Wybór filtru cyfrowego

⁄ , po prostych przekształceniach: e ( ( ) ) √ ^4-30 ( ) ( ) 4-31

otrzymujemy prostą formułę na obliczenie częstotliwości granicznej, jaką musi mieć filtr całkujący odpowiadający operacji drgań losowych:

^{√ ( )}

4-32

4.5.2 Wybór filtru cyfrowego

Kolejnym krokiem jest wybór filtru całkującego, jakim ma zostać zastąpiona metoda drgań losowych. Mimo że środowisko MATLAB oferuje bogaty pakiet oprogramowania do projektowania filtrów cyfrowych, najbardziej wydajny obliczeniowo okazał się filtr uśredniający, napisany przy użyciu funkcji podstawowych języka MATLAB.

Działanie filtru uśredniającego polega na obliczeniu nowej wartości sygnału jako średniej ważonej z wartości oryginalnej i wartości sąsiadujących. Jeżeli dany szereg, reprezentujący funkcję korelacji wzajemnej w przedziale [-T, T] oznaczymy zgodnie z poprzednimi równaniami jako C(t), wówczas dowolny wyraz szeregu po filtracji dla wybranego czasu t obliczamy jako:

86 c ∑ wc

4-33

gdzie ct+i oznacza wyraz szeregu pierwotnego przesunięty względem czasu t o „i” interwałów, wi dla i=-n, (-n+1), (-n+2), … 0,1 … n są wagami uśredniania z wagą centralną w0, c jest wyrazem szeregu CF(t) po filtracji.

Wagi uśredniania dobiera się w taki sposób, aby ich suma była znormalizowana do jedności, dzięki czemu średnia szeregu po filtracji jest równa średniej szeregu oryginalnego. Rozkład współczynników filtru może być symetryczny lub niesymetryczny. Dla symetrycznego rozkładu odpowiedź częstotliwościową filtru ma postać [92]:

( ) w ∑ w c ( )

4-34

gdzie U(f) oznacza odpowiedź częstotliwościową, w0 – środkową wagę uśredniania, wk - kolejny współczynnik wagowy o numerze k, f – częstotliwość, t – interwał czasowy pomiędzy punktami w szeregu C(t), n – liczba współczynników wagowych filtru symetrycznego, liczona w jedną stronę od w0.

Wartości wszystkich współczynników wk mogą być sobie równe, wówczas filtr cyfrowy nazywamy filtrem pudełkowym. Wadą filtru pudełkowego są stosunkowo wysokie dudnienia przy wysokich częstotliwościach [93]. Niższe dudnienia uzyskuje się dla filtru o współczynnikach rosnących i opadających liniowo względem współczynnika środkowego w0, tworzących na wykresie kształt trójkąta. Charakterystykę najbliższą idealnej uzyskuje się dla filtru, którego współczynniki leżą na krzywej Gaussa, jednak w praktyce nie udało się zanotować różnic pomiędzy filtrem trójkątnym i filtrem o współczynnikach Gaussa, co wynika bezpośrednio z twierdzenia Shannona. Stosowane interwały czasowe pomiędzy wartościami funkcji korelacji wzajemnej są rzędu 0.05 – 0.5ms, zatem graniczna wartość składowej częstotliwościowej wynosi odpowiednio 20kHz i 2kHz. Występujące dla wysokich częstotliwości dudnienia nie mają wpływu na przebieg sygnału wyjściowego, ponieważ składowe wysokich częstotliwości nie występują w danych wejściowych. Jak wynika z wzoru (4-34), częstotliwość graniczna filtru uśredniającego zależy od wartości współczynników wk oraz od ich liczebności. Rysunek 4-15 prezentuje charakterystyki częstotliwościowe czterech filtrów trójkątnych oraz odpowiadające im zestawy współczynników, we wszystkich przypadkach znormalizowane do jedności.

Rodzina przedstawionych charakterystyk pokazuje, że częstotliwość graniczna maleje wraz ze wzrostem liczby punktów, które wliczane są do średniej ważonej. Nie bez znaczenia jest fakt, że spadek częstotliwości granicznej wraz ze wzrostem liczby uśrednianych punktów nie jest zależnością liniową. Jak zostało wcześniej wspomniane, należy też porównać nachylenie charakterystyk filtracji drgań losowych oraz filtracji filtrem uśredniającym.

87

Rysunek 4-15: Przykładowe charakterystyki częstotliwościowe filtru uśredniającego z wagami malejącymi liniowo względem wartości centralnej. Dobór współczynników wpływa na częstość odcięcia filtru. Kolory znaczników odpowiadają kolorom charakterystyk częstotliwościowych. Interwał czasowy ustawiony został na 0.5ms.

Porównanie działania filtracji drgań losowych oraz filtracji uśredniania w kontekście obliczania progów do wykrywania oddziaływań synaptycznych w korelacji wzajemnej przedstawiają Rysunki 4-16 oraz 4-17. Na Rysunku 4-16a przedstawione zostało 1000 korelacji wzajemnych obciążonych drganiami losowymi przy szerokości okna drgań +/-20ms oraz krzywe odcinające 1% najwyższych wartości dla danego czasu (czerwona) i 1% najniższych wartości (zielona). Krzywe te, wyznaczone po dość długich obliczeniach (trwających ok. 20minut), można wyznaczyć w znacznie krótszym czasie (ok. 3s), korzystając z równoważności metod filtracji za pomocą drgań losowych i filtru uśredniającego. Jeżeli wyznaczymy parametry filtracji uśredniającej, które pozwolą na otrzymanie charakterystyki filtru uśredniającego tożsamej (lub bardzo bliskiej) z charakterystyką filtru drgań losowych, możemy oczekiwać, że średnia z obliczonych korelacji wzajemnych z drganiami (Rysunek 4-16a, rodzina krzywych koloru szarego) będzie równoważna oryginalnej korelacji wzajemnej po filtracji filtrem uśredniającym (Rysunek 4-16b krzywa czarna). W analizowanym przypadku wymagane było zastosowanie filtra uśredniającego trójkątnego o 29 współczynnikach, 5 rzędu. Rząd filtru rozumieć należy jako liczbę iteracji filtru. Charakterystyki częstotliwościowe filtracji metodą drgań losowych z oknem +/-20ms oraz filtru uśredniającego trójkątnego o 58 współczynnikach, 5 rzędu przedstawione zostały na Rysunku 4-17.

88

a) Metoda drgań losowych b) Filtracja uśredniająca

Rysunek 4-16: Porównanie wartości progowych uzyskanych metodą drgań losowych z szerokością okna czasowego +/-20ms (a) i metodą filtru uśredniającego (b). Te same wartości progów można otrzymać przesuwając odfiltrowaną korelację wzajemną o wartość 3 odchyleń standardowych szumu powyżej (czerwona krzywa) i poniżej (zielona krzywa).

Rysunek 4-17: Porównanie charakterystyk: filtr uśredniający 5-rzędu o 29 współczynnikach (zielona krzywa z diamentami), charakterystyka odpowiadająca filtracji wynikającej z wprowadzenia drgań losowych +/-20ms (czerwona krzywa).

Jak widać na powyższym przykładzie, zastosowanie odpowiednich parametrów filtru uśredniającego umożliwia filtrację sygnału równoważną z zastosowaniem metody drgań losowych. Okno drgań losowych dobierane jest empirycznie, zależnie od dynamiki synaptycznej badanej tkanki nerwowej w zakresie od kilku do kilkudziesięciu milisekund. Często spotykaną wartością drgań w badaniach mózgu myszy jest +/-5ms [89] [94], co odpowiada częstotliwości granicznej 45 Hz. Dla danych eksperymentalnych prezentowanych w niniejszej rozprawie optymalne okazało się użycie filtru o częstotliwości 11 Hz (odpowiednik okna drgań losowych +/-20 ms)

89