3.1. Podstawy teoretyczne analizy modalnej
3.1.2. Ortogonalność wektorów modalnych
Powróćmy do równania (3.3), które na podstawie założenia
x x
można zapisać w postaci:
k x m x
. (3.15)Każda wartość własna i i jej wektor własny {i} spełniają równa-nie (3.15), tzn.:
k
i
i m
i . (3.16) Przemnożymy równanie (3.16) z lewej strony przez transponowany wektor własny {j}T:
T
i ji i T
j k m
. (3.17)
Równanie (3.15) będzie również spełnione przez wartość własną
j i i odpowiadający jej wektor własny {j}{i}:
k
j j
m
j . (3.18) Równanie (3.18) przemnożymy z lewej strony przez transponowa-ny wektor włastransponowa-ny {i}T:
T
j ij j T
i k m
. (3.19)
Ponieważ macierze [m] i [k] są macierzami symetrycznymi, tzn.
[m]T= [m] oraz [k]T= [k], to równania (3.17) i (3.19) można zapisać następująco:
j Ti i i T
j k m
T
j ij i T
j k m
. (3.20)
Po odjęciu stronami równań (3.20) otrzymujemy:
T
j ij
i m
0 . (3.21)
Jeśli wartości własne i oraz j są różne (i j), to:
m
j 0 Ti
(3.22)
oraz na podstawie równania (3.19):
k
j 0 własnej i wektorowi własnemu o numerze i. Nazywamy je uogólnioną masą modalną i uogólnioną sztywnością modalną. Jeśli zatem ma-cierz mas [m] i mama-cierz sztywności [k] przemnożymy w prawej strony przez macierz modalną [], a z lewej strony przez jej transpozycję []T, to otrzymamy diagonalną macierz mas [M] i sztywności [K].Jest to ważna własność macierzy modalnej nazywana ortogonalnością (Ewins, 1995).
Jak już wspomniano, można znormalizować macierz modalną, żą-dając, aby uogólniona macierz mas modalnych była macierzą jednost-kową, tzn. aby:
dla układu o N stopniach swobody, który ma N częstości modalnych:
numer składowej wektora modalnego (obwiedni modalnej) związanego z częstością modalną opisaną drugim wskaźnikiem, czyli przez j. Za-tem pierwsza kolumna macierzy zawiera wszystkie (w liczbie N) skła-dowe wektora obwiedni związanego z pierwszą częstością modalną.Pierwszy wiersz macierzy zawiera pierwszą składową wszystkich wektorów obwiedni, których też jest N, przy czym każdy element tego wiersza jest związany z inną częstością modalną.
Od tego momentu będziemy posługiwać się w naszym przykładzie macierzą modalną daną wyrażeniem (3.26). Jest to wygodne, ponie-waż bardzo upraszcza obliczenia. Iloczyn macierzowy
opisuje diagonalną macierz częstości modalnych podniesionych do kwadratu.
Macierz modalna [], stworzona z wektorów własnych odpowiada-jących wartościom własnym, ma własność diagonalizacji macierzy mas [m] i sztywności [k] układu, dla którego została wyznaczona. Za-stosowanie macierzy modalnej [] i jej transpozycji []T do macierzo-wego równania ruchu pozwala więc rozprząc układ równań [w naszym przykładzie są to równania (3.2) oraz (3.1)]. Oznacza to, że każde równanie układu można rozwiązywać niezależnie od pozostałych, co znacznie przyspiesza i upraszcza obliczenia.
Zdiagonalizowanie macierzy mas i sztywności z wykorzystaniem ortogonalnych własności macierzy modalnej wiąże się z przejściem z kartezjańskiego układu współrzędnych, w którym obwiednia i-tego
modu opisana jest wektorem o składowych
x
i, do układu tzn. współ-rzędnych modalnych nazywanych też normalnymi, w którym obwied-nia i-tego modu opisana jest wektorem o składowych ui. Przejścia ze współrzędnych kartezjańskich na współrzędne modalne dokonuje się za pomocą liniowej transformacji postaci: x u
. (3.28) Powróćmy do naszego przykładu układu o dwóch stopniach swobo-dy, dodając do niego harmoniczne siły wymuszające, jak na rys. 3.3.Rys. 3.3. Układ o dwóch stopniach swobody z przyłożonymi siłami wymuszającymi
Zapiszmy macierzowe równanie ruchu układu z rys. 3.3 we współ-rzędnych modalnych, wykorzystując transformację współwspół-rzędnych (3.28) i mnożąc je z lewej strony przez []T:
Podstawia-jąc dane liczbowe do równania (3.29), otrzymujemy:
(3.29)
t
Zatem układ równań (3.30) można zapisać we współrzędnych mo-dalnych {u} postaci dwóch niezależnych, niejednorodnych równań róż-niczkowych: macierzo-wym (3.30). Implikuje to rozkład, czyli analizę, układu o dwóch stop-niach swobody przedstawionego na rys. 3.3, na dwa niezależne układy o jednym stopniu swobody przedstawione na rys. 3.4, których parame-try dane są we współrzędnych modalnych.
Rozwiązanie równania jednorodnego
u u ,
czyli całkę ogólnąwynosi sin2t. 2
u1 1 Dla równania jednorodnego
u u
zakła-damy rozwiązanie, czyli całkę ogólną równania (3.31b), postaci
.t cos D t sin C
u
2
2
2 Wykorzystując warunki początkoweu ,
u
oraz rads, otrzymujemy ,D 0 10C 5 i w końcu
całkę ogólną równania (3.31b) postaciu sin t.
Całkę szczególną równania (3.31a) przewidujemy w ogólnej postaci ,
t sin u
u1,szczeg 1,m 1 czyli dla założenia
rad/s ma ona postać:t sin u
u1,szczeg 1,m . (3.32a)
Rys. 3.4. Układ o dwóch stopniach swobody z rys. 3.3 rozłożony na dwa niezależne układy o jednym stopniu swobody we współrzędnych modalnych
Po wstawieniu wyrażenia (3.32a) do równania (3.31a)
otrzymuje-my .
2
u1,m 2 Całka szczególna równania (3.31a) ma więc postać
. t 2 sin
u1,szczeg 2 Zatem rozwiązanie równania niejednorodnego (3.31a), będące sumą całki ogólnej i całki szczególnej ma postać:
t 2 sin t 2 2sin2
u1,og 1 . (3.33a)
W podobny sposób wyznaczamy całkę ogólną równania (3.31b):
t 38sin t 2 5 2 10sin
u2,og 5 . (3.34b)
Do współrzędnych kartezjańskich powracamy, wykorzystując transformację (3.28), tj.
Pierwsze dwa człony wyrażeń (3.36) i (3.37) opisują drgania swo-bodne obu mas z przykładu, przy skalowaniu do jednostkowej macie-rzy uogólnionej masy modalnej. W częstości drgań swobodnych ω1= 2 rad/s obie masy poruszają się w fazie z amplitudą o wartości .
4 2
W częstości drgań swobodnych 2 2 5rad s obie masy poruszają się w fazach przeciwnych, z amplitudą równą .
20
10 Trzeci człon wy-rażeń (3.36) i (3.37) opisuje drgania wymuszane siłą o częstości = 1 rad/s. Równania (3.36) i (3.37) dobrze ilustrują podstawową zasadę analizy modalnej, zgodnie z którą drganie wypadkowe jest sumą drgań składowych, czyli modalnych i wymuszonych (Zaveri, 1985).
Zatem drganie wypadkowe układu o wielu stopniach swobody może być rozłożone na sumę drgań własnych i wymuszonych, czyli badany układ musi spełniać zasadę superpozycji. Muszą więc istnieć podsta-wy do założenia, że badany układ jest układem liniopodsta-wym, tzn. jego wychylenia są małe, skład częstotliwościowy sygnału na wyjściu układu jest taki sam jak sygnału na wejściu oraz sygnały te są addy-tywne i jednorodne.