PRZYKŁADOWE MODELE LEPKO-SPRĘŻYSTOŚCI W SFORMUŁOWANIU BEZPOŚREDNIM

12.2.1. Wprowadzenie

Relacje konstytutywne lepkosprężystości dużych deformacji w sformułowa-niu bezpośrednim mogą być w ogólności zaproponowane, jako następujące funk-cje tensorowe: Postać (12.22) jest wprost sugerowana przez relację konstytutywną (12.18), zaś używanie tensora naprężenia Cauchy’ego zamiast tensora Kirchhoffa z punk-tu widzenia obiektywności relacji konstypunk-tutywnych nie ma większego znaczenia, gdyż są one względem siebie skalowane wyłącznie przez mnożnik skalarny. Rela-cje konstytutywne lepkosprężystości dużych deformacji z pochodnymi wyższego rzędu niż pierwszy (zarówno po tensorze naprężenia jak i tensorze prędkości de-formacji (6.11)) nie są chętnie stosowane. Spowodowane jest to problemami przy znajdowaniu rozwiązań zagadnień elementarnych lepkosprężystości, takich jak test pełzania i test relaksacji. Pierwsza pochodna funkcji ^{H t}

 

to dystrybucja Di-rac’a, przy wyższych pochodnych w relacjach konstytutywnych występują także wyższe jej pochodne, co przy zmienności impulsów obciążenia może prowadzić do znacznych problemów interpretacyjnych i obliczeniowych. W takich przypad-kach problematyczne jest także ustalanie warunków początkowych, na co

wska-191 Relacje konstytutywne lepkosprężystości dużych deformacji

zano m.in. w pracy [143], ograniczając klasy możliwych relacji konstytutywnych do funkcji:

^f



^{  , , , D D}



^{0, f}



^{  , , , D D}



^{0, (12.24)}

por. także [26]. Należy podkreślić, że relacje konstytutywne lepkosprężystości dużych deformacji w odniesieniu do lepiszczy asfaltowych nie są powszechnie stosowane. W literaturze można znaleźć tylko kilka propozycji relacji konstytu-tywnych, w których uwzględnia się nieliniowość w relacjach konstytutywnych.

Do najbardziej popularnych modeli można zaliczyć model Schapery’ego [144], [145]. Model ten został użyty w ostatnich latach w zmodyfi kowanej formie [146]

jako model jednowymiarowy, co wydatnie ogranicza jego zastosowania w mecha-nice kontinuum. Co więcej model ten został poddany krytyce [147]. Inne modele jednowymiarowe pojawiają się także w pracach [148], [149] jednak nie pozwalają na przewidywanie podstawowego efektu jaki może być obserwowany w teście skręcania lepiszczy przeprowadzanym w DSR a mianowicie pojawienia się siły osiowej, która towarzyszy deformacji skręcania (lokalnego ścinania). Modele trójwymiarowe lepkosprężystości można znaleźć m.in. w pracach [25], [150], [151] oraz [152], [153], [154],[155]. Każdy z modeli prezentowanych w tych pracach jest w stanie przewidywać efekt powstawania naprężeń normalnych to-warzyszących ścinaniu (tzw. efekt Poyntinga). Vijay ze współpracownikami za-stosował zmodyfi kowaną wersję modelu White’a-Metznera, gdzie zaproponował kinematyczne równanie na parametry modelu zwiazane ze zmianą struktury as-faltenów w lepiszczu asfaltowym. Model zastosowany w pracy [151] jest podob-ny do modelu Oldroyd’a-B [139], [156]. Model rozwijapodob-ny przez Chockallingama i współpracowników jest modyfi kacją klasycznego modelu Maxwella. Należy stwierdzić, że modele te w prezentowanych zastosowaniach spisują się bardzo dobrze, jednak żaden z nich w wystarczającym stopniu nie jest w stanie odwzoro-wać eksperymentów prezentowanych w pracy [25], które zostały przeprowadzone w reometrze dynamicznego ścinania. Badaniom poddano lepiszcze bazowe 60/70 oraz lepiszcze modyfi kowane PMB70 w stanie oryginalnym i poddane starzeniu.

Uzyskane wyniki w przypadku lepiszcza 60/70 nie poddanego starzeniu pokazano na rys. 12.1. Badania przeprowadzono na próbkach walcowych o średnicy 8 [mm]

i wysokości 1 [mm] przy czterech wartościach temperatury: 25, 30, 35, 40[°C].

Uzyskiwane wartości siły osiowej dla lepiszczy niemodyfi kowanych są bardzo niskie (nie przekraczają 1 [N]), por. rys. 10.8 i 12.1b.

Model prezentowany w pracy [26] wydaje się nie posiadać przedstawionych wyżej wad i pozwalać na poprawne przewidywanie zachowania złożonego ma-teriału jakim jest lepiszcze asfaltowe. W celu prezentacji tego modelu wprowa-dzono kolejne ograniczenie na postać funkcji (12.24), wynikające bezpośrednio z wyników badań doświadczalnych. Analizując wykresy na rys. 12.1 można za-uważyć, że ciągłemu wymuszeniu w postaci funkcji ^

 

^t towarzyszy nieciągłość

w funkcji momentu skręcającego. W przypadku funkcji siły osiowej ciągłość ta jest zachowana. Oznacza to, że w relacji (12.24) musi pozostać wyraz z pochodną po czasie tensora prędkości deformacji. Jako konsekwencję tego faktu należy wy-eliminować wszystkie modele o postaci: ^f



^{  , , D}



^0. Także modele o postaci



^{, ,}



f  D D 0 muszą zostać wyeliminowane, ponieważ przewidują one natych-miastową relaksację naprężeń do zera w testach relaksacji naprężeń.

Rys. 12.1. a) Funkcja momentu (w [Nm]) jako reakcji na zadany kąt skręcenia ^ ^t ; b) Siła osiowa (w [N]) w funkcji czasu, dla lepiszcza niemodyfi kowanego i niestarzonego 60/70

12.2.2. Model Narayan’a

W pracy [26] zaproponowano model nieściśliwego lepiszcza z relacją konsty-tutywną w postaci:

 pI s D, (12.25)

gdzie ¹

 

^tr

p 3

   

s  I   I jest dewiatorem stanu naprężenia Cauchy’ego,

 parametrem opisującym lepkie właściwości materiału, zaś p średnim ciśnie-niem, które jest reakcją na zadane więzy nieściśliwości. Zaproponowany model jest niejawny, gdyż s może być wyznaczone na podstawie równania różniczko-wego o postaci:

 

^{trS2 nSSo}



^trD2



^nD, (12.26) gdzie S S WS SW^o    , jest pochodną Jaumana, por. załącznik 5. Podstawienie relacji (12.26) w (12.25) prowadzi do wyniku:



^tr



^sD



²



ⁿ

^

^sD

^

^{so}

^

^trD2

^

^{nD Do} . (12.27) Wadą tzw. „niejawnych” sformułowań relacji konstytutywnych lepkosprę-żystości jest zawsze problem z ich implementacją numeryczną. Ponieważ na

193 Relacje konstytutywne lepkosprężystości dużych deformacji

przyroście konieczne jest rozwiązanie dodatkowego nieliniowego równania różniczkowego, to implementacje nie mogą być standardowe. Dodatkową wadą tego typu modeli jest brak formalnych wymagań na zachowania spręży-ste materiału. W przypadku modeli lepkohipersprężystości model w granicz-nej sytuacji przechodzi w model hipersprężystości. Wymagania teoretyczne odnośnie do postaci funkcji jednostkowej energii sprężystości są dobrze opra-cowane [6], [121], [130].

12.2.3. Model Filograny W pracy [157] można znaleźć inną propozycję. W relacji

 pI s , (12.28)

tensor s jest wyznaczany jako rozwiązanie równania różniczkowego w postaci:

s1^s

 

I1 B21D, (12.29)

Kiedy przyjmiemy n = 1, to funkcja (12.30) przechodzi w znaną funkcję (8.21), czyli model NNH. Model można uznać za odpowiednik modelu Kelvina-Voigt’a, znanego z teorii małych odkształceń. Funkcja (12.30) spełnia formalne wymagania stawiane funkcjom jednostkowej energii sprężystości, tj. jeżeli prze-piszemy ją przez wydłużenia główne to przy ściskaniu (wydłużenia dążą do zera) i rozciąganiu (wydłużenia dążą do nieskończoności) funkcja jednostkowej energii sprężystości dąży do nieskończoności.

12.3. TEST ROZCIĄGANIA PRÓBKI WALCOWEJ JAKO ZADANIE

W dokumencie BADANIA LEPISZCZY ASFALTOWYCH W REOMETRZE DYNAMICZNEGO ŚCINANIA – RELACJE KONSTYTUTYWNE LEPKOSPRĘŻYSTOŚCI, HIPERSPRĘŻYSTOŚCI I LEPKOHIPERSPRĘŻYSTOŚCI (Stron 188-191)