SFORMUŁOWANIE ZAGADNIENIA BRZEGOWEGO MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH

MAŁYCH PRZEMIESZCZEŃ

WYKORZYSTANIU DWÓCH PŁASKICH KOŃCÓWEK

7. SFORMUŁOWANIE ZAGADNIENIA BRZEGOWEGO MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH

7.1. DEFORMACJA CIAŁA, WYRÓŻNIONE KONFIGURACJE I ICH MULTIPLIKATYWNE SKŁADANIE

Najistotniejszą różnicą pomiędzy teorią małych przemieszczeń i teorią dowol-nych deformacji jest konieczność rozróżnienia konfi guracji deformującego się ciała. Pociąga to za sobą konieczność wprowadzenia różnych miar naprężenia i odkształcenia oraz odmiennego opisu deformującego się ciała [6], [8], [27], [94], [110], [111].

Przy opisie deformacji ciała wprowadza się funkcję ^

 

^X^,t , która jest od-wracalną funkcją wektorową, defi niującą położenie cząstek ciała w konfi guracji aktualnej B względem jego konfi guracji początkowej B_R. Jako konfi gurację po-czątkową przyjmuje się zazwyczaj konfi gurację przy t0, czyli B_RB₀. Można wtedy zapisać, że:

^x^^

 

^X^,^t ^{ }^{X u X}

 

^{, ,}^t (7.1) gdzie x oraz X określa odpowiednio położenie cząstki ciała w konfi guracji aktu-alnej i konfi guracji odniesienia, zaś ^{u X}

 

^,t jest polem wektorowym przemiesz-czenia o interpretacji podobnej, jak w teorii małych przemieszczeń, z tym, że teraz oznacza rzeczywiste przemieszczenie wyróżnionej cząstki ciała. Dla tak określo-nej funkcji 

 

^X^,t można policzyć gradient w konfi guracji odniesienia i wpro-wadzić pojęcie tzw. „gradientu deformacji”, por. komentarze w monografi i [111]:

^F^^GRAD^

 

^X^,t . (7.2)

Można dodatkowo zapisać, że

^F^^GRAD^

 

^X^,t ^{ }^{I H}^, ^(7.3)

gdzie

^H^^GRAD^{u X}

 

^,t ^. ^(7.4)

Przez porównanie relacji (7.1)–(7.4) ze związkiem geometrycznym małych od-kształceń w postaci (2.2) można zauważyć pierwsze różnice między teorią ma-łych przemieszczeń a teorią dowolnych deformacji. Analogiczna jest interpretacja tensora H, który w teorii małych przemieszczeń ma swój odpowiednik w postaci



^grad





h u . Tensor F defi niuje liniową transformację, przekształcenie wekto-ra dX na wektor dx, co można zapisać następującym wzorem:

dx F X d . (7.5)

Z defi nicji tensora gradientu deformacji wynika, że „składanie” deformacji jest multiplikatywne, por. wzór gdzie deformacja jest złożona z F F₁... ₃:

F F F F ^{1 2 3}. (7.6)

Z tego względu trudno jest przenieść relacje konstytutywne małych przemiesz-czeń na dowolne deformacje. Multiplikatywne składanie deformacji wpływa na planowanie testów, z których wyznaczane są parametry materiałowe. Obo-wiązująca w teorii małych przemieszczeń zasada zesztywnienia i, w przypad-ku relacji liniowej sprężystości, zasada superpozycji w dowolnych deforma-cjach nie obowiązują, a kolejność składanych deformacji jest istotna, tj. np.

1 2 3 2 1 3

F F F F F F itp.

7.2. WIELKOŚCI OPISUJĄCE RUCH, TENSORY DEFORMACJI I ODKSZTAŁCENIA

Ruch ciała opisany funkcją x X( , )t w ogólności jest złożeniem ruchu sztyw-nego i deformacji ciała (czyli F F F _{s d}). W przypadku analizowania ciał stałych z przemieszczeniowymi warunkami brzegowymi, ruch sztywny jest pomijany, tj.

s 

Analogicznie można wprowadzić przyspieszenie cząstki ciała

Gradient prędkości deformacji defi niuje się jako:

^L^^grad^{v x}

 

^{, .}^t ^(7.9)

127 Sformułowanie zagadnienia brzegowego mechaniki ośrodków ciągłych

Dzięki niemu można wyznaczyć pochodną materialną tensora gradientu deforma-cji, gdyż

F LF  . (7.10)

Gradient prędkości deformacji nie jest tensorem symetrycznym. Można na jego podstawie określić symetryczną i antysymetryczną część gradientu prędkości de-formacji

^D^¹₂



^{L L}^ ^T



^,^^^W^¹₂



^{L L}^ ^T



^, ^(7.11)

nazywane odpowiednio tensorem prędkości deformacji i tensorem spinu.

Zależność między elementami liniowymi w konfi guracji aktualnej i konfi gura-cji odniesienia jest opisana wzorami

dl² x xd .d , dL² X Xd .d , (7.12) co dalej można zapisać na podstawie związku (7.5) oraz wykorzystując że

1d d tensor deformacji Cauchy’ego-Greena. Tensor B jest nazywany tensorem Finge-ra [7], [94].

Niech równoległościan rozpięty na trzech wektorach dX₁, dX₂ i dX₃w kon-fi guracji początkowej zamieni się w równoległościan rozpięty na wektorach dx₁,

dx2 i dx₃ w konfi guracji aktualnej. Objętość równoległościanu przed i po defor-macji można zapisać stosując pojęcie iloczynu wektorowego i skalarnego, jako:

^d^V ^



^d^X₁^^d^X₂



^.d^X₃^,^d^v^



^d^x₁^^d^x₂



^.d^x₃^. ^(7.17)

Zakładając, że deformacja tego typu jest opisana przez tensor gradientu deforma-cji F, to zmianę odpowiednich wektorów między konfi guracjami można określić następującymi wzorami:

dx_i F Xd _i, i1,2,3. (7.18) Po podstawieniu (7.15) w (7.14) i wykonaniu odpowiednich rachunków otrzy-mamy:

^d^v^



^det^F



^d^V ^^{J V}^d . (7.19)

Jeżeli J oznacza objętość, to nie może być ona ujemna, a więc zbiór dopusz-czalnych tensorów gradientu deformacji Fnależy ograniczyć do takich, dla któ-rych J 0. Za [6], wprowadza się oznaczenie FLin^ (Lin^ jest zbiorem tych

Lin

F , dla których detF0, symbol „det” oznacza wyznacznik, zaś Lin jest przestrzenią tensorów drugiego rzędu, dimLin = 9). Rozpatrując infi ntezymalną powierzchnię materialną dS ze zorientowanym wersorem normalnym N:

dSdSN. (7.20)

W wyniku deformacji element dS transformuje się w element dsw konfi guracji aktualnej

dsdsn. (7.21)

Korzystając ze wzorów na zorientowaną powierzchnię w konfi guracji początko-wej (7.20) i aktualnej (7.21), objętość odpowiednio w konfi guracji początkopoczątko-wej i aktualnej obliczyć można jako:

dV  S Xd .d , dv s xd .d . (7.22) Pamiętając o zależności między objętościami dv i dV , danej wzorem (7.19), można zapisać:

^{d .d}^{s x}^^J^{d .d}^{S X}^^J^{d . d}^{S F x}

 

^, ^(7.23)

co fi nalnie prowadzi do zależności:

ⁿ^d^{s J F}^

 

^¹ ^T^N^d^S ^

^

^cof^{F N}

^

^d^S^. ^(7.24)

Ponieważ tensor F jest tensorem nieosobliwym, to można go w sposób jedno-znaczny rozłożyć polarnie:

F RU VR  , (7.25)

gdzie tensor R jest tensorem ortogonalnym o jednostkowym wyznaczniku (opisu-je obrót). Prawy tensor U i lewy V są dodatnio określonymi tensorami wydłuże-nia. Można wyznaczyć je np. z zależności:

U C F F^T , V B  FF^T . (7.26) Gradient deformacji opisuje sztywny obrót wtedy i tylko wtedy, gdy U V I  , natomiast gdy R I to gradient deformacji opisuje czystą deformację F U V  . Tensory C, U, B i V są tensorami symetrycznymi należącymi do Sym^ (Sym^ jest zbiorem tensorów symetrycznych należących do przestrzeni Sym (dim Sym = 6), których wyznacznik jest dodatni). Tensory U i V można zapisać w postaci spektralnej jako: w konfi guracji aktualnej i konfi guracji odniesienia. Wartości własne _k w (7.27)

129 Sformułowanie zagadnienia brzegowego mechaniki ośrodków ciągłych

nazywane są wydłużeniami. Wartości własne tensorów C i B są jednakowe i wy-noszą _k². W ogólności używanie tensorów deformacji C, U, B i V nie jest wy-godne, gdyż przy braku deformacji stają się one jednostkowe. Można wobec tego wprowadzić nieskończenie wiele różnych tensorów odkształcenia, które mają tę cechę, że są równe tensorowi zerowemu przy braku deformacji. Przykładowo tzw.

rodzinę tensorów odkształcenia Setha defi niuje się następująco:

gdzie zastosowano twierdzenie spektralne. Można skonstruować także inne ten-sory odkształceń, które nie wynikają ze wzoru (7.28). Szczególne znaczenie ma tensor odkształcenia E^{ }² E nazywany tensorem odkształcenia Lagrange’a, gdyż

^dl²^^{dL =d}² ^{XF F X}^T ^d ^^{d .d}^{X X}^^{d .}^{X C I}



^



^.d^X^^{2d . .d}^{X E X}. (7.29) Korzystając z (7.3) tensor E można zapisać jako:

^E^¹₂



^{H H}^ ^T ^^{H H}^T



^. ^(7.30)

Bezpośrednio z (7.30) wynika, że liniową aproksymacją tensora Lagrange’a jest tensor ¹₂



^{H H}^ ^T



, który przy założeniu o nierozróżnianiu konfi guracji ciała (x X ), ma interpretację taką, jak tensor odkształceń stosowany w teorii małych przemieszczeń.

7.3. TENSORY STANU NAPRĘŻENIA

W teorii dowolnych deformacji dopuszcza się obciążenia o takim samym charakterze, jak w przypadku teorii małych przemieszczeń, tj. obciążenia po-wierzchniowe p (p₀ w konfi guracji odniesienia) i obciążenia objętościowe f (f₀ w konfi guracji odniesienia). Z równowagi sił i równowagi momentów zapisa-nych w konfi guracji aktualnej wynika, że

div f x,    ^T, (7.31) gdzie naturalnie pojawia się tensor naprężenia Cauchy’ego . Analogiczne rów-nania w konfi guracji odniesienia mają postać:

DIVS f ⁰ ⁰x, SF^T FS^T . (7.32) Pojawia się w nich pierwszy tensor naprężenia Pioli-Kirchhoffa S (nie jest on tensorem symetrycznym, co wynika z (7.32)₂). Z zasady zachowania energii

me-chanicznej i zasady zachowania masy można otrzymać następujący wynik na przyrost jednostkowej energii sprężystości (na jednostkę objętości) W :

. . 1 . .

W JD S F  2T C T E   , (7.33) jeśli wprowadzimy dodatkowo tzw. drugi tensor Pioli-Kirchhoffa (symetryczny) o postaci

T F S SF ^¹  ^T FS^T. (7.34)

We wzorach (7.31)–(7.34) pojawiły się trzy róże tensory naprężenia. Listę tę na-leży uzupełnić jeszcze o tensor naprężenia Kirchhoffa, który wyraża się wzorem:

J. (7.35)

8. WYBRANE RELACJE KONSTYTUTYWNE

W dokumencie BADANIA LEPISZCZY ASFALTOWYCH W REOMETRZE DYNAMICZNEGO ŚCINANIA – RELACJE KONSTYTUTYWNE LEPKOSPRĘŻYSTOŚCI, HIPERSPRĘŻYSTOŚCI I LEPKOHIPERSPRĘŻYSTOŚCI (Stron 123-128)