Sprawdzimy teraz, jak amplituda prędkości układu wymuszanego siłą okresową zależy od częstości tej siły, czyli od Ω. W tym celu obli-czymy pochodną po czasie wyrażenia (2.25):
maksy-malną wartość, czyli dla jakich wartości Ω krzywa rezonansu prędko-ści osiąga maksimum. Zauważamy, że stanie się tak, gdy
0(można to sprawdzić, obliczając pochodną
będzie równa częstości drgań swobodnych układu. Z tego powodu czę-stość drgań swobodnych nazywana jest częstością rezonansową. Zwy-czajowo przez pojęcie rezonans rozumie się rezonans prędkości. Krzy-we rezonansu prędkości przedstawiono na rys. 2.3b.
2.2. Postaci funkcji transmitancji wyrażone we współrzędnych fizycznych
Zdefiniujemy teraz ważną funkcję w eksperymentalnej analizie mo-dalnej – funkcję przejścia lub inaczej transmitancji. Ta zespolona funkcja, zależna od częstości, powstaje w wyniku podzielenia funkcji będącej odpowiedzią układu na pobudzenie (wychylenia, prędkości lub przyspieszenia), przez funkcję opisującą to pobudzenie. Dzieląc wy-
Rys. 2.3. a) krzywe rezonansu wychylenia, b) krzywe rezonansu prędkości. Parame- trem krzywych jest dobroć układu
rażenie (2.25) stronami przez F~
t Fejt, zdefiniujemy dla układu o jednym stopniu swobody z wymuszeniem wiskotycznym funkcję przejścia nazywaną receptancją (ang. receptance), czyli stosunek wy-chylenia do wywołującej je siły (Ewins, 1995):
0 2
0
jd 2 1
1 Fˆ
x
, (2.30)
gdzie FˆFk.
Wykorzystując wyrażenie (2.29), zdefiniujemy funkcję przejścia nazywaną admitancją (ang. mobility), czyli stosunek prędkości ukła-du do wywołującej ją siły:
0 2
0
jd 2 1
j F~v
. (2.31)
40
Tabela 2.1. Wyrażenia na elementy składowe zespolonych funkcji przeniesienia układu o jednym stopniu swobody tłumionego lepkościowo Postać funkcji transmi- tancji
ModułKąt fazowy Część rzeczywistaCzęść urojona
2 0
W podobny sposób definiujemy trzecią postać funkcji przejścia – inertancję (ang. inertance), czyli stosunek przyspieszenia układu do wywołującej je siły:
Funkcje () () oraz () są zespolone. Ich moduły, kąty fazowe, części rzeczywiste i urojone przedstawiono w tabeli 2.1. Przedstawio-no je również na rys. 2.4–2.6 dla arbitralnie dobranych parametrów fizycznych układu o jednym stopniu swobody tłumionego lepkościowo.
Rysunki 2.3a i 2.4a oraz 2.3b i 2.4b przedstawiają w istocie te same krzywe, a różnią się jedynie wyskalowaniem osi.
Najczęściej transmitancję przedstawia się graficznie jako parę stanowiącą jej moduł i kąt fazowy, w zależności od częstości. Para ta nazywana jest wykresem typu Bodego.
Powróćmy do wyrażenia (2.17) przedstawiającego równanie ruchu dla układu o jednym stopniu swobody, wymuszanego siłą harmonicz-ną i tłumionego lepkościowo. Wstawiając do niego wyrażenia (2.19), (2.19a) i (2.19b) oraz pomijając zależność czasową, otrzymujemy:
Rys. 2.4. Elementy funkcji receptancji: a) moduł, b) kąt fazowy, c) część rzeczywista, d) część urojona. Parametrem krzywych jest dobroć układu
Rys. 2.5. Elementy funkcji admitancji: a) moduł, b) kąt fazowy, c) część rzeczywista, d) część urojona. Parametrem krzywych jest dobroć układu
Rys. 2.6. Elementy funkcji inertancji: a) moduł, b) kąt fazowy, c) część rzeczywista, d) część urojona. Parametrem krzywych jest dobroć układu
Tabela 2.2. Granice, do których zdążają funkcje przejścia dla małych i dużych często-ści siły wymuszającej , dla funkcji przejścia wyrażonej w mierze liniowej i loga- rytmicznej
jest małe, ruch zdominowany
przez sztywność układu jest duże, ruch zdominowany
przez bezwładność układu
Znajomość wyrażeń opisujących nisko- i wysokoczęstościowe części funkcji przejścia przydaje się przy analizie wykresu ich modułu. Na rysunku 2.7 przedstawiono moduły funkcji przejścia z rys. 2.4a, 2.5a i 2.6a, dla Q = 5. Częstość względną siły wymuszającej przedstawiono tam w skali logarytmicznej, a na osi rzędnych odłożono poziom funkcji przejścia (podając wartości referencyjne) w skali liniowej. Zaznaczono również proste aproksymujące zachowanie krzywej dla małych i du-żych wartości /0, wykorzystując logarytmiczne wartości funkcji przejścia z tabeli 2.2. Na rysunku 2.7 uwidoczniono cechy charaktery-styczne receptancji – równoległość do osi częstości niskoczęstościowej części wykresu (poniżej /0), admitancji – symetrię, inertancji – równoległość do osi częstości części wysokoczęstościowej wykresu. Ma-jąc narysowane poziomy funkcji transmitancji w opisanej powyżej skali i z naniesionymi liniami mas oraz sztywności, można łatwo znaleźć masę i sztywność układu. Masie odpowiada linia masy rów- noległa do wysokoczęstościowego zbocza, a sztywności – linia rów- noległa do niskoczęstościowego zbocza. Z rys. 2.7 można zatem wywnioskować, że masa przykładowego układu wynosiła 1 kg, a sztywność 1 m/N.
Z wykresów przedstawiających część rzeczywistą i część urojoną funkcji transmitancji (rys. 2.4c,d–2.6c,d) wynika, że w częstości rezo-nansowej i dla skończonej dobroci układu część rzeczywista przecho-dzi przez zero (jak dla receptancji i inertancji) lub przyjmuje wartość skończoną (jak dla admitancji), a część urojona przyjmuje wartość
skoń-Rys. 2.7. Poziomy modułów: a) receptancji, b) admitancji, c) inertancji w logarytmicz- nej skali częstotliwości względnej
czoną (jak dla receptancji i inertancji) lub przechodzi przez zero (jak dla admitancji). W częstości rezonansowej te części rzeczywiste i uro-jone, które dla skończonej dobroci przyjmowały wartość skończoną, dążą do wartości nieskończonej.
Innym sposobem graficznego przedstawienia funkcji przejścia jest wykreślenie zależności jej części urojonej od części rzeczywistej. Taki sposób prezentacji funkcji transmitancji nazywany jest wykresem Nyquista lub wykresem w płaszczyźnie Arganda (Ewins, 1995).
Wy-Rys. 2.8. Wykresy Nyquista dla funkcji przejścia w postaci: a) receptancji, b) admi- tancji, c) inertancji. Parametrem krzywych jest dobroć układu
kresy Nyquista dla receptancji , admitancji i inertancji przedsta-wiono na rys. 2.8. Są one odpowiednikiem rys. 2.4c,d–2.6c,d. Wykresy te są mniej lub bardziej zniekształconymi okręgami. Im współczynnik dobroci jest mniejszy, czyli im tłumienie jest większe, tym kształt wy-kresu jest bardziej zbliżony do okręgu, np. rys. 2.8b dla Q = 2. Na ry-sunku 2.8 punktami zaznaczono dane dla poszczególnych par wartości części rzeczywistej i części urojonej. Punkty te odpowiadają często-ściom siły wymuszającej układ do drgań. Istotą wykresu Nyquista jest to, że w okolicy częstości rezonansowej punkty te leżą bardzo blisko siebie i formują część okręgu lub cały okrąg. W częstościach dalekich od częstości rezonansowej okrąg ulega deformacji. Zatem wykresy Nyquista, choć nie zawierają bezpośrednio informacji o częstości, to pozwalają określić ją za pomocą części rzeczywistej i urojonej transmi-tancji. Pozwalają one również określić wstępnie dobroć maksimum rezonansowego funkcji przejścia – im okrąg ma większy promień, tym dobroć jest większa, a maksimum krzywej rezonansowej – węższe.
Ogólnie, w literaturze receptancję, admitancję i inertancję oznacza się symbolem H(f), gdzie f jest częstotliwością wyrażaną w hercach i jest ona związana z częstością wyrażeniem = 2f.
2.3. Nieliniowość układu