Rozpatrywany do tej pory układ o jednym stopniu swobody ze stałymi skupionymi był układem liniowym, tzn. jego charakterystyki były da-ne liniowymi równaniami różniczkowymi, zwyczajnymi, czyli między sygnałem siły wywołującej drgania a sygnałem będącym reakcją układu na wymuszenie (wychyleniem, prędkością lub przyspiesze-niem) istniała relacja liniowa. Oznaczało to, że parametry układu (masa, sztywność i tłumienie) były niezależne od amplitudy drgań układu. Ruch takiego układu poddanego działaniu siły zmieniającej się w czasie sinusoidalnie jest ruchem harmonicznym.
W układach rzeczywistych siły sprężystości i tłumienia (rzadziej bezwładności) mogą zależeć od amplitudy drgań. Równania różnicz-kowe opisujące takie układy są nieliniowe. W układach nieliniowych zasada superpozycji, szeroko wykorzystywana w układach liniowych, czyli m.in. w ich analizie modalnej, nie obowiązuje. Oznacza to, że liniowe złożenie kilku rozwiązań szczególnych równania ruchu układu nieliniowego nie jest jego rozwiązaniem. Teoria układów nieliniowych
nie jest tak systematyczna i zamknięta jak teoria układów liniowych.
Wynika to ze zróżnicowania problemów związanych z drganiami nie-liniowymi oraz dużych trudności matematycznych. Dlatego w analizie drgań nieliniowych wykorzystuje się metody przybliżone, często prze-znaczone do rozwiązania określonej klasy zagadnienia i nie mające zastosowania w innych problemach nieliniowych (Kaliski, 1966). Sys-tematyczny wykład zagadnień związanych z drganiami nieliniowymi wykracza poza ramy niniejszej książki. Dlatego zostaną przedstawio-ne wybraprzedstawio-ne zagadnienia z teorii drgań nieliniowych, czyli takie, z któ-rymi można się spotkać w eksperymentach modalnych. Ograniczymy się do przypadku drgań słabo nieliniowych, podkreślając, że podsta-wowym założeniem w analizie modalnej jest liniowość badanego ukła-du. Jest to oczywiste uproszczenie problemu, czyli przybliżony opis zjawisk drganiowych, jednak bardzo wygodne matematycznie i ekspe-rymentalnie (Weyna, 2005). Jeśli w badanym, rzeczywistym, nieide-alnym układzie występują nieliniowości sztywności lub tłumienia, to aby można było stosować technikę modalną, muszą być one małe. Ści-słą teorię nieliniowych układów o jednym stopniu swobody można znaleźć w podręcznikach akustyki i mechaniki (Malecki, 1964; Kali-ski, 1966; OsińKali-ski, 1978; Giergiel, 2000).
Rozpatrzymy układ o jednym stopniu swobody, wymuszany siłą okresową, z liniowym członem tłumiącym i słabonieliniową sztywno-ścią. W równaniu ruchu tego układu rezygnujemy z opisu sygnałów sinusoidalnych w notacji zespolonej ze względu na trudności matema-tyczne:
sin t
m qx F x r 2 x
x 20 3
, (2.34)
gdzie
0,1 jest małym parametrem opisującym nieliniowość ukła-du, a q – parametrem opisującym charakterystykę sztywnościową układu. Gdy q = 1, to układ ma twardą charakterystykę, a gdy q = (–1), to charakterystyka elementu sprężystego jest miękka. Często wystę-pującym układem nieliniowym jest układ, dla którego q = 1, czyli tzw.oscylator Duffinga. Model Duffinga jest stosowany do opisu drgań zawieszeń membran głośnikowych oraz opisu drgań maszyn przemy-słowych. Odzwierciedla on ruch amortyzowany, czyli ruch układu wymuszanego okresowo i z nieliniową sztywnością. Rozwiązanie rów-nania (2.34) jest skomplikowane i wymaga stosowania przybliżonych metod rozwiązywania. Podamy zatem za Kaliskim (1966) jego
rozwią-zanie w pierwszym przybliżeniu:
Okresowe wyrażenie (2.35) jest pierwszym przybliżeniem rozwią-zania równania (2.34) – oprócz znanego dla układów liniowych członu powielającego częstość siły wymuszającej
( A cos t ),
występuje w nim człon zależny od trzeciej harmonicznej częstości wymuszającej(
). Kolejne przybliżenia rozwiązania równania (2.34) zawierają człony zależne od
cos5 t , cos7 t
itd., czyli są zależne od nieparzystych harmonicznych częstości wymuszającej.Wystąpienie w rozwiązaniu nieliniowego równania ruchu (2.34) nierzystych harmonicznych, a w ogólnym przypadku harmonicznych pa-rzystych i niepapa-rzystych, jest cechą układów nieliniowych. Dlatego mówimy, że układ nieliniowy wprowadza zniekształcenia częstościowe.
Korzystając z wyrażeń (2.35–2.37), można wyznaczyć receptancję układu opisanego równaniem (2.34). Jej moduł przedstawiono na rys. 2.9 w zależności od dobroci układu Q, wartości amplitudy siły wymuszającej
k
F oraz wartości parametru nieliniowego . Wartości stałych układu i warunki początkowe dobrano tak, aby uniknąć przy-padku drgań niestatecznych. Mogą one wystąpić w rozwiązaniu rów-nań ruchu układów nieliniowych, a charakteryzują się tym, że w rze-czywistości nie dają się zrealizować, ponieważ są bardzo niestabilne i najmniejsze zachwianie równowagi układu powoduje, że przechodzą w drgania stabilne (Kaliski, 1966). Drgań tych w analizie modalnej nie rozpatruje się. Na rysunku 2.9 przyjęto, że układ ma twardą cha-rakterystykę elementu sprężystego. Z rysunku 2.9a wynika, że w ukła-dzie z nieliniową sztywnością typu Duffinga amplituda drgań jest
zawsze ograniczona dla skończonych wartości częstości, w przeciwień-stwie do układu liniowego, dla którego w częstości rezonansowej am-plituda rośnie do nieskończoności. Dlatego drgania takich układów nieliniowych nazywa się czasem drganiami o skończonej amplitudzie (Malecki, 1964).
Wartość siły wymuszającej wpływa na szerokość maksimum re-zonansowego. Jest ono tym szersze, im większa jest wartość tej siły, rys. 2.9b. Mała nieliniowość, występująca w układzie objawia się
Rys. 2.9. Moduł funkcji receptancji układu z nieliniową sztywnością w zależności od:
a) dobroci Q, b) amplitudy siły wymuszającej, c) wartości parametru nieliniowego
odejściem od pionu krzywych rezonansowych. W miarę wzrostu parametru nieliniowego , krzywe pochylają się w prawo (dla q = 1), rys. 2.9c, lub w lewo [dla q = (–1)].
Rys. 2.10. Charakterystyka fazowa receptancji układu z nieliniową sztywnością. Pa- rametrem krzywych jest parametr nieliniowości
Na rysunku 2.10 przedstawiono charakterystykę fazową układu z nieliniową sztywnością. Parametrem krzywych jest . Rysunek ten (wraz z rys. 2.9c) w pełni opisuje moduł i kąt fazowy receptancji roz-patrywanego układu. Wynika z niego, że w częstości rezonansowej przesunięcie fazowe między wychyleniem a okresową siłą wymuszają-cą jest mniejsze niż dla układu liniowego (rys. 2.5b). Ponadto, dla du-żej wartości parametru = 0.8 i częstości większych od rezonansowej, przesunięcie to niewiele różni się od przesunięcia w rezonansie, a więc układ staje się sztywny.
Innym zjawiskiem powodującym nieliniowe zachowanie się układu i spotykanym w eksperymentach modalnych jest wystąpienie tarcia suchego, nazywanego też tarciem kulombowskim. Siła tłumiąca zwią-zana z tym tarciem jest opisana zależnością:
),
gdzie N – siła nacisku, – współczynnik tarcia kulombowskiego, )
x
sign – funkcja zależna od kierunku prędkości ruchu: (
Dla x 0 tarcie kulombowskie przechodzi w tarcie statyczne.
Równanie ruchu układu wymuszanego siłą okresową, w którym jedy-ną siłą dyssypatywjedy-ną jest tarcie suche, ma postać:
x kx Fsin tNsign x
m . (2.39)
Rozwiązanie tego równania uzyskuje się metodami przybliżonymi i jest ono postaci (Giergiel, 2000):
t Asin
t
natomiast A jest liczbą rzeczywistą, gdy . 4 F
T Jest to warunek spełniony w większości przypadków praktycznych. Przybliżone wyra-żenie na tangens kąta fazowego (2.42) nie zależy od ,
0
a przy
1
0
zmienia znak. W rozwiązaniu ścisłym występuje zależność
kąta od
0
(Giergiel, 2000).
Z równań (2.40)–( 2.42) można wyprowadzić przybliżone wyrażenie na receptancję układu wymuszanego okresowo z tarciem suchym.
Moduł tej funkcji dla tarcia suchego o wartości 1 N przedstawiono na rys. 2.11.
Rys. 2.11. Moduł funkcji receptancji układu nieliniowego z tarciem suchym, wymu- szanego siłą okresową. Parametrem krzywych jest amplituda siły wymuszającej