TEST ROZCIĄGANIA PRÓBKI WALCOWEJ JAKO ZADANIE LEPKOSPRĘŻYSTOŚCI

TESTÓW DOŚWIADCZALNYCH PRZEPROWADZANYCH NA LEPISZCZACH ASFALTOWYCH W REOMETRZE DSR

SKRĘCANIA/ROZCIĄGANIA

12. RELACJE KONSTYTUTYWNE LEPKOSPRĘŻYSTOŚCI DUŻYCH DEFORMACJI

12.3. TEST ROZCIĄGANIA PRÓBKI WALCOWEJ JAKO ZADANIE LEPKOSPRĘŻYSTOŚCI

W teście rozciągania próbki walcowej deformację opisują wzory (11.1)–(11.3).

Na ich podstawie można wyznaczyć reprezentacje tensorów

Stosując metodę odwrotną zakłożono, że reprezentacja stanu naprężenia może mieć, co najwyżej postać diagonalną

gdzie wszystkie składowe stanu odkształcenia mogą być co najwyżej funkcjami

 

s_ s_ r t , r, , z, co wynika z założeń symetrii i izotropii materiału.

Korzystając z relacji (12.29) można otrzymać równania różniczkowe na składowe s. Wprowadźmy dodatkowo funkcję wydłużenia w postaci:

^

 

^t ^{ }¹ ^vt^, ^(12.33)

gdzie v jest prędkością wydłużenia. Rozwiązując wspomniane równania różnicz-kowe względem czasu z warunkami początkowymi ^s ^^s

 

^r^,0 ^⁰ można otrzymać rozwiązanie analityczne na składowe s:

   

^/¹



^/ ¹



^ ^

_ ^ _ ^ _

⁰

_ ^ _ ^ _

^ ^





. Dysponując tym rozwiązaniem, na podstawie (12.28) można zapisać:

_   p s_. (12.36)

Z równań równowagi i naprężeniowych warunków brzegowych wynika, że

rr  _ 0

  , co oznacza, że s_rr s_  p. Ostatecznie składowa w kierunku osi z ma następującą postać:

^zz s^zz p s^zzs^rr. (12.37)

195 Relacje konstytutywne lepkosprężystości dużych deformacji

W konfi guracji odniesienia składowa tensora Pioli-Kirchhoffa może być zapisana jako:

Szz 



szzsrr

  

 t ^¹. (12.38) Składowa Szz

 

t wyraża się dość złożonym wzorem i na tym przykładzie wi-dać, że możliwości otrzymania rozwiązania analitycznego są w przypadku mode-li lepkosprężystości dużych deformacji w sformułowaniach bezpośrednich i nie-jawnych dość ograniczone. W związku z tym w celu wyznaczenia parametrów materiałowych w postulowanych relacjach konstytutywnych konieczne jest już podejście numeryczne na etapie całkowania relacji konstytutywnych. Tak uzyska-ne rozwiązanie numeryczuzyska-ne będzie musiało posłużyć w algorytmie optymalizacji nieliniowej jako rozwiązanie porównywane z wynikami badań doświadczalnych.

Przykładowe parametry dla lepiszcza jak w badaniach [131] wyznaczone dla prędkości odkształcenia 0.05[1/s] podane w pracy [157] zestawiono w tabl. 12.1.

Uzyskane rozwiązanie analityczne posłużyło do wyznaczenia parametrów ma-teriałowych relacji konstytutywnej (12.29), przy wykorzystaniu eksperymentu przedstawionego w pracy [131] i wykorzystanego także w pracy [157]. Zasto-sowano pakiet Mathematica i metody optymalizacji nieliniowej, a wyznaczone parametry modelu Filograny [133] zestawiono w tabl. 12.1.

Przewidywania modelu Filograny na składową Szz

 

t pokazano na rys. 12.2, gdzie przedstawiono porównanie wyników badań, rozwiązania analitycznego z parametrami jak w pierwszym wierszu tabl. 12.1, rozwiązania analitycznego jak w drugim wierszu tabl. 12.1 oraz rozwiązania numerycznego. Rozwiązanie nu-meryczne uzyskano korzystając z implementacji własnej relacji konstytutywnych modelu Filograny w systemie Mathematica. W programie zastosowano metodę różnic centralnych oraz procedurę rozwiązywania nieliniowych równań macie-rzowych programu Mathematica. Dokładność powstałej w ten sposób procedury obliczeniowej w analizowanych problemach jest bardzo wysoka, por. rys. 12.2, gdzie w przypadku porównania rozwiązania numerycznego i analitycznego błąd nie przekracza 2%. Implementacja modelu w komercyjnym systemie MES wy-magałaby jednak optymalizacji procedury całkowania relacji konstytutywnych.

Tablica 12.1 Parametry modelu Filograny wyznaczone na podstawie badań [131] dla lepiszcza 35/50 w

tempera-turze 20 [°C] i prędkości odkształcenia 0.05 [1/s]

0 [MPa] ₁[MPa s] ₁ [s] n [–] b [–]

Wg pracy [157] 1.0 2.0 0.4 0.55 7.5

Optymalizacja

własna 0.858 2.480 0.383 0.571 5.654

Rys. 12.2. Składowa naprężenia Szz t porównanie wyników badań, rozwiązania analitycznego z parametrami jak w pierwszym wierszu tabl. 12.1, rozwiązania analitycznego jak w drugim wierszu

tabl. 12.1 oraz rozwiązania numerycznego

W pracy [157] można znaleźć komentarze na temat doskonałej zgodności mo-delu z eksperymentem i jego przydatności w modelowaniu lepiszczy asfaltowych.

Zaproponowany model wykazuje doskonałą zgodność z eksperymentem przepro-wadzonym przy jednej wartości temperatury i jednej wartości prędkości deforma-cji. Na rys. 12.3 zamieszczono przewidywania modelu Filograny z parametrami jak w drugim wierszu tabl. 12.1 przy różnych wartościach prędkości deformacji.

Widać doskonałą zgodność modelu z przewidywaniami eksperymentu dla pręd-kości deformacji 0.05 [1/s]. O ile jeszcze przewidywania modelu dla niższych prędkości charakterem przypominają krzywe eksperymentalne to w przypadku znacznych prędkości i badań Cebona odwzorowanie jest nieprawidłowe. Ana-lizując jakościowe wyniki własnych testów rozciągania, por. rys. 11.11 wydaje się, że model mógłby opisywać pierwsze ekstremum na wykresie funkcji Szz

 

t . Wykres ten posiada dwa ekstrema w przypadku lepiszczy modyfi kowanych i wy-soko-modyfi kowanych.

Rys. 12.3. Przewidywania modelu Filograny z parametrami jak w drugim wierszu tabl. 12.1, przy różnych wartościach prędkości deformacji

197 Relacje konstytutywne lepkosprężystości dużych deformacji

Wrażliwość analizowanego modelu konstytutywnego na parametry materiało-we można pokazać, rozwiązując zadanie optymalizacyjne, w którym parametry materiałowe zostaną wyznaczone oddzielnie dla każdej prędkości deformacji. Ich wartości wyznaczone przy zastosowaniu tego samego algorytmu optymalizacji nieliniowej, przy przyjęciu tego samego punktu startowego i tych samych ogra-niczeń na wartości parametrów materiałowych (₀ 0, ₁0, ₁0.01 [s],

0.1

n , b0) zestawiono w tabl. 12.2. Już pobieżna analiza uzyskanych wyni-ków (warto podkreślić, że w każdym przypadku odwzorowanie testu, z którego wyznaczono parametry materiałowe jest na poziomie R²= 0.999) pokazuje, że model jest bardzo wrażliwy na wartości parametrów materiałowych. Przykłado-wo, zakres wartości początkowej sztywności na ściskanie od 0.24 do 12.74 [MPa], czy lepkości w przedziale od 0 do 10.29 [MPa s] sugeruje, że w przypadku mode-li lepkosprężystości dużych deformacji, oprócz zaproponowania postaci modelu konstytutywnego, konieczna jest jeszcze propozycja interpretacji testów doświad-czalnych i określenie sposobu postępowania przy wyznaczaniu parametrów mate-riałowych do modelu.

Tablica 12.2 Parametry modelu Filograny wyznaczone oddzielnie dla każdej z prędkości deformacji

v [1/s] ₀ [MPa] ₁[MPa s] ₁ [s] n [–] b [–]

0.01 0.24 10.29 1.22 0.10 1.49

0.02 1.60 3.91 0.32 0.50 44.77

0.05 0.86 2.48 0.38 0.57 5.65

0.10 1.08 1.36 0.21 0.55 2.64

0.20 0.85 1.07 0.31 0.40 0.23

0.50 12.74 0.00 1.01 0.50 38.50

1.00 0.88 1.33 1.66 0.10 0.012

2.00 0.57 0.00 0.061 1.14 0.72

Problem ten ujawnia się przy interpretacji modelu Narayana (relacje konsty-tutywne (12.27)). W przypadku modelu Narayana znalezienie rozwiązania testu rozciągania w formie analitycznej jest niemożliwe. W związku z tym, także rela-cje konstytutywne tego modelu zostały zaprogramowane w systemie Mathema-tica. W programie, podobnie jak w przypadku modelu Filograny, zastosowano metodę różnic centralnych oraz procedurę rozwiązywania nieliniowych równań macierzowych programu Mathematica. Konsekwencje z zastosowania tych me-tod są analogiczne jak przedstawiono wcześniej.

Korzystając z napisanych programów można zilustrować zasadniczą różnicę między modelami Narayana i Filograny widoczną już w teście rozciągania. Roz-wiązano numerycznie test rozciągania z prędkością v = 0.05 [1/s]. W przypadku

modelu Filograny przyjęto dane jak w drugim wierszu tabl. 12.1, zaś w przypadku modelu Narayana jak dla lepiszcza 60/70 nie poddanego starzeniu w temperatu-rze 25[°C], por. tabl. 12.3. Wszystkie prezentowane wyniki ptemperatu-rzeskalowano ptemperatu-rzez maksymalną wartość funkcji Szz

 

t .

Tablica 12.3

Parametry modelu zaproponowanego w pracy [26] Wyznaczone na podstawie testu skręcania pró-bek walcowych dla lepiszcza bazowego 60/70 w stanie oryginalnym i poddane starzeniu Typ lepiszcza T [°C] ^_[s]  [(Pas)²ⁿ⁺¹] _[Pas] n [–]

60/70 niestarzone

25 1.53·10² 8.47·10⁷ 17.19 0.30

30 1.77·10² 3.26·10⁷ 8.43 0.35

35 3.72·10¹ 2.65·10⁶ 4.35 0.30

40 2.63·10¹ 2.84·10⁶ 1.96 0.30

60/70 starzone

25 3.49·10² 2.44·10⁸ 24.84 0.31

30 1.28·10² 5.29·10⁷ 10.04 0.30

35 2.48·10² 5.59·10⁷ 6.68 0.36

40 1.47·10² 2.08·10⁷ 3.73 0.36

Rys. 12.4. Porównanie przewidywań modeli Narayana i Filograny w teście jednoosiowego rozcią-gania

199 Relacje konstytutywne lepkosprężystości dużych deformacji

Na rysunku 12.4 przedstawiono porównanie składowych stanu naprężenia:

składowej tensora Pioli-Kirchhoffa w kierunku osi z, składowej promienio-wej i osiopromienio-wej tensora s. Na szczególną uwagę, zasługuje wykres składowej promieniowej tensora s, który wobec relacji (12.36) może być interpretowa-ny w rozważainterpretowa-nym teście jako mnożnik Lagrange’a w relacji konstytutywnej (12.25) albo (12.28). Widać, że w zależności od modelu materiału znak tego mnożnika ulega zmianie. Odmienny jest charakter wykresu składowej tenso-ra naprężenia Pioli-Kirchhoffa, ale porównywane są dwa różne lepiszcza (tj.

lepiszcze niemodyfi kowane 35/50 w temperaturze 20[°C] i lepiszcze 60/70 w temperaturze 25[°C]).

W dokumencie BADANIA LEPISZCZY ASFALTOWYCH W REOMETRZE DYNAMICZNEGO ŚCINANIA – RELACJE KONSTYTUTYWNE LEPKOSPRĘŻYSTOŚCI, HIPERSPRĘŻYSTOŚCI I LEPKOHIPERSPRĘŻYSTOŚCI (Stron 191-197)