Matematyczne ujęcie ryzyka

Ryzyko opisywane jest iloczynem dwóch czynników - prawdopodobieństwa niepożądanego zdarzenia oraz jego wpływu na działalność organizacji [Zawiła-Niedźwiecki J., 2010, s. 155]:

R= P * S (1)

gdzie:

R - ryzyko

P - prawdopodobieństwo zdarzenia niepożądanego

S - rozmiar skutków zdarzenia określony wpływem na działalność organizacji

Chcąc opisać matematycznie ryzyko operacyjne należy oprzeć się na rachunku prawdopodobieństwa i statystyce. Przyjmując, że parametry (, F, P) określają przestrzeń probabilistyczną, gdzie:

 - zbiór zdarzeń elementarnych 1...n, gdzie: n, n >0, F - rodzina zdarzeń losowych,

P - prawdopodobieństwo określone na zdarzeniach losowych,

można zdefiniować ryzyko operacyjne i je zmierzyć. Często jest ono określane zmienną losową X oraz dystrybuantą rozkładu tej zmiennej opisującą strukturę zysków (i strat) poniesionych w wyniku materializacji ryzyka. Za zmienną losową (skokową lub ciągłą) przyjmuje się zmienną przyjmującą różne wartości liczbowe wyznaczane przez los.

W przypadku, gdy dokonuje się opisu ryzyka, będą one stanowiły zmienne ryzyka, takie jak np. strata [Orzeł J., 2012, s. 31].

Każda zmienna losowa opisywana jest przez pewien rozkład prawdopodobieństwa (scharakteryzowany funkcją gęstości prawdopodobieństwa). Opisuje on prawdopodobieństwo zaistnienia każdej możliwej wartości zmiennej.

W zarządzaniu ryzykiem stosuje się skumulowane prawdopodobieństwa. Taka skumulowana funkcja rozkładu zmiennej nazywana jest dystrybuantą i wyraża się wzorem [Orzeł J., 2012, s. 32]:

P{X≤x} = Fx(x) (2)

gdzie:

X - zmienna losowa,

x - realizacja zmiennej losowej X,

Fx - dystrybuanta rozkładu zmiennej losowej X.

Przeprowadzając analizę miar ryzyka stosowanych w teorii i praktyce uwzględnia się następujące parametry [Jajuga K., 2007, s. 40-41]:

 miary zmienności⁵⁵ (ang. volatility measures) np. odchylenie standardowe,

 kwantyle rozkładu (ang. quantiles),

 wartości dystrybuanty rozładu (ang. distribution function).

Jajuga zwraca uwagę, że o ile miary zmienności mogą być stosowane zarówno w neutralnej, jak i negatywnej koncepcji ryzyka, to kwantyle i dystrybuanty używane mogą być tylko w kontekście negatywnym ryzyka - jako tzw. miary zagrożenia (ang. downside risk measures) [Jajuga K., 2007, s. 41].

Pomiar ryzyka operacyjnego powinien obejmować nie tylko częstotliwość zdarzeń operacyjnych, lecz również wysokość generowanych przez nie strat. Częstotliwość zdarzeń operacyjnych można zamodelować za pomocą funkcji rozkładu dla zmiennych dyskretnych tj.

np. rozkład Bernoulliego (dwumianowy), Pascala (ujemny dwumianowy), Poissona czy geometryczny. Dopasowanie danego rozkładu do danych empirycznych można zweryfikować za pomocą np. testu Chi-Kwadrat. Dążąc do bardziej dokładnego odzwierciedlenia rzeczywistości wykorzystać można bardziej złożone modele częstotliwości np. model Poisson-Poisson czy też model Neymana Typu A. Z kolei skalę strat (ich wartość) można zamodelować funkcjami rozkładu dla zmiennych ciągłych np. rozkładem normalnym, wykładniczym (jednoparametrowym), gamma (dwuparametrowym), uogólnionym rozkładem Pareto (trzyparametrowym) itd. Najczęściej spotykane w praktyce są rozkłady jedno- i dwuparametrowe, choć rozkłady z większą liczbą parametrów lepiej dokładnie odzwierciedlają rzeczywistość. Chcąc zweryfikować poprawność wyboru rozkładu można zastosować testy: Kołmogorowa-Smirnowa, Kupca, Anderson-Darlinga itd. [Orzeł J., 2012, s. 32]. Teoretyczne rozkłady prawdopodobieństwa powinny stanowić odzwierciedlenie rzeczywistości. Np. obliczając odsetek uszkodzeń w produkcji można założyć, że jedno zdarzenie warunkujące taką sytuację nie będzie powiązane z powstaniem kolejnych uszkodzeń - w tym przypadku zastosować można rozkład dwumianowy. W rzeczywistości jednak może powstać uszkodzenie, które będzie generowało uszkodzenia innych elementów.

55 Pomiar ryzyka przy użyciu miar zmienności zaproponował Markowitz w torii portfela [Jajuga K., 2007, s. 41].

Sytuacja ta nie znajdzie odzwierciedlenia przy użyciu rozkładu dwumianowego. Przy użyciu rozkładu Poissona problem ten byłby rozwiązany, jednak jego użycie jest możliwe „tylko dla dużych liczb jednostek o bardzo małej szansie wypadku na jednostkę”. Rozkład ten bardziej dokładnie opisuje też ryzyko wypadku, któremu dany obiekt może ulec więcej niż raz (podobnie jak w przypadku zastosowania rozkładu normalnego).

Zastosowanie teoretycznych rozkładów prawdopodobieństwa znacznie ułatwia dokonywanie obliczeń, co stanowi o ich popularności w modelowaniu ryzyka. W dalszym ciągu natomiast ich dopasowanie do sytuacji stanowi przedmiot badań statystyków i ekonomistów [Staniec I., Klimczak K.M., 2008, s. 28-29].

W kontekście ryzyka operacyjnego, które jak zostało wspomniane, może być rozpatrywane w kontekście wystąpienia negatywnych skutków, odchylenie standardowe będzie wskazywało, jaka jest średnia różnica między rzeczywistą wielkością, a wartością oczekiwaną (np. określoną wielkością opóźnień obliczoną na podstawie średniej arytmetycznej z danych historycznych). Wartość odchylenia standardowego będzie tym większa, im bardziej obserwowane wartości różnią się od tych oczekiwanych⁵⁶. Staniec i Klimczak przyjmują nawet, że przy bardzo niskiej wartości odchylenia standardowego wartość prognozowana jest na tyle dokładna, że nie powinna ona stanowić ryzyka, a raczej stratę, którą można precyzyjnie określić. Na tej podstawie przywołani autorzy sugerują, że opisywane ryzyko powinno być na bardzo niskim poziomie [Staniec I., Klimczak K.M., 2008, s. 27].

W przypadku opracowywania symulacji opartych na rozkładach matematycznych powinno się [Damodaran A., 2009, 209-213]:

 ustalić tzw. zmienne probabilistyczne,

 określić rozkłady prawdopodobieństwa dla tych zmiennych,

 sprawdzić korelacje między zmiennymi,

 przeprowadzić symulację⁵⁷.

Jedną z możliwości przypisania rozkładów prawdopodobieństwa na podstawie danych historycznych daje program EasyFit, którego efekt działania został przedstawiony w rozdziale 8.5 oraz załącznikach 4. i 5. niniejszej dysertacji.

Podsumowując, metody matematyczne w zakresie szacowania wielkości związanych z określaniem ryzyka, wykorzystują historyczne analizy danych z organizacji, a także możliwości przekształcenia niemierzalnej niepewności w zwymiarowane ryzyko. Ponadto

56 Przy bardzo wysokim odchyleniu standardowym wartość oczekiwana nie pozwala na trafne przewidywanie przyszłości [Staniec I., Klimczak K.M., 2008, s. 27]

57 Liczba powtórzeń będzie zależna od: ilości probabilistycznych danych wejściowych, cech rozkładu prawdopodobieństwa oraz różnic w wynikach.

działania takie umożliwiają poszerzenie stanu wiedzy przez poszukiwanie zależności między przyczynami oraz skutkami, które nie zawsze są dostrzegalne bez wyznaczenia korelacji, co praktycznie przedstawiono w rozdziałach 6.3 i 8.4 niniejszej rozprawy.