symulacji obrazu mikrostruktury.
Aktualny postęp w dziedzinie wykorzystania mocy obliczeniowej komputerów w znacznym stopniu przyczynił się do badań nad ich wykorzystaniem przy symulowaniu zjawisk fizycznych. Szybkość obliczeń oraz względna dokładność wyników symulacji z rzeczywistością są powodem do stwierdzenia, że dzięki komputerom możliwe jest symulowanie zjawisk zachodzących w mikrostrukturze stali mikrostopowych podczas np.: procesu wydzielania węglikoazotków. Uzyskany obraz mikrostruktury pokrywa się z obrazami uzyskanymi za pomocą mikroskopu elektronowego. Rozkład wielkości oraz ilość wydzieleń można porównywać do wyników eksperymentalnych. Istnieje szereg metod numerycznych umożliwiających symulowanie i śledzenie zjawisk zachodzących w mikrostrukturze stali podczas procesów przeróbki tych stali [56-61]. Wyróżnić tutaj należy trzy główne metody:
Monte Carlo (MC), Pola fazowe (PF),
Automaty komórkowe (CA).
A.7.1 Metoda Monte Carlo (MC).
Nazwa metody Monte Carlo (MC) [62-65] została wprowadzona do powszechnego użytku w latach 40-tych XX wieku przez naukowców pracujących nad rozwojem broni jądrowej w Instytucie Los Alamos. Metoda ta znalazła zastosowanie do symulacji losowego zachowania się neutronów w materiałach rozszczepialnych. Wraz z rozwojem mocy obliczeniowych komputerów zaczęto ją wykorzystywać do symulacji wielu fizycznych i matematycznych zagadnień. Pod nazwą MC nie kryje się jedna konkretna metoda obliczeniowa, a cała klasa zbliżonych do siebie metod, których podstawowe założenia bazują na jednym algorytmie [66-67]:
Krok 1: definicja przestrzeni możliwych danych wejściowych.
Krok 2: losowe określenie danych wejściowych z wcześniej określonej przestrzeni Krok 3: przeprowadzenie obliczeń o charakterze probabilistycznym
wykorzystując dane wejściowe.
Krok 4: przeprowadzenie agregacji uzyskanych wyników w jedno rozwiązanie końcowe.
51 W latach 80-tych, metoda MC zaczęła być szeroko wykorzystywana w inżynierii materiałowej i metalurgii do symulacji np.: kinetyki wzrostu ziaren w materiałach jednofazowych, dwufazowych oraz kompozytach, do symulacji zjawisk rekrystalizacji statycznej i dynamicznej czy też do symulacji procesów spiekania. W MC wykorzystuje się model Potts’a, który wykorzystywany jest do symulacji zbiorowego zachowania się struktur komórkowych. Obliczenia prowadzone są w zdefiniowanej przestrzeni o regularnym charakterze komórkowym, w której każdy element może przyjmować pewną liczbę stanów. Dodatkowo każdy element posiada określoną liczbę sąsiadów. Ewolucja tak zdefiniowanego modelu odbywa się z wykorzystaniem np.: algorytmu Metropolis [68]. Standardowy algorytm składa się z trzech kroków [66-67, 69]:
Krok 1: wybór elementu oraz określenie charakteru zmiany jego stanu (np.: zmiana przynależności do ziarna).
Krok 2: określenie energii która jest wykorzystywana do zaakceptowania proponowanej zmiany lub jej odrzucenia.
Krok 3: inne akcje nie wymienione w krokach 1 i 2.
W takim ujęciu algorytm Potts posiada wiele cech wspólnych z metodą automatów komórkowych. Działanie modelu Potts’a sprzężonego z algorytmem Metropolis można prześledzić na przykładzie symulacji zmian mikrostruktury związanych z rozrostem ziaren. Na rys. A7.1 przedstawiono przykład zasymulowanego rozrostu ziaren w mikrostrukturze, w której liczba stanów (przynależność do ziarna) wynosi 50, dla 1, 100 i 400 kroków MCS.
Rys. A7.1 Schemat rozrostu ziaren metodą MC
Podstawową wadą metody MC jest bardzo długi czas obliczeń. Kluczowy dla dokładności i poprawności metody MC jest generator liczb losowych. Kroki czasowe MCS to nie są typowe kroki czasowe dlatego trudno jest określić rzeczywisty czas obliczeń w metodzie MC.
52
A.7.2 Metoda Pól Fazowych (PF).
Metoda Pola Fazowego (PF) [69-73] jest jednym z narzędzi dzięki którym możliwe jest symulowanie zmian zachodzących w mikrostrukturze stopów podczas przemian fazowych. Symulowane zjawiska to np.: krzepnięcie, rozrost ziarn, przemiany fazowe w stanie stałym. PF opiera się na rozwiązaniu dwóch równań różniczkowych cząstkowych. Pierwsze równanie uwzględnia zmianę czasu, definiuje ewolucję niezachowawczej zmiennej pola zawierającej informację o lokalnym stanie struktury krystalicznej i może reprezentować np.: orientację krystalograficzną ziarna. Dlatego parametry przyporządkowania zdefiniowane są osobno w rożnych ziarnach. Drugie równanie jest równaniem dyfuzji opisującym ewolucję w czasie zachowawczej zmiennej pola fazowego dla określenia lokalnego składu chemicznego w poszczególnych fazach układu. Metoda polega na numerycznym rozwiązaniu obydwu równań dążąc do minimalizacji całkowitej energii swobodnej układu za pomocą podejścia relaksacyjnego [69]. Całkowita energia swobodna układu zmniejsza się z upływem czasu, a mikrostruktura reprezentowana przez parametry pola fazowego podąża ścieżką kinetyki, która zmierza do osiągnięcia globalnej równowagi. Istnieje wiele odmian metod PF, ich cechą wspólną jest to że wszystkie bazują na rozmytej granicy międzyfazowej. Podejście to polega na tym, że elementy opisane są za pomocą funkcji , o stałych wartościach w obrębie danego elementu. Natomiast w obszarze granic elementów wartości tych funkcji zmieniają się stopniowo. Relacje pomiędzy dwoma elementami opisane są przy pomocy zmiennych, zwanych zmiennymi pola fazowego, dotyczą one wąskiego obszaru pomiędzy tymi elementami. Jest to podstawowa różnica w stosunku do innych metod [69].W konwencjonalnym podejściu modelowania mikrostruktury, relacje pomiędzy elementami opisane są w sposób „ostry” –tzw. metody z ostrą granicą międzyfazową. Wszelkie zmiany związane są ze zmianami granicy elementów, nie obszaru tylko ostrej granicy.
Rys. A7.2 Przykład [70] a) granicy rozmytej międzyfazowej, b) granicy ostrej międzyfazowej.
53 Na rys. A7.2 można zaobserwować podstawowe różnice pomiędzy metodami z granicą rozmytą, a ostrą międzyfazową. W przypadku granicy rozmytej ważny jest wąski obszar pomiędzy elementami, który definiuje dalsze zachowanie układu. W przypadku granicy ostrej, rozpatrujemy „ostrą” granicę. Zaletą metod z granicą rozmytą jest brak konieczności śledzenia ciągłego granicy (realizowane jest to w sposób niejawny), dlatego nie ma bezpośredniego wpływu początkowy kształt elementów (ziaren). Kształt granicy opiera się na wyznaczeniu konturów, w których parametr pola fazowego mieści się w zakresie od 0 do 1. W granicy ciągłej cały czas trzeba śledzić tą granicę, dlatego metody te nadają się najlepiej do prostych układów, w których mamy do czynienia z prostymi kształtami, np.: okręgi. Modelowanie obrazu mikrostruktury w metodzie PF polega na opisaniu początkowego stanu mikrostruktury za pomocą zestawu zmiennych pola fazowego, które są opisane za pomocą funkcji. Zmienne te mają takie same wartości jak przy metodach z granicą ciągłą. Różnica polega na tym, że zmiany tych wartości są ciągłe w rozpatrywanym obszarze. Stosując podejście PF można zamodelować obraz mikrostruktury bardziej złożonych układów, w których kształty początkowe elementów (ziaren) mogą być złożone. W metodzie PF rozwój mikrostruktury symulowany jest poprzez zestawu zmiennych pola fazowego, które opierają się na modelach termodynamicznych oraz kinetycznych.
A.7.3 Metoda Automatów Komórkowych (CA).
Najczęściej stosowaną metodą modelowania zjawisk fizycznych jest metoda automatów komórkowych (CA). Metoda CA najczęściej znajduje zastosowanie w modelowaniu rozwoju mikrostruktury podczas przemian fazowych, czy rekrystalizacji. W publikacjach [74-77, 124] opisano zalety, wady i możliwości wykorzystania metody CA w procesach wydzielania węglikoazotków. Idea CA polega na zastąpieniu zbioru skomplikowanych równań opisujących zachowanie się wielu układów fizycznych, przestrzenią komórek opisujących dany układ z jednoznacznie określonymi regułami interakcji między nimi. Szczegółowy opis metody CA znajduje się w rozdziale A8. Metoda CA została wykorzystana w niniejszej pracy do symulowania obrazu mikrostruktury zawierającej wydzielenia węglikoazotków w stalach mikroskopowych.
54