4. Analiza statystyczna aktywności dużej liczby komórek nerwowych
4.4. Związek kształtu funkcji korelacji wzajemnej z typem połączenia
4.4.3. Kształty wykresów funkcji korelacji wzajemnej oraz odpowiadające im
W rozdziale 1.2.1 opisane zostały dwa rodzaje synaps, pobudzająca oraz hamująca. Poprzez rozmaite konfiguracje połączeń, kilka neuronów może tworzyć powtarzalne mikroukłady [10] [83] [84]. Posiadając dane w postaci szeregów czasowych, stosując metodę korelacji wzajemnej par szeregów czasowych aktywności neuronów, podstawowym celem jest poszukiwanie trzech najprostszych mikroukładów:
A) Para neuronów, w której jeden neuron jest połączony synapsą pobudzającą z drugim,
B) Para neuronów, w której jeden neuron jest połączony synapsą hamującą z drugim, C) Trzy neurony, pierwszy neuron pobudza neurony drugi i trzeci.
Interesujące jest również poszukiwanie zespołów układów elementarnych, czyli: D) Kombinacja dwóch różnych typów połączeń spośród A, B i C.
Jak zostało wykazane w pracy [79], możliwe jest obliczenie funkcji korelacji wzajemnej za pomocą równań analitycznych spójnych z wynikami eksperymentalnymi.
A) Synapsa pobudzająca
Równanie analityczne opisujące funkcję korelacji wzajemnej ma postać różnicy dwóch funkcji eksponencjalnych:
( ) ( )[e ( ) e ( )] 4-20
gdzie oraz oznaczają odpowiednio czas trwania przewodzenia oraz stałą czasową opóźnienia synapsy, jest stałą czasową eksponenty dominującej wyznaczoną dla zadanych parametrów symulacji.
Parametr zastępuje stałą czasową dominującej składowej w modelu synapsy pobudzającej (równanie (4-18)). Przybliżenie modelu za pomocą eksponenty dominującej jest poprawne ze względu na uniwersalny charakter modelu – każdy model synapsy pobudzającej, niezależnie od neurotransmitera, na który synapsa selektywnie reaguje, można przybliżyć funkcją eksponencjalną [79]. C0 oznacza parametr skalujący amplitudę. Wykresy funkcji (4-20) przedstawione zostały na Rysunku 4-7.
Rysunek 4-7: Funkcja korelacji wzajemnej odpowiadająca pojedynczej synapsie pobudzającej.
- odchylenie standardowe częstotliwości potencjałów czynnościowych neuronu presynaptycznego, CV – współczynnik wariancji neuronu presynaptycznego (zgodnie z (4-14)). Rysunek z [79], zmodyfikowany.
78
Przytoczony na Rysunku 4-7 parametr oznacza odchylenie standardowe częstotliwości występowania potencjału czynnościowego neuronu presynaptycznego. Wielkość ta, obok współczynnika wariancji CV, jest wskaźnikiem „szumu” synaptycznego, czyli wysokiej aktywności neuronów otaczających dwa neurony połączone synapsą. Niska wartość obu tych parametrów oznacza niską aktywność, wysoka wartość oznacza wysoką aktywności neuronów tła. Na Rysunku 4-7a) przedstawiony został wykres funkcji (4-20)
dla trzech przypadków szumu: niskiego ( ), średniego ( ) oraz wysokiego ( ). Przy niskim poziomie szumu
występuje maksimum w centralnej części wykresu oraz dwa maksima lokalne. Przedstawiony wynik symulacji otrzymany został przy stacjonarnej generacji potencjału czynnościowego neuronu presynaptycznego o okresie 30ms. Dwa maksima wartości funkcji dla czasów -25 ms i +35ms związane są z tym właśnie okresem generacji potencjału.
Rysunek 4-7b) przedstawia przebieg funkcji korelacji wzajemnej dla średniego poziomu szumu i różnych częstotliwości średnich aktywacji neuronu presynaptycznego ( i ). Wraz ze wzrostem częstotliwości aktywacji neuronu presynaptycznego, amplituda korelacji wzajemnej znormalizowanej maleje, jednak kształt krzywej nie zmienia się w sposób drastyczny.
Z punktu widzenia automatycznej detekcji kształtu, odpowiadającego pojedynczemu połączeniu synaptycznemu, można zauważyć pewną szczególną cechę, mianowicie występowanie wzrostu wartości funkcji o wysokiej amplitudzie i niesymetrycznym kształcie. Istotne jest również położenie maksimum względem środka układu współrzędnych. Niezależnie od poziomu szumu leży w prawej połowie układu współrzędnych on (t > 0). Jest to pierwszy ważny wniosek : tworząc algorytm automatycznej detekcji połączeń synaptycznych, należy szukać niesymetrycznego maksimum dla czasu t>0. Warto również porównać wzory (4-18) oraz (4-20). Jak widać postać analityczna funkcji korelacji wzajemnej wynika bezpośrednio z modelu opisującego synapsę pobudzającą. To drugi ważny wniosek wynikający z powyższych rozważań – empirycznie uzyskane wykresy korelacji wzajemnej pozwalają uzyskać informacje na temat dynamiki połączeń synaptycznych.
B) Synapsa hamująca
Także w przypadku dwóch neuronów połączonych pojedynczą synapsą hamującą, możliwe jest wyprowadzenie równania analitycznego, opartego na modelu neuronu całkuj i strzelaj oraz modelu synapsy, które opisuje kształt funkcji korelacji wzajemnej:
( )
( )[e (
) e ( )] 4-21
Funkcja korelacji wzajemnej odpowiada (4-20), jednak ze znakiem przeciwnym. Na wykresie korelacji wzajemnej połączenie tego typu ma postać spadku wartości w prawej połowie układu współrzędnych (t > 0, Rysunek 4-8).
Powyższe równanie oraz przebieg funkcji pozwalają na wyciągnięcie wniosku dotyczącego automatycznej detekcji połączeń o charakterze hamującym: spadek wartości funkcji korelacji wzajemnej o niesymetrycznym charakterze względem minimum dla czasu t>0, oznacza obecność synapsy hamującej.
79
Rysunek 4-8: Wykres funkcji analitycznej odpowiadającej korelacji wzajemnej neuronów połączonych synapsą hamującą [79].
C) Dwa neurony pobudzane ze wspólnego źródła
Korelacja wzajemna może wskazywać na istnienie związku aktywności dwóch neuronów, nawet jeśli nie ma pomiędzy nimi bezpośredniego połączenia synaptycznego [73] [85] [86]. Zakładając, że dwa neurony A i B oprócz impulsów odbieranych niezależnie pobudzane są równocześnie przez wspólny neuron, można opisać funkcję korelacji wzajemnej następującym równaniem:
( )
[ e ( | |) e ( | |)] 4-22 gdzie oraz oznaczają odpowiednio czas trwania przewodzenia oraz stałą czasową opóźnienia synapsy, jest stałą czasową eksponenty dominującej w modelu synapsy.
Moduł z wartości czasu we wzorze (4-22) wskazuje na symetrię funkcji korelacji wzajemnej względem czasu t=0. Wykresy funkcji korelacji wzajemnej dla omawianego typu połączenia przedstawia Rysunek 4-9. Jak widać, różnica częstotliwości występowania potencjałów czynnościowych dwóch neuronów nie wpływa silnie na kształt funkcji.
Rysunek 4-9:Funkcja korelacji wzajemnej neuronów A i B będąca wynikiem ich wzbudzenia przez trzeci neuron. Rysunek pokazuje wpływ różnicy średniej częstotliwości aktywacji: neuron A jest aktywowany z częstotliwością 10Hz, neuron B odpowiednio z częstotliwością 10, 30, 100Hz [79].
80
D) Kombinacje różnych typów połączeń, superpozycja funkcji.
W naturalnych sieciach neuronowych połączenia synaptyczne nie ograniczają się do najprostszych układów, przedstawionych w punktach A – C. W zestawach danych eksperymentalnych analizowanych przez autora pracy obecne były również bardziej skomplikowane kształty. Interpretacja kształtów korelacji wzajemnej jest uważana za zadanie o bardzo wysokim stopniu trudności [87] [88]. Niemniej jednak, nawet ze złożonych kształtów funkcji można wydobyć pewne informacje. Kluczową właściwością ułatwiającą zadanie interpretacji kształtów jest liniowa addytywność funkcji odpowiadających połączeniom elementarnym [79]. W przypadku dwóch neuronów A i B oddziałujących wzajemnie poprzez synapsy pobudzające funkcja korelacji wzajemnej jest sumą funkcji poszczególnych oddziaływań synaptycznych:
( ) ( ) ( ) 4-23
gdzie ( ) jest korelacją wzajemną połączenia synaptycznego od neuronu A do B,
( ) - od neuronu B do A.
Wykres funkcji C(t) stanowi superpozycję funkcji przedstawionej na Rysunku 4-7 oraz funkcji do niej komplementarnej, symetrycznej względem czasu t=0, obrazującej oddziaływanie synaptyczne w przeciwnym kierunku.
Rysunek 4-10: Funkcja korelacji wzajemnej dla dwóch wzbudzających się neuronów. Rysunek zaczerpnięty z [79], zmodyfikowany.
Warto zauważyć, iż tego typu połączenie w nomenklaturze elektronicznej można zinterpretować jako oscylator – element generujący (samopodtrzymujący) oscylację. Kwestią dyskusyjną pozostaje, czy tak prosty jak przedstawiany powyżej układ może pełnić w żywych sieciach neuronowych funkcję generatora częstotliwości, gdyż układy opisywane w literaturze jak generatory rytmu mają nieco bardziej skomplikowaną budowę, zawierającą także neurony hamujące [10].
Rysunek 4-11: Funkcja korelacji wzajemnej dla ujemnego sprzężenia zwrotnego; dwa neurony wzbudzane przez wspólne źródło oraz połączone synapsą hamującą [79].
81
Innym przykładem kombinacji dwóch niezależnych oddziaływań synaptycznych jest pobudzenie neuronów A i B przez wspólne źródło oraz wzajemne połączenie synapsą hamującą. Funkcja wynikowa oraz jej składowe przedstawione zostały na Rysunku 4-11. Takie połączenie można interpretować jako rodzaj ujemnego sprzężenia zwrotnego, w którym wzbudzenie dwóch neuronów powoduje zahamowanie aktywności jednego z nich.