BADANIA LEPISZCZY ASFALTOWYCH W REOMETRZE DYNAMICZNEGO ŚCINANIA – RELACJE KONSTYTUTYWNE LEPKOSPRĘŻYSTOŚCI, HIPERSPRĘŻYSTOŚCI I LEPKOHIPERSPRĘŻYSTOŚCI

(1)

P R A C E N A U K O W E P O L I T E C H N I K I W A R S Z A W S K I E J

z. 160 Budownictwo 2018

Marcin Gajewski

Wydział Inżynierii Lądowej Instytut Inżynierii Budowlanej

Zakład Wytrzymałości Materiałów, Teorii Sprężystości i Plastyczności

BADANIA LEPISZCZY ASFALTOWYCH W REOMETRZE DYNAMICZNEGO ŚCINANIA – RELACJE KONSTYTUTYWNE LEPKOSPRĘŻYSTOŚCI, HIPERSPRĘŻYSTOŚCI

I LEPKOHIPERSPRĘŻYSTOŚCI

Rękopis dostarczono 25.05.2018 r.

Praca dotyczy modelowania konstytutywnego izotropowych materiałów lepkosprężystych za- równo w zakresie małych, jak i dużych deformacji. Omówienie zagadnień związanych z mode- lowaniem konstytutywnym materiałów reologicznych rozpoczyna się od prezentacji wybranych jednowymiarowych modeli ciał stałych i cieczy reologicznych ze zwróceniem szczególnej uwagi na ich cechy charakterystyczne i sposób postępowania przy ich implementacji numerycznej w standardowych algorytmach numerycznych zarówno w sformułowaniu całkowym, jak i w sformułowaniu bezpośrednim. Następnie modele te zostały uogólniane do relacji trójwymiarowych przez wykorzy- stanie dekompozycji stanu naprężenia i odkształcenia na części kulistą i dewiatorową.

Opis modeli lepkosprężystości małych odkształceń uzupełniany jest przez rozważania dotyczą- ce sposobu wyznaczania parametrów materiałowych modeli przy wykorzystaniu metod optymalizacji nieliniowej. Parametry wyznaczane są dla wybranych lepiszczy asfaltowych, ale przedstawiony sposób postępowania jest uniwersalny i może być stosowany przy wyznaczaniu parametrów mate- riałowych innych materiałów, a w szczególności mieszanek mineralno-asfaltowych. Prezentowane relacje konstytutywne są stosowane do modelowania zachowania materiałów drogowych z asfaltem w szerokim zakresie temperatury i częstotliwości.

Zaproponowanie relacji konstytutywnej, która dobrze odwzorowuje eksperyment przy jednej ustalonej wartości temperatury i prędkości deformacji nie stanowi większego problemu. Problemem badawczym jest proponowanie relacji konstytutywnych wraz ze sposobem wyznaczenia ich para- metrów materiałowych pozwalających na poprawne modelowanie zachowania materiału w pewnym zakresie częstotliwości (prędkości deformacji) i temperatury. Zastosowanie relacji konstytutywnych małych odkształceń zostało prezentowane na przykładzie wyznaczenia właściwości efektywnych niejednorodnego kompozytu mieszanki mineralno-asfaltowej.

W zagadnieniach brzegowych rozwiązywanych przy zastosowaniu metody elementów skończo- nych i programu ABAQUS (z własną implementacją modelu konstytutywnego lepkosprężystości)

(2)

kruszywo jest modelowane relacjami liniowej sprężystości, zaś mastyks relacjami lepkospręży- stości. Na podstawie tych obliczeń sformułowano podstawowe wnioski. Pierwszy z nich dotyczy anizotropii cech mechanicznych mieszanki mineralno-asfaltowej, zaś drugi stanowi motywację dla formułowania relacji konstytutywnych lepkosprężystości w ramach teorii dowolnych deformacji.

Lokalne odkształcenia wewnątrz niejednorodnej struktury betonu asfaltowego są nawet kilkadzie- siąt razy większe niż odkształcenia średnie. Oznacza to, że już przy odkształceniach spotykanych w nawierzchniach drogowych, lokalnie wewnątrz struktury kompozytu wartości odkształceń prze- kraczają zwyczajowe ograniczenia dla teorii małych odkształceń.

Motywację stosowania teorii dowolnych deformacji dodatkowo wspiera interpretacja podsta- wowych testów doświadczalnych prowadzonych w laboratoriach drogowych na lepiszczach drogowych w reometrach dynamicznego ścinania (DSR). W teście skręcania próbek walcowych z lepiszcza asfaltowego można obserwować wystąpienie siły osiowej, jaka towarzyszy reakcji w postaci momentu skręcającego. Teoria małych odkształceń niezależnie od wybranych relacji konstytutywnych przewiduje w tym teście zerową siłę osiową. W pracy przedstawiono interpretację testu skrę- cania w ramach teorii dowolnych deformacji, przy zastosowaniu relacji konstytutywnych hipersprę- żystości, lepkohipersprężystości i lepkosprężystości dużych deformacji. Wskazano, że w przypadku lepiszczy modyfi kowanych, wysokomodyfi kowanych i lepiszczy gumowo-asfaltowych zastosowanie relacji konstytutywnych hipersprężystości materiałów nieściśliwych jest w wielu sytuacjach wystarczające. Proponowane relacje konstytutywne hipersprężystości z funkcjami jednostkowej energii sprężystości zależnymi od pierwszego niezmiennika deformacji izochorycznej poprawnie przewidują zachowanie materiału w teście skręcania próbek walcowych w reometrze DSR. Zapro- ponowano niestandardowe testy doświadczalne, które mogą być przeprowadzane przy wykorzystaniu standardowego reometru DSR z pomiarem siły osiowej i pozwalają na jeszcze lepsze poznanie zachowania materiału. Są to: test jednoosiowego rozciągania i test jednoosiowego ściskania pró- bek, które w konfi guracji odniesienia mają kształt walca. Przeprowadzono testy doświadczalne dla lepiszcza 65/105-60, które następnie poddano obróbce statystycznej i zaprezentowano w formie wykresów oraz w formie tabelarycznej. W przypadku tych testów przeprowadzono także symulacje numeryczne, w których potwierdzono przydatność modeli konstytutywnych hipersprężystości do modelowania lepiszczy drogowych. Szczególnie ciekawe wyniki uzyskano w przypadku testu roz- ciągania, w którym dla znacznych deformacji obserwuje się zmianę przekroju rozciąganej próbki z kołowego na przekrój o charakterystycznych zafalowaniach. Tego typu zachowanie obserwuje się także w trakcie eksperymentów. Zachowanie to jest konsekwencją niejednoznaczności rozwiązań dla teorii dużych deformacji i może być interpretowane jako pewnego rodzaju niestabilność przy rozciąganiu.

W dalszej części pracy przedstawiono sposób implementacji numerycznej relacji lepkohiper- sprężystości z rozwinięciem w szereg Prony’ego funkcji relaksacji dla części kulistej i dewiatoro- wej stanu odkształcenia. Model ten zasługuje na szczególną uwagę, gdyż pozwala na przeniesienie doświadczeń z wyznaczaniem parametrów materiałowych modelu z teorii małych odkształceń do teorii dużych deformacji, przy jednoczesnym umożliwieniu stosowania dowolnych relacji konstytutywnych hipersprężystości. Dla porównania przedstawiono dwa modele konstytutywne lepko- sprężystości dużych deformacji w niejawnym sformułowaniu bezpośrednim, tj. model Filograny i model Narayana, które zostały zaproponowane w ostatnich latach w literaturze do stosowania przy modelowaniu lepiszczy asfaltowych. Modele te doskonale odwzorowują eksperymenty dla jednej ustalonej wartości temperatury i prędkości deformacji, a rozszerzenie zakresu ich stosowalności jest utrudnione (szczególnie w przypadku modelu Narayana), gdyż parametry materiałowe wchodzą do relacji konstytutywnej w sposób nieliniowy.

Kolejnym problemem okazuje się implementacja numeryczna, która w każdym z przypadków musi być niestandardowa. Relacje konstytutywne obydwu modeli zaimplementowano w systemie Mathematica, co pozwoliło na ich szczegółowe zbadanie i sformułowanie wniosku, że zwłaszcza

(3)

5 Spis ważniejszych oznaczeń

propozycja Narayana nie spełnia oczekiwań ze względu na trudność implementacji, jak i wyznaczenia parametrów. Należy podkreślić, że proponowane relacje konstytutywne powinny być poda- wane wraz ze sposobem wyznaczenia parametrów oraz analizą wrażliwości modelu na zmianę tych parametrów. Analizowane relacje konstytutywne hipersprężystości i lepkohipersprężystości zasto- sowano w zagadnieniu rozciągania elementu niejednorodnego w płaskim stanie odkształcenia do modelowania zachowania betonu asfaltowego.

Słowa kluczowe: lepkosprężystość, hipersprężystość, lepkohiperspreżystość, lepiszcza asfaltowe, reometr DSR, modelowanie konstytutywne, właściwości efektywne, mieszanki mineralno-asfaltowe

SPIS WAŻNIEJSZYCH OZNACZEŃ F – tensor gradientu deformacji,

U, V – odpowiednio prawy i lewy tensor wydłużenia, R – tensor ortogonalny obrotu,

E – tensor odkształcenia Lagrange’a,

 – tensor odkształcenia (w teorii małych odkształceń), e – dewiator tensora ,

,

x X – wektor położenia punktu w konfi guracji aktualnej i konfi - guracji odniesienia,

u – wektor przemieszczenia, v – wektor prędkości, a – wektor przyspieszenia,

p – wektor sił powierzchniniowych,

 

grad ,t



L v x – gradient prędkości deformacji,

 

1 2

  T

D L L – tensor prędkości deformacji,

 

1 2

W L L T

 – tensor spinu,

, ,

C c B – prawy i lewy tensor deformacji Cauchy’ego-Greena, ,

n N – wektory normalne do brzegu w konfi guracji aktualnej i w konfi guracji odniesienia,

, , ,S T

 

  – tensory naprężenia: Cauchy’ego, Kirchhoffa, pierwszy tensor naprężenia Pioli-Kirchhoffa, drugi tensor napręże- nia Pioli-Kirchhoffa,

s – dewiator tensora naprężenia Cauchy’ego, , 0

f f – wektor sił objętościowych w konfi guracji aktualnej i w konfi guracji odniesienia,

, 0

  – gęstość w konfi guracji aktualnej i w konfi guracji odniesie-

 

nia,

W  – funkcja jednostkowej energii sprężystości, , 1,2,3

I ii  – podstawowe niezmienniki deformacji,

(4)

, 1,2

I ii  – niezmienniki deformacji izochorycznej, det

J  F – objętość,

I – jednostkowy tensor drugiego rzędu,

 

E  – funkcja relaksacji,

 

J  – funkcja pełzania,

T – temperatura,

M – moment skręcający w reometrze, F – siła osiowa w reometrze,



^.

a – pochodna ułamkowego rzędu,

 

H t – funkcja Heaviside’a ,C

C – tensor czwartego rzędu, tensor sztywności,

2 – funkcja błędu dopasowania,

 – kąt skręcenia,

  /h

  – kąt skręcania próbki odniesiony do jej wysokości, , , ,

i i x y z

e – wektory bazowe ortonormalnego układu współrzędnych, e_,  r, , z – wektory bazowe układu walcowego,

1 – jednostkowy tensor czwartego rzędu, Ex, E_y, E^*_x, E_z – efektywne moduły sztywności.

1. WSTĘP

W przypadku materiałów budowlanych stosowanych w ogólnie rozumianej in- żynierii lądowej do wznoszenia różnego typu konstrukcji formułuje się zagadnienia brzegowe albo brzegowo-początkowe z reguły w ramach teorii małych deformacji.

Większość rozważanych zagadnień wymaga zastosowania tylko relacji konstytutywnych liniowej sprężystości, czyli tradycyjnego związku Hooke’a. Takie formułowa- nie zagadnień inżynierskich wynika z faktu, że od konstrukcji budowlanych w stanie użytkowym na ogół wymagamy ich ograniczonej odkształcalności, trwałości i moż- liwości wielokrotnego obciążania i odciążania w zakresie ich liniowej pracy. Prze- kroczenie zakresu obciążeń użytkowych albo wystąpienie niespodziewanego czyn- nika (gwałtowne przyłożenie obciążenia, wybuch, wysoka temperatura od pożaru, trzęsienie ziemi itp.) powoduje, że oprócz sprężystości, konieczne jest uwzględnie- nie w opisie także właściwości reologicznych materiału (np. lepkich, plastycznych itp.). Wśród zagadnień inżynierii lądowej właściwości reologiczne powinny być uwzględniane zawsze w przypadku materiałów, które je wykazują w zakresie temperatur pracy albo okresie użytkowania („panta rei”). Pierwszy raz wskazano tutaj na analogię między wpływem temperatury a czasem trwania danego procesu. Analogia ta jest praktycznie stosowana w reologii, jako tzw. „analogia temperaturowo-czaso-

(5)

7 Wstęp

wa”. Wśród materiałów budowlanych, które wykazują cechy reologiczne w zakresie temperatur ich pracy bez uwzględnienia długotrwałości obciążenia wymienić należy:

lepiszcza asfaltowe, mieszanki mineralno-asfaltowe, emulsje asfaltowe, elastomery, materiały używane do budowy urządzeń umożliwiających dyssypację energii (np.

łożyska mostowe, tłumiki drgań) itp. Z kolei w przypadku obciążeń długotrwałych właściwości reologiczne uwzględnia się dla stali i betonu w przypadku konstrukcji sprężanych czy termicznych obciążeń wyjątkowych (np. pożar).

W pracy przeanalizowano relacje konstytutywne materiałów drogowych, w szczególności lepiszczy asfaltowych, głównie lepiszczy modyfi kowanych, wysokomodyfi kowanych i gumowo-asfaltowych, traktowanych jako materiały izotropowe. Lepiszcza tego typu coraz częściej wypierają z rynku zwykłe lepiszcza drogowe ze względu na swoje korzystne właściwości reologiczne, wynikające z istotnego udziału w składzie polimerów (głównie SBS-kopolimer styren-buta- dien-styren) [1]. Na rys. 1.1 pokazano widok asfaltu wysokomodyfi kowanego pod mikroskopem fl uorescencyjnym. Kolor zbliżony do białego (szarości) odpowiada polimerowi, który jest dobrze usieciowany [2]. Kolor ciemny z kolei odpowiada pozostałym składnikom lepiszcza (asfalteny, żywice, grupy nasycone, grupy aro- matyczne). Dodatkowo na rys. 1.1 pokazano wpływ starzenia technologicznego (1xRTFOT, rys. 1.1b, [3]) oraz eksploatacyjnego (1xRTFOT+1xPAV, rys. 1.1c, [4]). W przypadku analizowanego lepiszcza widać, że wraz ze starzeniem poprawia się usieciowanie polimeru. Dodatek polimeru redukuje właściwości lepkie materiału, natomiast poprawia jego właściwości sprężyste.

Wpływ polimerów sprawia, że w konwencjonalnych badaniach część spręży- sta zespolonego modułu sztywności dominuje w zakresie temperatury typowym dla pracy mieszanek mineralno-asfaltowych. Lepiszcze w podwyższonych temperaturach jest bardziej odporne na deformacje trwałe i zachowania typowe dla cieczy lepkosprężystej, zaś w niskich temperaturach jest bardziej odporne na pę- kanie i propagację spękań [5]. Z punktu widzenia mechaniki ciał odkształcalnych oznacza to, że zakres deformacji sprężystych jest znacznie większy, co w pew- nych sytuacjach uzasadnia stosowanie teorii hipersprężystości czy teorii lepko- sprężystości dużych deformacji [6]–[9].

W warstwach asfaltowych analizowanej nawierzchni drogowej, traktowanych jako jednorodne, poddanej typowym obciążeniom od poruszających się pojaz- dów lokalnie odkształcenia są na tyle małe, że można z powodzeniem stosować modelowanie w ramach teorii małych przemieszczeń i obrotów (standardowo na- zywaną „teorią małych odkształceń” – uzasadnienie dlaczego w tej pracy stosowane jest nieco inne pojęcie można znaleźć np. w monografi ach [8], [11]). W ofi - cjalnych dokumentach i normach projektowania wprowadza się nawet pojęcie tzw. „mikrostrainów”, tj. odkształceń o wartościach na poziomie 10^⁶, pośrednio uzasadniając ten wybór. Na rys. 1.2 zakres małych odkształceń przy wartościach temperatury typowych dla pracy mieszanki w okresie letnim i zimowym [12], [13] (oraz okresach o temperaturach pośrednich) zaznaczono na zielono.

(6)

Rys. 1.1. Lepiszcze wysokomodyfi kowane 65/105-80 – widok pod mikroskopem fl uorescencyjnym:

a) lepiszcze oryginalne, b) lepiszcze po starzeniu technologicznym, c) lepiszcze po starzeniu eks- ploatacyjnym

(7)

9 Wstęp

Rys. 1.2. Schemat ideowy zakresów obowiązywania poszczególnych relacji konstytutywnych w ogólności oraz w przypadku przykładowego lepiszcza (opis w tekście), wg [10]

Przy modelowaniu nawierzchni drogowych z zastosowaniem teorii małych przemieszczeń i obrotów, dla materiałów drogowych zwykle stosuje się relacje konstytutywne sprężystości i lepkosprężystości materiałów izotropowych.

Przyjmuje się, że układ ziaren oraz proces technologiczny ułożenia warstwy nawierzchni asfaltowej nie wprowadza żadnych wyróżnionych kierunków [14].

Założenie to może być zanegowane, na co wskazywali już wcześniej różnie badacze, por. [15]–[17]. W niniejszej pracy zaprezentowano również analizę mechanicznych właściwości efektywnych wybranej mieszanki mineralno-asfaltowej, z której wynika, że w mieszance występują kierunki wyróżnione, a więc mamy do czynienia z anizotropią. W przypadku standardowych obliczeń, np.

na potrzeby projektowe, pomija się ten fakt traktując wszystkie warstwy nawierzchni drogowej jako izotropowe. Dodatkowo w większości przypadków przyjmuje się, że właściwości mechaniczne materiału mogą być opisane relacjami konstytutywnymi sprężystości, co może być uzasadnione przyjęciem temperatury równoważnej do analizy na poziomie 10[°C] [18], [19] lub 13[°C] (dla nawierzchni podatnych). Analiza nawierzchni w wyższej temperaturze powinna uwzględniać lepkosprężyste właściwości materiałów [20]–[23]. Warto zauwa- żyć, że badania doświadczalne standardowo przeprowadzane na mieszankach mineralno-asfaltowych pozwalają na modelowanie materiałów przy uwzględ- nieniu ich lepkich właściwości. W teście zginania belki (4PB) wyznaczane są składowe zespolonego modułu sztywności przy różnych wartościach temperatury i częstotliwości. Na podstawie tak wyznaczonych danych doświadczalnych tworzone są tzw. krzywe wiodące, a następnie kalibrowane są modele lepko- sprężystości małych odkształceń. Analogiczne dane doświadczalne w przypad-

(8)

ku lepiszczy asfaltowych można uzyskać w badaniach przeprowadzonych w reometrach dynamicznego ścinania (DSR), jak ten pokazany na rys. 1.3. W DSR badania wykonuje się na próbkach walcowych, które są skręcane wzdłuż swojej osi. W przypadku tego typu deformacji w próbce realizowane są lokalnie od- kształcenia postaciowe (ścinanie). W niniejszej pracy szczegółowo przedstawiono interpretację wybranych testów przeprowadzanych w reometrze DSR w ramach teorii małych przemieszczeń, jak i teorii dowolnych deformacji. Na- leży podkreślić, że to właśnie badanie w reometrze jest pierwszym dowodem na konieczność stosowania do opisu właściwości reologicznych lepiszczy relacji konstytutywnych sformułowanych w ramach teorii dowolnych deformacji [9].

W najprostszym teście skręcania próbki walcowej można zauważyć, że przy wzroście wartości momentu skręcającego pojawia się i rośnie siła osiowa, jako reakcja na zablokowanie możliwości przemieszczania się w kierunku osi walca podstawy i rotora w reometrze. Z rozwiązania zadania skręcania walca kołowe- go w ramach teorii małych odkształceń wynika, że w teście tym siła osiowa jest stała i równa zero. Wniosek ten jest niezależny od przyjętych relacji konstytutywnych i związany jest wyłącznie z tym, że zadanie sformułowano w ramach teorii małych przemieszczeń i obrotów. Badania nad tym tematem w odniesie- niu do lepiszczy asfaltowych rozpoczęły się w literaturze światowej zaledwie kilka lat temu, por. [24]–[26]. Niniejsza praca stanowi wkład w te badania oraz kompleksowo przedstawienia zagadnienie modelowania lepiszczy asfaltowych.

Rys. 1.3. Reometr dynamicznego ścinania (DSR – Dynamic Shear Rheometer)

Rys. 1.4. Reometr DSR – zamknięta komora po- miarowa

(9)

11 Wstęp

Rys. 1.5. Widok próbki poddanej badaniu (średnica rotora 8 mm). Na zdjęciu widoczne są także pozostałości z formowania walcowej próbki lepiszcza asfaltowego

Jak wcześniej wspomniano, w niniejszej pracy zaprezentowano przykład wyznaczenia efektywnych właściwości mieszanki mineralno-asfaltowej w ramach teorii małych odkształceń modelując strukturę kompozytu w płaskim stanie od- kształcenia składającego się z ziaren kruszywa i mastyksu (mieszaniny lepiszcza i najdrobniejszych pyłowych frakcji mineralnych) wypełniającego przestrzenie między ziarnami kruszywa (w ogólności występują jeszcze pory wypełnione po- wietrzem, jednak wybrana do analizy mieszanka była w przybliżeniu szczelna).

Analiza wyników tego zadania także wskazuje na konieczność stosowania relacji konstytutywnych w ramach teorii dowolnych deformacji do opisu zachowania lepiszczy asfaltowych, gdyż lokalnie wartości odkształceń wielokrotnie przekra- czały tzw. odkształcenia średnie. Dodatkowo lokalne kąty obrotu cząstek ciała mają znaczne wartości.

Wobec powyższego konieczne jest sformułowanie relacji konstytutywnych sprężystości i lepkosprężystości dużych deformacji. W pierwszym przypadku związki konstytutywne nazywamy relacjami hipersprężystości, w drugim lep- kosprężystości dużych deformacji (lepkohipersprężystości), [27]. Zastosowanie relacji konstytutywnych hipersprężystości, zgodnie z wykresem przedstawionym na rys. 1.2, jest uzasadnione w przypadku lepiszczy pracujących przy niższych wartościach temperatury albo przy znacznym stopniu ich modyfi kacji polimera- mi. W ogólności można stwierdzić, że relacje hipersprężystości mogą być stosowane dla materiału o niskiej wartości liczby Debory rozumianej jako stosunek czasu relaksacji do czasu trwania procesu obciążenia [7], [28]–[30]. Przy wyż- szych wartościach liczby Debory i znacznych odkształceniach powinny być stosowane relacje lepkohipersprężystości.

(10)

2. LEPKOSPRĘŻYSTOŚĆ MAŁYCH ODKSZTAŁCEŃ

2.1. ZALEŻNOŚCI GEOMETRYCZNE, RÓWNANIA RÓWNOWAGI I SFORMUŁOWANIE ZAGADNIENIA BRZEGOWEGO

TEORII MAŁYCH PRZEMIESZCZEŃ

 

^,t ^{. W przy-}

toczonych równaniach x jest wektorem określającym położenie cząstki ciała ze zbioru  w przyjętym układzie współrzędnych.

Tensor odkształcenia , występujący w (2.1), będący symetryczną częścią z tensora gradientu przemieszczenia, określony jest w następujący sposób:

^^¹₂



^{h h}^ ^T



, (2.1)

gdzie

^h^T ^^grad^{u x}

 

^,^t ^, ^(2.2)

jest gradientem pola przemieszczenia. Symbol „T” oznacza transpozycję tensora. Tensor odkształceń (2.1) jest stosowany w klasycznej teorii sprężystości i we wszystkich teoriach małych przemieszczeń.

Konsekwencją zasady zachowania pędu i momentu pędu są następujące lokalne równania równowagi:

div f 0,

2

t2

  



f f  u ,    ^T, (2.3) gdzie f oznacza dane a priori siły objętościowe, a u a są siłami bez- władności (ponieważ ^{u x}

 

^,t ). Dodatkowo znane jest pole gęstości ^{ }^

 

^x ^,

zaś „div” oznacza operację dywergencji. W równaniu (2.3) występuje tensor na- prężenia jako funkcja położenia i czasu ^

 

^x^,t ^.

(11)

13 Lepkosprężystość małych odkształceń

Defi nicja tensora odkształcenia i równania równowagi, czyli równania (2.1)–(2.3), są wspólne dla wszystkich sformułowań w ramach teorii małych przemieszczeń.

Ponieważ w zagadnieniach dynamicznych lub statycznych z relacjami konstytutywnymi typu reologicznego występują pola: ^{u x}

 

^,t ^,^

 

^x^,t ⁱ^

 

^x^,t ^{, to ich}

różniczkowanie po czasie oznaczamy jako:

   

^,

, t

t t





u x u x ,

   

^,

, t

t t



 x x

 

 ,

   

^,

, t

t t



 x x

 

 itd. (2.4) W wielu zagadnieniach celowe jest wydzielenie ze stanu naprężenia i od- kształcenia tzw. części kulistych i dewiatorowych:

¹

 

^tr

3 I s

 

  oraz ¹

 

^tr

3 I e

^{1 2}^ ^^



^E¹^^



^,^^{ }^G ^{2 1}



^E^^



^,^K^^{3 1 2}



^E^ ^



^, ^(2.9)

a  i  są stałymi sprężystości Lame’go, zaś G i K są modułami Kirchhoffa odpowiednio dla ścinania i zmian objętościowych [33].

2.3. RELACJE KONSTYTUTYWNE LEPKOSPRĘŻYSTOŚCI MATERIAŁÓW IZOTROPOWYCH

W ogólności relacje konstytutywne liniowej lepkosprężystości zapisać można na dwa sposoby, tj. w postaci równań różniczkowych i całkowych, por. [29], [34], [35].

Relacje konstytutywne materiałów liniowo-lepkosprężystych w przypadku jednowymiarowym można napisać w postaci różniczkowej (z operatorami róż- niczkowymi) jako:

P Q, (2.10)

gdzie P i Q są liniowymi operatorami różniczkowymi [35]:

P 1 p D p D¹  ² ² p D_N ^N, (2.11) Q q ⁰q D q D¹  ² ² q D^M ^M, (2.12) w których: p q q_n, ,₀ _m (n 1, ,N ;m 1, ,M ) są stałymi.

W operatorach (2.11) i (2.12) występują pochodne cząstkowe po czasie, po- dobnie jak w (2.4). W przypadku prostych modeli reologicznych będą stosowane oznaczenia , zamiast D, itp.

Ponieważ dodatkowo operatory typu (2.11) i (2.12) są liniowe, można zapro- ponować uogólnienie relacji konstytutywnych (2.10) na stany przestrzenne w postaci, która składa się z dwóch niezależnych równań, oddzielnie dla stanów dewiatorowych naprężenia i odkształcenia, tj.:

P²sQ²e, (2.13)

oraz kulistych stanów naprężenia i odkształcenia:

P1

 

tr Q1

 

tr , (2.14) gdzie występują różniczkowe operatory liniowe typu (2.11) i (2.12) (oczywiście z różnymi stałymi dla stanów kulistych i dewiatorowych), por. także [36].

Jednowymiarowe równania konstytutywne w postaci całkowej można zapisać jako:

     

0

d

t

t E t



  



^ ^{ }

  

 , (2.15)

(13)

gdzie  jest zmienną całkowania, zaś ^{E t}^

 

funkcją relaksacji naprężeń w odpowiedzi na zadane stałe odkształcenie. Relacja odwrotna do (2.15) może być zapisana w następującej postaci:

     

0

d

t

t J t



  



^ ^{ }

  

 , (2.16) gdzie ^{J t}^

 



i jeśli ₂ ₁. Analogia ta jest łatwiejsza do zilustrowania w przypadku, gdy zamiast czasem posłużymy się częstotliwością. W dalszej części niniejszej pracy zostało to zaprezentowane dla przykładowych badań lepiszczy asfaltowych. Wprowadzenie w sposób formalny analogii temperaturowo-czasowej do relacji (2.15):

     

0

* d

t

t E t



  



^ ^{ }

  

 , (2.17) sprowadza się do wprowadzenia czasu zredukowanego t*, który można wyrazić jako:

^* ₀



¹

  

^d

t

T

t a T





_ ^^,^{d *}^d T



¹

_{ } 

t

t a T t . (2.18) W (2.18) ^{a T}_T

 

jest tzw. funkcją przesunięcia temperaturowo-czasowego.

W literaturze przedmiotu praktycznie stosowane są dwie postacie funkcji a TT

 

: jedna zaproponowana przez Williamsa, Landela i Ferry’ego [37], a druga przez Arrheniusa. Ich szczegółowa analiza i zastosowanie są zaprezentowane w dalszej części pracy.

Relacje typu (2.15) mogą być uogólnione na stany przestrzenne w następujący sposób (analogia do związku Hooke’a):

     

0

2 d

t

t G t



  



^e

s  

 

 , (2.19)

       

0

tr 3 tr d

t

t K t



  



^ ^ ^_^ ^

 . (2.20)

W równaniach (2.19) i (2.20) występują funkcje relaksacji stanu dewiatorowe- go ^{G t}^



^^



i stanu kulistego ^{K t}^



^^



tensora naprężeń.

(14)

W relacjach konstytutywnych dla stanów dewiatorowych i kulistych (2.13) i (2.14) postacie operatorów P₁, Q₁, P₂, Q₂ można przyjąć, posługując się modelami jednowymiarowymi prezentowanymi w literaturze dotyczącej reologii, por. [38]–[40]. O deformacjach trwałych w przypadku jednowymiarowych relacji konstytutywnych, których interpretacje są przedstawione jako pewne kombinacje połączonych szeregowo/równolegle elementów sprężystych (sprężyn) i lepkich (tłumiki), można mówić tylko wtedy, gdy w układ włączono szeregowo element lepki. Kwestię tę najłatwiej wyjaśnić na przykładzie dwóch wybranych modeli jednowymiarowych, tj. np. modelu standardowego i modelu Burgersa. Można stwierdzić, że w ogólności model standardowy jest przykładem modelu opisują- cego właściwości lepkosprężyste ciała stałego, podczas gdy model Burgersa opi- suje właściwości cieczy.

2.4. PRZYKŁADOWE JEDNOWYMIAROWE MODELE LEPKOSPRĘŻYSTOŚCI

2.4.1. Uwagi wstępne

W literaturze można znaleźć wiele klasycznych pozycji, w których przed- stawiane są poszczególne modele reologiczne, por. [32], [39], [41]–[43]. Na podstawie przykładowych jednowymiarowych modeli konstytutywnych lepko- sprężystości małych odkształceń stosowanych do opisu lepiszczy asfaltowych zamieszczonych w tym rozdziale:

i) podkreślono zasadnicze różnice między modelami lepkosprężystości ciał sta- łych i cieczy [28], [39], [44];

ii) zaprezentowano pewne ich charakterystyczne właściwości przy zastosowaniu wymuszenia typu naprężeniowego lub odkształceniowego, właściwe ciałom stałym i cieczom;

iii) wprowadzono pewne charakterystyczne pojęcia jak funkcja relaksacji, funkcja pełzania, czas relaksacji, czas pełzania itp.;

iv) wykonano przejścia z dziedziny czasu do dziedziny częstotliwości przy zastosowaniu transformaty Fouriera [45];

v) wyprowadzono wzory na części rzeczywistą i urojoną zespolonego modułu sztywności, które w sposób standardowy są wyznaczane np. w reometrze DSR w przypadku modułu ścinania G^* [46];

vi) przygotowano bazę niezbędnych wzorów do interpretacji badań z wymusze- niami cyklicznymi stosowanymi przy badaniach w reometrze DSR [47].

Zespolone moduły sztywności, pojawiające się poniżej jako ^E^*

 

^ ^{, mogą}

być interpretowane jako ^G^*

 

^ w zależności od tego, czy występują w relacji typu (2.13) lub (2.9), czy w relacji (2.14) lub (2.20). O wyborze prezentowanych

(15)

niżej modeli decydowała przede wszystkim ich złożoność. Model standardowy jest przykładem najprostszego modelu opisującego właściwości lepkosprężyste ciała stałego, podczas gdy model Burgersa jest najprostszym modelem opisują- cym właściwości lepkosprężyste cieczy.

Zaprezentowano także modele z tłumikami o zmiennej charakterystyce, które wynikają wprost z pojęcia pochodnej ułamkowej [48]–[52]. Wśród tych modeli na uwagę zasługują modele powstałe przez szeregowe połączenie elementu spręży- stego i tłumika o zmiennej charakterystyce (model oznaczony jako PLM) i model powstały przez szeregowe połączenie elementu sprężystego i dwóch elementów lepkich o zmiennej charakterystyce (model Hueta), por. [48]. Modele te powstały w odpowiedzi na brak możliwości przybliżenia krzywej wiodącej w szerokim zakresie częstotliwości przez wymienione wcześniej proste modele konstytutywne z kilkoma zaledwie parametrami materiałowymi.

Ostatnim z prezentowanych modeli jest model, w którym rozwinięcie unormowanej funkcji relaksacji proponowane jest w postaci szeregu, pierwszy raz zapro- ponowanego przez Prony’ego [53]. Ten wieloparametrowy model jest stosowany np. w programie MES ABAQUS, por. [54].

Standardowe wyniki badań lepiszczy asfaltowych, czy mieszanek mineralno-asfaltowych z podobnym przybliżeniem mogą być aproksymowane przez model Hueta (kilka parametrów) jak i przez model Prony’ego (wieloparametrowy). Jednak model Hueta nie jest powszechnie stosowany w programach MES.

W przypadku modeli bazujących na pojęciu pochodnej ułamkowej implementacja numeryczna jest dość kłopotliwa, a pierwszym z problemów jest aproksymacja pochodnej ułamkowej w algorytmie przyrostowym, por. [52], [55].

2.4.2. Model standardowy

W przypadku szeregowego połączenia elementu sprężystego o charakterystyce E z elementem Kelvina-Voigta (o charakterystykach odpowiednio E₁ i ₁) otrzymujemy model, który w literaturze nosi nazwę modelu standardowego [32], [41], por. rys. 2.1.

Rys. 2.1. Schemat ideowy modelu standardowego

(16)

Jest to najprostszy jednowymiarowy model opisujący właściwości lepkosprę- żyste ciała stałego, tj. jeżeli przyjmiemy, że ₁0, to model ten stanowi szeregowe połączenie dwóch elementów sprężystych. Relacja konstytutywna w przypadku tego modelu ma następującą postać:

1 1 1

EE E

E E E E E E

  

    

⁰



3



3 2

t t t

t t

  



  , t



t t2 3,



^

 

^t ^⁰^,t



t3,



,

gdzie ^{H t}

Równanie (2.21) można przedstawić w następującej postaci:

1 1 1

EE

E E E E E

 

       

    , (2.23)

i nadać interpretację pewnym kombinacjom stałych, np. ¹

1

r  E E



  jest czasem relaksacji, ¹

1 o E

 czasem opóźnienia, zaś ¹

1 r

E EE

 E E

 jest modułem relaksacji, moduł E oznacza sztywność początkową E₀ E. Po uwzględnieniu nowych oznaczeń relację (2.23) można zapisać jako:

   r  Er



   o



. (2.24) Po wykonaniu transformacji Laplace’a na relacji (2.24) otrzymamy:



 

s ¹rs



Er

 

s ¹os



, (2.25) a wtedy można zapisać:

 

¹

     

1

r o r

s E s s E s s

s

  



   

r o r

E s E s

s s

 

 

 ^(2.28)

zaś po wykonaniu transformaty odwrotnej otrzymujemy funkcję relaksacji:

 

r ¹ ^o ^r ^t^r r

E t E   e^

   

 

   ^

 . (2.29)

Związek między funkcją relaksacji i pełzania wyraża się wzorem:

^{J s E s}

   

¹₂

s

  , (2.30)

a więc funkcja pełzania dla modelu standardowego w transformatach przyjmuje postać:

 

¹ ¹ ¹

1

r

r o

J s s

E s s

 

 

 ^. ^(2.31)

(18)

Wykonanie transformaty odwrotnej prowadzi do następującego wyniku:

 

¹ ¹ ^r ^t^o

 

^.

r o

J t e H t

E

  

   

 

  ^

 ^(2.32)

Jako, że zespolony moduł Younga można wyrazić w postaci:

^E^*

 

^ ^^{E s}

 

_s__i_^, ^(2.33)

to

 

* 1 1

1 1 .

o o

r r

r s i r

s i

E E E

s _ i

 

 

 _ 

  

    ^(2.34)

Wtedy część rzeczywista i urojona wyrażają się odpowiednio następującymi wzo- rami:

  

^*

  

2 2²

Re 1

1

R r o r

r

E E E 

 



  

 

  ^, ^(2.35)

 

Im



^*

   ^

2

^

2

1

o r

U r

r

E E E 

 



  

 

  ^. ^(2.36) Po podstawieniu oryginalnych parametrów modelu (tj.E, E₁, ₁) można uzy- skać:

 

¹² ² ₂¹ ₂ ¹²₂ ²

1 1

( )

R

EE E E E

E E E

 

  

  

  ^, ^(2.37)

 

²₂¹ ₂ ₂

1 1

( )

U

E E

 E E

 

  

  ^. ^(2.38)

Do wzorów (2.37) i (2.38) oryginalne parametry modelu standardowego wcho- dzą nieliniowo. Stąd wniosek, że przy wyznaczaniu parametrów modelu przy wykorzystaniu wyników doświadczalnych na składowe rzeczywistą i urojoną zespolonego modułu sztywności formułuje się zagadnienie optymalizacji nieliniowej.

Formalnie z zadania optymalizacji można otrzymać nawet kilka równoważnych zbiorów parametrów materiałowych.

Wzory na część rzeczywistą i urojoną zespolonego modułu sztywności można otrzymać rozwiązując równanie różniczkowe w postaci (2.24) (albo (2.21)) przy wymuszeniu odkształceniowym:

⁰ ^⁰. Naprężenie wyraża się wtedy wzorem:

   

     

0 ^r 1 ^rcos ^r sin

t t t

r o

r

t E i e e t ie t

i

  

  

  

 

  

  

   

 

  

(2.40)

(19)

Ponieważ

   

 

*

0 cos sin

E t

t i t

 

 

   , (2.41)

to po podstawieniu (2.40) do (2.41) i uporządkowaniu, otrzymamy odpowiednio wzory na część rzeczywistą i urojoną modułu Younga:

  

2 2 ²



2 2



²

 ^{ } ^ ^ ^{ }

1 1 cos sin

1 1

r

t

r o r r

R o r r o

r r

E E

E    e ^ t t

        

   

 

 

        ,

(2.42)

  

2 2



2 2

 

cos

  

1 ²



sin

^{ }

1 1

r

t

r o r r

U o r o r

r r

E E

E    e ^ t t

        

   

   

        .

(2.43)

Ponieważ funkcja e^^t^^r dla typowych czasów relaksacji jest funkcją bardzo szybko malejącą i lim( ^t ^r) 0

t e^

 ^  , to po usunięciu wyrazów pomnożonych przez tę funkcję otrzymamy wzory (2.35) i (2.36). Dzięki wzorom (2.42) i (2.43) moż- na wyciągnąć pewne wnioski odnośnie badań przy cyklicznych wymuszeniach odkształceniowych przeprowadzanych w reometrze DSR. W pierwszych cyklach odpowiedź naprężeniowa nie jest ustabilizowana. W przypadku lepiszczy asfaltowych i reometru DSR Haake przyjęto, że pomiar właściwy rozpoczyna się dopiero po wykonaniu dziesięciu cykli obciążenia. Oczywiście wartość ta może być przyjmowana w sposób dowolny i powinna wynikać z przedstawionej po- wyżej analizy albo z testów próbnych, które pozwalają określić, po jakiej liczbie cykli otrzymujemy ustabilizowaną funkcję odpowiedzi. Przykładowo na rys. 2.3 pokazano wykres wymuszenia odkształceniowego, unormowany względem ₀

Rys. 2.3. Stabilizacja naprężenia przy cyklicznym wymuszeniu odkształceniowym w przypadku le- piszcza 50/70 w temperaturze T = 40[°C]

(20)

i funkcji naprężenia (odpowiedzi) unormowanej przez wartość naprężenia, po ustabilizowaniu testu w przypadku modelu standardowego i parametrów materia- łowych _r= 0.00396 [s], _o= 0.158 [s], E_r= 0.146 [MPa] (lub E= 5.83 [MPa],

E1= 0.15 [MPa], ₁= 23708 [Pa·s]), wyznaczonych dla lepiszcza niemodyfi kowanego 50/70 w temperaturze T = 40[°C].

r

t E   e^ H t

     

 

 

 ^. ^(2.44)

Z drugiej strony podstawiając do relacji (2.15) postać funkcji odkształcenia otrzymamy:

   

0

   

0

d

t

t E t E t

      







^   ^ ^, ^(2.45)

czyli ostatecznie funkcja relaksacji modelu standardowego ma następującą postać:

 

r ¹ ^o ¹ ^t ^r

 

r

E t E   e^ H t

     

  ^

 ^. ^(2.46)

E

   

   

 

   ^

 ^. ^(2.47)

W relacjach (2.17) i (2.18) wprowadzano analogię temperaturowo-czasową i wzór Williamsa-Landela-Ferry’ego (WLF) [37]

     ^{ }   ^{ } 

1

 

10

2

log _T ^R

R

C T t T a T t h T t

C T t T

   

  , (2.48) gdzie: a_T – współczynnik przesunięcia, T_R – temperatura odniesienia i C₁, C₂ – stałe materiałowe. W celu zaprezentowania działania analogii temperaturowo- czasowej i wzoru WLF przyjęto dane materiałowe jak dla lepiszcza niemody- fi kowanego 50/70 w temperaturze T = 40[°C], (por. rys. 2.3), oraz następujące stałe w równaniu WLF: C₁= 10.9404, C₂= 95.8246. Znormalizowaną funkcję relaksacji przy różnych wartościach temperatury z przedziału od 10 do 50[°C] pokazano na rys. 2.4, jako funkcje czasu przeskalowanego przez czas relaksacji _r. Zgodnie z intuicją relaksacja następuje zdecydowanie szybciej przy podnoszeniu temperatury.

(21)

Rys. 2.4. Unormowana funkcja relaksacji naprężeń modelu standardowego z uwzględnieniem analogii temperaturowo-czasowej i wzoru WLF w zależności od temperatury dla lepiszcza 50/70

(na osi poziomej stosunek czasu do czasu relaksacji w temperaturze odniesienia)

2.4.3. Model Burgersa Model Burgersa, który jest rozszerzeniem modelu standardowego (włączony szeregowo dodatkowy element lepki o charakterystyce �₁), jest stosunkowo prostym modelem opisującym ciecze lepkosprężyste. Powstaje przez szeregowe połączenie modelu Kelvina-Voigta i Maxwel- la, por. rys. 2.5.

Rys. 2.5. Schemat ideowy modelu Burgersa

W jego przypadku założenie, że �₁�0 prowadzi do relacji konstytutywnej, w której jakiekolwiek naprężenie wywołuje dowolne odkształcenia. Relacja konstytutywna w przypadku modelu Burgersa ma następującą postać:

�

¹

� � �

o o o

E�� _� �� E� � � � � �_�� _� _�� _�E � � �� _�� , (2.49) gdzie E_o �E₁, �_� ��₁, ²

2

� �

� , ¹

2

E

� E

� . Także w przypadku tego modelu uzyskano rozwiązanie analityczne przy zadanym programie obciążenia (2.19). Jako, że równanie różniczkowe (2.49) jest równaniem drugiego rzędu, to przy rozwią- zaniu wykorzystano warunki ciągłości funkcji ^�

� �

^t , jak i jej pierwszej pochod-

� E

(22)

nej. Rozwiązanie to pokazano dla jednostkowych wartości parametrów modelu Burgersa (E_o, _, _ , ) w postaci wykresu (czerwona linia) na rys. 2.6a.

Rys. 2.6. a) Funkcje: wymuszenia ^ ^t i odpowiedzi ^ ^t w przypadku modelu Burgersa; b) Funk- cja ^^ ^t w przypadku modelu Burgersa

Na podstawie rozwiązania analitycznego można stwierdzić, że w modelu Bur- gersa po całkowitym zdjęciu obciążenia odkształcenia maleją do wielkości rezy- dualnej równej: ⁰



2 3 1



2 t t t



  

 . Pozostają więc tzw. deformacje trwałe.

Formalnie z modelu Burgersa można przejść do modelu standardowego. Dzie- ląc stronami równanie (2.49) przez _, otrzymujemy



¹

  

o o

o

E E

E

 

 

      

 _  _   _

        

  . (2.50)

Przechodząc w granicy z _ , z modelu Burgersa otrzymujemy model standardowy, jednak charakter równania różniczkowego jest nieco inny. Otrzyma- ne równanie różniczkowe jest równaniem drugiego rzędu

 

2

1 1

o

o o

E s s

E s E E s s s



 

 

     

 ^

 

 

     ^(2.53)

oraz funkcję pełzania w transformatach

   

 

2

1 1

o o .

o

E E s s

J s E s s s

 



     

 

 ^ ^



    

  ^(2.54)

Rys. 2.7. Porównanie rozwiązań uzyskanych dla modelu standardowego (S) i modelu Burgersa (przy _ ) (B)

Wykonanie transformaty odwrotnej prowadzi do następujących wyników:

 

^ ² ^



1

  

1

   

2

E to t

o o o

E t E e E e E H t



 

    

   

 

       



 

  



 

 

 

       

 

 

 ,

(2.55)

  

¹

  

t o o

e E t

J t H t

E



 



  

     ^^

 ^, ^(2.56)

gdzie

 

 

¹ 



__Eo



² ⁴Eo _ _ . (2.57) Korzystając ponownie z relacji (2.33) można wyznaczyć zespolony moduł sztywności