4. PROCESY DRGANIOWE W BUDOWNICTWIE
4.5. Modelowanie dynamiki konstrukcji
Wykorzystanie podstaw modelowania obiektów w praktyce inżynierskiej prowadzi wprost do pomiarów drgań konstrukcji, które dobrze odzwierciedlają ich stan dyna-miczny. Praktyczne wykorzystanie drgań umożliwia opis stanu dynamicznego kon-strukcji za pomocą degradacyjnie zorientowanych różnych symptomów drganiowych.
Obraz drganiowy konstrukcji nowej i po pewnym okresie użytkowania daje podstawę wnioskowania o rodzajach zużyć i dominujących źródłach wymuszeń, co pozwala na ingerencje w szybkość degradacji stanu, na realizację czynności profilaktycznych lub na modernizację konstrukcji. Znajduje to uzasadnienie w dobrym modelu destrukcji obiek-tu, który uwzględnia związek zaawansowania zużycia proporcjonalny do energii dyssy-pacji, wiążący się z czasem istnienia obiektu, poziomem konstrukcji, nowoczesności technologii wytwarzania, intensywności użytkowania oraz jakości zabiegów profilak-tycznych [48,59,62,65].
Jednym z podstawowych zadań projektantów budowanych obecnie nowoczesnych technologicznie i materiałowo konstrukcji jest analiza dynamiki, wstępnie realizowana modelowo, co przedstawia algorytm na rysunku 4.33.
Sformułowanie zadania identyfikacji
Ustalenie stanu wiedzy Wybór techniki
eksperymentu Przetwarzanie
danych z eksperymentu
Estymacja parametrów Sprawdzanie zgodności modelu
z obiektem
Decyzja o przyjęciu
modelu
Model Tak
Nie
Weryfikacja Estymacja Kryterium
zgodności
Eksperyment Wiedza
a priori
Modelowanie
Rys. 4.33. Ilustracja procesu identyfikacji modelu dynamiki konstrukcji
Analizę dynamiki konstrukcji budowlanej można wykonać bądź to na podstawie jej modelu strukturalnego, zbudowanego za pomocą metody elementów skończonych, bądź wykonując badania doświadczalne istniejącej konstrukcji lub jej prototypu.
Jednym z powszechnie stosowanych w świecie narzędzi do badania własności dy-namicznych konstrukcji mechanicznych jest analiza modalna. Badania modalne
pro-wadzi się dla różnego rodzaju konstrukcji, począwszy od miniaturowych i precyzyjnych elementów maszyn, poprzez środki transportu, aż do dużych konstrukcji budowlanych typu zapory wodne, maszty, mosty itp. W wyniku analizy modalnej otrzymuje się mo-del modalny konstrukcji, który może być zastosowany do rozwiązania wielu zagadnień inżynierskich, np. do syntezy układów budowlanych, analizy zachowania się konstruk-cji pod wpływem różnych wymuszeń, modyfikakonstruk-cji własności dynamicznych, minimali-zacji promieniowania energii akustycznej, analizy wytrzymałości zmęczeniowej.
Przez model modalny badanej konstrukcji budowlanej (lub jej elementów) rozu-mie się uporządkowany zbiór częstości własnych, współczynników tłurozu-mienia oraz postaci drgań dla poszczególnych wymuszeń obciążających [59,76].
Wykorzystując stwierdzenie, że stan destrukcji obiektu (materiału badanego) moż-na opisywać zamiennie [zamiast modelowania zmian w kategoriach (m, k, c) stosować opis drganiowy w kategoriach (a, v, x)], w badaniach przemysłowych stan degradacji konstrukcji lub elementów murowych ocenia się estymatorami procesu drganiowego, w tym funkcją FRF i częstościami drgań własnych, wynikającymi wprost z zastoso-wania procedur analizy modalnej. Zmiany stanu degradacji obiektów i złożonych kon-strukcji opisywane sygnałem drganiowym odzwierciedlają się w zmiennych warto-ściach poziomu (parametrów) drgań lub w zmianie transmitancji od punktu uszkodzenia do punktu odbioru [H(f), FRF].
Idea metodyki budowy modelu dynamiki systemu budowlanego oparta jest na da-nych z pomiaru wielkości drganiowych (przyspieszeń drgań, momentu obrotowego, sił itp.) lub danych z eksperymentu modalnego – realizowanych w warunkach eksploata-cyjnych. Opracowanie modelu analitycznego degradacji systemu sprowadza się do przyjęcia szeregu założeń upraszczających, ułatwiających opis matematyczny i analizę procesów dynamicznych w obiekcie. Często korzystniejsze jest identyfikowanie anali-tycznego modelu uproszczonego przy świadomości założeń upraszczających i dokładna jego analiza niż identyfikacja modelu złożonego i jego analiza metodami przybliżony-mi. W modelowaniu takim stosowane są zwykle przybliżenia techniczne, które nie obniżają istotnie cech układu rzeczywistego [48]. Główne z nich to: stacjonarność mo-delu (niezależność własności dynamicznych momo-delu od czasu t), liniowość momo-delu, zastąpienie ciągłego modelu modelem dyskretnym, pomijanie oddziaływań zewnętrz-nych o niskiej amplitudzie, mało istotzewnętrz-nych ze względu na cel modelu.
Realizacja badań dynamiki obiektów dla potrzeb analizy stanu ich obciążeń i stop-nia degradacji stanu prowadzi do przyjęcia następujących założeń [59,76]:
– wektory stanu degradacji nadzorowanego systemu są funkcją deterministyczną zmiennej przestrzennej. Założenie to warunkuje metoda wyznaczania macierzy cha-rakterystyk dynamicznych Hik (jϖ,Ɵ) struktury, w której punkty (i,k) obiektu są do-wolne, ale ustalane na początku procedury budowy dyskretnego modelu obiektu – co nie powinno wpływać na wyniki badań,
– quasi-liniowość zachowania badanego obiektu oraz zastosowanie odpowiedniego rodzaju wymuszenia przy teście wyznaczającym charakterystyki dynamiczne Hik
(jϖ,Ɵ) obiektu pozwala przyjąć założenia liniowości modelu, – rodzaje wymuszeń: przypadkowe, impulsowe,
– budując model konstrukcji, przyjmuje się a priori wektor wymuszeń zewnętrznych F(ω,Θ), tzn. ilość elementów wektora oraz punkty przyłożenia wypadkowych po-szczególnych sił i kierunki ich działania. Punkty te są w modelu modalnym punktami pomiarowymi, gdyż model przestrzenny punktów przyłożenia sił oraz ich kierunków działania jest niezbędny do poprawnego wyznaczenia charakterystyk amplitudowych.
Konstrukcja budynku nie jest bryłą sztywną, dlatego nie można jej sprowadzać do prostych modeli dynamicznych, gdyż nie jest możliwe uwzględnienie pierwotnego stanu inicjacji uszkodzenia. Problem ten wynika z nierównomiernego rozkładu masy i sztywności budynku, a to prowadzi do różnorodnych stanów wytężenia elementów obiektu. Generalnie istnieją trzy podstawowe możliwości oszacowania odpowiedzi dynamicznej obiektu budowlanego:
a) pomiary „in-situ”,
b) modelowe badania laboratoryjne,
c) analizy numeryczne związane z symulacjami komputerowymi.
Badania „in-situ”, fizycznie istniejących rzeczywistych obiektów budowlanych, po-legają z reguły na uzyskaniu wielkości pierwszej częstotliwości drgań własnych budynku.
Jednocześnie rejestrowane są wielkości dwóch poziomych składowych przyspieszeń, prędkości lub przemieszczeń, na kierunkach wzajemnie prostopadłych, mające miejsce na wybranych kondygnacjach budynku. Zdarzają się także dodatkowe pomiary składowych przyspieszeń lub prędkości na kierunku pionowym [11,15,59,76]. Każdy obiekt budowla-ny będzie w odmienbudowla-ny sposób odpowiadać na to samo wymuszenie, charakteryzując się inną odpowiedzią dynamiczną w przypadku różnych charakterystyk wymuszeń.
Metoda analizy czasowej (THA – Time History Analysis) umożliwia określenie zmiany wartości wytężenia konstrukcji w funkcji czasu. Metoda THA została wprowa-dzona do badań wysokich budowli o znacznej smukłości, jak również o nieregularnej geometrii i rozbudowanym rzucie poziomym czy wymagających specjalnego funda-mentowania. Jest stosowana także w przypadku gdy obiekt charakteryzuje się nierów-nomiernym rozkładem sztywności i masy oraz zastosowaniem niestandardowych mate-riałów. Pod względem zabezpieczenia budowli na wpływ drgań podłoża, metoda ta jest zalecana w przypadku stosowania wibroizolatorów, tłumików lub tzw. rozwiązań ak-tywnych. Istotnym elementem tej metody jest odpowiedni dobór sygnału wymuszenia, który powinien uwzględniać obciążenia dynamiczne reprezentatywne, które mogą za-istnieć na danym terenie (lub już wystąpiły). Sygnał obciążenia dynamicznego należy dobrać tak, aby jego charakterystyka odpowiadała najbardziej prawdopodobnym wiel-kościom amplitud, ich zmianie w czasie, jak i długości trwania – rysunek 4.34.
Rys. 4.34. Istota metody analizy czasowej
Koncepcję metody analizy czasowej, w której zadawany jest znany sygnał wymu-szenia opisać można znaną już relacją:
Mሷ (t) +Cሶ (t) +K q (t) = P (t) (4.39)
Powyższy układ równań różniczkowych zwyczajnych można rozwiązać na kilka sposobów. Jednym z nich jest metoda dekompozycji modalnej, która polega na prze-prowadzeniu podziału dynamicznej odpowiedzi układu na sumę kolejnych odpowiedzi modalnych. Nie istnieje możliwość zastosowania zasady superpozycji w układach nieli-niowych, dlatego jej stosowalność jest ograniczona do zagadnień liniowo-sprężystych.
Idea analizy czasowej z uwzględnieniem sił bezwładności wynikających z tego wymu-szenia została przedstawiona na rysunku 4.35.
Rys. 4.35. Idea analizy czasowej poprzez siły bezwładności wynikające z wymuszenia Model holistyczny układu wielowejściowego – wielowyjściowego przedstawiony jako równanie sił zapisać można w postaci [8,59,76]:
[
D( )
t,Θ]
x( )
t,Θ +C[
D( )
Θ] [ ]
xt,Θ +K[
D( )
Θ]
x( )
t,Θ =F( )
t,ΘM (4.40)
Zmiany parametrów obiektu, które mogą wystąpić w procesie istnienia oraz zmia-ny wprowadzane w celu obniżenia dynamiczności konstrukcji można zapisać w postaci:
C C C
K K K
M M M
∆ +
=
∆ +
=
∆ +
=
(4.41)
gdzie:
∆ – przyrost parametru fizycznego układu w funkcji czasu ewolucji dynamicznej.
Równanie ruchu w czasie Θr można więc zapisać w postaci:
(
M +∆M) (
xt,Θr) (
+ C+∆C) (
xt,Θr) (
+ K+∆K) (
xt,Θr)
=F(
t,Θr)
(4.42) Równanie (4.24) w dziedzinie częstotliwości przyjmuje postać:(
K −ω
2M + jω
C)
x( ω
,Θ)
=F( ω
,Θ)
(4.43) przy czym elementy macierzy K, M, C są funkcjami charakterystyk destrukcji D(Θ).Dokonując modalnej transformacji na podstawie macierzy parametrów modal-nych, można utworzyć holistyczny model dyskretny systemu działaniowego:
{ }
x =[ ]
Φ{ }
q (4.44)a opis modalny przyjmuje postać:
[ ]
I{ }
q +[ ]
2σ{ }
q +[ ]
ω02{ }
q =[ ]
ΦT{
F} (4.45) przy skalowaniu jednostkowej masy modalnej:[ ] [ ][ ] [ ]
Φ T m Φ = I (4.46)gdzie:
[ ]
Φ – wektor własny postaci modalnej.W procesie istnienia obiektu i postępującego zużycia (degradacji stanu) następuje modyfikacja strukturalna [∆M], [∆K], [∆C], toteż parametry strukturalne systemu po czasie eksploatacji T można zapisać w postaci:
Stąd wyznacza się macierze przyrostów (zmian) parametrów strukturalnych:
Możliwe jest więc badanie symptomów ewolucji stanu przy symulowanych uszkodzeniach {D(Θ)} poprzez badanie zmiany parametrów modalnych ∆M, ∆K, ∆C.
Symulowana zmiana dowolnych parametrów stanu degradacji {masa, sztywność, tłumienie) powoduje zmianę jego charakterystyk własnych wyznaczanych poprzez trans-mitancje widmowe oraz charakterystyk eksploatacyjnych określonych np. przez widma odpowiedzi. Macierz inertancji dynamicznej, w której elementy poszczególnych kolumn są inertancjami dynamicznymi pośrednimi wyznaczonymi między wybranymi punktami systemu kolejno dla częstotliwości ω1, ω2, ..., ωr przedstawiona jest relacją (4.31). Każda z kolumn macierzy wyznaczana jest przy kolejnych zmianach parametrów obiektu.
( )
W wyniku rozkładu tak zbudowanej macierzy transmitancji względem wartości szczególnych uzyska się niezerowe wartości szczególne, których ilość równa jest liczbie przeprowadzonych modyfikacji parametrów mechanicznych (rzędy tych macierzy od-powiadają ilości przeprowadzonych modyfikacji) [59,76].
W analogiczny sposób można zbudować macierz, której kolumnami są składowe widma odpowiedzi systemu, wyznaczone w dowolnym w punkcie „i” (dla częstotliwo-ści ω1, ω2, ..., ωk) kolejno dla poszczególnych zmian parametrów obiektu pl:
( )
Rozkład na wartości szczególne tak zbudowanej macierzy widma odpowiedzi daje tyle niezerowych wartości szczególnych, ile wynosi liczba przeprowadzonych modyfi-kacji parametrów (rząd macierzy Gp,i(ω) równy jest ilości przeprowadzonych modyfika-cji p1) [61]. Oznacza to, iż charakterystyki widmowe (transmitancje widmowe) systemu wywołane zmianą jego parametrów mechanicznych są liniowo niezależne względem charakterystyk początkowych. Prowadzi to do wniosku, iż transmitancji wyznaczonej w jakiejkolwiek chwili Θr czasu ewolucji degradacji stanu nie można uzyskać z kombi-nacji liniowych transmitancji wyznaczonych w innym czasie procesu destrukcji. Za-chowania układu o zmiennych w czasie parametrach modelowane są więc jako zacho-wania układu o stałych parametrach w wybranych chwilach czasu Θr.
Postacie własne są funkcją deterministyczną zmiennej przestrzennej. Obserwując postacie własne, wyznaczone z modelu modalnego, obserwuje się „słabe" obszary kon-strukcji objawiające się dużą dynamicznością. Badane są możliwości jej obniżenia po-przez zmianę parametrów modelu: mas ∆M w odpowiednich punktach maszyny Ai, sprężystości ∆K lub tłumienia ∆C.
Opracowane metodami analizy dynamicznej charakterystyki obciążeń dynamicz-nych w obiektach wskazywać mogą słabe elementy konstrukcji tych obiektów. W pro-cesie projektowania winny być kształtowane własności dynamiczne konstrukcji (ma-cierz
{
Hik( )
jω }
) w odniesieniu do wektora wymuszeń (gęstość widmowa wymuszeń GFF(ω), co jest podstawą optymalizacji użytkowania obiektów, działań profilaktycznych zapobiegających ich awariom oraz poprawy bezpieczeństwa w danych warunkach eks-ploatacji. W procesie eksploatacji (istnienia) budowli i postępującego zużycia (degrada-cji stanu) następuje modyfikacja strukturalna [∆m], [∆k], [∆c].Elementarna analiza charakterystyk dynamicznych układu (np. podatności dynamicz-nej) wskazuje na dużą efektywność ich zmian w zależności od zakresu częstotliwości:
– niskie częstotliwości – zmiana sprężystości k, – wysokie częstotliwości – zmiana masy m,
– częstotliwości rezonansowe – zmiana miary tłumienia c.
Rozwiązania konstrukcyjne obiektów mogą stanowić kryterium oceny wrażliwości struktury na zmianę parametrów:
– elementy ramowe konstrukcji wsporczej – zmiana sprężystości k,
– duże elementy powierzchniowe (karoserie, ściany zbiorników, kosze zasypowe, rury) – zmiana miary tłumienia (np. zastosowanie materiałów o dużym tarciu we-wnętrznym lub pokrycie powierzchni pastą głuszącą).
Obserwując postacie własne, wyznaczone z modelu modalnego, łatwo można określić obszary konstrukcji, objawiające się dużą dynamicznością. Możliwości jej obniżenia można poszukiwać poprzez zmianę parametrów modelu: mas M w odpo-wiednich punktach konstrukcji A, sprężystości K lub tłumienia C.