PARAMETRÓW MATERIAŁOWYCH DO RELACJI KONSTYTUTYWNYCH LEPKOSPRĘŻYSTOŚCI
MODUŁÓW ZESPOLONYCH WYZNACZONYCH W SZEROKIM ZAKRESIE TEMPERATURY
Do badań wybrano lepiszcze modyfi kowane 65/105-60 produkcji krajowej. Wy-niki podstawowych badań funkcjonalnych dla tego asfaltu zestawiono w tabl. 4.8, [98]. W badaniach laboratoryjnych określono wartości penetracji wg PN-EN 1426 [101], temperatury mięknienia (metodą pierścienia i kuli wg PN-EN 1427 [102]) oraz temperaturę łamliwości Fraassa wg PN-EN 12593 [103] w stanie oryginal-nym jak i po starzeniu technologiczoryginal-nym RTFOT. Temperatura mięknienia analizo-wanego asfaltu ma bardzo wysoką wartość, co wynika ze stosunkowo wysokiego stopnia jego modyfi kacji [104]. Na podstawie przeprowadzonych badań można również stwierdzić niekorzystny wpływ starzenia technologicznego, objawiający się obniżeniem wartości temperatury mięknienia i podwyższeniem temperatury łamliwości Fraassa.
Na podstawie standardowych testów ścinania w reometrze DSR można wyzna-czyć składowe rzeczywistą i urojoną zespolonego modułu ścinania (G*) w funkcji częstotliwości [46]. Przeprowadzono takie badania i wyznaczono normę zespo-lonego modułu ścinania (|G*|) oraz kąt przesunięcia fazowego () dla jedenastu częstotliwości (0.16, 0.25, 0.40, 0.63, 1, 1.59, 2.52, 3.99, 6.29, 10.01, 15.85[Hz]) oraz trzynastu wartości temperatury 10.0, 21.1, 14.7, 27.4, 34.0, 40.1, 46.0, 52.1, 58.0, 64.0, 70.0, 76.0, 82.0[°C]). Badania wykonano stosując rotor o średnicy 8 [mm] przy wartościach temperatury 10.0, 21.1, 14.7, 27.4, 34.0, 40.1, 46.0[°C]
oraz rotor o średnicy 25 [mm] przy wartościach temperatury 46.0, 52.1, 58.0, 64.0, 70.0, 76.0, 82.0[°C]. W każdym przypadku badania wykonano na trzech próbkach (tj. w sumie na sześciu próbkach). Uzyskane wyniki pokazano na rys. 4.18, gdzie przedstawiono normę zespolonego modułu ścinania w funkcji częstotliwości, sto-sując skalę logarytmiczną (logarytm dziesiętny). Każdy punkt pomiarowy na tych wykresach został wyznaczony jako średnia arytmetyczna z wyników dla czterech próbek (każdy wynik dla ustalonej próbki jako średnia arytmetyczna z jedenastu pomiarów).
73 O sposobie wyznaczenia parametrów materiałowych do relacji konstytutywnych...
Rys. 4.18. Norma zespolonego modułu ścinania w funkcji częstotliwości i temperatury – wyniki badań (niepoddane obróbce) w przypadku lepiszcza 65/105-60
Rys. 4.19. Kąt przesunięcia fazowego w funkcji częstotliwości i temperatury – wyniki badań (nie-poddane obróbce) w przypadku lepiszcza 65/105-60
Liczba wyników dla jedenastu wartości częstotliwości w danej temperaturze jest zbyt mała, żeby skalibrować jakikolwiek złożony model konstytutywny. Stan-dardowo stosowana jest analogia temperaturowo-czasowa zgodnie ze wzorem Williamsa-Landela-Ferry’ego:
gdzie: aT – współczynnik przesunięcia częstotliwościowego, TR – temperatura odniesienia, C1, C2 – stałe materiałowe. Często zamiast (4.9) stosuje się np. wzór
gdzie: aT – współczynnik przesunięcia temperaturowo-częstotliwościowego, TR – temperatura odniesienia, H – energia aktywacji procesu, k – stała Bolt-zmanna, – temperatura w skali Kelvina. Współczynnik przesunięcia fazowego (częstotliwościowego) jest współczynnikiem skalującym dla częstotliwości fi
G T f*
i, i
G T f*
j, j a T TT
i, j
fi
. (4.11)W przypadku kąta przesunięcia fazowego zakłada się analogiczną formułę:
T fi, i
T a T Tj, T
i, j
fi
. (4.12)Dysponując wynikami w zakresie częstotliwości f 0.16,15.85 [Hz]
przez zastosowanie analogii temperaturowo-czasowej w każdej temperaturze rozszerzono dziedzinę częstotliwościową do bardzo szerokiego przedziału
0.0000083,832.125
f [Hz]. Wartości współczynnika przesunięcia fazo-wego można wyznaczyć np. na podstawie założenia o ciągłości i gładkości funkcji normy zespolonego modułu ścinania w ustalonej temperaturze referen-cyjnej.
W analizowanym przypadku przyjęto temperaturę referencyjną równą TR= 21.1[°C]. Wartość temperatury przyjęto tak, aby nie było konieczne sto-sowanie analogii temperaturowo-czasowej dla jednego zestawu wyników po-miarów. Utworzenie gładkiej krzywej, jak na rys. 4.20, na podstawie danych z eksperymentu, jak na rys. 4.18, wymaga przyjęcia wartości współczynnika
aT jak na rys. 4.21.
75 O sposobie wyznaczenia parametrów materiałowych do relacji konstytutywnych...
Rys. 4.20. Krzywa wiodąca w temperaturze referencyjnej TR= 21.1[°C], utworzona na podstawie wzoru (4.11), z wartościami parametru aT jak na rys. 4.21
Rys. 4.21. Wartości współczynnika aT w funkcji temperatury (TR= 21.1[°C])
Wyznaczenie wartości współczynnika aT przy wykorzystaniu kryterium cią-głości i gładkości normy zespolonego modułu ścinania nie zapewnia ciącią-głości i gładkości funkcji kąta przesunięcia fazowego, por. rys. 4.22.
Rys. 4.22. Funkcja kąta przesunięcia fazowego w temperaturze referencyjnej TR= 21.1[°C], utwo-rzona na podstawie wzoru (4.12), z wartościami parametru aT jak na rys. 4.21
Na rysunku 4.23 i 4.24 pokazano dodatkowo składowe rzeczywistą i urojoną zespolonego modułu ścinania.
Rys. 4.23. Część rzeczywista zespolonego modułu ścinania w temperaturze referencyjnej TR= 21.1[°C], z wartościami parametru aT jak na rys. 4.21
77 O sposobie wyznaczenia parametrów materiałowych do relacji konstytutywnych...
Rys. 4.24. Część urojona zespolonego modułu ścinania w temperaturze referencyjnej TR= 21.1[°C], z wartościami parametru aT jak na rys. 4.21
Na podstawie wartości parametru aT i relacji (4.9) oraz (4.10), korzystając z metod optymalizacji nieliniowej i programu Mathematica (opcja NonlinearMo-delFit), można wyznaczyć wolne parametry materiałowe. W przypadku relacji WLF i temperatury referencyjnej TR= 20.0[°C], wyznaczono: C1= 10.9404,
C2= 95.8246 (współczynnik determinancji na poziomie 0.997). Z kolei w przy-padku funkcji Arrheniusa wyznaczono dH = 148835 [J/mol] (współczynnik deter-minancji na poziomie 0.992) oraz przyjęto R = 8.31441 [J/(mol K)].
Rys. 4.25. Porównanie funkcji a TT wyznaczonych na podstawie wzoru WLF i wzoru Arrheniusa
Po zastosowaniu analogii temperaturowo-czasowej wyniki badań doświad-czalnych pokazano na rys. 4.26 i 4.27. Z badań wynika, że wzór WLF z wyzna-czonymi wyżej parametrami lepiej modeluje krzywą wiodącą w całym zakresie częstotliwości.
Rys. 4.26. Krzywa wiodąca przy zastosowania analogii temperaturowo-czasowej i wzoru WLF (wy-niki badań)
Rys. 4.27. Krzywa wiodąca przy zastosowania analogii temperaturowo-czasowej i wzoru Arrheniu-sa (wyniki badań)
79 O sposobie wyznaczenia parametrów materiałowych do relacji konstytutywnych...
Wykresy zamieszczone na rys. 4.23–4.24 oraz 4.26–4.27 są sporządzone w skali logarytmicznej na osiach rzędnych i odciętych. W celu zilustrowania tych danych, poniżej zamieszczono wykres kolumnowy pokazujący liczebność danych w wybranych przedziałach częstotliwości (rys. 4.28).
Rys. 4.28. Procentowy udział danych doświadczalnych w wybranych przedziałach częstotliwości w stosunku do całego zbioru danych, jako konsekwencja zastosowania analogii
temperaturowo-czasowej
Liczebność zbioru danych w przedziale częstotliwości 0–0.1 [Hz] jest najwięk-sza i ekspotencjalnie maleje dla kolejnych przedziałów. Taka nierównomierność danych w przedziale zmian częstotliwości zredukowanej utrudnia wyznaczanie parametrów materiałowych modelu. Ten przykład wyznaczenia parametrów ma-teriałowych do modeli sprężysto-lepkości jest jakościowo różny od przedstawio-nego w pkt. 4.3, gdzie dane doświadczalne były równo rozłożone w dziedzinie częstotliwościowej.
Próba wyznaczenia parametrów modeli standardowego i Burgersa nie przy-niosła zadowalających rezultatów. Modele te nie powinny być stosowane do modelowania zachowania materiału w tak szerokiej domenie częstotliwościo-wej. Z kolei zastosowanie modeli z tłumikiem parabolicznym dało bardzo do-bre rezultaty. Parametry wyznaczone dla tych modeli, przy zastosowaniu me-tod optymalizacji nieliniowej i przy równoczesnym minimalizowaniu błędu na funkcję części rzeczywistej i urojonej zespolonego modułu ścinania, zestawiono w tabl. 4.9. W przypadku wszystkich modeli parametr o interpretacji pochodnej ułamkowej przyjmuje wartość około 0.6. Parametr bezwymiarowy przyjmuje wartości na poziomie 0.9.
Dla modeli PLM, HM i HSM oraz parametrów materiałowych zestawionych w tabl. 4.9 sporządzono wykresy (rys. 4.29–4.31) składowych rzeczywistej i uro-jonej zespolonego modułu ścinania, kąta przesunięcia fazowego w funkcji
często-tliwości oraz wykresy Cole-Cole i Blacka na tle wyników badań doświadczalnych (tam, gdzie były dostępne).
Tablica 4.9
Parametry modeli z tłumikami parabolicznymi
Testy E0 [MPa] E [MPa] J1 [1/MPa] J2[1/MPa] [–] a [–] b [–]
PLM – 98.63 6.11 – 0.93 0.631 –
HM – 58.71 2.85 3.78 0.91 0.604 0.906
HSM 0.91 67.97 5.77 2.55 0.99 0.616 0.999
Wśród modeli z tłumikami parabolicznymi na szczególną uwagę zasługuje model HSM, który jako jedyny może być interpretowany jako model ciała sta-łego. Wykres kąta przesunięcia fazowego przewidywanego przez ten model ma typowy charakter jak dla ciała stałego. Nie jest on najlepiej dopasowany do wy-ników badań doświadczalnych, ale biorąc pod uwagę, że model ten ma tylko 6 wolnych parametrów, uzyskane wyniki można uznać za zadowalające. Odwzo-rowanie części rzeczywistej i urojonej zespolonego modułu ścinania w całym zakresie częstotliwości jest bardzo wierne, a jedynie model HSM w przypadku części rzeczywistej i normy modułu zespolonego dla najniższych częstotliwości widocznie odstaje od wyników badań doświadczalnych. Błąd względny, obli-czony jako:
jest jednak na porównywalnym poziomie, jak w pozostałych modelach, por.
rys. 4.32.
Rys. 4.29. Wykresy części rzeczywistej i urojonej zespolonego modułu ścinania dla modeli z tłumi-kami parabolicznymi, z parametrami jak w tabl. 4.9
81 O sposobie wyznaczenia parametrów materiałowych do relacji konstytutywnych...
Rys. 4.30. Wykres Cole-Cole oraz wykres Blacka dla modeli z tłumikami parabolicznymi, z para-metrami wg tabl. 4.9
Rys. 4.31. Wykres kąta przesunięcia fazowego i normy zespolonego modułu ścinania dla modeli z tłumikami parabolicznymi z parametrami jak w tabl. 4.9
Rys. 4.32. Względny błąd odwzorowania normy modułu dla modeli: a) PLM, b) HM, c) HSM
4.5. PROPOZYCJA SPOSOBU POSTĘPOWANIA PRZY
WYZNACZENIU PARAMETRÓW MODELI LEPKOSPRĘŻYSTOŚCI