DYNAMICZNE STOCHASTYCZNE MODELE RÓWNOWAGI OGÓLNEJ: ZARYS METODOLOGII BADAŃ EMPIRYCZNYCH1
9. ZAGADNIENIA ESTYMACJI I INFORMACJI WSTĘPNEJ
Analiza bayesowska dostarcza narzędzia wnioskowania o param etrach struktu ralnych m odelu DSGE, oceny niepew ności związanej z ich estym acją oraz m etody określania błędu popełnianego przy szacowaniu interesujących badacza charakterystyk gospodarki. M ożliwość konstrukcji rozkładu praw dopodobień stwa w ybranej fu n kcji param etrów fun dam en taln ych m odelu, procesów stocha stycznych i pozostałych wielkości odzw ierciedlających m echanizm y gospodar cze m a kluczowe znaczenie w ocenie stopnia wiarygodności rezultatów badań oraz określeniu skutków podejm ow anych decyzji, takich jak: odpowiedzi banku centralnego na zm ianę kursu walutowego, opisaniu zachow ania konsum entów i producentów czy analizie cyklu koniunkturalnego i propagacji zakłóceń eko n om iczn ych . Bayesowskie podejście do estym acji param etrów strukturalnych m odeli DSGE wykorzystuje kom pletny system warunków pierwszego rzędu, ograniczeń zasobow ych i reguł decyzyjnych, który jest następnie szacowany na podstawie danych pochodzących ze zagregowanych szeregów czasowych, po zw alając rów nocześnie na skonstruow anie jed n ej m iary określającej stopień dopasow ania m odelu do danych em pirycznych. Jednoczesna estym acja kom p letn ej reprezentacji m odelu dynam icznego pozwala na u nikn ięcie problem ów endogeniczności zm iennych, w ystępujących w regule decyzyjnej banku central nego, napotykanych przy stosow aniu u ogólnion ej m etody m om entów dla w yznaczania w spółczynników pojedynczych rów nań. Estym acja bayesowska bazuje na funkcji wiarygodności generow anej przez m odel DSGE w odróżnieniu od kalibracji i pierwszych tech n ik szacowania parametrów strukturalnych, usta lający ch ich wartości po m inim alizacji odległości w ybranych fu n kcji odpowiedzi im pulsow ych z m odelu DSGE od analogicznych wielkości w identyfikowalnym m odelu VAR (Rotem berg i W oodford, 1997; M urchison i wsp., 2 0 0 4 ; C hristiano i wsp., 2005).
Bayesowskie m etody estym acji dostarczają spójnych m etod wnioskowania o param etrach strukturalnych w sytuacji potencjalnej misspecyfikacji i braku identyfikowalności modelu. Model ekonom etryczny nie jest identyfikowalny, jeśli różne parametryzacje, m ające różną interpretację ekonom iczną, prowadzą do tego samego rozkładu prawdopodobieństwa obserwacji (są obserwacyjnie równoważ ne), natom iast misspecyfikacja związana jest z zagadnieniem uznania danego modelu za właściwy proces generujący obserwacje. Geweke (1999) przedstawił alternatywne ekonom etryczne interpretacje m odeli DGSE: silną, związaną z me todą największej wiarygodności, słabą spotykaną w literaturze traktującej o tech nikach kalibracji oraz m inim alną, pozwalającą na porównywanie modeli zarówno między sobą jak również w stosunku do modelu referencyjnego. Określenie warunków identyfikowalności DSGE jest trudniejsze niż w przypadku modeli VAR bądź liniow ych modeli o rów naniach współzależnych ze względu na nieliniowość związku między parametrami strukturalnymi a reprezentacją w przestrzeni stanów
formy zredukowanej (4) i (5), określającej łączny rozkład prawdopodobieństwa obserwacji. Modele racjonalnych oczekiwań i DSGE są identyfikowalne przy założeniu odpowiednich rozkładów a priori oraz struktury procesów egzogenicz- nych (Lubik i Schorfheide, 2004; Beyer i Farmer, 2004). M etody estym acji wyko rzystujące podejścia z niepełną inform acją (uogólniona m etoda m om entów bądź metoda estym acji poprzez porównywanie funkcji odpowiedzi impulsowych) m ogą powodować występowanie ukrytych problemów identyfikacyjnych, ze względu na pom inięcie podczas estymacji części założeń dotyczących pozostałych równań bądź procesów stochastycznych m odelu. Specyfikacja pełnego układu założeń, konstrukcja funkcji wiarygodności, uwzględnienie inform acji spoza próby poprzez rozkład a priori oraz jednoczesna estym acja systemu równań pozwalają na zapew nienie identyfikowalności modelu i istnienie rozkładu a posteriori (Lubik i Schorf heide, 2005).
Na gruncie bayesowskim wnioskowania o param etrach strukturalnych oraz określonych ich fu n kcjach dokonu je się poprzez wyznaczenie rozkładów brze gowych z łącznego rozkładu a posteriori. Łączny rozkład a posteriori wektora parametrów oraz zm iennych ukrytych p (d :; y, M,), warunkowy względem /-tej specyfikacji M„ jest otrzym ywany ze statystycznego m odelu bayesow skiego na podstawie wzoru Bayesa:
nm-v nn P(y'" G" M,) /;(0'; M,)
P te „ y ,M a = — ^ ---
,
gdzie iloczyn łącznego rozkładu wektora obserw acji y = (y / ,..., y j)',określającego gęstość próbkową p(y;
0
,-, M () oraz gęstości a priori p(6
t;Mf), definiuje statysty czny m odel bayesowski, natom iast p(y;M[) oznacza brzegową gęstość obserw acji w /-tej specyfikacji: p(y; M,) = Jp(y;0;, M() p(0; M,) r/0(- (Zellner, 1971; Osiewalski,1991; 0'H ag an , 1994). Po zaobserwowaniu wektora y, gęstość wektora obserw acji
p(y; Qj, Mf) rozpatrujem y jako funkcję parametrów 0,- przy danych obserwacjach, czyli rozważamy funkcję wiarygodności postaci: 1(6$ y, M;) = p(y; 0„ M,). Gęstość rozkładu a posteriori jest proporcjonalna do iloczynu funkcji wiarygodności
1(6,; y, Mj) i rozkładu a priori:
p(6; y, M,) - 1(6; y, M,) p(6; M,).
Łączny rozkład a posteriori parametrów i innych zm iennych w modelu zawiera wszystkie dostępne o nich inform acje, pozwalając na wnioskowanie o ocenach punktowych i niepewności związanej z wybranymi funkcjam i parametrów, po przez odpowiednie rozkłady brzegowe. Estymacja bayesowska m odeli równowagi ogólnej prowadzi do elastycznego uwzględnienia inform acji o funkcjonow aniu gospodarki uzyskanej z badań m ikroekonom icznych. Znajom ość przeciętnego
czasu trwania kontraktów placowych, preferencji konsum entów w zakresie podaży pracy oraz prawdopodobnego przedziału zm ienności innych wielkości pozwala na ich uwzględnienie poprzez rozkład a priori, którego rozproszenie m ożna interpre tować jako odzwierciedlenie stopnia wiarygodności wiedzy wstępnej. Subiektywne przekonania badacza dotyczące zachowań grup podmiotów gospodarczych w mo delu, wyrażone w rozkładzie a priori, są zawsze modyfikowane przez funkcję wiarygodności, co pozwala interpretować różnice między wnioskowaniem a priori i a posteriori również w kategoriach rozbieżności między danym i m ikroekonomicz nym i i danym i z szeregów m akroekonom icznych. Nikła wstępna wiedza o kształ tow aniu się parametrów strukturalnych modelu bądź jej całkowity brak oznacza w praktyce przyjęcie dla nich nieinform acyjnych rozkładów a priori powodują cych, że wnioskowanie a posteriori opiera się głównie na inform acjach zawartych w funkcji wiarygodności. Alternatywnie do podejścia bayesowskiego w niewiel kich m odelach DSGE, zarówno liniowych jaki i nieliniow ych, stosowano do estym acji m etodę największej wiarygodności, której własności omawiają m.in. Fernandez-Villaverde i Rubio-Ramfrez (2004, 2005, 2006; Fernandez-Villaverde i wsp., 2006).
M etod y w nioskow ania bayesow skiego dostarczają ponadto form alnego narzędzia służącego porów nyw aniu k o n ku ren cyjn ych m odeli DSGE poprzez ich praw dopodobieństw a a posteriori (Landon-Lane, 2 0 0 0 ; Schorfheide, 20 0 0 ; Del Negro i Schorfheid e, 2 0 0 4 ). W zbiorze alternatyw nych statystycznych m od eli bayesow skich, M = (M„ ..., M,„), dla danego wektora obserw acji y, m ożem y określić praw dopodobieństw o a posteriori /-tego m odelu, korzystając ze wzoru Bayesa:
p(y; M,) P(M:)
Xp(y;Mpp(Mp
M
gdzie 6j jest wektorem parametrów strukturalnych w każdym z konkurencyjnych m odeli DSGE, natom iast P(M;) jest prawdopodobieństwem a priori danej specyfi kacji, opisującej subiektywne przekonania badacza co do możliwości opisu wektora obserwacji przez ten model. Model w którym rozkład a priori jest scentrowany w obszarach przestrzeni parametrów dla których funkcja wiarygodności przyjmuje niskie wartości będzie m niej prawdopodobny a posteriori niż ten sam model z bardziej rozproszonym rozkładem a priori, przy założeniu jednakowych szans
a priori każdej ze specyfikacji. Zgodność inform acji wstępnej z funkcją wiarygod ności prowadzi do najwyższego prawdopodobieństwa a posteriori. Bayesowskie porównywanie m odeli umożliwia również elim inację wpływu prawdopodo bieństw P(M,) poprzez rozważenie ilorazu szans a posteriori par modeli, zdefinio wanego przez iloczyn czynnika Bayesa oraz ilorazu szans a priori:
P(MS; y) _ p(y; Mv) P(MS) P(Mq; y) ~ p(y; Mq) *
Czynnik Bayesa Bsą, określony przez iloraz brzegowych gęstości wektora obserw acji, mierzy relatywną m oc w yjaśniającą m odeli Ms oraz Mq i u jm u je inform acje w jakim stopniu obserw acje potwierdzają m odel Ms w porów naniu z m odelem M,(; B > 1 oznacza wskazanie przez obserw acje, że m odel Mv jest bardziej adekwatny do ich opisu (Jeffreys, 1961).
M etody w nioskow ania bayesowskiego m ogą również zostać zastosow ane do bezpośredniego łączenia wiedzy z konkurencyjnych specyfikacji o kształtow aniu się wybranej funkcji param etrów strukturalnych m odelu i procesów stochasty cznych, opisujących interesującą badacza wielkość m akroekonom iczną A, np. wskaźnik się inflacji (Jacobson i Karlsson, 2002). Funkcja gęstości uśrednionego rozkładu a posteriori A jest średnią ważoną gęstości a posteriori A w każdym z modeli:
m
P(A; y) = X P(A' y>M;) p (Mi> y)>
i=l
gdzie wagi p(M,;y) są określone przez prawdopodobieństwa a posteriori m odeli. Strona num eryczna aplikacji m odeli DSGE realizowana jest z wykorzystaniem tech nik M onte Carlo opartych na łań cu ch ach Markowa, generu jących losową próbkę z łącznego rozkładu a posteriori, na podstawie której oblicza się rozkłady brzegowe interesujących charakterystyk m odelow anej gospodarki oraz niekiedy M onte Carlo z funkcją ważności (D ejong i wsp., 2 0 0 0 ; An i Schorfheide, 2 0 0 6 oraz literatura cytow ana). M etody M onte Carlo są stosow ane zarów no do aproksym acji brzegowych rozkładów a posteriori param etrów jak i w porów na niach m odeli DSGE oraz VAR (m .in. Del Negro i wsp., 2004).
10. PODSUMOWANIE
Dynam iczne Stochastyczne M odele Równowagi O gólnej są obecn ie jednym z głów nych narzędzi stosow anych przez instytucje finansow e do analizy m ech a nizmu transm isyjnego polityki pieniężnej oraz badania cykli kon iun kturalnych w gospodarkach. Stanowią one konstrukcję łączącą n om in aln e nieelastyczności cen i płac obserwowane w szeregach zagregowanych danych m akroekonom icz nych z optym alizacyjnym zachow aniem podm iotów gospodarczych, ch araktery stycznym dla poziom u m ikroekonom icznego. O pracow ane w ostatn ich latach m etody estym acji param etrów strukturalnych m odeli DSGE, m ożliw ość ich uzasadnienia na gruncie m odeli autoregresyjnych oraz łatw ość form ułow ania
i testow ania hipotez ekonom icznych zarówno dla gospodarek zam kniętych jak i otw artych przesądziły o coraz szerszym ich wykorzystaniu praktycznym . W za kresie dotyczącym polityki pieniężnej pozwalają one na elastyczne testowanie kanałów m echanizm u transm isyjnego, stopnia dostosow ania się cen do zmian kursu walutowego oraz analizę propagacji zakłóceń ekonom icznych. W obecnie w ykorzystyw anych przez in stytu cje finansow e m odelach DSGE coraz częściej odchodzi się od tech n ik kalibracji param etrów strukturalnych na rzecz ich form alnej estym acji, uw zględniającej pełną in form ację. Bayesowskie m etody estym acji dostarczają spójnych m etod wnioskowania o param etrach modelu DGSE oraz pozostałych, interesujących z ekonom icznego punktu widzenia wiel kościach, pozw alając rów nocześnie na włączenie do procesu estym acji dostępnej decydentow i m onetarnem u wiedzy, pochodzącej zarówno z badań m ikroekono m iczn ych i in n ych analiz podm iotów gospodarczych jak i zawartych w funkcji wiarygodności. M odele DSGE pozwalają na form alną estym ację i ocenę niepew n ości związaną z param etram i fundam entalnym i, specyfikacją procesów stocha stycznych oraz kształtow aniem się dynam iki m odelu.
BIBLIOGRAFIA
Adolfson M. 2002. Incom plete exchange rate pass-through an d sim ple m onetary policy rnles. Sveriges Riksbank, W orking Paper Series 149.
Adolfson M., Laseen S., Linde J., Villani M. 2005. Bayesian estim ation o f an open econom y DSGE m odel
with incomplete pass-through, Sveriges Riksbank, W orking Paper Series 15.
Altig D.E., Christiano L.J., Eichenbaum M., Linde J. 2004. Firm-specific Capital, nom inał rigidities, and the business cycle, Federal Reserve Bank of Cleveland, W orking Paper 16.
Ambler S., Dib A., Rebei N. 2003. N om inał rigidities and exchange rate pass-tlirough in a stmctural
m odel o f a sm ali open economy, Bank of Canada Working Paper 29.
An S. (2005). Bayesian estim ation ofD SG E m odels: Lessons from second-order approximations, manusc- ript, University of Pennsylvania.
An S., Schorfheide F. 2006. Bayesian analysis ofD SG E models, Federal Reserve Bank of Philadelphia, W orking Paper 5.
Anderson G. 2000. A reliable an d com putationally efficient algorithm for imposing the saddle point
property in dynam ie models, manuscript, Federal Reserve System.
Anderson G.S., M oore G. (1985). A linear algebraic procedure for soM ng linear perfect foresight models, Econom ic Letters 17.
Aruoba S.B., Fernandez-Villaverde Rubio-Ramirez J.F. 2006. Comparing solution methods for
dynam ie eąuilibrium econom ies, Journal of Econom ic Dynamics and Control 30.
Baxte M., Farr D.D. 2005. V ariable Capital utilization and intemational business cycles,Journal of International Econom ics 65.
Benhabib Schm itt-G rohe S., Uribe M. 2001. M onetary policy and m ultiple eipiilibria, American Econom ic Review 91.
Benigno G., Thoenissen C. 2003. Eąuilibrium exchange rates and supply side perform ance, Economic Journal 113.
Bergin P.R. 2003. Putting the „New Open M acroeconomics" to a test, Journal of International Econom ics 60.
Beyer A., Farmer R.E.A. 2004. On the indeterminacy o f New-Keynesian econom ics, European Central Bank, Working Paper 323.
Black R., Cassino V., Cassino A., Hansen E., Hunt B., Rose D., Scott A. 1997. The forecasting and
policy system: the core model, Reserve Bank of New Zealand, Research Paper 43.
Blanchard O.J., Kahn C.M. 1980. The soliition o f Unear difference m odels under linear expectations, Econometrica 48.
Bouakez H., Cardia E., Ruge-Murcia F.J. 2002. H abit form ation an d the persistence o f m onetary sliocks, Bank of Canada Working Paper 27.
Calvo G. 1983. Staggered prices in a utility-maximizing framework, Journal of Monetary Economics 12. Canova F. 1994. Statistical inference in calibrated models, Journal of Applied Econom etrics 9. Canova F. 2002. Validating monetary DSGE m odels through VARs, manuscript, Universitat Pompeu
Fabra, LBS i CEPR.
Chang Y., Schorfheide F. 2003. Labour supply shifts an d econom ic fluctuations, Journal of M onetary Economics 50.
Christiano L.J., Eichenbaum M., Evans C. 1999. Monetary policy sliocks: W hat have w e learned and
to w hat end?, [w:] Handbook of Maęroeconomics 1A, M. Woodford i J. Taylor (red.), Amster- dam-New York-Oxford.
Christiano L.J., Eichenbaum M., Evans C. 2005. N om inał rigidities and the dynam ie effects o f a shock
to monetary policy, Journal of Political Economy 113.
Coletti D., Hunt B., Rose D., Tetlow R. 1996. The dynam ie m odel: QPM, manuscript, Bank of Canada. Dejong D.N., Ingram B.F., W hitem an C.H. 1996. A Bayesian approacli to calibration, Journal of
Business Economics and Statistics 14.
Dejong D.N., Ingram B.F., W hitem an C.H. 2000. A Bayesian approach to dynam ie m acroeconom ic, Journal of Econometrics 98.
Del Negro M., Schorfheide F. 2004. Priors from General Eqttilibrium m odels for VARs, International Economic Review 45.
Del Negro M., Schorfheide F. 2005. Monetary policy analysis with potentially m isspecified models, European Central Bank, W orking Paper Series 475.
Del Negro M., Schorfheide F., Smets F., Wouters R. 2005. On the fit and forecasting perform ance o f
New-Keynesian models, European Central Bank, Working Paper Series 491.
Dib A. 2001. An estim ated C anadian DSGE m odel with nom inał and real rigidities, Bank of Canada Working Paper 26.
Dixit A.K., StiglitzJ. 1977. M onopolistic competition and optimum product diversity, American Econom ic Review 67.
Erceg C.J., Guerrieri L., Gust C. 2005. SIGMA: A New open econom y m odel for policy analysis, International Finance Discussion Papers 835.
Fagan G., Henry J., Mestre R. 2001. An Area-W ide m odel (AWM) for the Euro Area, European Central Bank, W orking Paper Series 42.
Fair R. 1994. Testing M acroeconomic Models, Cambridge, Harvard University Press.
Fernandez-Villaverde J., Rubio-Ramirez J.F. 2004. Estimating nonlinear dynam ie eąuilibriim i econom ics:
A likeliliood approach.
Fernandez-Villaverde ]., Rubio-Rarrrirez J.F. 2005. Estimating dynam ie eąuilibrium econom ics: Linear
versus nonlinear likeliliood, Journal of Applied Econom etrics 20.
Fernandez-Villaverde J., Rubio-Rarrrirez J.F. 2006. Estimating macroeconomic models: A likeliliood appro
ach, manuscript, University of Pennsylvania, NBER, CEPR i Federal Reserve Bank of Atlanta. Fernandez-Villaverde J., Rubio-Ramirez J.F., Santos M. 2006. Com ergence properties o f the likeliliood
o f computed dynam ie models, Econometrica 74.
Geweke J. 1999. Computational cxpcriments and reality, manuscript, University of M innesota. Goodfriend M., King R. 1997. The new neoclassical synthesis an d the role o f m onetary policy, NBER
Ingram B.F., W hitem an C.H. 1994. Supplanłing „Minnesota" prior. Forecasting nuicroeconomic tin
series using real business cycle m odel priors, Journal of M onetary Econom ics 34.
Jacobson T., Karlsson S. 2002. Finding good predictors for inflation: A Bayesian m odel averaging
approach, Sveriges Riksbank, W orking Paper Series 148.
Jeffreys H. 1961. Theory o f Probability, Oxford University Press, London.
Judd K.L 2002. Pertnrbation m ethods with nonlinear changes o f variables, Mimeo, Hoover Institution. Judd K.L., Guu S.M. 1997. Asymptotic m ethods for aggregate growth models, Journal of Economic
Dynamics and Control 21.
Juillard M. 2003. Solving Stochastic D ynam ie Eąuilibrium m odels: A k-order pertnrbation approach, manuscript, CEPREMAP i University Paris 8.
King R., Plosser C., Rebelo S. 1988. Production, growth and business cycles: I and II, Journal of Monetary Econom ics 21.
Kortelainen M. 2002. EDGE: a m odel o f the Euro Area with applications to monetary policy, Bank of Finland Studies E:23.
Kydland F., Prescott E. 1982. Time to build and aggregate fluctuations, Econometrica 50.
Laforte J.,F. 2005. Pricing models: A Bayesian DSGE approach for the US Economy, manuscript, Federal Reserve System.
Landon-Lane J. 2000. Evaluating real business cycle m odels using likeliliood m ethods, manuscript, The University of New South Wales.
Lane P.R. 1999. T he New Open Economy M acroeconomic: A survey, CEPR Discussion Paper 2115. Laxton D., Pesenti P. 2003. Monetary rules for sm ali, open, emerging econom ics, manuscript, Interna
tional Monetary Fund, Federal Reserve Bank of New York i NBER.
Linde J., Nessćn M., Sóderstróm U. 2004. M onetary policy in an estim ated open-econom y m odel with
im perfect pass-through, Sveriges Riksbank, W orking Paper Series 18.
Lubik T., Schorfheide F. 2003. Computing sunspot eąuilibria in linear rational expectations models, Journal of Econom ic Dynamics & Control 28,
Lubik T., Schorfheide F. 2004. Testing for indeterminacy: An application to US monetary policy, American Econom ic Review 94.
Lubik T., Schorfheide F. 2005. A Bayesian Look a t New Open Economy M acroeconomics, manuscript, Johns Hopkins University i University of Pennsylvania.
Lucas R.E.Jr. 1976. Econometric policy evaluation: a critiąue, [w:] The Phillips Ciirve an d L abor Markets, K. Brunner and A.H. Meltzer (red.), Amsterdam-North-Holland.
M alley J.R., Muscatelli V.A., W oitek U. 2005. Real business cycles, sticky wages or sticky prices? The
im pact o f technology shocks on US manufacturing, European Econom ic Review 49.
M ishkin F.S. 1996. The channels o f m onetary transmission: Lessons for monetary policy, NBER Working Paper 5464.
M oran K., Dolar V. 2002. Estimated DGE m odels and forecasting accuracy: A preliminary im estigation
with C anadian D ata, Bank of Canada W orking Paper 18.
M urchison S., Rennison A., Zhu Z. 2004. A structural sm ali open-econom y m odel for C anada, Bank of Canada W orking Paper 4.
0'H agan A. 1994. Bayesian Inference, Edward Arnold, London.
Obstfeld M., Rogoff K. 1995. Exchange rate dynamics Redux, Journal of Political Economy 103. Osiewalski J. 1991. Bayesowska estymacja i predykcja dla jednorównaniowych m odeli ekonometrycznych,
Akademia Ekonomiczna w Krakowie, Monografie, nr 100, Kraków.
Otrok C. 2001. On m easuring the w elfare cost o f business cycles, Journal of M onetary Economics 47. Pagan A. 2001. Report on modeling and forecasting at the Bank ofEngland, manuscript, Bank of England. Rabanal P., Rubio-RarmrezJ.F. 2005. Comparing New Keynesian m odels o ft h e Business cycle: A Bayesian
approach, Journal of M onetary Econom ics 52.
Rotemberg Woodford M. 1997. An optirnization based econometric fram ework for the evaluation o f
Sargent T.J., 1989. Two m odels o f measurements an d the im estm en t accelerator, Journal of Political Economy 97.
Schorfheide F. 1999. A unified econom etric fram ework for the evaluation ofD SG E m odels, Penn Institute for Econom ic Research, W orking Paper 7.
Schorfheide F. 2000. Loss function based evaluation ofD SG E models, Journal of Applied Econom etrics 15.
Sims C.A. 1980. M acroeconomics and reality, Econometrica 48.
Sims C.A. 2002. Solvittg linear rational expectations models, Com putational Econom ics 20.
Smets F., Wouters R. 2003. An estim ated D ynam ie Stochastic General Eąuilibrium m odel o f the Euro
Area, Journal of the European Econom ic Association 1.
Sóderstróm U., Sóderlind P., Vredin P. 2002. Can a calibrated New-Keynesian m odel o f m onetary policy
fit the facts?, Sveriges Riksbank, W orking Paper Series 147.
Taylor J.B., Uhlig H. 1990. Solving nonlinear stochastic growtli m odels: A com parison o f alternative
solution m ethods, Journal of Business and Econom ic Statistics 8.
Uhlig H. 1999. A toolkit for anaiyzing nonlinear dynam ie stochastic m odels easily, [w:] Com putational
M ethods for the Study o f D ynam ie Economies, R. Marimón i A. Scott (red.), Oxford University Press.
Walque G., Wouters R. 2004. An open econom y DSGE m odel linking the Euro Area an d the US economy, manuscript, National Bank of Belgium.
Woodford M.M. 2003. Interest and Prices, Foundations o f a Theory o f Monetary, Policy Princeton University Press.
F O L I A O E C O N O M I C A C R A C O V I E N S 1 A
V ol. X L V III (2007) PL ISSN 0071-674X