Koncepcja zmiennych wyprzedzających i naśladujących

Przeprow adzone wcześniej badania nad cyklam i koniunktury dem ograficznej w Polsce pozw oliły na w yodrębnienia zm iennych wyprzedzających um ożliw iających wnioskow anie o zm ianach koniunktury demograficznej. Punktem w yjścia prow adzonych analiz było dokonanie w yboru zm iennej referencyjnej, czyli szeregu podstaw ow ego odzw ierciedlającego główne zm iany w koniunkturze demograficznej. Z m ienną tą była liczba ludności, jak o że niesie w sobie najw ażniejsze informacje dotyczące przem ian dem ograficznych, będące rezultatem zarów no czynników w ew nętrznych (np. liczby urodzeń w ynikających ze zmian

zachowań prokreacyjnych, liczby zgonów wynikających ze zm ian stylu i tem pa życia oraz struktury wiekowej ludności), ja k i zewnętrznych.

W trakcie dalszych badań określono trzy zbiory zm iennych, odnosząc zm iany w czasie tych zm iennych do wyróżnionej zmiennej referencyjnej: wyprzedające, zbieżne i naśladujące.

N ajw ażniejszym zbiorem jest zbiór zm iennych wyprzedzających, czyli zm iennych dośw iadczających poszczególnych faz cyklu koniunkturalnego wcześniej niż zmienna referencyjna. Kształtow anie się zm iennych z tego zbioru stanowiło podstaw ę określenia aktualnej fazy cyklu koniunkturalnego i wyznaczenie prognoz zmiennej referencyjnej.

Badania przyczyn przem ian dem ograficznych zaw ężono do czynników w ew nętrznych, tzn.

w yłącznie zm iennych demograficznych. A zatem uwzględniono następujące zmienne: liczbę urodzeń, liczbę zgonów, liczbę zgonów niem owląt, liczbę zawartych m ałżeństw, liczbę rozwodów, w spółczynnik dzietności oraz średni w iek kobiety w m om encie porodu.

W yspecyfikowane zm ienne stanowiły zbiór potencjalnych zm iennych, w śród których zostały w yróżnione zmienne w yprzedzające i zm ienne naśladujące. W zbiorze zmiennych w yprzedających znalazły się: liczba urodzeń z wyprzedzeniem 20 lat, liczba zgonów z w yprzedzeniem 21 lat, liczba rozw odów z wyprzedzeniem 24 lata i średni w iek kobiety w momencie porodu z wyprzedzeniem 13 lat. Pozostałe zmienne, tj. liczba zawartych m ałżeństw oraz liczba zgonów niem owląt, zostały uznane za zmienne naśladujące wobec zmiennej referencyjnej. O późnienie liczby m ałżeństw w stosunku do zmiennej referencyjnej w ynosiło 14 lat, a liczby zgonów niem ow ląt 25 lat. W rozpatryw anym zbiorze zm iennych nie wyróżniono zmiennej zbieżnej (por. [Krupow icz 2000, s. 103-110], [Krupow icz 2001]).

K ontynuując badania nad cyklicznością przem ian dem ograficznych podjęto próbę znalezienia zm iennych wyprzedających dla liczby urodzeń. Podobnie ja k w e wcześniejszych analizach, przyczyny przem ian procesu urodzeń upatryw ano w yłącznie w czynnikach demograficznych. A zatem liczbę urodzeń traktowano ja k o zm ienną referencyjną, a w zbiorze potencjalnych zm iennych dla w yróżnienia zm iennych w yprzedzających i naśladujących znalazło się 9 zmiennych: liczba kobiet w w ieku rozrodczym 15-49 lat, liczba kobiet w 5- letnich grupach w ieku rozrodczego, średni w iek kobiety w m om encie porodu. Dostępność danych pozw oliła na objęciem badaniem przedziału lat 1960-2005.

Zm odyfikow ane na potrzeby badania postępow anie prow adzące do w yróżnienia zbioru zm iennych w yprzedzających i naśladujących polegało na przeprow adzeniu następujących etapów (por. [OECD 1987], [Krupow icz 2000, s. 102-118]):

1) elim inacji tendencji rozw ojow ych z szeregów czasowych zmiennych; w yznaczono odchylenia bezw zględne dla zmiennej referencyjnej Yj i potencjalnych zm iennych X,:

y i = y t — f ( t ) » O )

x it = x it — (2 )

gdzie: yt - wartość zmiennej referencyjnej Y w okresie t,

f(t) - wartość funkcji trendu zmiennej referencyjnej Y w okresie t, X,, - wartość zmiennej X j w okresie t,

fi(t) - w artość funkcji trendu zmiennej X| w okresie t,

2) określeniu opóźnień lub wyprzedzeń względem zmiennej referencyjnej; obliczono w spółczynniki korelacji pom iędzy odchyleniam i od trendu zmiennej referencyjnej a odchyleniam i od trendu zm iennych ze zbioru potencjalnych zm iennych z uwzględnieniem przesunięć w czasie,

3) ustaleniu klas zmiennych: w yprzedzających, zbieżnych i naśladujących; zastosowano kryterium najwyższej wartości współczynnika korelacji,

4) agregacji zm iennych w yprzedzających w syntetyczną zm ienną wyprzedzającą;

zm ienną tą skonstruow ano jak o średnią arytm etyczną znorm alizow anych wartości zm iennych w yprzedzających z uw zględnieniem przesunięcia szeregów czasowych zm iennych wyprzedzających o wyróżniony okres w yprzedzenia. N orm alizacji zm iennych ze zbioru zm iennych w yprzedających dokonano zgodnie ze wzorami:

Zjt = xit_ ~ x i + |o o , dla 0 < n < 1 (3) x i

Xi ^ i t + 100, dla - 1 < n < 0 (4)

¿lt

gdzie: z\, - wartość znorm alizow ana zmiennej X, w okresie t, x;, - w artość zmiennej Xi w okresie t,

x, - w artość średnia zmiennej Xj,

r, - w spółczynnik korelacji pom iędzy zmienna Y a zm ienną Xj,

5) sprow adzenie zagregowanej zmiennej wyprzedzającej do porównyw alności z szeregiem czasowym zmiennej referencyjnej; postępowano podobnie ja k w etapie pierw szym .

W badanym okresie lat 1960-2005 dla zmiennej referencyjnej - liczby urodzeń oraz dziewięciu potencjalnych zm iennych w yodrębniono funkcje trendu, ich postaci przedstawiono w tabeli 1. W ybrane postaci funkcji trendu odzw ierciedlają długookresow e jednokierunkow e

zm iany w czasie poszczególnych zm iennych, nie uw zględniają jednak falow ania widocznego na w ykresach.

Tabela 1.

O szacow ane funkcje trendu dla poszczególnych zm iennych dem ograficznych w ia ta ch 1960-2005

Zm ienna Postać analityczna funkcji

W spółczynnik determinacji Liczba urodzeń y t = 6 7 7 ,4 9 2 -5 ,3 6 4 t R 2 = 0,407 Liczba kobiet w w ieku rozrodczym x l t = 7615,088 +61,877 t R 2 = 0,884 L iczba kobiet w w ieku 15-19 lat x 2t = 1384,663 + 3,356 t R2 = 0,054 Liczba kobiet w w ieku 20-24 lata x 3t = 1209,252 + 7,821 t R2 = 0,212 Liczba kobiet w w ieku 25-29 lat x 4, = 1165,896 + 7 ,0 1 3 t R 2 = 0,190 Liczba kobiet w w ieku 30-34 lata x 5t = 1145,919 + 6,081 t R 2 = 0,147 Liczba kobiet w w ieku 35-39 lat x 6t = 1077,118 + 7,799 t R 2 = 0,232 Liczba kobiet w w ieku 40-44 lata x 7t = 894,934 + 13,391 t R2 = 0,541 Liczba kobiet w w ieku 45-49 lat x gt = 7 3 7 ,2 7 8 + 16,418 t R2 = 0,677 Średni w iek kobiety w m omencie

porodu x 9t = 27,968 — 0,131 t + 0,003 ■ t 2 R 2 = 0,868 Źródło: obliczenia własne.

N a rysunkach 5 - 7 przedstawiono wartości rzeczyw iste poszczególnych zmiennych oraz odchylenia bezw zględne tych zm iennych od wyodrębnionych tendencji rozw ojow ych w badanym okresie lat 1960-2005. A naliza wartości oraz przebiegu odchyleń od trendu pozwala zaobserwow ać w yraźną cykliczność dla wszystkich zmiennych.

Dla utw orzenia zbioru zm iennych w yprzedzających zastosow ano analizę korelacji, zgodnie z opisem etapu drugiego procedury. W tabeli 2 zestaw iono m aksym alne i minimalne wartości w spółczynników korelacji m iędzy bezw zględnym i odchyleniam i od trendu dla:

zmiennej referencyjnej oraz zm iennych z rozważanego zbioru zm iennych potencjalnych.

Rys. 5. Liczba urodzeń w latach 1960-2005 i odchylenia bezwzględne od wyodrębnionej funkcji trendu

Źródło: Roczniki Demograficzne z lat 1961-2007, obliczenia własne.

Rys. 6. Liczba kobiet w wieku rozrodczym w latach 1960-2005 i odchylenia bezwzględne od wyodrębnionej funkcji trendu

Źródło: Roczniki Demograficzne z lat 1970-2007, Roczniki Statystyczne z lat 1961-1969, obliczenia własne.

« i

Rys. 7. Liczba kobiet 5-letnich grupach wieku rozrodczego i średni w iek kobiety w Momencie porodu w latach 1960-2005 i odchylenia bezwzględne od wyodrębnionej funkcji trendu

Zródlo: Roczniki Demograficzne z lat 1961-2007, Roczniki Statystyczne z lat 1961-1969, obliczenia własne.

U jem na wartość przesunięcia (-p) oznacza, że zm ienna X w yprzedza o p okresów zm ienną referencyjną Y. W artość dodatnia przesunięcia (p) oznacza, że zm ienna X jest opóźniona o p okresów wobec zmiennej referencyjnej Y. W dalszej części artykułu stosow ane będą następujące sform ułowania: w yprzedzenie p - do określenia przesunięcia (-p ) oraz opóźnienie p - do określenia przesunięcia (p).

Tabela 2.

M aksym alne i minim alne w artości współczynników korelacji między zm ienną referencyjną (liczbą urodzeń) a pozostałym i zm iennym i dla w artości odchyleń

bezwzględnych od wyodrębnionych tendencji rozwojow ych Współczynniki korelacji istotne na poziom ie a = 0,05.

Źródło: obliczenia własne.

N a podstaw ie obliczonych w spółczynników korelacji ustalono zbiory zmiennych w yprzedzających i naśladujących wobec zmiennej referencyjnej w raz z w yodrębnieniem w łaściw ego okresu w yprzedzenia i opóźnienia dla każdej z pojedynczych zm iennych. W

zbiorach tych znalazły się zm ienne, które charakteryzow ały się najw yższym (co do modułu) w spółczynnikiem korelacji (w tabeli 2 w artości te zostały zaznaczone pogrubioną czcionką).

Zbiór zm iennych w yprzedzających tworzą:

- liczba kobiet w w ieku rozrodczym 15-49 lat z w yprzedzeniem 27 lat, - liczba kobiet w w ieku 15-19 lat z w yprzedzeniem 30 lat,

- średni w iek kobiety w m om encie porodu z w yprzedzeniem 28 lat.

Natom iast zbiór zm iennych naśladujących tworzą: liczba kobiet w w ieku 20-24 lata z opóźnieniem 9 lat, liczba kobiet w w ieku 25-29 lat z opóźnieniem 14 lat, liczba kobiet w w ieku 30-34 lata z opóźnieniem 19 lat, liczba kobiet w w ieku 35-39 lat z opóźnieniem 24 lata, liczba kobiet w w ieku 40-44 lata z opóźnieniem 29 lat, liczba kobiet w w ieku 45-49 lat z opóźnieniem 22 lata.

Po ustaleniu zbioru zm iennych w yprzedzających zbudow ano syntetyczną zm ienną w yprzedzającą jak o średnią arytm etyczną znorm alizow anych w artości zm iennych ze zbioru zm iennych w yprzedzających. N orm alizacja przebiegała zgodnie ze wzorem (4). A gregacja w ym agała przesunięcia szeregów czasow ych znorm alizow anych wartości zm iennych zgodnie z w yróżnionym i okresam i wyprzedzenia.

W konstrukcji zmiennej syntetycznej rozw ażano alternatyw ne zbiory zm iennych wyprzedzających, ostatecznie utw orzono trzy zm ienne syntetyczne:

- zm ienna syntetyczna I zawiera: liczbę kobiet w w ieku 15-19 lat z wyprzedzeniem 30 lat, średni w iek kobiety w m om encie porodu z w yprzedzeniem 28 lat,

- zm ienna syntetyczna II zawiera: liczbę kobiet w w ieku 15-49 lat z w yprzedzeniem 27 lat, średni w iek kobiety w m om encie porodu z w yprzedzeniem 28 lat,

- zm ienna syntetyczna III wykorzystuje w szystkie zm ienne w yróżnione jako wyprzedzające.

Rozpatryw ano rów nież pojedyncze zmienne w yprzedające. D la zbudow anych syntetycznych zm iennych w yprzedzających oraz pojedynczych zm iennych wyprzedzających wyodrębniono liniowe funkcje trendu. N a rysunkach 8 i 9 przedstaw iono w formie porównyw alnej, czyli po elim inacji trendu, odpowiednio: zm ienną referencyjną i syntetyczną zm ienną w yprzedzającą oraz zm ienną referencyjną i pojedynczą zm ienną wyprzedzającą. W tabeli 3 zestaw iono wartości w spółczynników korelacji m iędzy zm ienną referencyjną a zbudowanym i zm iennym i syntetycznym i i pojedynczym i zm iennymi dla ich bezw zględnych odchyleń od tendencji rozwojowych. W artości w spółczynników korelacji (w iększe od 0,97)

m iędzy zm ienną referencyjną a syntetycznym i zm iennymi (po sprow adzeniu zm iennych do porów nyw alności) św iadczą o istnieniu wysokiej zależności korelacyjnej.

Rys. 8. Bezw zględne odchylenia od trendu dla zm iennej referencyjnej i syntetycznych zm iennych wyprzedzających.

Źródło: obliczenia własne.

Rys. 9. Bezw zględne odchylenia od trendu dla zm iennej referencyjnej i pojedynczych zm iennych w yprzedzających

Źródło: obliczenia własne.

D la pojedynczych zm iennych w yprzedzających zależność korelacyjna jest równie wysoka, jedynie w przypadku średniego w ieku kobiety w m omencie porodu w artość współczynnika

korelacji jes t nieznacznie niższa od 0,96 i najniższa spośród w szystkich wartości.

Tabela 3.

W artości w spółczynników korelacji między odchyleniam i od trendu zmiennej referencyjnej a odchyleniam i od trendu zm iennych syntetycznych i pojedynczych _________________ zm iennych_______________________ __________

Zm ienna syntetyczna W spółczynnik

korelacji Zm ienna pojedyncza W spółczynnik

korelacji

I 0,9877 Liczba kobiet w w ieku rozrodczym 0,9842

11 0,9734 L iczba kobiet w w ieku 15-19 lat 0,9883

III 0,9882 Średni w iek kobiety w m omencie

porodu 0,9579

Współczynniki korelacji są istotne na poziom ie a = 0,05.

Źródło: obliczenia własne.

A naliza rysunków 8 i 9 pozw ala zauw ażyć podobieństw o przebiegu odchyleń bezw zględnych zm iennej referencyjnej i zm iennych syntetycznych, a także zmiennej referencyjnej i pojedynczych zm iennych wyprzedzających. Co praw da nie obserwuje się w yraźnego górnego punktu zwrotnego dla zm iennych syntetycznych, ale pokryw ają się fazy spadku rozw ażanych zmiennych. Zm ienne osiągają dolny punkt zw rotny w tym sam ym okresie (lub z rocznym przesunięciem ) i rozpoczynają fazę wzrostu.

W obec zaobserw ow anych wysokich w artości w spółczynników korelacji, potw ierdzających podobny przebieg odchyleń bezw zględnych dla liczby urodzeń oraz rozw ażanych zm iennych m ożna uznać, iż zarów no syntetyczne zm ienne wyprzedzające, ja k i