3.1. Podstawy teoretyczne analizy modalnej
3.1.3. Macierzowy zapis równań ruchu układu z tłumieniem
Pierwsze dwa człony wyrażeń (3.36) i (3.37) opisują drgania swo-bodne obu mas z przykładu, przy skalowaniu do jednostkowej macie-rzy uogólnionej masy modalnej. W częstości drgań swobodnych ω1= 2 rad/s obie masy poruszają się w fazie z amplitudą o wartości .
4 2
W częstości drgań swobodnych 2 2 5rad s obie masy poruszają się w fazach przeciwnych, z amplitudą równą .
20
10 Trzeci człon wy-rażeń (3.36) i (3.37) opisuje drgania wymuszane siłą o częstości = 1 rad/s. Równania (3.36) i (3.37) dobrze ilustrują podstawową zasadę analizy modalnej, zgodnie z którą drganie wypadkowe jest sumą drgań składowych, czyli modalnych i wymuszonych (Zaveri, 1985).
Zatem drganie wypadkowe układu o wielu stopniach swobody może być rozłożone na sumę drgań własnych i wymuszonych, czyli badany układ musi spełniać zasadę superpozycji. Muszą więc istnieć podsta-wy do założenia, że badany układ jest układem liniopodsta-wym, tzn. jego wychylenia są małe, skład częstotliwościowy sygnału na wyjściu układu jest taki sam jak sygnału na wejściu oraz sygnały te są addy-tywne i jednorodne.
3.1.3. Macierzowy zapis równań ruchu układu z tłumieniem
Do tej pory, idealizując i upraszczając nasz przykład, zakładaliśmy, że w rozpatrywanym układzie nie występuje tłumienie. W sytuacjach rzeczywistych mamy zawsze do czynienia z siłami tłumiącymi, więc
uwzględnimy je teraz w przykładzie układu o dwóch stopniach swobo-dy, rys. 3.5. W przyrodzie występują różne rodzaje sił tłumiących, a prawidłowe ich rozpoznanie i opis bywa utrudniony, podrozdział 2.3.
Z tego powodu czyni się założenia odnośnie do postaci sił tłumiących, aby przybliżyć opis tych sił do rzeczywistości w najlepszy sposób. Po-nadto formuła opisująca siły tłumiące powinna łatwo poddawać się przekształceniom matematycznym, ponieważ bardzo upraszcza to opis i rozwiązanie problemu. Jedną z form tłumienia wygodnych do mani-pulacji matematycznych jest tłumienie lepkie, nazywane też wisko-tycznym, w którym siła tłumiąca drgania jest proporcjonalna do pręd-kości układu. Tłumienie lepkie w rzeczywistości dobrze opisuje straty występujące w ruchu posuwistym ciała w gazie lub cieczy. Przyjmiemy, że tłumienie występujące na rys. 3.5 jest tłumieniem wiskotycznym.
Równania ruchu układu o dwóch stopniach swobody tłumionego lepkościowo i wymuszanego siłami periodycznymi mają następującą postać algebraiczną:
macierzą współczynników tłumienia lepkiego.
Zasadniczą trudnością w rozwiązaniu równania (3.39), czyli w przeprowadzeniu analizy modalnej lub inaczej, w przejściu ze współrzędnych kartezjańskich do współrzędnych modalnych, jest ko-nieczność diagonalizacji macierzy [c]. Aby diagonalizacja macierzy tłumienia lepkiego [c] była możliwa, trzeba założyć, że jest to tłumie-nie proporcjonalne, tzn. że macierz [c] jest proporcjonalna do macierzy [k] lub do macierzy [m] albo do ich kombinacji liniowej (Zaveri, 1985).
Rys. 3.5. Układ o dwóch stopniach swobody, tłumiony, wymuszany
Niech w naszym przykładzie
c k, czyli niech macierz [c] bę-dzie proporcjonalna do macierzy sztywności; współczynnik proporcjo-nalności wynosi . Wynika stąd, że macierz współczynników tłumie-nia lepkiego dla naszego przykładu ma postać:
c . mas, sztywności oraz współczynników tłumienia wiskotycznego, a także amplitudy i częstości sił wymuszających zostały już zdefinio-wane poprzednio, więc można podstawić liczby do równania (3.39):t
Macierz modalną dla układu z rys. 3.5 znamy – jest dana wyraże-niem (3.26). Można zatem przejść, za pomocą równania transforma-cyjnego (3.28), ze współrzędnych kartezjańskich na modalne (normal-ne) i tym samym rozprząc układ równań (3.40):
t
lub po wykonaniu działań:
t
Równanie macierzowe (3.41) zawiera dwa niezależne równania różniczkowe:
Zatem ortogonalne własności macierzy modalnej pozwoliły na roz-przężenie równania (3.40) i rozkład układu o dwóch stopniach swo-body przedstawionego na rys. 3.5 na dwa układy o jednym stopniu swobody opisane we współrzędnych normalnych. Po wyznaczeniu z równań (3.42a) i (3.42b) ich rozwiązań u1(t) oraz u2(t) (po bardzo mozolnych obliczeniach), można wyznaczyć przemieszczenia mas m1
oraz m2 we współrzędnych kartezjańskich, korzystając z równania transformacyjnego (3.28).
Inny typ tłumienia to tłumienie histerezowe, nazywane również strukturalnym. Ten model tłumienia w wielu przypadkach jest lep-szym przybliżeniem tłumienia występującego w sytuacjach rzeczywi-stych niż tłumienie lepkie. Z tłumieniem histerezowym mamy do czy-nienia np. podczas cyklicznego ściskania i rozciągania materiałów (w granicach sprężystości), dla których relacja między naprężeniem a odkształceniem zatacza pętlę histerezową (histereza sprężysta)
(Szczeniowski, 1980). Energia zamieniana na ciepło w wyniku tarcia wewnętrznego w każdym cyklu odkształcenia jest proporcjonalna do pola tej pętli (stąd nazwa). Siła związana z tłumieniem strukturalnym Fh jest proporcjonalna do siły sprężystości, jest to zatem tłumienie proporcjonalne, i dla układu o jednym stopniu swobody dane jest wy-rażeniem:
hkx j
F
h
, (3.43)gdzie h – współczynnik tłumienia histerezowego, j – jednostka urojona.
Dla układu o wielu stopniach swobody macierzowe równanie ru-chu wymuszanego okresowo z tłumieniem strukturalnym ma postać:
m x jh k x k x F sin t
. (3.44) Mnożąc równanie (3.44) z lewej strony przez []T i korzystając z transformacji na współrzędne normalne opisanej równaniem (3.28) otrzymujemy:
Tm u 1jh
Tk u T Fsint, (3.45) lub
M
u jh
K
u
T
Fsint,gdzie [M] – macierz uogólnionych mas modalnych, [K] – macierz uo-gólnionych sztywności modalnych.
Po wykonaniu działań na macierzach zawartych w równaniu (3.44) diagonalizacji ulegną macierze [m] oraz [k], czyli układ równań opisa-nych równaniem macierzowym (3.44) będzie zawierał niezależne rów-nania różniczkowe postaci:
sin tM u F jh u
i i T i i
i
, (3.46)
które rozwiązuje się we współrzędnych modalnych. Ze współrzędnych tych można przejść na współrzędne kartezjańskie, wykorzystując równanie (3.28). Warto zauważyć, że częstość drgań własnych układu z tłumieniem histerezowym jest równa częstości drgań własnych układu nietłumionego i w przeciwieństwie do częstości drgań włas-nych układu z tłumieniem lepkim nie zależy od tłumienia.
Gdy tłumienie jest nieproporcjonalne, to macierz tłumienia nie jest proporcjonalna ani do macierzy masy, ani do macierzy sztywności i zadziałanie na równanie ruchu macierzą modalną nie prowadzi do diagonalizacji macierzy tłumienia. W takim przypadku układ sprzę-żonych różniczkowych równań ruchu drugiego stopnia należy rozwią-zywać łącznie, metodami przybliżonymi (Osiński, 1978), lub sprowa-dzić go do układu równań różniczkowych pierwszego stopnia (Zaveri, 1985). Rozwiązanie układu równań z tłumieniem nieproporcjonalnym prowadzi do uzyskania modów tłumionych, które nie są takie same jak mody układu nietłumionego lub mody układu z tłumieniem porcjonalnym. W modach układów nietłumionych lub tłumionych pro-porcjonalnie, tzw. modach naturalnych, obszary drgające rozdzielone linią węzłową poruszają się w fazie lub w przeciwfazie. W modach układów tłumionych nieproporcjonalnie, tzw. modach zespolonych, obszary drgające rozdzielone linią węzłową poruszają się z różnymi fazami, zazwyczaj różnymi od 00 i 1800. Różnica ta oznacza, że w mo-dach naturalnych wszystkie punkty układu drgającego przechodzą przez położenie równowagi równocześnie i mają dobrze zdefiniowane, stałe linie węzłowe. W modach zespolonych nie wszystkie punkty ukła-du drgającego przechodzą jednocześnie przez położenie równowagi.
Czytelnik z pewnością zauważył, że w miarę komplikowania przy-kładu z układem drgającym o dwóch stopniach swobody uciążliwość obliczeń zwiększała się. Im więcej będzie stopni swobody, tym oblicze-nia będą bardziej mozolne, aż staną się praktycznie niemożliwe do wykonania. Dlatego rozwiązania równań analizy modalnej dokonuje się przybliżonymi metodami numerycznymi.
3.1.4. Transmitancja układu wyrażona