Układ o jednym stopniu swobody

Poznanie praw i zasad rządzących ruchem układu o jednym stopniu swobody, a także odpowiedniej terminologii, jest kluczem do zrozu-mienia analizy modalnej. Analiza modalna, pod pewnymi warunkami, dokonuje rozkładu złożonego drgania obiektu na nierozkładalne dalej drgania własne nazywane modami, będące w istocie drganiami nieza-leżnych układów o jednym stopniu swobody.

Liczbę możliwych ruchów składowych, jakie mogą wykonywać punkty materialne, nazywa się liczbą stopni swobody (Osiński, 1978).

Ruch układu o jednym stopniu swobody odbywa się w jednym kierun-ku i opisywany jest jedną zmienną przestrzenną, np. wychyleniem lub kątem obrotu. Rozpatrując ruch układu o jednym stopniu swobody, czyni się zazwyczaj założenia ułatwiające jego analizę, czyli buduje się uproszczony model, który zawiera najistotniejsze cechy tego układu.

Uproszczenia powinny być dokonane tak, aby ruch modelu był jako-ściowo identyczny z ruchem rzeczywistego układu o jednym stopniu swobody, a błąd związany z wprowadzeniem uproszczeń wpływał na analizę ilościową ruchu tego układu w określonych granicach (Osiń-ski, 1978).

Punktem materialnym nazywamy ciało, którego rozmiary można zaniedbać i którego masa skupiona jest w punkcie matematycznym (Szczeniowski, 1980). Podobnie, na potrzeby modelowania ruchu układu o jednym stopniu swobody, można założyć, że elementy sprę-żysty i tłumiący są bezmasowe, bezwymiarowe i opisane odpowiednio przez sztywność i współczynnik tłumienia. Model układu o jednym

stopniu swobody złożony z punktu materialnego połączonego z taką sprężyną i elementem tłumiącym jest modelem układu o stałych sku-pionych. Cechą charakterystyczną układu o stałych skupionych jest to, że jego poszczególne wymiary są małe w porównaniu do długości fali sprężystej propagującej się w tym układzie, a zatem jej wpływ na układ jest pomijalny. Oznacza to, że różnice w fazie drgań poszczegól-nych punktów układu można pominąć. Implikuje to granicę stosowal-ności opisu układu modelem o stałych skupionych – można to robić tylko do częstości rezonansowej układu, czyli do momentu, w którym długość fali staje się porównywalna z rozmiarami układu. Mimo iż opis układu modelem o stałych skupionych jest w dziedzinie częstości ograniczony (tylko do częstości rezonansowej), to jest on wygodny ma-tematycznie – równania ruchu są równaniami różniczkowymi zwy-czajnymi, z jedną zmienną niezależną, czyli czasem, które rozwiązuje się znacznie prościej niż równania różniczkowe cząstkowe opisujące układ o stałych rozłożonych. Gdy rozpatrujemy drgania układu w czę-stościach większych od jego częstości rezonansowej, czyli takiego, w którym rozchodzą się fale o długości mniejszej od wymiarów ukła-du, to analiza drgań takiego układu staje się analizą propagacji fal sprężystych rozchodzących się w tym układzie. W takim przypadku nie możemy pominąć warunków brzegowych ograniczających ruch ani wymiarów i kształtu układu, które mają wpływ na rozkład naprężeń, odkształceń i przemieszczeń w układzie. Taki układ nazywamy ukła-dem o stałych rozłożonych. Układ o stałych rozłożonych opisuje się równaniami różniczkowymi cząstkowymi, w których zmiennymi nie-zależnymi są czas i współrzędne przestrzenne. Zapisanie takich rów-nań dla rozpatrywanego problemu jest zazwyczaj trudne (niekiedy niemożliwe), a ich rozwiązanie analityczne w niewielu przypadkach osiągalne. W rzeczywistości większość układów fizycznych jest ukła-dami o stałych rozłożonych. Na szczęście zazwyczaj można je zastąpić zbiorem układów o parametrach dyskretnych, czyli skończoną liczbą układów o jednym lub kilku stopniach swobody, co powoduje, że rów-nania ruchu są rówrów-naniami różniczkowymi zwyczajnymi oraz uprasz-cza stopień matematycznej złożoności rozpatrywanego problemu.

Rozpatrzmy układ o jednym stopniu swobody, o stałych skupio-nych: masie m, sztywności k oraz tłumieniu r, wymuszany siłą okre-sową Fsint, przedstawiony na rys. 2.1.

Najpierw zajmiemy się drganiami swobodnymi nietłumionymi tego układu, tzn. pominiemy w rozważaniach tłumienie oraz siłę

wymusza-Rys. 2.1. Układ o jednym stopniu swobody

jącą. Równanie równowagi sił działających w takim układzie, czyli równanie ruchu, ma postać:

0 kx x

m  , (2.1)

gdzie x – przyspieszenie układu, x – wychylenie układu.

Równanie (2.1) przedstawia sumę jedynych sił działających w ukła-dzie, tj. siły bezwładności i siły sprężystości. Występowanie tych sił jest warunkiem koniecznym do zaistnienia ruchu drgającego.

Przekształćmy równanie (2.1) do postaci a²

m gdzie k

, 0 x

x²₀  ₀ . (2.2)

Parametrem równania (2.2) jest wielkość ₀ nazywana częstością drgań swobodnych, wyrażana w rad/s. Dla drgań swobodnych jest ona stała, niezależna od warunków początkowych i amplitudy drgań oraz zależna tylko od parametrów układu, tj. jego masy m i sztywności k.

Równanie (2.2) jest liniowym równaniem różniczkowym, zatem rozpa-trywany układ jest również liniowy. Rozwiązanie równania (2.2) moż-na podać w postaci funkcji zespolonej:

 

t Ae ^{j 0t} Be^{j 0t}

x  ^  ^ , (2.3)

gdzie j – jednostka urojona,

lub w postaci funkcji rzeczywistej:

 

^{t C cos t C sin t}

x  ₁ ₀  ₂ ₀ . (2.4)

Stałe C₁ oraz C₂ w równaniach (2.3) i (2.4) wyznacza się z warun-ków początkowych. Przyjmijmy następujące warunki początkowe

  ^{0 x , x}   ^{0 v .}

a równanie (2.3) jest postaci:

 

^{0 j t}

Drgania swobodne przedstawiono na rys. 2.2a.

Teraz rozpatrzymy drgania swobodne tłumione, z tłumieniem wi-skotycznym, nazywanym też lepkościowym, tzn. takim, w którym siła tłumiąca jest proporcjonalna do prędkości układu. Są to drgania zani-kające w czasie, czyli nieustalone lub transjentowe. Równanie ruchu ma postać:

2  – współczynnik tłumienia lepkiego.

Rozwiązaniem równania (2.7) jest funkcja

 

t Ae^g1t Be^g2t

x   , (2.9)

gdzie g₁ i g₂ są pierwiastkami równania charakterystycznego dla równania (2.8). Równanie charakterystyczne otrzymuje się po wsta-wieniu do równania (2.8) przewidywanego rozwiązania w postaci

 

^{t Ae .}

1. Jeśli 0, tzn. gdy

r  

₀

,

to istnieją dwa pierwiastki zespo-lone równania (2.10):

2

i rozwiązanie równania ruchu (2.8) jest postaci zespolonej:

 

_

lub w postaci rzeczywistej:

 



Częstość drgań tłumionych lepkościowo



_t jest mniejsza od często-ści drgań swobodnych ₀. Równanie (2.11) opisuje ruch harmoniczny (na co wskazuje jednostka urojona j w wykładniku e, tłumiony pod-krytycznie, z obwiednią amplitudy opisaną funkcją e^rt. Ruch harmo-niczny jawnie występuje w równaniu (2.12). Ruch ten trwa nieskoń-czenie długo, a jego amplituda zmierza do zera, gdy czas dąży do nieskończoności. Ten ruch jest przedmiotem zainteresowania wibroa-kustyki, ponieważ jest to ruch drgający. Przedstawiono go na rys. 2.2b.

Dwa pozostałe przypadki mają mniejsze zastosowanie w akustyce.

2. Jeśli > 0, tzn. gdy r > ₀, to istnieją dwa pierwiastki z tłumieniem nadkrytycznym. Ruch ten nie jest ruchem harmonicz-nym. W zależności od przyjętych warunków początkowych zanikająca w czasie amplituda drgań może przejść jeden raz przez zero lub też nie. Przedstawiono go na rys. 2.2c.

Rys. 2.2. a) drgania swobodne, b) ruch słabo (podkrytycznie) tłumiony, c) ruch aperiodyczny

3. Jeśli > 0, tzn. gdy r >0, to istnieje jeden, podwójny, pierwia-stek rzeczywisty równania (2.10), a jego rozwiązanie jest postaci:

 

^{t e}



^{A Bt}



x  ^rt  . (2.14)

Równanie (2.14) opisuje ruch aperiodyczny krytyczny, czyli ruch z tłumieniem krytycznym i jak wskazuje jego nazwa, nie jest to ruch drgający. Jego amplituda zmierza monotonicznie do zera szybciej niż w ruchu aperiodycznym. Zależność wychylenia od czasu jest dla tego ruchu podobna do przedstawionych na rys. 2.2c. Z warunku r >0

można zdefiniować tzw. współczynnik tłumienia krytycznego (Ewins, 1995; Zaveri, 1985):

0

kr

2 m

c  

. (2.15)

Rozpatrzymy teraz układ o jednym stopniu swobody, tłumiony i wymuszany siłą okresową o częstości Ω, jak na rys. 2.1.

Równanie ruchu dla tego przypadku ma postać:

lub po podzieleniu stronami przez m:

t

albo po dalszych przekształceniach



 – ułamek tłumienia krytycznego. Parametr ten jest wykorzystywany przy opisie parametrów modalnych drgającej struktury. Przyjmuje się, że gdy tłumienie modalne ma wartość mniejszą od 10% wartości krytycznej, to badany układ można trakto-wać jak układ liniowy (Ewins, 1995).

Równanie (2.18) jest niejednorodne, a więc jego rozwiązanie składa się z sumy rozwiązania równania jednorodnego (całki ogólnej, opisują-cej drgania nieustalone) danej, w zależności od relacji między współ-czynnikiem tłumienia i częstością drgań swobodnych, wyrażeniem (2.11), (2.13) lub (2.14) oraz całki szczególnej, którą przewidujemy w postaci:

 

t xme^{j t}

x  ^ . (2.19)

Pierwsza pochodna po czasie równania (2.19) to prędkość, a druga – przyspieszenie:

prędkość, a a(t) – przyspieszenie. Po wstawieniu postulowanej całki szczególnej (2.19) do równania ruchu (2.18) otrzymujemy wyrażenie na xm:

Rozwiązanie szczególne równania (2.18) ma więc postać zespoloną.

Część rzeczywista tego rozwiązania dana jest wyrażeniem:

 

^{j t}

Zatem kąt fazowy θ między siłą działającą w układzie a jego wy-chyleniem wynosi:

Rozwiązanie równania ruchu (2.16) w stanie ustalonym ma więc postać:

 

i tak długo jak działa siła, ich amplituda jest stała i opisana wyraże-niem (2.20).

Zapiszmy amplitudę wychylenia (2.20) w postaci

 

i zapytajmy, jakie przyjmuje wartości w zależności od częstości siły wy-muszającej Ω. Trzeba więc zbadać przebieg zmienności funkcji 



 czyli przyrównać jej pierwszą pochodną po

0

 do zera. Krzywą opisaną wyrażeniem (2.26) nazywa się krzywą rezonan-su wychylenia. Po wykonaniu obliczeń otrzymujemy:

2

Wprowadzając dobroć Q układu tłumionego lepkościowo c

 możemy wyrażenie (2.27) napisać w postaci:

0 2Q2

1 1

 

 . (2.28)

Jest to częstość rezonansu wychylenia.

Na rysunku 2.3a przedstawiono krzywą rezonansu wychylenia w zależności od częstości siły wymuszającej Ω, odniesionej do częstości drgań swobodnych układu ω0, czyli do .

0



Sprawdzimy teraz, jak amplituda prędkości układu wymuszanego siłą okresową zależy od częstości tej siły, czyli od Ω. W tym celu obli-czymy pochodną po czasie wyrażenia (2.25):

maksy-malną wartość, czyli dla jakich wartości Ω krzywa rezonansu prędko-ści osiąga maksimum. Zauważamy, że stanie się tak, gdy

  

₀

(można to sprawdzić, obliczając pochodną

 będzie równa częstości drgań swobodnych układu. Z tego powodu czę-stość drgań swobodnych nazywana jest częstością rezonansową. Zwy-czajowo przez pojęcie rezonans rozumie się rezonans prędkości. Krzy-we rezonansu prędkości przedstawiono na rys. 2.3b.

2.2. Postaci funkcji transmitancji wyrażone

W dokumencie Eksperymentalna analiza modalna gitar i skrzypiec (Stron 29-38)