3.1. Podstawy teoretyczne analizy modalnej
3.1.4. Transmitancja układu wyrażona we współrzędnych modalnych
W rozdziale 2.2 zdefiniowano receptancję, opierając się na parame-trach fizycznych układu, tzn. za pomocą jego masy, sztywności i tłu-mienia. Teraz wyprowadzimy wyrażenie na receptancję opierające się na parametrach modalnych, tj. obwiedni modu, masie modalnej i tłu-mieniu modalnym. Punktem wyjścia, dla uproszczenia rozważań, jest równanie opisujące układ o dwóch stopniach swobody, o sztywności liniowej, bez tłumienia, wymuszany siłą okresową. Można je napisać
formalnie w postaci:
m
x
k
x F ejt. (3.47) Przyjmując rozwiązanie w postaci
x
t x ejt i obliczając jegopierwszą i drugą pochodną po czasie, można równanie (3.47) zapisać jako:
x
k 2
m
1
F (3.48)lub
x
F , (3.49)gdzie
k 2
m
1. (3.50)Macierz [] jest macierzą N N (N – liczba stopni swobody układu, w naszym przykładzie jest to macierz 2 2) i jest nazywana macierzą transmitancji lub modelem odpowiedzi układu. Składa się ona z ele-mentów postaci:
k j
jk F
x
, (3.51)
które w istocie są receptancjami, zdefiniowanymi dla układu o jednym stopniu swobody wyrażeniem (2.30), między siłą przyłożoną do k-tego stopnia swobody a wychyleniem j-tego stopnia swobody.
Po pomnożeniu wyrażenia (3.50) z lewej strony przez transpono-waną macierz modalną []T, a z prawej strony przez []otrzymujemy:
T T
k 2
m
1
. (3.52) Pamiętając o ortogonalnych własnościach macierzy modalnej []oraz o przyjętej normalizacji do jednostkowych elementów uogólnionej macierzy masy, mamy:
2i 2
1T ,
lub z dwoma stopniami swobody można zapisać, wykorzystując wyraże- nie (3.53):
Ogólnie, wyrażenie dla elementu macierzy transmitancji układu wymuszanego siłą okresową, bez tłumienia ma postać:
N
1
i 2 2
i ki
jk ji . (3.54)
Mianownik wyrażenia (3.54) jest nazywany niekiedy biegunem transmitancji, a licznik – residuum (Ewins, 1995).
W przypadku układu z tłumieniem proporcjonalnym (np. do ma-cierzy sztywności), rozumując podobnie jak dla układu bez tłumienia, otrzymujemy wyrażenie na receptancję w postaci:
k 2
m j
c
1, (3.55)w którym po zastosowaniu macierzy modalnej [] i jej macie- rzy transponowanej []T wszystkie macierze, tj. [k], [m] i [c], są dia- gonalne:
i j
C
T. (3.56) Element macierzy transmitancji (receptancji) dla układu z tłumie-niem proporcjonalnym i wymuszetłumie-niem okresowym ma postać:
N
1 i
i 2 i
2i
ki ji jk
M j C
. (3.57)
Z wyrażeń (3.54) i (3.57) wynika, że transmitancja układu złożone-go jest sumą transmitancji układów o jednym stopniu swobody, wyra-żonych przez parametry modalne tych układów, tj. częstości modalne ωi, tłumienia modalne Ci oraz składowe wektorów obwiedni modalnej odpowiadające i-tej częstości modalnej ji oraz ki. W układzie złożo-nym jest zatem spełniona zasada superpozycji, a więc układ ten musi być układem liniowym. W funkcji przejścia zawarte są informacje o parametrach modalnych układu. Maksima funkcji transmitancji (receptancji, admitancji lub inertancji – w zależności od postaci sygna-łu będącego odpowiedzią na pobudzenie) występują w częstościach modalnych. Szerokość połówkowa krzywej składowej częstości ωi, związana jest z tłumieniem modalnym występującym w tej częstości.
Jeśli wartość transmitancji jest wyrażona w mierze liniowej, to szero-kość połówkowa jest szerokością maksimum rezonansowego w połowie wysokości krzywej. Jeśli wartość transmitancji jest wyrażona w mie-rze logarytmicznej, to szerokość połówkowa odpowiada szerokości krzywej 3 dB poniżej maksimum. Składowe wektora obwiedni modal-nej odpowiadającej częstości rezonansowej ωi tworzą residuum modu-łu transmitancji i odpowiadają za jego amplitudę. Ponieważ trans-mitancja w ogólności (tzn. dla układów z tłumieniem) jest funkcją zespoloną, to do pełnego jej opisu, oprócz częstościowej charakterysty-ki jej modułu, potrzebna jest jeszcze charakterystyka fazowa. Charak-terystyki fazowe, dla układu o jednym stopniu swobody, zostały opi-sane w rozdziale 2.2. O częstości modalnej i tłumieniu modalnym mówi się, że są parametrami lokalnymi transmitancji. Obwiednia modalna jest parametrem globalnym układu. Im bardziej skompliko-wana postać sił dyssypacyjnych i sprężystych, tym postać funkcji transmitancji jest bardziej złożona (Ewins, 1995; Maia i Silva, 1997;
Rainieri i Fabbrocino, 2014).
Ogólnie macierz transmitancji [] ma postać:
Pierwsza kolumna tej macierzy zawiera receptancje wyznaczone dla wszystkich stopni swobody, gdy siła jest przyłożona do pierwszego stopnia swobody. W pierwszym wierszu tej macierzy znajdują się re-ceptancje pierwszego stopnia swobody wyznaczone w sytuacji, gdy siła przyłożona jest do wszystkich stopni swobody. Jeden wiersz i jedna kolumna macierzy [] zostały wyróżnione zaznaczeniem w kształcie prostokąta. Powrócimy do nich przy omawianiu minimalnej liczby funkcji transmitancji niezbędnej do przeprowadzenia testu modalnego badanego układu.
Na przekątnej macierzy receptancji [] znajdują się elementy o ob-serwuje się głębokie minimum między częstościami rezonansowymi obu stopni swobody, rys. 3.6a. Tak głębokiego minimum między czę-stościami rezonansowymi nie obserwuje się w przebiegu modułu re-ceptancji przejścia, rys. 3.6b. Różnica ta wynika ze znaków, z jakimi sumowane są poszczególne elementy transmitancji punktowej, czyli
jj, oraz transmitancji przejścia, czyli jk. W naszym przykładzie opi-sane są one wyrażeniem (3.54), a uogólniona macierz masy modalnej została wyskalowana do macierzy jednostkowej. W związku z tym macierz modalna [], opisana wyrażeniem (3.26), ma trzy elementy dodatnie: 11, 12, 21 oraz jeden ujemny 22. Elementy te tworzą ilo-czyny występujące w licznikach części składowych jk.
Z tego powodu transmitancja punktowa, np. 11 jest sumą skład-ników dodatnich, a transmitancja przejścia, np. 12, jest sumą skład-nika dodatniego i ujemnego:
2
Powrócimy teraz do wyrażenia (3.58) i zapytamy, ile receptancji jk
trzeba wyznaczyć, aby wypełnić macierz []. Wiemy już, że jest to ma-cierz symetryczna, więc wyznaczenie elementów znajdujących się nad jej przekątną określa również elementy znajdujące się pod przekątną.
Skomplikujemy teraz nasz układ przykładowy i założymy, że składa się on nie z dwóch, lecz z trzech mas połączonych sprężynami, a
tłu-mienie w nim nie występuje. Macierz [] jest więc postaci:
Wyznaczmy pierwszą kolumnę macierzy opisanej wyrażeniem (3.60), czyli 11, 12 oraz 13. Znamy zatem
Wyrażenie (3.62) pozwala powtórnie wyznaczyć częstości modalne oraz 21, 22 oraz 23, a 11, 12 i 13 już znamy.
Rys. 3.6. a) receptancja punktowa, b) receptancja przejścia układu o dwóch stopniach swobody bez tłumienia. Na rysunku zaznaczono linią przerywaną receptancję obu
stopni swobody
Wyznaczmy jeszcze 13: połowy macierzy opisanej wyrażeniem (3.60) potrzebujemy jeszcze 32,
22 oraz 33: pełnej macierzy receptancji [] wystarczyło wyznaczenie wszystkich elementów jej jednej kolumny. Podobne rozumowanie można prze-prowadzić, zakładając, że znamy jeden pełny wiersz macierzy [].
Zrekapitulujmy dotychczasowe rozważania dotyczące teoretycznej analizy modalnej. Pełne jej wyniki uzyskuje się, znając masy, tłumie-nia, sztywności i wymuszenia wszystkich stopni swobody. Wyniki teo-retycznej analizy modalnej opisuje tzw. model modalny składający się z dwóch macierzy: macierzy funkcji przejścia i macierzy, w której ze-brano częstości i tłumienia modalne. Funkcje przejścia składają się z wektorów własnych, odpowiadających wartościom własnym, nazywa-nym częstościami modalnazywa-nymi. Wektory własne, czyli obwiednie mo-dalne, zbudowane są z wychyleń, prędkości lub przyspieszeń związa-nych z poszczególnymi stopniami swobody.