) – Fermi
Porównując te wyrażenia z wyrażeniami (5.16) dla gęstości liczby cząstek, widzimy, że w przypadku
ultrarelatywistycznym gęstość entropii i gęstość liczby cząstek różnią się tylko o liczbowy mnożnik rzędu jedności.
Dla składowej nierelatywistycznej wykorzystamy równości (5.19) i (5.20) i zapiszemy : si = 5/2 ni + ( mi – µi / T ) ni
Wykluczymy z tego wyrażenia potencjał chemiczny z pomocą (5.18) otrzymując ostatecznie : si = ni { 5/2 + ln[ (gi /ni )( miT/2π )3/2 ]}
W ośrodku kosmicznym gęstość liczby nierelatywistycznych cząstek jest mała w porównaniu z gęstością liczby fotonów;
przy temperaturach T <~ 100 [MeV], kiedy protony i neutrony są nierelatywistyczne ich gęstość ni ~ 10-9 nγ. Taka ocena jest słuszna dla elektronów, które są nierelatywistyczne przy T <~ 0,5 [MeV].
Zatem, możemy zaniedbać nierelatywistyczne wkłady do entropii i całkowita gęstość entropii zadana jest wzorem : s = g
* (4π2 /90 )T3 (5.31)
gdzie efektywna liczba relatywistycznych stopni swobody g
* określona jest przez wzór (5.14).
Jedną z kluczowych własności entropii, powodującą jej ważność w termodynamice, jest druga zasada termodynamiki, zgodnie z którą entropia układu zamkniętego nie zmniejsza się w ciągu trwania procesu fizycznego i pozostaje stałą dla procesów odwracalnych tj. procesów na tyle wolnych, że układ cały czas znajduje się w stanie równowagi
termodynamicznej. Słuszność tej własności jest nieoczywista dla materii w rozszerzającym się Wszechświecie ponieważ oprócz materii we Wszechświecie istnieje również pole grawitacyjne, tak więc plazma sama w sobie nie tworzy układu zamkniętego.
Zastanowimy się teraz jak zmodyfikować prawo zachowania entropii w rozszerzającym się Wszechświecie ( przyjmując rozszerzanie jako proces równowagowy ). W tym celu powrócimy do zależności (5.23) i uwzględnimy w jawny sposób to że potencjały cząstek i antycząstek są równe co do wielkości przeciwne co do znaku. Zapiszemy wtedy :
dE = T dS – p dV +
ΣΣΣΣ
µ ( dN – dN- ) (5.32)gdzie : N- - liczba antycząstek, a sumowanie prowadzimy po wszystkich typach cząstek.
Przy równowagowym rozszerzaniu zależność (5.32) można zastosować do objętości współporuszającej się, V ∝ a3 przy tym ( N – N- ) w objętości współporuszającej się jest zachowana ( Jeśli chcielibyśmy być bardziej dokładni, to we wzorze (5.32) pod ( N – N- ) należy rozumieć zachowane liczby kwantowe, a pod µ - potencjały chemiczne stosowane do tych cząstek, zobacz (5.3) )
T dS = ( p + ρ )dV + Vdρ (5.33)
Przyczyną zmiany objętości współporuszającej się i charakterystyk ośrodka jest rozszerzanie się wszechświata, dlatego zależność (5.33) należy rozumieć jako :
T (dS/dt ) = a3 [ (p + ρ) 3(a•/a ) + ρ• ]
Gdzie S = są3 – entropia w objętości współporuszającej się.
Przypomnimy teraz prawo kowariantnego zachowania energii w rozszerzającym się Wszechświecie ( zobacz równanie (3.11)) :
ρ• + 3(a•/a )( ρ + p ) = 0 (5.34)
i otrzymamy :
s• + 3(a•/a )s = 0 (5.35)
Zatem, całkowita entropia w objętości współporuszającej się :
sa3 = const. (5.36)
Zatem, kowariantne prawo zachowania energii w przypadku równowagowego rozszerzania się ma prosta interpretacje – przedstawia on prawo zachowania entropii w objętości współporuszającej się.
Ocenimy gęstość entropii Wszechświata we współczesnej epoce. W tym celu przypomnimy, że Wszechświat wypełniony jest CMB – gazem fotonów o temperaturze :
T0 = 2,725 K
Gęstość entropii dla gazu fotonowego zgodnie ze wzorem (5.30) jest równa :
sγ = (8π2/90 ) T03 ≅ 1,5 • 103 [1/cm] (5.37)
Wkłady innych typów cząstek ( w tym neutrina ) dla grubej oceny możemy zaniedbać. Wykorzystując wynik (5.37), możemy ocenić całkowitą entropie widocznej części Wszechświata. Rozmiar widzialnej części Wszechświata ma wartość lH,0 ~ 1028 [cm], tak że dla całkowitej entropii otrzymujemy :
Sγ = (4π/3) sγ lH,03 ~ 1088
Widać, że entropia widzialnej części Wszechświata – jest bardzo dużą liczbą bezwymiarową. Jeśliby w procesie
rozszerzania całkowita entropia pozostawałaby zachowana, to w chwili swoich narodzin Wszechświat powinien posiadać taką właśnie entropię. Zatem, w standardowym scenariuszu gorącego BB spotykamy się z koniecznością włączenia do warunków początkowych rozszerzania Wszechświata gigantyczny bezwymiarowy parametr rzędu 1088. Powrócimy do tego problemu i omówimy możliwość jego rozwiązania w ramach modelu inflacyjnego w drugiej części książki.
Zachowanie entropii we współporuszającej się objętości można wykorzystać po to, aby wprowadzić ilościowe, niezależne od czasu charakterystyki asymetrii Wszechświata ze względu na różne zachowane liczby kwantowe.
Przykładowo, w obecnej chwili we Wszechświecie istnieją cząstki niosące dodatnią liczbę barionową – protony i neutrony i nie występują cząstki z ujemną liczbą barionową. Zatem, we Wszechświecie istnieje niezerowa gęstość liczby barionowej. Ponieważ przy temperaturach poniżej setek GeV procesy z naruszeniem liczby barionowej nie występują – całkowita liczba barionowa we współporuszającej się objętości pozostaje stała przy rozszerzaniu się Wszechświata poczynając w skrajnym przypadku od T ~ 100 [GeV] ( Nie rozpatrujemy tutaj możliwości generacji asymetrii barionowej przy niższych temperaturach. Taka możliwość istnieje np. w scenariuszu Afflecka-Dayna ( zobacz podrozdział 11.6)). Innymi słowy, słuszna jest równość :
( nB – nB- )a3 = const. (5.38)
gdzie : nB , nB- - gęstość liczb barionów i antybarionów.
Porównując zależności (5.36) i (5.38), widzimy, że stosunek :
∆B = ( nB – nB- )/s (5.39)
jest stałą w czasie liczbową charakterystyką asymetrii barionowej Wszechświata.
Wybiegając nieco do przodu, podamy teraz ocenę liczbowej wartości asymetrii barionowej Wszechświata. Kiedy w kosmologii mamy do czynienia ze stosunkowo niskimi temperaturami ( T <~ 1 [MeV] ), tradycyjnie wykorzystuje się stosunek barionowo-fotonowy :
nB = nB /nγ
gdzie : nγ - gęstość liczby fotonów.
Wielkość ta pozostaje stała w ciągu ewolucji Wszechświata, poczynając od temperatury rzędu 1 [MeV] i różni się od barionowej asymetrii ∆B liczbowym współczynnikiem rzędu jedności. Współczynnik ten związany jest zarówno z liczbową różnicą nγ od entropii fotonów sγ ( zobacz (5.16) i (5.31)), jak i wkładem neutrin do entropii Wszechświata ( zobacz rozdział 7 ). Przy T <~ 1 [MeV] gęstość entropii we Wszechświecie jest równa :
s = (4π2 /90) ( 2 + 7/8 • 2 • 3 • 4/11 )T3 (5.40)
gdzie pierwszy i drugi człon w nawiasie odpowiadają wkładom fotonów i neutrin, przy czym temperatura neutrin
związana jest z temperaturą fotonów Tγ ≡ T poprzez zależność (4.14); pochodzenie czynnika 7/8 • 2 • 3 - jest takie samo jak w (4.15). Dla dalszego wykładu użytecznym będzie zauważyć, ze współczesna wartość gęstości entropii jest równa ( Pewna subtelność związana jest z tym, że fotony i neutrina są swobodne we współczesnym wszechświecie, w skrajnym przypadku fakt, że dwa typy neutrin mają masy przekraczające Tν,0 nie jest tutaj istotna, ponieważ we współczesnym Wszechświecie funkcja rozkładu fotonów i neutrin względem pędów ma postać termiczną i ultrarelatywistyczną ( zobacz podrozdział 2.5). Jeśli dążyć do ścisłości, to prawą część (5.40) należy przyjąć jako definicje wielkości s we
współczesnej epoce, jak również na wystarczająco późnych etapach ewolucji )
s0 = 2,9 • 103 [1/cm] (5.41)
Zatem otrzymujemy :
∆B = nγ nB /s = nB [ 2ζ(3)/π2 ] / (4π2 /90) ( 2 + 7/8 • 2 • 3 • 4/11 ) = 0,14 nB
Ścisła wartość stosunku barionowo-fotonowego może być wyprowadzona z rozkładu pierwotnych elementów we Wszechświecie ( zobacz rozdział 8) oraz z pomiaru anizotropii CMB. Te dwa niezależne sposoby dają dobrze zgodne między sobą wyniki i prowadza do wartości :
nB = ( 6,10 ± 0,20 ) • 10-10 (5.42) Z użyciem asymetrii barionowej mamy :
∆B = 0,87 • 10-10
Jak już mówiliśmy w podrozdziale 1.5.5 w gorącym Wszechświecie ( przy T ~> 1 [GeV] ) co do rzędu wielkości mamy :
∆B ~ ( nq – nq- )/ ( nq + nq- ) (5.43)
gdzie : nq i nq- - są odpowiednio gęstościami kwarków i antykwarków, przy czym nq ≈ nq- ~ s
Zatem, parametr ∆B pokazuje jaka cześć ogólnej liczby kwarków stanowi nadwyżka nad antykwarkami.
Widzimy, że taka nadwyżka jest bardzo mała. Zatem, tak jak twierdziliśmy wcześniej, potencjały chemiczne we wczesnym Wszechświecie były istotnie skrajnie małe.