OCENA EFEKTYWNOŚCI DLA DWUDZIESTU SPÓŁEK

Badanie dla dwudziestu aktywów było analogiczne do tego, które zostało przeprowadzone dla trzech aktywów. Dla dużej liczby aktywów jest bardzo m ało analiz, w których ocen ia się skuteczność budow y portfeli efektyw nych z zastosow aniem prognoz m acierzy kow ariancji konstru ow anych na pod sta­ wie w ielorów naniow ych m odeli GARCH. Takie badania zostały przeprow adzo­ ne między in n ym i przez Engle'a i Shepparda (2 0 0 1 ), jednakże o cen iali oni tylko dwa m odele, m ianow icie m odel DCC i m odel RiskM etrics. Porów nyw ali

111 Wyniki zostały przeliczone na zwykłe stopy zwrotu.

11 Do pełnej oceny należałoby jeszcze zbadać jaki jest wpływ uwzględnienia kosztów transak­ cyjnych.

o n i w arian cję portfela z prognozow aną w ariancją portfela i doszli do wniosku, że przy dużej liczbie aktywów oba m odele nie są skuteczne przy konstrukcji p ortfeli efektyw nych. W n in iejszej pracy do analizy przyjęto taki sam okres, jak przy badaniu trzech spółek, czyli od 4 stycznia 1 9 9 9 roku do 30 czerwca 2 0 0 6 roku. Spośród spółek n otow an ych przez cały przyjęty okres na GPW w W arszaw ie w ybrano dwadzieścia spółek o najw iększej kapitalizacji: Bank BPH, Bank M illenn iu m , Bank Pekao S.A., BRE Bank, Bank Zachodni WBK, Budim ex, C ersanit, C itib ank H andlowy, C om puterland, Firm a O poniarska D ębica, ING Bank Śląski, Grupa Kęty, KGHM Polska M iedź, Kredyt Bank, M ond i Packaging Paper Św iecie, Orbis, Polska Grupa Farm aceutyczna, Prokom Softw are, Softbank, T elekom u n ikacja Polska. Przy wyborze pom in ięto spółki, dla których udział liczby sesji, podczas których nie były n otow an e przekraczał 5% . M iało to n a celu u n ikn ięcie problem u n iesy n ch ro n iczn y ch tran sakcji. Dla w iększości specyfikacji jed n oczesna estym acja param etrów w ielorów naniow e­ go m odelu GARCH jest znacznie trud niejsza w przypadku dwudziestu akty­ wów. Dla najbardziej złożon ych param etryzacji estym acja okazała się naw et niem ożliw a z uwagi n a bardzo dużą liczbę param etrów . Na przykład n ajp ro ­ stsza postać m odelu BEKK z K = 1 oraz p = q = 1 m a tysiąc dziesięć param etrów w sam ym rów naniu dla m acierzy kow ariancji. D latego kon ieczne było ograni­ czen ie rozw ażanych specyfikacji m odelu. Przyjęto tylko te postacie, których param etry m ożn a oszacow ać bez kon ieczn o ści poszukiw ania „dobrych" war­ to ści startow ych w czasie n ie przekraczającym kilkunastu godzin (między zam kn ięciem sesji a otw arciem dnia n astępnego). W badaniu zastosow ano osiem specyfikacji w ielorów naniow ego m odelu GARCH: m odel skalarno-dia­ gon aln y, m odel skalarno-diagonalny z w arunkow ym rozkładem f-Studenta, m odel zintegrow any, K -czynnikow y m odel GARCH dla trzech czynników , m od el orto g o n aln y dla trzech oraz dwudziestu czynników , m odel DCC oraz zin tegrow any m odel DCC. W yniki uzyskane dla m odeli GARCH porów nano z w ynikam i uzyskanym i na podstaw ie in n y ch m etod, które zastosow ano przy badaniu trzech spółek. Otrzymane rezultaty zaprezentowano w tabeli 4.

M iejsca poszczególnych m odeli w rankingach są bardzo zbliżone, niezależ­ nie od tego czy portfel o m in im alnej w ariancji konstruow any jest bez ograni­ czenia m in im aln ej stopy zwrotu, czy przy zadanej m in im aln ej oczekiwanej dziennej stopie zwrotu na poziom ie 0 ,5 % . Dalej interpretow ane są tylko wyniki dla portfeli o m in im alnej w ariancji.

Przeprowadzono również wybrane testy dotyczące w łasności stóp zwrotu badanych spółek. Poza czterem a spółkam i (Com puterland, M illennium , Prokom i Softbank) stopy zwrotu były pozbaw ione autokorelacji. Stopy zwrotu wszy­ stkich spółek m iały zm ienną w ariancję warunkową, a ich rozkłady bezwarunko­ we były różne od rozkładu norm alnego. W tabeli 5 przedstaw iono wyniki testów dotyczących charakteru zależności m iędzy stopam i zwrotu badanych spółek. Uzyskane wyniki testow ania restrykcji nakładanych na param etry m odeli

Szacunki średnich odchyleń standardowych stóp zwrotu portfeli o m inim alnej wariancji oraz portfeli o m inim alnej wariancji przy zadanym poziomie oczekiwanej stopy zwrotu

dla dwudziestu spółek

Oznaczenia portfeli Bez ograniczenia

stopy zwrotu

Ranking M in. stopa zwrotu 0,5%

Ranking

Jednorównaniowe modele GARCH 0 ,008262 8 0,0 1 1 4 3 7 7

Skalarno-diagonalny 0 ,007810 3 0,011221 4

Skalarno-diagonalny rozkład f-Studenta 0,007829 4 0 ,011235 5

Zintegrowany 0,007794 1 0,0 1 1 1 5 4 2 K-czynnikowy 3 czynniki 0,049739 14 0,0 7 3 7 2 7 13 Ortogonalny 3 czynniki 0,274143 15 0,4 3 7 2 1 8 14 Ortogonalny 20 czynników 0,008320 9 0,0 1 1 5 2 0 8 DCC 0,008014 6 0,0 1 1 1 5 7 3 DCC zintegrowany 0,007801 2 0 ,0 1 1 0 3 6 1 Równe wagi 0,010254 12 — —

Bezwarunkowa macierz kowariancji 0,008384 10 0,011811 9

Ruchoma macierz kowariancji 0,008038 7 0,011591 12

Ruch. macierz kowariancji k = 25 0,015340 13 0,0 2 0 4 8 6 11

Wyrównywanie wykładnicze 0,007955 5 0,0 1 1 3 1 2 6

RiskMetrics 0,009226 11 0,0 1 3 6 2 8 10

Źródło: obliczenia własne.

Tabela 5 Analiza własności i charakteru zależności badanych szeregów dla dwudziestu spółek

Weryfikowane hipotezy Statystyka O ceny statystyk

Normalność rozkładu warunkowego w modelu skalarno-diagonalnym

LR 8925*

Stałość warunkowych współczynników korelacji LMC 409*

Skalarno-diagonalny — CC' = 0, ej = 1 - rfi LR 1192*

Zintegrowany GARCH — 1 - d\ = 0,94 LR 26382*

Gwiazdką oznaczono oceny statystyk, w przypadku których weryfikowana hipoteza została odrzu­ cona na poziomie istotności 0,05.

Oznaczenia portfeli SC Ranking

Skalarno-diagonalny -1 9 0 783 5

Skalarno-diagonalny rozkład t-Studenta -1 9 4 311 1

Zintegrowany -1 9 1 179 4

DCC -1 9 2 506 3

DCC zintegrowany -1 9 3 138 2

RiskMetrics -1 6 4 814 6

Źródło: obliczenia własne.

GARCH były niewrażliwe na przyjętą specyfikację rozkładu warunkowego. Dodatkow o w tabeli 6 przedstaw iono ranking m odeli na podstawie bayesowskie­ go kryterium Schwarza.

W celu ograniczenia liczby param etrów dla m odeli skalarno-diagonalnego, zintegrow anego oraz DCC zastosow ano upraszczające param etryzacje dla proce­ sów kow ariancyjnie stacjonarnych. W pierwszej kolejności estym ow ano para­ m etry m odelu skalarno-diagonalnego z warunkowym rozkładem norm alnym oraz f-Studenta. W edług testu LR m odel z warunkowym rozkładem norm alnym został zdecydow anie odrzucony na korzyść m odelu z warunkowym rozkładem f-Studenta. Zastąpienie warunkowego rozkładu norm alnego rozkładem f-Studen­ ta nie pow oduje jednakże spadku szacunków odchyleń standardow ych portfeli 0 m in im aln ej w ariancji.

Uproszczeniem modelu skalarno-diagonalnego jest model zintegrowany. W e­ dług testu LR m odel zintegrowany został odrzucony na korzyść modelu skalarno- diagonalnego. W obec wyniku testu dosyć zaskakujące jest pierwsze miejsce modelu zintegrowanego w rankingu skuteczności przy konstrukcji portfela o m i­ nim alnej wariancji. Należy jednakże zauważyć, że różnica między odchyleniam i standardowymi portfeli o m inim alnej wariancji dla modeli skalarno-diagonalnego 1 zintegrowanego nie jest istotna z ekonom icznego punktu widzenia. Zastosowa­ nie modelu zintegrowanego przy konstrukcji portfela o m inim alnej wariancji prowadzi do spadku dziennego odchylenia standardowego portfela o m inim alnej w ariancji o 7% w stosunku do tradycyjnej m etody szacowania macierzy kowarian­ cji, czyli bezwarunkowej macierzy kowariancji. Ważniejsze od zm ian stosunko­ wych są dla inwestorów różnice w poziom ach zm iennych (stóp zwrotu), które w tym przypadku wynoszą 0 ,0 5 9 punktu procentowego dla dziennych stóp zwrotu, co w skali roku daje zmianę prawie 1 punkt procentow y (spadek z około 13,31% do 12,37% ). Różnice pomiędzy wieloma modelam i są jednakże dużo

mniejsze. Różnica pomiędzy modelem zintegrowanym a trzecim w rankingu m o­ delem skalarno-diagonalnym w skali roku jest równa 0,03 punktu procentowego.

N astępne rozważane param etryzacje w ielorów naniow ego m odelu GARCH, to m odele K -czynnikow y oraz ortogo n aln y. W obu przypadkach przy estym a­ cji param etrów zastosow ano uproszczone procedury oparte na m od elach jedn orów n aniow ych . C zynniki zostały w yodrębnione na podstaw ie analizy głów nych składow ych. W większości prac dotyczących m od eli czyn n ikow y ch autorzy sugerują, że dwa lub trzy czynniki w yjaśniają w iększość zm ien n ości stóp zwrotu aktywów i są w ystarczające do opisu m acierzy k ow arian cji. Z tego względu w badaniu przyjęto trzy czynniki. W yjaśn iały o n e odpow iednio 32 ,4 % , 5 ,9 % oraz 5 ,1 % zm ienn ości stóp zwrotu bad anych spółek. M odele te uplasow ały się na o statn ich m iejscach w rankingu. N ieuw zględnienie części zm ienn ości prowadzi do zbyt dużej utraty in fo rm acji. D odatkow o esty m acja w drugim kroku rów nań dla m odelu czynnikow ego okazała się być bardzo wrażliwa na przyjęte w artości startow e. M odel ortog o n aln y wypada zdecydo­ w anie gorzej, poniew aż część jego param etrów jest w yznaczana na podstaw ie analizy głów nych składow ych. Ta wada w przypadku m ałej liczby czyn n ików okazuje się być zaletą przy większej ich liczbie. M ianow icie rozszerzenie m odelu i uw zględnienie większej liczby czynników (naw et w szystkich) nie pow oduje wzrostu trudności w estym acji param etrów m odelu. D latego rozwa­ żono rów nież m odel ortogo n aln y z dw udziestom a czyn n ikam i. D ing i Engle (2001) określali taki m odel jako m odel GARCH głów nych składow ych. M odel ten wypadł zdecydow anie lepiej przy ocen ie skuteczności kon stru kcji portfeli efektyw nych, jednakże gorzej niż in n e n ieczynnikow e p ostacie w ielorów na- niow ych m odeli GARCH.

K olejną rozważaną param etryzacją m odelu GARCH był m odel DCC. Przy estym acji param etrów m odelu zam iast procedury dw ustopniow ej zastosow ano procedurę trzystopniową. W pierwszym kroku szacowane są param etry jed n o ­ rów naniow ych m odeli GARCH, w drugim kroku, estym uje się bezw arunkow ą macierz kow ariancji dla standaryzowanych reszt z m odeli jednorów naniow ych, w trzecim kroku szacuje się param etry odpowiedzialne za zm ienne kow ariancje warunkowe. W przypadku zintegrow anej wersji m odelu DCC m ożna było zasto­ sować procedurę dwustopniową, poniew aż param etryzacja m odelu jest znacznie prostsza. M odel DCC i zintegrow any m odel DCC uplasowały się wysoko w ran ­ kingu, m ianow icie na szóstym i drugim m iejscu.

Obok m odeli w ielorów naniow ych zastosow ano rów nież jednorów naniow y model GARCH. Niestety skuteczność tego m odelu przy kon stru kcji portfeli efektywnych jest znacznie m niejsza niż dla trzech aktywów, ch o ć ciągle daje lepsze rezultaty niż zastosow anie bezwarunkowej m acierzy kow ariancji. M oże to wynikać z faktu, że warunkowe w spółczynniki korelacji dla dwudziestu spółek są zm ienne w czasie (zob. wynik testu Tse w tabeli 5). Przyjęcie w takiej sytuacji stałej macierzy korelacji jest nieprawidłowe.

Pozostałe m etody szacow ania m acierzy kow ariancji uplasowały się na dal­ szych m iejscach w rankingu. N ajlepiej wypadł m odel wyrównywania wykładni­ czego dla m acierzy kow ariancji (piąte m iejsce), w którym param etr wygasania w ybierano dla każdego okresu na podstawie próbki w stępnej. W ynik testu LR zdecydow anie odrzuca natom iast m odel RiskMetrics, czyli m odel z parametrem w ygasania rów nym 0 ,9 4 na korzyść m odelu zintegrow anego. Ten w ynik został później potw ierdzony przy badaniu skuteczności tworzenia portfela o m inim al­ n ej w ariancji. W przeprowadzonej analizie param etr wygasania przyjmował najczęściej w artość 0 ,9 8 lub 0,99. W arto zwrócić uwagę na słabszy rezultat w porów naniu z trzem a spółkami m odelu ruchom ej macierzy kow ariancji z wy­ bieraną stałą wygładzania. W ynika to prawdopodobnie z ograniczenia maksy­ m aln ej wartości stałej wygładzania do 120. W przeprowadzonej analizie stała wygładzania przyjm ow ała najczęściej wartość 120 lub n ieco niższą. Potwierdze­ n iem tego jest bardzo dalekie m iejsce w rankingu modelu ruchom ej macierzy kow ariancji ze stalą wygładzania równą 25. O trzym ane wyniki wskazują, że m odele, w których do konstrukcji prognoz macierzy kow ariancji wykorzystuje się większą ilość danych z przeszłości, wypadają lepiej w rankingu.

6. PODSUMOWANIE

W pracy d okonano oceny skuteczności różnych m etod tworzenia portfeli efe­ ktyw nych, w tym przede wszystkim z wykorzystaniem różnych specyfikacji w ielorów naniow ych m odeli GARCH. G eneralnie wnioski w ynikające z analizy dla dwudziestu spółek są zbliżone do tych, jakie otrzym ano dla trzech spółek. Uwzględnienie zm ieniających się w czasie w ariancji i kow ariancji stóp zwrotu przy budow ie portfela z pew nym i w yjątkam i wpływa na wzrost efektywności alokacji aktywów. W yjątkiem są czynnikow e m odele GARCH: K-czynnikowy i ortogonaln y oraz m odel ruchom ej macierzy kow ariancji ze stalą wygładzania rów ną 25 oraz m odel wyrównywania wykładniczego dla m acierzy kow ariancji z param etrem wygasania równym 0,9 4 . Przyjm owana w m etodologii RiskMe­ trics w artość param etru stałej wygładzania, dla danych dziennych 0 ,9 4 , nie jest w artością optym alną dla polskiego rynku akcji (jest zdecydow anie za niska).

Przy dwudziestu aktyw ach trudn o jest o cen iać wpływ uproszczenia postaci w arunkow ej m acierzy kow ariancji, poniew aż w zasadzie wszystkie rozważane param etryzacje należą do uproszczonych postaci w ielorów naniow ego m odelu GARCH. N ależy jednakże zauważyć, że zarów no przy trzech, jak i dwudziestu spółkach w ysoko w rankingach wypadły proste postacie m od eli GARCH, których param etry szacow ane są jed n ocześnie, m ian ow icie m odel skalarno- d iagonaln y i zintegrow any. W arto podkreślić, że oba m odele, obok modelu stałych w spółczynników korelacji, okazały się n ajlepsze ze względu na wyniki testów d iagn osty czn ych w przypadku pięciu spółek z rynku am erykańskiego

(Ding i Engle, 2 0 0 1 ). W yniki przeprow adzonych w n in iejszym bad aniu testów statystycznych, z pew nym i w yjątkam i, zostały potw ierdzone przez b adanie skuteczności tw orzenia portfeli. Rankingi m odeli uzyskane na podstaw ie bayesow skiego kryterium Schwarza okazały się naw et bardziej zbliżone do rankingów uzyskanych na podstaw ie w yników kon stru kcji portfeli o m in im a l­ n ej w ariancji, niż w ynikałoby to z bezpośredniego testow ania restrykcji d oty­ czących szacow anych m odeli.

W yniki dotyczące zarówno trzech, jak i dwudziestu spółek sugerują, że zastąpienie warunkowego rozkładu norm alnego w m odelach GARCH rozkładem t-Studenta nie pow oduje spadku szacunków odchyleń standardow ych portfeli o m inim alnej w ariancji. Ten wynik jest ważny z praktycznego punktu widzenia, ponieważ estym acja param etrów m odelu z warunkowym rozkładem t-Studenta jest trudniejsza i bardziej czasochłonna.

Podstawowa różnica w w ynikach między trzem a a dwudziestoma spółkam i dotyczy m odeli zintegrow anych. Zarówno m odel zintegrow any, jak i zintegro­ wany m odel DCC wypadły zdecydowanie lepiej w rankingu dla dwudziestu aktywów. Ten rezultat m oże sugerować, że w przypadku większej liczby aktywów wielowymiarowy proces stóp zwrotu nie jest procesem kow ariancyjnie sta cjo ­ narnym , co jak w iadom o m oże być związane ze zm ianam i bezw arunkow ych macierzy kow ariancji w długim okresie.

Stosow anie jednorów naniow ych m odeli GARCH oraz szacow anie m acierzy korelacji na podstawie rozkładów brzegowych standaryzow anych reszt w ydaje się być dopuszczalne tylko w przypadku, gdy warunkowe w spółczynniki korela­ cji są stałe w czasie. Przy większej liczbie aktywów wydaje się, że rośnie prawdopodobieństwo, iż warunkowe w spółczynniki korelacji są zm ienne w cza­ sie i konieczne będzie zastosow anie modelu wielorów naniow ego.

BIBLIOGRAFIA

Alexander C., Chibumba A. 1996. Multivariate Orthogonal Factor GARCH, University of Sussex Discussion Papers in M athematics.

Andersen T., Bollerslev T. 1998. Answering the Skeptics: Yes, Standard Volatility Models Do Provide Accurate Forecasts, International Econom ic Review 39, 4, 88 5 -9 0 5 .

Baba Y., Engle R.F., Kraft D.F., Kroner K.F. 1990. Multivariate Simultaneous Generalized ARCH. maszynopis, Department of Economics, University of California at San Diego.

Bauwens L., Laurent S., Rombouts J.V.K. 2006. Multivariate GARCH Models: A Survey, Journal of Applied Econometrics 21, No. 1, 7 9-110.

Bollerslev T. 1990. Modelling the Coherence in Short-Run Nominał Exchange Rates: A Multivariate Generalized ARCH Approach, Review of Econom ics and Statistics 72, 4 9 8 -5 0 5 .

Campbell J.Y., Lo A.W., MacKinlay A.C. 1997. The Econom etrics of Financial Markets, Princeton University Press.

Ding Z., Engle R.F. 2001. Large Scalę Conditional Covariance M atrix Modeling, Estimation and Testing, Academia Econom ic Papers 29, 2, 157-184.

Engle R.F. 1987. Multivariate ARCH with Factor Structures-Cointegration in Variance. Discussion Paper 87, University of California, San Diego.

Engle R.F. 2002. Dynamie Conditional Correlation — A Simple Class of Multivariate GARCH Models, Journal of Business and Econom ic Statistics, 20, 3 3 9 -3 5 0 .

Engle R.F., Kroner K.F. 1995. Multivariate Simultaneous Generalized ARCH, Econom etric Theory 11, 12 2 -1 5 0 .

Engle R.F., Mezrich J. 1996. GARCH for Groups, Risk 9, 8, 36 -4 0 .

Engle R.F., Sheppard K. 2001. Theoretical and Empirical Properties of Dynamie Conditional Correlation M ultivariate GARCH, Mimeo, UCSD.

Fiszeder P. 2004a. Dynamiczna alokacja aktywów — Model Markowitza, Rynki finansowe — prognozy a decyzje, Acta Universitatis Lodziensis, Folia Oeconom ica, 177, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź.

Fiszeder P. 2004b. Dynamiczna teoria portfela, Acta Universitatis Nicolai Copernici, Ekonomia 34, UMK Toruń.

Osiewalski ]., Pipieri M. 2004. Bayesian Comparison of Bivariate ARCH-Type Models for the Main Exchange Rates in Poland, Journal of Econometrics 123, 37 1 -3 9 1 .

Tse Y.K. 2000. A Test for Constant Correlations in A Multivariate GARCH Model, Journal of Econom etrics 98, 1 0 7-127.

W est K.D., C h oD . 1995. The Predictive Ability of Several Models of Exchange Rate Volatility, Journal of Econom etrics 69, 3 6 7 -3 9 1 .

F O L I A O E C O N O M I C A C R A C O Y I E N S I A

Vol. XLV!II (2007) PL ISSN 0 0 71-674X

DYNAMICZNE STOCHASTYCZNE MODELE RÓWNOWAGI