MODELOWANIE KONSTYTUTYWNE ELEMENTÓW SKŁADOWYCH KOMPOZYTU

6.3.1. Mastyks

Mastyks jest materiałem, który tak jak lepiszcze ma właściwości reologiczne.

Do opisu tego materiału zastosowano model standardowy o schemacie ideowym jak w pkt. 2.4.2. Parametry do tego modelu wyznaczono na podstawie badania zginania belki w reometrze BBR w temperaturze 10 [^oC]. Wynik badania pole-gającego na gwałtownym obciążeniu belki, a następnie utrzymywaniu obciążenia na stałym poziomie przez określony czas można traktować jako wynik próby peł-zania. Korzystając z wyniku (2.32) i przepisując go z oznaczeniami ze schematu ideowego, otrzymamy:

Zaproponowany model reologiczny ciała stałego ma charakterystyczne warto-ści graniczne modułów. W przypadku obciążeń bardzo szybkozmiennych moduł sprężystości modelu dąży do wartości E₀ E. Z kolei w przypadku obciążeń o charakterze statycznym wartość graniczna modułu, zwanego modułem zrelak-sowanym, wynosi ¹

Na podstawie funkcji pełzania i rozwiązania belki trójpunktowo zginanej, ob-ciążonej siłą skupioną w środku rozpiętości przekroju, można wyprowadzić funk-cję ugięcia belki w następującej postaci:

   

4 3

J t Pl w t   bh

. (6.2)

Powyższy wzór stanowi punkt wyjścia do określenia parametrów E, E₁ i ₁. Wyznaczenie tych parametrów na podstawie wyników badania BBR jest możliwe przy zastosowaniu metod optymalizacji nieliniowej. W analizowanym przypadku użyto programu Mathematica wraz ze standardowo zaimplemento-waną procedurą NonlinearModelFit. Parametry materiałowe wyznaczono na trzy sposoby:

i) wszystkie trzy parametry wyznaczono z optymalizacji nieliniowej przy zało-żeniu jednakowych wag dla danych z badania BBR,

ii) wszystkie trzy parametry wyznaczono z optymalizacji nieliniowej przy zało-żeniu, że wagi wyznaczonych w badaniu BBR wyników przy t0 istotnie rosną (np. waga pierwszego punktu jest 50 razy większa niż punktu odpowia-dającego t240[s]),

101 Właściwości efektywne kompozytu MMA, jako motywacja do formułowania relacji...

iii) tylko parametr ₁ wyznaczono na podstawie optymalizacji nieliniowej, pozo-stałe dwa przyjęto na podstawie wyników testu pełzania przeprowadzonego w BBR na beleczce z mastyksu.

Wyznaczone parametry modelu standardowego zestawiono w tabl. 6.2. Parame-try modelu standardowego w przypadku wariantów ii) i iii) wariantu są do siebie bardzo zbliżone. Istotnie różnią się tylko parametry wyznaczone dla wariantu i).

Tablica 6.2 Parametry do modelu standardowego mastyksu wyznaczone na trzy różne sposoby Wariant EE₀ [MPa] E₁ [MPa] ₁ [MPa·s] E_r [MPa]

i) 505.38 33.56 5219.40 31.47

ii) 1159.60 40.48 3600.14 39.11

iii) 906.54 40.21 3828.54 38.50

Zgodność przyjętego modelu (z parametrami wg tabl. 6.2) z wynikami badania BBR w próbie pełzania pokazano na rys. 6.4.

Rys. 6.4. Próba pełzania belki trójpunktowo zginanej wykonanej z mastyksu. Porównanie wyni-ków badań (znaczniki na wykresie) i przewidywań modelu standardowego z trzema zestawami

parametrów

Na podstawie modelu standardowego można określić dwie charakterystycz-ne sztywności materiału mastyksu, które odpowiadają odpowiednio obciążeniom szybkozmiennym i obciążeniom statycznym. Do wyznaczenia efektywnych wła-ściwości kompozytu mastyks-kruszywo zastosowano model konstytutywny linio-wej sprężystości materiałów izotropowych z modułami równymi odpowiednio

Er i E₀. Wykonanie obliczeń dla tych granicznych przypadków daje pewność, że wszystkie realne zachowania materiału mieszczą się między nimi. Relacja

konsty-tutywna izotropowego materiału liniowo-sprężystego wyraża się wzorem (2.8).

Przykładowo dla analizowanego mastyksu, z parametrami wyznaczonymi zgod-nie z wariantem i), w relacji konstytutywnej (2.8) wstawia się E₀= 505.38 [MPa]

lub E_r= 31.47 [MPa], oraz współczynnik Poissona _o. W przypadku analizy stopnia anizotropii na podstawie efektywnych modułów sztywności do porów-nania wyników trzech wariantów wyznaczenia parametrów mastyksu przyjęto

o= 0.4. Analizując wpływ wartości współczynnika Poissona na uzyskiwane wy-niki (przy danych dla mastyksu wyznaczonych jak w i)), przyjęto [0.3, 0.495].

6.3.2. Kruszywo

Dla kruszyw przyjęto relację konstytutywną liniowej sprężystości materiałów izotropowych wyrażoną wzorem (2.8). Dane materiałowe, zestawione w tabl. 6.3, przyjęto na podstawie literatury.

Tablica 6.3

Dane materiałowe kruszyw występujących w analizowanej mieszance

Materiał Moduł Younga [MPa] Liczba Poissona [–]

Dolomit 12000 0.20

Melafi r* 9000 0.23

* dane przyjęto na podstawie [109]

6.3.3. Model MES

Na podstawie dwóch wybranych obrazów stworzono pliki grafi czne w forma-cie jpg w skali odforma-cieni szarości o rozmiarze 415×415 pikseli (co przy ich począt-kowym rozmiarze 830×830 oznacza dwukrotne pogorszenie jakości). Następnie z obrazów tych utworzono negatywy, por. rys. 6.6. Na podstawie tych dwóch razów stworzono dwie siatki MES, przyjmując w kierunku prostopadłym do ob-razu założenie o płaskim stanie odkształcenia. Siatka MES jest regularna i składa się z 415×415 kwadratowych elementów płaskich o liniowych funkcjach kształtu (jeden element ma wymiar jednego piksela). Do rozwiązania zagadnień brzego-wych zastosowano program ABAQUS/Standard.

W celu wygenerowania na podstawie obrazu pliku wsadowego do programu ABAQUS, z uwzględnieniem właściwości trzech materiałów składowych, zo-stał napisany program w środowisku Mathematica, który na podstawie odcienia szarości na obrazie przyporządkowywał danemu elementowi określone właści-wości materiałowe, następnie tworzył zbiory tych elementów i generował plik (plik inp). Przyjęto następujące kryteria doboru elementów do grupy: melafi r przy gs [240, 255] , dolomit przy gs (10, 240) , mastyks przy gs [0,10] , gdzie gs oznacza odcień szarości. Dodatkowo program tworzy zbiory węzłów na

krawę-103 Właściwości efektywne kompozytu MMA, jako motywacja do formułowania relacji...

dziach modelowanego obszaru, w których to węzłach zadawano przemieszcze-niowe warunki brzegowe.

Rys. 6.5. Obrazy z rys. 6.2. przetransformowane do skali odcieni szarości: kolor czarny – melafi r, kolor szary – dolomit, kolor biały – mastyks: a) skan w płaszczyźnie xy, b) skan w płaszczyźnie xz

Rys. 6.6. Negatywy obrazów pokazanych na rys. 6.5, a) skan w płaszczyźnie xy, b) skan w płasz-czyźnie xz

Ze względu na ograniczenia rozdzielczości obrazu (wynikającego z ograni-czenia na liczbę elementów skończonych w modelu) utworzona siatka MES ma pewne usterki, takie jak: możliwość niezamierzonego łączenia drobnych elemen-tów kruszywa ze sobą, zamianę materiału dolomitu z melafi rem na krawędziach elementów kruszywa itp. Związane jest to zarówno ze sposobem obróbki obra-zu (wyboru odpowiedniego formatu, zamiany na negatywy itp.), jak i z

warto-ściami progów odcieni szarości przyjętymi do selekcji materiałów. Możliwość zamiany materiału dolomitu z melafi rem na krawędziach elementów kruszywa nie ma większego wpływu na uzyskiwane wyniki, gdyż moduły sztywności do-lomitu i melafi ru różnią się tylko o 25%, podczas gdy współczynniki Poissona są do siebie zbliżone, por. tabl. 6.3. W wygenerowanej siatce MES jest znaczna liczba elementów typu CPE4 (172225 elementy). Z punktu widzenia rozwiązy-wania zadania liniowej teorii sprężystości nie stanowi to żadnego problemu, ale w przypadku zastosowania nieliniowych relacji konstytutywnych i uwzględnienia nieliniowej geometrii, dla siatki o takiej liczbie elementów obliczenia mogą trwać relatywnie długo. W celu przyspieszenia obliczeń można przyjąć elementy ze zre-dukowanym całkowaniem.

Rys. 6.7. Siatki MES wygenerowane na podstawie obrazów w negatywie jak na rys. 6.6 w płasz-czyźnie: a) xy, b) xz

6.3.4. Warunki brzegowe

W celu określenia właściwości efektywnych oraz stopnia anizotropii materiału rozwiązano zadania ściskania tarcz PSO z siatką MES jak na rys. 6.7, przyjmu-jąc odpowiednie warunki brzegowe w kierunku osi x, y i z. Przykładowo ściska-jąc siatkę MES utworzoną na podstawie obrazu w płaszczyźnie xy w kierunku osi x przyjęto na brzegu AD u_x= 0, na brzegach AB i CD u_y= 0, zaś na brzegu BC zadano przemieszczenie u_x, realizujące w kierunku x średnie odkształcenie równe –100·10^–6. W wyniku zadania tego przemieszczenia w węzłach na krawę-dzi BC powstały reakcje o wartości R_x^p, por rys. 6.8a. Z kolei w przypadku ści-skania w kierunku osi y, na brzegu AB przyjęto u_y= 0, na brzegach BC i AD

ux= 0, zaś na brzegu CD zadano przemieszczenie u_y realizujące w kierunku y średnie odkształcenie równe –1000·10^–6= 0.001. Przyjęta wartość odkształcenia z punktu widzenia odkształceń występujących w nawierzchniach drogowych jest

105 Właściwości efektywne kompozytu MMA, jako motywacja do formułowania relacji...

bardzo duża. Przykładowe odkształcenia w testach zmęczeniowych często wy-noszą 100·10^–6–170·10^–6, a więc są niemal dziesięciokrotnie mniejsze, por. [64].

W badaniach zmęczeniowych mieszanek mineralno-asfaltowych coraz częściej wprowadza się parametr o wymiarze odkształcenia, który ma interpretację tzw.

odkształcenia inicjującego proces zmęczenia (z ang. „endurance limit”). Parametr ten ma dość praktyczne znaczenie, gdyż uważa się, że generowanie w materiale odkształceń poniżej tej wartości nie powoduje degradacji jego właściwości, któ-re są obserwowane jako „zmęczenie” materiału. Wartości odkształceń, interpktó-re- interpre-towanych jako odkształcenia inicjacji zmęczenia, w zależności od rodzaju mie-szanki wynoszą od kilkudziesięciu mikrostrainów (dla mieszanek z lepiszczami drogowymi) do ponad dwustu mikrostrainów (dla mieszanek z asfaltami wyso-komodyfi kowanymi). W tym kontekście należy traktować wartość odkształcenia w zadaniach wyznaczenia efektywnych właściwości analizowanej mieszanki jako znaczną, choć z punktu widzenia mechaniki ciał odkształcalnych odkształcenie na poziomie 0.001 może być traktowane jako wartość, która w skali makro pozwala na zachowanie ograniczeń teorii małych odkształceń.

W wyniku zadania przemieszczenia w węzłach na krawędzi CD powstały re-akcje o wartości R_y^p, por rys. 6.8b. Analogicznie warunki brzegowe przyjmowano w przypadku siatki MES uzyskanej na podstawie obrazu w płaszczyźnie xz, por.

rys. 6.7b (oznaczenia odpowiednich osi w tym przypadku pokazano na rys. 6.8 w nawiasach jaśniejszym kolorem). Dodatkowo do oznaczenia osi x dodano x^*, żeby wskazać, że to ta sama oś jednak zamieszczona na innym obrazie, wobec tego obliczenia wielkości efektywnych w tym kierunku można traktować jako wskaźnik reprezentatywności próbki. Błąd z tego oszacowania pozwala na ocenę pozostałych wyników pod względem ich adekwatności (miarodajności).

Rys. 6.8. Schematycznie przedstawione warunki brzegowe do wyznaczenia ograniczonych modu-łów sztywności (jako tło przyjęto obraz w płaszczyźnie xy)