Operacyjna analiza modalna

Zaletą metod eksploatacyjnej analizy modalnej w zastosowaniu do identyfikacji charakterystyk dynamicznych obiektów jest zachowanie warunków brzegowych oraz wymuszeń, charakterystycznych przy eksploatacji tych obiektów. Istotę eksploatacyjnej analizy modalnej wraz z ideą systemu pomiarowego przedstawiono na rysunku 5.8.

Rys. 5.8. Istota eksploatacyjnej analizy modalnej

O BIEK T BAD AŃ M O D U Ł - diagram stabilizacyjny (norm alne użytkow anie) ekspl. analizy PC - częstości drgań w łasnych m odalnej - postacie drgań, tłum ienie

Wyjście Akcelerometry przenosi się w kolejne punkty odbioru sygnałów

Stały akcelerometr referencyjny

Wymuszenia eksploatacyjne

Do identyfikacji modeli modalnych ze względu na pomiary eksploatacyjne stoso-wane są metody [59,73]:

– LSCE (Least Squares Complex Exponential), oparta na pomiarach korelacji własnej i korelacji wzajemnej sygnałów odpowiedzi,

– BR (Balanced Realisation), wyznaczane za pomocą funkcji autoregresji sygnałów odpowiedzi,

– CVA (Canonical Variate Analysis), realizowana w podprzestrzeni stochastycznej.

Do identyfikacji modelu modalnego obiektu stosowany jest w warunkach eksploa-tacji obiektu system przestrzennego rozkładu drgań PCODS (Personal Computer Ope-ration Deflection Shapes). Metoda eksploatacyjnej analizy wyznaczania postaci drgań PCODS oparta jest na wielokanałowym pomiarze odpowiedzi w węzłowych punktach obiektu rzeczywistego. System umożliwia graficzne przedstawienie zachowań dyna-micznych maszyny badanej w warunkach eksploatacyjnych. Danymi wejściowymi do systemu są przebiegi czasowe drgań mechanicznych, występujących w węzłowych punktach maszyny, odniesione do jednego z nich (o najwyższej amplitudzie). Wyzna-czane są widma mocy własne Gx xk k

( )

^ω i widma mocy wzajemne odpowiedzi i Gx xi k

( )

j^ω , przy czym punkt "k" obiektu jest punktem odniesienia, a punkty "i" są węzłowymi punktami obiektu. Podstawowym elementem metody jest identyfikacja macierzy transmitancji widmowych odpowiedzi:

{

^T

( ) }

^G

^{( )} _{( )}

Transmitancja widmowa Tik(jω) zawiera informacje o amplitudach względnych i fazach względnych (względem punktu odniesienia) zachowań eksploatacyjnych obiektu. Sys-tem PCODS składa się z trzech modułów:

1. Moduł modelowania konstrukcji. Umożliwia on stworzenie modelu geometrycznego konstrukcji poprzez podanie współrzędnych węzłowych punktów (max 300 punktów pomiarowych) oraz elementów łączących te punkty (max 400). Istnieje możliwość wprowadzenia współrzędnych lokalnych (sferycznych lub cylindrycznych).

2. Moduł pomiarowy. Umożliwia wyznaczenie, akwizycję i przesłanie danych.

W trakcie przesyłania wyznaczonych estymatorów można na ekranie mikrokompu-tera obserwować poszczególne charakterystyki dynamiczne (w przypadku analizy dwukanałowej można przeglądać funkcje transmitancji, koherencji oraz widma mo-cy lub estymatory amplitudowe i fazy wyznaczanych sygnałów).

3. Moduł graficzny. W module tym następuje wizualizacja i animacja zachowań dyna-micznych obiektu dla zadanych częstotliwości. Można dla każdej częstotliwości drgań eksploatacyjnych (ODS) uzyskać wynik w postaci tablicy zawierającej ampli-tudę i fazę drgań występujących w poszczególnych punktach obiektu.

Do wyznaczenia parametrów modelu modalnego stosuje się metodę LSCE, za pomocą której aproksymuje się przebieg funkcji korelacji sumą zanikających wykładni-czo funkcji harmonicznych [59]. Metoda ta stosowana do odpowiedzi impulsowej ukła-du jest dobrze znaną techniką w klasycznej eksperymentalnej analizie modalnej dającą estymatory globalne biegunów układu. Można udowodnić, że funkcja korelacji wza-jemnej może być wykorzystana w identyfikacji parametrów modelu modalnego w

spo-sób identyczny jak odpowiedź impulsowa układu. W tym celu rozważono równanie dynamiczne ruchu układu w postaci:

M

χ

+ C

χ

+ K

χ

= f(t) (5.29) gdzie:

M,C,K – macierze: mas, tłumienia i sztywności,

χ

,

χ

,

χ

– wektory przyspieszeń, prędkości i przemieszczeń, f(t) – wektor sił wymuszających.

Równanie (6.7) można przekształcić do współrzędnych głównych, stosując trans-formację daną wzorem:

x(t) = Ψq(t) =

∑

Ψ' – macierzą modalną, której kolumny są postaciami drgań własnych odpo-wiadających danej częstości własnej,

qr(t) – współrzędna główną (modalną).

Przy założeniu, że tłumienie jest małe lub proporcjonalne po podstawieniu zależ-ności (5.30) do równania (5.29) i pomnożeniu przez Ψ^T otrzymuje się rozprzężony układ równań:

Rozwiązanie równania (5.31) przy założeniu zerowych warunków początkowych dla dowolnego wymuszenia, można zapisać w postaci splotu:

( ) ( ) ( )

Wykorzystując rozwiązanie (5.32) dla współrzędnych modalnych do wyznaczenia rozwiązania we współrzędnych uogólnionych x(t) otrzymano:

x(t) =

n – liczba postaci drgań uwzględnianych w rozwiązaniu.

Równanie (5.33) dla pojedynczego wyjścia i jednego wymuszenia w punkcie k ma

Odpowiedź impulsowa wywołana przyłożeniem impulsu Diraca w punkcie k mie-rzona jako odpowiedź w punkcie i ma postać:

1

Funkcja korelacji wzajemnej wyznaczona dla dwóch sygnałów odpowiedzi w punkcie i oraz j wywołanych wymuszeniem w postaci białego szumu przyłożonego w punkcie k ma postać:

Rijk (T) = E[xik (t + T)xjk (t)] (5.36) gdzie:

E – operator wartości oczekiwanej.

Podstawiając rozwiązanie w postaci (5.34) do definicji korelacji wzajemnej danej wzorem (5.36) oraz przyjmując założenie, że wymuszenie jest białym szumem dla któ-rego funkcja korelacji jest stałą α_k pomnożoną przez deltę Diraca δ(t) , otrzymano:

Rijk(T) =

oraz zmieniono granice całkowania ze względu na postać funkcji g i przyczynowość układu.

Wykorzystując definicję funkcji g przedstawioną wzorem (5.32) oraz rozróżniając człony zależne od T i d, otrzymano:

a podstawiając zależność (5.37) oraz analogiczną dla gs(λ) do wzoru na funkcje korela-cji wzajemnej (5.36) otrzymano:

1

Aijkr, Bijkr są niezależne od T i są funkcjami parametrów modelu modalnego,

^{1 0} Równanie (5.39) pokazuje zależność pomiędzy funkcją korelacji wzajemnej, która ma postać sumy wykładniczo zanikających funkcji harmonicznych a impulsową funkcją przejścia stosowaną w klasycznej analizie modalnej do identyfikacji parametrów modeli.

Dla bezpośredniego wykorzystania tak przedstawionej funkcji korelacji do analizy modalnej można przekształcić zależność (5.39) do postaci:

( ) ( )

Metoda LSCE identyfikacji parametrów modelu modalnego jest metodą realizo-waną w dziedzinie czasu, dającą globalne oszacowanie parametrów modelu w postaci częstości własnych i modalnych współczynników tłumienia.

Podstawą do wyznaczania modeli modalnych w metodzie CE (Complex Exponen-tial) jest zmierzony przebieg impulsowej funkcji przejścia. Na podstawie pomiaru od-powiedzi układu na nieznane wymuszenie impulsowa funkcja przejścia jest zastępowa-na przez funkcję korelacji wzajemnej. Funkcja korelacji wzajemnej ma postać sumy zanikających wykładniczo funkcji harmonicznych postaci (5.41). W celu przedstawienia metody estymacji parametrów funkcje tę zapisano w postaci:

hjk (t) = ^st

Przebieg funkcji h(t) poprzez próbkowanie ze stałym okresem próbkowania ∆t przekształca się na ciąg próbek h0, hl , h2 ,..., hL. Wartość każdej próbki można wyra-zić za pomocą zależności:

2

Wartości szukanych współczynników można znaleźć stosując metodę Prony [59].

Zgodnie z tą metodą zawsze istnieje taki wielomian ze względu na Vr, z rzeczywistymi współczynnikami β taki, że spełniona jest zależność:

β + β_{0 1}V_r + β₂V_r²+…+ β_{L r}V^L =0 (5.45) Wyznaczenie współczynników β wymaga rozwiązania równania postaci:

0

Wyznaczone z równania (5.46) współczynniki umożliwiają znalezienie pierwiastków wielomianu (5.45) Vr. Wykorzystując określenie wartości Vr oraz wartości sprzężonej do niej wyznacza się częstości drgań własnych i odpowiadające im współczynniki tłu-mienia. Znając wartości Vr można wyznaczyć współczynniki Ar, a w konsekwencji na podstawie zależności (5.41) stałe modalne i kat przesunięcia fazowego. Współczynniki Ar wyznacza się rozwiązując równanie:

1

Rozwiązując równania (5.47) ze względu na Ar można wyznaczyć postacie drgań wła-snych. Jak można zauważyć podane zależności są wyprowadzone dla. układu typu jed-no wejście jedjed-no wyjście, tzn., że analizie poddaje się jeden przebieg impulsowej funk-cji przejścia, a w przypadku metody z pomiarem odpowiedzi jeden przebieg funkfunk-cji korelacji wzajemnej.

Metoda LSCE jest rozszerzeniem metody CE dla przypadku jednego wejścia i wielu wyjść, umożliwia ona analizę jednocześnie wszystkich zmierzonych funkcji korelacji wzajemnej, co pozwala na wyznaczenie estymatorów globalnych parametrów modalnych badanej konstrukcji. Odpowiednie zależności mają postać [59]:

[ ]

Rozwiązanie równania (5.48) ze względu na β można otrzymać stosując pseudo-odwrotność:

{β} = ([h]^T[h])^-1[h]^T{hG} (5.49) Dalsze postępowanie w celu wyznaczenia parametrów modelu modalnego jest iden-tyczne jak w przypadku wcześniej opisanej metody CE.

Inną metodą identyfikacji modeli modalnych na podstawie pomiarów w czasie eksploatacji jest metoda BR. Metoda należy do grupy metod sformułowanych w pod-przestrzeni stochastycznej. W celu wyprowadzenia podstawowych zależności metody rozważono stochastyczne równanie w przestrzeni stanu sformułowane dla czasu dys-kretnego. Równanie to ma postać:

{xk+1} = [A]{xk} + {wk}

{yk} = [C]{xk} + {vk} (5.50) gdzie:

{xk} – wektorem stanu lxn,

{wk} {vk} – wektory opisujące biały szum o wartości średniej równej zero i re-prezentujące szum zakłócający stan obiektu i wyjście.

Macierze [A] i [C] są odpowiednio macierzami stanu i wyjścia [59]. Dla tak sfor-mułowanego modelu można zdefiniować macierze obserwowalności i macierze stero-walności rzędu p w postaci:

[ ]

Macierze sterowalności i obserwowalności są z założenia rzędu n. Przy takim sformułowaniu problem identyfikacji modelu modalnego w warunkach eksploatacji sprowadza się do problemu estymacji elementów macierzy [A] i [C] na podstawie po-miaru jedynie wyjścia {yk}. Na podstawie znajomości macierzy [A] i [C] można wy-znaczyć zarówno częstości własne, jak również obserwowalne postacie drgań. Wartości własne i wektory własne identyfikowanego układu wyznacza się rozwiązując zagadnie-nie własne dla macierzy [A], znając te wielkości można dokonać dekompozycji modal-nej macierzy [A]:

[A] = [Φ][Λ][Φ]^-1 (5.52)

Dyskretne częstości własne (wyznaczone dla układu zdyskretyzowanego) λ, będą-ce wartościami elementów na przekątnej macierzy [A] mogą być przetransformowane do postaci częstości własnych dla czasu ciągłego za pomocą zależności:

^{λ = µ ∆} ⇒ µ = σ + ω = ^{1 1}

( )

λ

Tłumienie modalne ξr dla r- tej postaci drgań wyznacza się zależności:

Postać drgań dla r-tej częstości własnej {Ψ}r wyznaczona dla punktów w których mo-cowane są czujniki jest obserwowalną częścią wektora własnego {φ}_r (kolumna macie-rzy modalnej [Φ]) i można ją wyznaczyć ze wzoru:

{Ψ}r = [C]{φ}r (5.55) Należy zaznaczyć, że tak wyznaczone postacie drgań nie mogą być znormalizowane względem masy. Wymaga to pomiaru siły wymuszającej ruch.

Jak można zauważyć z powyższych rozważań do estymacji parametrów modelu modalnego konieczna jest znajomość elementów macierzy [A] i [C].

Metoda realizowana w podprzestrzeni stochastycznej wymaga, dla wyznaczenia elementów macierzy opisujących dynamikę układu rozkładu na wartości osobliwe i wek-tory osobliwe ważonej macierzy Hankela, w ogólnym przypadku nie kwadratowej [59]:

[W1][Hp,q] =

Związki pomiędzy macierzą Hankela a macierzą sterowalności i obserwowalności wykorzystuje się w identyfikacji elementów macierzy opisujących dynamiczne własno-ści badanego obiektu. Macierz sterowalnowłasno-ści i obserwowalnowłasno-ści zależy wprost od ma-cierzy stanu A i mama-cierzy wyjść C. Obie opisywane metody realizowane w podprze-strzeni stochastycznej różnią się macierzami wag [Wi], i = 1,2. W metodzie BR (ang.

Balanced Realisation) macierze te są macierzami jednostkowymi, natomiast w metodzie CVA macierze wag maja postać macierzy Teoplitza [59,73].

W pierwszym kroku procedury estymacji wyznacza się macierz korelacji własnej i wzajemnej, przebiegów drgań zmierzonych w punktach pomiarowych oraz w punk-tach przyjętych jako referencyjne. Korelacje tą można wyznaczyć ze wzoru:

[Rk] = ^M

{ }{ }

_t ^T

Inną metodą jest wykorzystanie pomiaru gęstości widmowej mocy wzajemnej i własnej oraz wyznaczanie funkcji korelacji poprzez odwrotną transformacje Fouriera. Ze względu na istnienie szybkich algorytmów realizujących przekształcenie Fouriera metoda ta jest wykorzystywana częściej niż metoda oparta na bezpośrednim obliczaniu funkcji korelacji na podstawie przebiegów czasowych. Znając funkcję korelacji wyznacza się blokową macierz Hankela oraz dokonuje jej rozkładu na wartości osobliwe (SVD):

[Hp,p] = są wartościami osobliwymi, p jest pewną dowolną liczbą całkowitą wybraną tak aby p > 2Nm, gdzie: Nm jest liczba fizycznych postaci drgań występujących w mierzonym zakresie częstotliwości. [S1] i [Ul] zawierają n pierwszych warto-ści osobliwych oraz odpowiadające im wektory osobliwe.

Zależność (5.58) umożliwia wyznaczenie rzędu modelu n poprzez założenie pewnej granicznej wartości σ_n , wartości osobliwe mniejsze od σ_n odrzuca się. W praktyce istnieje zawsze taka wartość wartości osobliwej, dla której kolejne wartości są dużo mniejsze, i je należy wyeliminować z dalszych rozważań. Z teorii realizacji stochastycznych wiadomo, że macierz Hankela daną wzorem (5.58) można przedstawić w postaci:

[Hp,p] = ˆ   ˆ

   O^p C ^p (5.59) gdzie:

estymator macierzy obserwowalności ma postać   = Oˆ^p

[ ][ ]

U S1 1^{1 2}.

Jak można zauważyć z powyższych zależności wyznaczając macierz korelacji, na-stępnie tworząc z nich blokową macierz Hankela można wyestymować macierz obser-wowalności poprzez rozkład na wartości osobliwe. Na podstawie wyznaczonych wartości elementów macierzy obserwowalności można wyznaczyć szukane elementy macierzy stanu [A] oraz macierzy wyjść [C]. Metoda ta może być stosowana do estymacji modeli modalnych i jest ona odporna na pewne niestacjonarności w mierzonych sygnałach.

Inną metodą, którą można zaliczyć do metod realizowanych w podprzestrzeni sto-chastycznej jest metoda CVA (ang. Canonical Variate Analysis), która różni się od poprzednio opisanej BR tym, że w celu identyfikacji parametrów macierzy opisujących stan oraz wyjście dokonuje się rozkładu na wartości i wektory osobliwe macierz Hanke-la ważoną w postaci:

[ ] [ ] [ ]

macierz wag jest macierzą Toeplitza i ma postać:

[ℜ] = ₌

W tym przypadku estymator macierzy obserwowalności oblicza się z zależności:

[ ]

^{1 2} 1 1 ^{1 2}

 = ℜ    

 O^p U  S (5.62) Pozostałe kroki algorytmu mają postać identyczną jak w przypadku metody BR. Wyniki uzyskiwane za pomocą opisanego algorytmu CVA są odporne na błędy numeryczne a procedura jest numerycznie efektywna.

Bardzo często w praktyce badań konstrukcji wystarczające jest zbadanie sposobu dynamicznego odkształcenia konstrukcji na skutek działających na nią obciążeń eksplo-atacyjnych. Metoda ta w odróżnieniu od metody identyfikacji modelu modalnego daje wyniki zależne nie tylko od własności obiektu, ale również od sposobu obciążenia kon-strukcji w czasie pomiaru. Metoda ODS ta jest znana pod angielską nazwą Operating Deffection Shape lub Running Mode, a w Polsce przyjęła się nazwa eksploatacyjna analiza modalna.

ODS jest definiowane jako odkształcenie konstrukcji dla wybranej częstotliwości drgań lub w danej chwili czasowej przy działaniu na badany obiekt zewnętrznego wy-muszenia, przy czym analizowany musi być ruch dwóch lub więcej punktów konstruk-cji. W ten sposób może być określone odkształcenie konstrukcji podczas ruchu wymu-szonego, rozumiane jako względny ruch wybranego punktu odniesiony do pozostałych.

Ze względu na to, że ruch jest wektorem (wektor przyspieszeń, prędkości lub przemiesz-czeń) ma on punkt zaczepienia, kierunek oraz wartość, które określają sposób odkształce-nia konstrukcji podczas jej ruchu. ODS w dziedzinie czasu może być wyznaczony na podstawie różnego rodzaju odpowiedzi czasowych badanego obiektu na wymuszenie losowe, impulsowe lub harmoniczne. Inne metody stosuje się przy wyznaczaniu ODS w dziedzinie częstotliwości. Są one w większości oparte na pomiarze widma odpowiedzi układu, pomiar gęstości widmowej mocy, charakterystyk częstotliwościowych lub też specjalnie definiowanej dla celów wyznaczania ODS charakterystyki częstotliwościowej przejścia odniesionej do dowolnie przyjętego punktu referencyjnego [59].

ODS zależy od wymuszenia i gdy zmieni się obciążenie konstrukcji zmieni się ODS, natomiast wektor modalny jest niezależny od rodzaju wymuszenia i charakteryzu-je własności dynamiczne konstrukcji, a w tym warunki brzegowe, własności geome-tryczne i materiałowe. Postacie drgań (wektory modalne) są wielkością bezwymiarową, natomiast ODS ma wymiar przemieszczenia, prędkości lub przyspieszenia zależnie jakie wielkości były przyjęte w czasie realizacji pomiaru. ODS można wyznaczać w sposób analityczny lub doświadczalny. Analityczne wyznaczenie ODS polega na

rozwiązaniu równania (5.29) dla przyjętego przebiegu czasowego wymuszenia. W wy-niku rozwiązania otrzymuje się przebieg czasowy odpowiedzi w postaci wektora x(t).

Dokonując obliczenia wartości x(to) dla dowolnej chwili czasu, dla wszystkich współ-rzędnych wektor x otrzymuje się ODS(t) w dziedzinie czasu. Eksperymentalny sposób wyznaczania ODS polega na jednoczesnym pomiarze parametrów drgań konstrukcji w wielu punktach. Wektor otrzymany przez wybór wartości amplitudy przebiegu dla danej chwili czasu jest przebiegiem ODS w dziedzinie czasu. Podobnie postępuje się przy wyznaczaniu ODS w dziedzinie częstotliwości. Dynamikę układu w dziedzinie częstotliwości można opisać za pomocą równania:

X (jω) = H(jω)F(jω) (5.63) gdzie:

X(jω) – wektor widm odpowiedzi układu, F(jω) – wektor widm sił wymuszających,

H(jω) – macierz charakterystyk częstotliwościowych.

Równanie (5.63) jest spełnione w przypadku układu liniowego dla wszystkich czę-stotliwości w rozważanym zakresie. ODS w dziedzinie częczę-stotliwości jest zdefiniowane jako odpowiedź układu na wymuszenie F( jω) dla dowolnej częstotliwości ω₀:

ODS( jω₀) = H(jω₀)F(jω₀) (5.64) W ten sposób ODS może być wyznaczony dla tych chwil czasu, dla których obliczana jest wartość odwrotnej transformaty Fouriera.

Doświadczalne wyznaczenie ODS w dziedzinie częstotliwości polega na wieloka-nałowym pomiarze widma odpowiedzi układu oraz wyznaczeniu widm wzajemnych pomiędzy punktami pomiarowymi a punktami odniesienia. Ze względu na koszty po-miaru liczba kanałów, w których dokonuje się jednoczesnego popo-miaru odpowiedzi jest ograniczona. Z tego względu na konstrukcji przyjmuje się punkty odniesienia, których położenie nie jest zmieniane w czasie pomiarów, natomiast pozostałe punkty pomiaro-we są zmieniane w czasie realizacji eksperymentu. Takie postępowanie jest konieczne ze względu na konieczność znajomości kąta przesunięcia fazowego pomiędzy odpowie-dziami układu w punktach w których wyznaczane jest ODS. Jeśli drgania wymuszone układu zdominowane są przez drgania własne, to w tym przypadku wektor ODS jest podobny do wektora modalnego. Stopień tego podobieństwa zależy od stopnia zdomi-nowania mierzonych odpowiedzi układu przez drgania własne.

Identyfikacja modelu modalnego w eksploatacyjnej analizie modalnej polega na wyznaczeniu następujących zbiorów: częstości własnych, postaci drgań oraz współ-czynników tłumienia.

Do badań eksploatacyjnych wykorzystano [59,73] metodę LSCE, która została za-implementowana w programie „Vioma” (opracowanym w zespole prof. T. Uhla) służą-cym do przeprowadzenia wstępnej eksploatacyjnej analizy modalnej. W metodzie tej impulsowa funkcja przejścia zastępowana jest funkcją korelacji wzajemnej, której prze-bieg aproksymowany jest sumą zanikających wykładniczo funkcji harmonicznych postaci:

2

Przebieg funkcji h(t) na skutek próbkowania ze stałym okresem ∆t, przekształca się na ciąg próbek: h h₀, , ,₁… h . Wartość n-tego ciągu wyraża się wzorem: _L

2

=1

=

∑

^{N n}

n r r

r

h A V , (5.66) gdzie:

r, r

A V są szukanymi wielkościami, V_r =e^{s tr∆} .

Współczynniki Vr wyznacza się korzystając z założenia, że zawsze istnieje wielo-mian o rzeczywistych współczynnikach, spełniający zależność:

2

0 1 2

β + βVr + βVr + + βL rV = 0 (5.67) ^L Znalezienie współczynników β wymaga rozwiązania równania postaci:

[ ]

^h

{ } { }

^{β = − h} (5.68) Znajomość współczynnikówβ umożliwia z kolei znalezienie pierwiastków wielomianu.

Częstości drgań własnych i odpowiadające im współczynniki tłumienia wyznacza się na podstawie wartości Vr oraz wartości sprzężonej do niej. Współczynniki Ar, a w konse-kwencji postacie drgań własnych są wyznaczane przez rozwiązanie równania:

[ ]

^{V A}

{ } { }

^{= − h} (5.69) Program „Vioma” został napisany w środowisku MATLAB’a. Implementuje ope-racyjną (eksploatacyjną) oraz klasyczną (eksperymentalną) analizę modalną konstrukcji mechanicznych. Do pracy wymaga następującej konfiguracji sprzętowej:

• komputer klasy PC, z procesorem Celeron 200 MHz,

• pamięć operacyjna (minimum) 32 MB,

• minimum 5 MB wolnej przestrzeni dyskowej,

• pakiet SigLab – urządzenie pomiarowe wraz z oprogramowaniem,

• system operacyjny Windows 95, 98, 2000, NT,

• środowisko MATLAB w wersji 5.3,

• zainstalowany pakiet: Signal Processing Toolbox.

Program składa się z następujących modułów:

• „Data” – służący do wczytywania, przeglądania, zarządzania i prostego przetwarza-nia danych pomiarowych,

• „Geometry” – pozwalający na budowę i wizualizację geometrii obiektu,

• „Analysis” – implementujący analizę modalną m.in. metodą LSCE,

• „Visualization” – umożliwiający wizualizację wyników analiz.

WSPÓŁCZYNNIKI MAC, COMAC

Weryfikacja i optymalizacja modeli modalnych zbudowanych na bazie przepro-wadzonych badań doświadczalnych zalicza się do podstawowych zagadnień identyfika-cji. Pierwszym podstawowym kryterium weryfikacji powinno być porównywanie mo-deli obiektów poprzez porównywanie ich częstości własnych. Dobre rezultaty w ocenie

zgodności modeli eksperymentalnych z analitycznymi uzyskuje się poprzez porównanie charakterystyk częstościowych zmierzonych z obliczonymi. Obie metody wizualnego porównywania modeli nie wymagają dopasowania liczby stopni swobody [59].

Kolejnym kryterium badania korelacji między modelami jest wizualne porównanie postaci drgań. Celem porównania jest ustalenie par postaci drgań odpowiadających sobie. Matematycznym zapisem tego typu porównania jest współczynnik MAC (Modal Assurance Criterion). Współczynnik MAC w badaniach modalnych stosuje się do równywania zbiorów postaci drgań, jak też do badania występujących zależności po-między zidentyfikowanymi postaciami drgań. Oznacza to eliminowanie tych postaci drgań związanych z tym samym biegunem, a które zostały zidentyfikowane poprzez błąd stosowanej metody. Wartość współczynnika MAC, którego wartość zawiera się w przedziale [0,1], w przypadku badania zgodności modeli modalnych analitycznych i doświadczalnych definiuje się jako [59]:

( ) ( )

Jeżeli współczynnik MAC dla postaci modalnych analitycznych i = 1,..,N^am i do-świadczalnych j = 1,..,N^em jest równy jeden, to wektory te są estymatorami tej samej postaci drgań – wynika to z warunków ortogonalności postaci drgań. Wartość współ-czynnika MAC = 0 wskazuje na brak korelacji. W praktyce badań modalnych przy badaniu korelacji modeli obiektów rzeczywistych buduje się macierz MAC(i,j), w której elementy na przekątnej stanowią miarę zgodności modeli.

Uważa się, że występuje dobra zgodność, jeżeli współczynnik MAC osiągnie wartość większą od 0,8 [59,73]. Współczynnik MAC może być również wyznaczony dla poszcze-gólnych stopni swobody, nazywa się on wówczas COMAC (Coordinate Modal Assurance Criterion). Współczynnik COMAC dla k-tego stopnia swobody oblicza się ze wzoru [59]:

2

Ψ^a_i oraz Ψ^e_i są odpowiadającymi sobie wektorami modalnymi.

Współczynnik COMAC jest miarą zgodności modeli dla danego k-tego stopnia

Współczynnik COMAC jest miarą zgodności modeli dla danego k-tego stopnia

W dokumencie OPERACYJNA ANALIZA MODALNA W BADANIU KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH (Stron 147-159)