WPROWADZENIE DO TEORII TESTOWAŃ WIELOKROTNYCH

W łaściw a kontrola efektu w ielokrotności testow ania jest zagadnieniem trudnym i kontrow ersyjnym . Pierwszą, a zarazem kluczową decyzją jest wybór zbioru w nioskow ań, który będzie tworzyć rodzinę wnioskowań. H ochberg i Tam hane (1987) zalecają, żeby w przypadku, gdy testow ane hipotezy nie są ze sobą pow iązane ani zawartością, ani późniejszym wykorzystaniem , traktować je oddzielnie, a nie łącznie. W przeciwnym wypadku, istotnym jest branie pod uwagę łącznego pom iaru błędów. Gdy wniosek końcow y wysnuwany jest na podstawie przeprowadzonych testów analizow anych łącznie i jego trafność zależy od łącznego pom iaru błędów dla danego zbioru wnioskow ań, wtedy taki zbiór w nioskow ań pow inien być rozpatryw any łącznie jako r o d z i n a .

W celu zaprezentow ania n ajw ażniejszych m iar błędu I rodzaju dla ro­ dziny w nioskow ań rozważmy problem jednoczesnego testow ania k hipotez, wśród których ko hipotez jest prawdziwych. N iech R oznacza liczbę hipotez zerow ych odrzu conych na korzyść odpow iednich h ipotez alternatyw nych, zaś V — liczbę prawdziwych h ipotez zerow ych, które odrzucam y. R, V są to zm ien n e losow e. Po przeprowadzeniu testow ania znana jest tylko liczba h ip o tez, które odrzucam y — R, a tym sam ym liczba h ipotez zerow ych, dla których n ie m am y podstaw do odrzucenia: k - R. W artość zm ien n ej losowej

V n ie jest obserw ow ana.

W literaturze tem atu najczęściej wyróżniane są dwie miary błędu I rodzaju dla rodziny wnioskowań FWE (ang. Fam ily-W ise Error Rate) (Hochberg i Tam hane, 1987; Miller, 1981):

FWE = P ( ^ > 1), FDR (ang. F alse Discovery Rate):

FDR = ^E

'V'

K ontrola FWE dla rodziny w nioskow ań oznacza, iż praw dopodobieństw o odrzucenia przynajm niej jednej prawdziwej hipotezy zerowej jest nie większe od ustalonego z góry a . Nie we wszystkich badaniach stosow anie procedur kon trolujących FWE daje dobre rezultaty. W przypadku licznych rodzin w nio­ skowań, procedury FWE osłabiają m oc indyw idualnych wnioskowań, w wyniku czego otrzym ujem y zbyt m ało odrzuceń hipotez zerowych. W 1995 roku Ben- jam in i i H ochberg zaproponow ali nową m iarę błędu I rodzaju dla rodziny w nioskow ań FDR (ang. F alse Discovery Rate), której kontrola oznacza, iż wartość oczekiw ana frakcji błędnych odrzuceń wśród wszystkich odrzuceń hipotez zerowych jest kontrolow ana na ustalonym z góry poziom ie.

Dla zilustrowania różnicy pom iędzy FWE i FDR rozpatrzm y sytuację, gdy rodzina w nioskow ań ob ejm u je 1000 hipotez zerowych i odpow iadających im hipotez alternatyw nych. Porów najm y sytuację odrzucenia 1 0 0 h ipotez zero­ wych, z czego jedna jest prawdziwa, z sytuacją odrzucenia w tym zbiorze dw óch hipotez, z czego jedna jest prawdziwa. Z punktu widzenia FWE obie te sytuacje są tak sam o niekorzystne, bo odrzucona została jedna prawdziwa hipoteza zerowa. M ożna jednak spojrzeć na ten wynik w ten sposób, iż tylko 1% odrzuceń było błędnych w pierwszej sytuacji, a aż 50% w drugiej.

3. PROCEDURY TESTOWAŃ WIELOKROTNYCH

OPARTE NA PRAWDOPODOBIEŃSTWACH TESTOWYCH

Procedury testow ań w ielokrotnych oparte na praw dopodobieństw ach testow ych wydają się być interesującą alternatywą dla klasycznych procedur MCP. Zakres zastosowań tych procedur jest bardzo szeroki. Procedury te m ogą być stosow ane w przypadku skończonych rodzin hipotez m inim alnych, a proces testow ania przy ich wykorzystaniu opiera się przede wszystkim na analizie indyw idualnych praw dopodobieństw testow ych. Istotną zaletą ty ch procedur są nieduże w ym a­ gania co do założeń m odelu statystycznego.

Z proceduram i testow ań w ielokrotnych ściśle związane jest pojęcie s k o r y ­ g o w a n y c h p r a w d o p o d o b i e ń s t w t e s t o w y c h (ang. adju sted p-values). Analogicznie do definicji zwykłych (nieskorygow anych) praw dopodobieństw testow ych p, s k o r y g o w a n e p r a w d o p o d o b i e ń s t w o p, dla h ipotezy H {)i vs. HAi, równe jest n ajm n iejszej wartości FWE, dla której Hoi m oże zostać odrzucona, gdy cała rodzina hipotez jest rozpatrywana. Przy czym zakładamy, że rozpatrujem y rodzinę 'k ' m in im aln y ch hipotez zerowych H{)V H()2, ..., Hi)k z odpow iadającym i im prawdopodobieństwam i testow ym i p v p 2, ..., p k. M ając wyznaczone1 skorygowane prawdopodobieństwa testowe p, (i = 1, ..., k) dla każdego testu H() j vs. HA i, decyzja o odrzuceniu hipotezy H() i na poziom ie FWE równym a podejm ow ana jest, gdy p, < a . Skorygowane praw dopodobieństw a testowe są definiow ane analogicznie dla FDR.

Ze względu na kontrolę błędu I rodzaju dla rodziny w nioskow ań, procedury testow ań w ielokrotnych m ożna podzielić na:

— procedury kontrolujące FWE; — procedury kontrolujące FDR.

Do uniw ersalnych procedur testow ań w ielokrotnych k o n tro lu jący ch FWE zaliczam y jednoetapow ą procedurę Bonferroniego oraz je j w ieloetapow ą m o ­

1 Sposoby wyznaczania skorygowanych prawdopodobieństw testowych dla poszczególnych procedur testowań wielokrotnych przedstawione zostaną w dalszej części artykułu.

dyfikację — procedurę H olm a. P r o c e d u r a B o n f e r r o n i e g o jest n ajpro­ stszą procedurą testow ań w ielokrotnych, a jej algorytm m ożna przedstawić n astęp u jąco:

a

odrzucam y H„, wtedy gdy p,. < —

M etoda Bonferroniego jest bardzo konserwatywna, czyli jest m etodą o malej m ocy. Skorygow ane prawdopodobieństwa testowe dla m etody Bonferroniego w yznaczane są ze wzoru:

p; = min(fcpy; 1) dla = 1, ..., k. (1)

P r o c e d u r a H o l m a jest m n iej konserwatywna niż m etoda Bonferronie­ go, bow iem każda hipoteza odrzucona przez m etodę Bonferroniego jest odrzu­ con a rów nież przez m etodę Holma, natom iast hipotezy odrzucone przez m etodę Holm a m ogą nie zostać odrzucone przez m etodę Bonferroniego. Dla uporząd­ kow anych praw dopodobieństw testow ych p(]) < p(2) < ... < p m skorygowane praw dopodobieństw a testow e dla m etody H olm a wyznaczane są ze wzorów:

p(1) = m in (l; kp(l)) oraz

Pu, = m in ( l ; m ax (plH)l ( k - j + 1 ) p(;))) dla j = 2, ..., k.

Procedurę Bonferroniego m ożna zm odyfikować korzystając z nierów ności Śidaka w przypadku, gdy rozpatrywane statystyki testowe tworzą wielowymia­ rowy rozkład n orm aln y lub rozkład t-Studenta o niezależnych składowych (H ochberg i Tam hane, 1987; Shaffer, 1995), a rozważane hipotezy alternatyw ne m ają dw ustronne zbiory krytyczne. M odyfikacja m etody Bonferroniego polega na zastąpieniu j przez 1 - (1 - a)*. Prawdopodobieństwa skorygowane dla p r o ­ c e d u r y B o n f e r r o n i e g o - Ś i d ś k a liczone są ze wzoru:

Pi = m in ( i - (1 - p;.)*; 1^ dla j = 1, ..., k. (3)

Ja k wykazali H olland i C openhaver (1987) procedura Bonferroniego-Śidaka kon troluje FWE również w przypadku, gdy statystyki testow e m ają dodatnią zależność orthantow ą (D enuit i Scaillet, 20 0 4 ).

P r o c e d u r a H o l m a - Ś i d a k a jest m odyfikacją m etody Holm a opartą na nierów ności Śidaka. Skorygowane prawdopodobieństwa testow e dla tej m etody w yznaczane są ze wzorów:

p(1) = m in ( l; 1 - ( 1 -/><„)*) oraz

Pa, = m in ( l ; m ax (p (H), 1 - (1 - p (,/ -'+1) } dla j - 2, k.

( 4 )

P r o c e d u r a S h a f f e r to m odyfikacja procedury Holm a dla hipotez logicz­ nie pow iązanych. Z hipotezam i logicznie powiązanym i m am y do czynienia np. w przypadku porównywania param i wartości przeciętnych. Praw dopodobień­ stwa skorygowane dla tej m etody wyznaczam y ze wzorów:

gdzie tj — jest to maksymalna liczba hipotez zerowych, dla których m ożem y stwierdzić brak podstaw do odrzucenia, gdy (/ — 1) — hipotez jest już odrzuconych.

Kontrolę FDR dla niezależnych statystyk testow ych zapewnia p r o c e d u r a L S U (Lin ear Step-Up), zaproponow ana przez Hochberga i Ben jam in iego (1995). Skorygowane prawdopodobieństwa testow e dla procedury H ochberga-Benjam i- niego otrzym ujem y ze wzorów:

Benjam ini i Yekutieli (2001) wykazali, że procedura LSU zapewnia kontrolę FDR również w przypadku statystyk testowych o zależności dodatnio regresyjnej.

Uniwersalną procedurą kontrolującą FDR jest p r o c e d u r a Y e k u t e l i e g o - B e n j a m i n i e g o 2. Jest ona modyfikacją procedury LSU (Linear Step-Up) Hochber- ga-Benjam iniego zapewniającą kontrolę FDR bez względu na typ zależności pomiędzy statystykami testowymi. Niestety procedura ta jest procedurą konserwa­ tywną w porównaniu z procedurą LSU. Skorygowane prawdopodobieństwa testo­ we dla m etody Yekuteliego-Benjaminiego wyznaczamy ze wzorów:

p(1) = m in (l; kp (V)) oraz p (j) = m in (l; max(p,H), f,p(yi) j dla j = 2, ..., k, (5)

H ) = Pi.kv />(*-/, = m in P ik -w iq P < k -i) dla j = 1, ..., k - l . (6) \ ( k \ P(k) = m in 1 orazoraz ;=i ;=i V dla / = 1, k - 1 .