Ocena osiowego pęknięcia rury w oparciu o metody probabilistyczne

Obiektem analizy jest rura wykonana ze stali P91 zawierająca wewnętrzne, osiowo zorientowane pęknięcie (rys. 1), zlokalizowane w strefie wpływu ciepła. Wartości średnie oraz odchylenia standardowe wymiarów geometrycznych, obciążeń, właściwości materiału oraz współczynników występujących w rów-naniu Nortona (3) oraz w rówrów-naniu propagacji pęknięcia pełzaniowego (1) ze-stawiono w tabelach 1, 2 i 3. Wartości odchylenia standardowego stałych mate-riałowych przyjmowano na podstawie [13], a wartości odchyleń standardowych wymiarów geometrycznych na podstawie dokładności stosowanych przyrządów pomiarowych.

Rys. 1. Analizowana wada

Stałe C1 i m pozwalają na wyznaczanie szybkości odkształcenia

pełzanio-wego w 1/h jeżeli naprężenia do równania Nortona (3) wprowadza się w MPa, a wartości stałych C2 i q przystosowane są do wyznaczania szybkości wzrostu

pęknięcia wyrażonego w mm/h jeżeli wartość parametru C* występującego w równaniu propagacji (1) będzie wyrażona w N/(mm h).

Tabela 1. Wymiary geometryczne oraz obciążenie elementu Średnica ze-wnętrzna d_z [mm] Grubość ścian-ki g [mm] Początkowa głębokość wady a₀ [mm] Ciśnienie we-wnętrzne p [MPa] Wartość średnia 457 45 2 18,4 Odchylenie standardowe ^{0,2 0,2 0,2 0,2}

Tabela 2. Stałe materiałowe zdeterminowane [6]

R_e [MPa] R_m [MPa] E [GPa] m q

X. Rozwój pęknięć w rurach w warunkach pełzania 93

Tabela 3. Stałe materiałowe losowe [6]

C1 C2 KIc [MPa^.m^0.5] Wartość średnia 7,16^.10^-35 0,0578 100 Odchylenie standar-dowe ^0,86 . 10^-35 0,0170 10

Modelowanie propagacji pęknięcia przeprowadzono w środowisku Ansys wykorzystując język APDL. Występujący w zależności (2) współczynnik inten-sywności naprężeń wyznaczano za pomocą metody „interaction integral met-hod”, t.j. obliczania parametru pęknięcia na zadanych konturach. Do nia naprężeń odniesienia stosowano zależność (4) wykorzystując do wyznacza-nia stosunku zależność wyprowadzoną za pomocą symulacji numerycznych zaproponowaną w [10]: 2 2 1 0 5 1 2 3 w L z * * * * e w r a p r a a a ln , R r r a r r r      _      _  _{ } _  _ _{ } _  _  _{      }     , (5) gdzie: pL - ciśnienie graniczne,

r*=r_w - dla powierzchni szczeliny nie obciążonej ciśnieniem,

r*=rw+0,5a - dla powierzchni szczeliny obciążonej ciśnieniem.

W obliczeniach uwzględniano obciążenie powierzchni pęknięcia ciśnie-niem. Ze względu na symetrię zagadnienia modelowano jedynie połowę prze-kroju rury. Założono płaski stan odkształcenia. Model numeryczny był zbudo-wany z ośmiowęzłowych elementów czworokątnych. Dążono aby w okolicy wierzchołka pęknięcia siatka była złożona z elementów regularnych.

Pojedynczy krok analizy składał się z dwóch etapów: obliczeń metodą ele-mentów skończonych współczynnika intensywności naprężeń oraz wyznaczeniu kolejnych wielkości występujących w równaniu (2), a następnie rozwiązaniu równania (1). Na rysunkach 2 przedstawiono przykładową siatkę dyskretyzacji oraz rozkład naprężeń zredukowanych w okolicy wady.

Wstępne obliczenia przeprowadzono nie uwzględniając losowego zachowa-nia parametrów wejściowych algorytmu. Został założony stały przyrost głębo-kości pęknięcia w pojedynczym kroku obliczeniowym wynoszący a = 0,1 mm. Miało to na celu wyznaczenie długości poszczególnych kroków obliczeniowych dla potrzeb analizy probabilistycznej, pozwalających na za-chowanie dokładności rozwiązania. Równanie propagacji pęknięcia (1) rozwią-zywano metodą różnicową. Weryfikację metodologii obliczeń przeprowadzono za pomocą zależności współczynnika intensywności naprężeń od głębokości wady KI(a) wyznaczonej na podstawie wartości KI obliczonych numerycznie dla różnych głębokości wady oraz zależności (5) wykorzystując do rozwiązania równania (1) metodę Rungego-Kutty czwartego rzędu.

Rys. 2. Przykładowy rozkład naprężeń w pobliżu wierzchołka szczeliny

Uwzględnienie w obliczeniach losowego charakteru parametrów wejścio-wych do algorytmu tj. wymiarów geometrycznych, wymiarów wady, ciśnienia oraz stałych materiałowych pozwoliło wyznaczać na podstawie założonego rozrzutu tych wielkości wartość średnią oraz odchylenie standardowego głębo-kości wady po zadanym okresie czasu. Wartość średnią głębogłębo-kości wady oraz jej odchylenie standardowe wyznaczone w danym kroku obliczeniowym przyj-mowano jako dane w kolejnym kroku. Przyjęto, że wartość graniczna odchyle-nia standardowego wynosi 0,85 mm i uznano, że po przekroczeniu tej wartości należy przerwać proces symulacji wzrostu pęknięcia i wykonać pomiary głębo-kości pęknięcia. W dalszych obliczeniach zakładano, że zmierzona wartość głębokości pęknięcia jest równa średniej wartości głębokości wady wynikającej z symulacji. Wartość tą zaokrąglano do wartości wynikającej z dokładności przyrządu pomiarowego. Przyjmowano wartość odchylenia standardowego głębokości pęknięcia taką jak w pierwszym kroku obliczeniowym (tabela 1). Przyjęto, że wielkości wejściowe opisuje rozkład normalny, z tym że do opisu początkowej głębokości pęknięcia wykorzystywano obcięty rozkład normalny aby zabezpieczyć model obliczeniowy przed wprowadzeniem głębokości wady o wartości ujemnej lub większej niż grubość ścianki rury.

W obliczeniach probabilistycznych wykorzystywano symulację metodą Monte-Carlo. Ze względu na dużą liczbę zmiennych losowych, dla potrzeb po-jedynczego kroku obliczeniowego wykonywano 500 symulacji. Na rysunkach 3 i 4 przedstawiono przykładowy rozkład gęstości prawdopodobieństwa jednej z wielkości wejściowych oraz wielkości wyjściowej z algorytmu. Wyniki pro-babilistycznej symulacji wzrostu pęknięcia przedstawiono na rys. 5.

X. Rozwój pęknięć w rurach w warunkach pełzania 95

Rys. 3. Rozkład gęstości prawdopodobieństwa ciśnienia

0 10000 20000 30000 40000 50000 t [h] 0 4 8 12 16 a [m m ] Runge-Kutta a(t) - etap 1 a(t) - etap 2 a(t) - etap 3

Rys. 5. Propagacja pęknięcia z uwzględnionym odchyleniem

Ocenę zagrożenia zniszczeniem przeprowadzano za pomocą diagramu zniszczenia przedstawionego w [2,3,4,15]. Krzywa FAD na diagramie znisz-czenia oddziela obszar bezpieczny od niebezpiecznego uwzględniając dwa kry-teria – Kr i Lr: ref I r r Ic e K K , L K R    , (7)

gdzie: KIc – krytyczna wartość współczynnika intensywności naprężeń

Pierwsze z nich związane jest ze zjawiskiem kruchego pękania, a drugie ze zniszczeniem plastycznym.

Wykorzystywano uniwersalną krzywą FAD [3,4] opisaną zależnością:



 



1 0 14 0 3 0 7exp 0 65

r r r

K _{ } , L  , _ , _ , L 

 . (8)

Krzywa jest ograniczona ze względu na zniszczenie plastyczne wielkością

L_rmax i dla L_r>L_rmax K_r=0. L_rmax wyznacza się z zależności:

 

X. Rozwój pęknięć w rurach w warunkach pełzania 97

Wzrost zagrożenia zniszczeniem na diagramie zniszczenia dla poszczegól-nych kroków analizy zobrazowano na rysunku 6. Na rysunku 5 widać, że po przepracowaniu przez element około 40000 h (t.j. dla trzeciego etapu obliczeń) przyrost głębokości wady jest bardzo szybki pomimo tego, na diagramie znisz-czenia wada ta znajduje się w obszarze bezpiecznym. Osiągnięcie przez wadę wymiarów lokujących ją w obszarze niebezpiecznym nastąpi po kilkuset godzi-nach eksploatacji. Z tego względu przy ocenie zagrożenia zniszczeniem należy zwracać uwagę na szybkość wzrostu głębokości pęknięcia.

0 0.4 0.8 1.2 L_r 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 K^r FAD Etap 1 Etap 2 Etap 3

Rys. 6. Położenie wady na diagramie zniszczenia

4. Podsumowanie

Przedstawiona metoda oceny tempa propagacji pęknięć w elementach ci-śnieniowych pracujących w warunkach pełzania może być stasowana zarówno do oceny trwałości rurociągów jak i rur wymienników ciepła w kotle. Uwzględ-nienie w modelu niektórych stałych jako wielkości losowych pozwala uwzględ-nić ważny rzeczywisty aspekt tego typu analiz, w których właściwości materia-łowe opisujące zachowanie się pęknięć nie mogą być wyznaczone w sposób ściśle deterministyczny.

Należy również zaznaczyć, że tego typu analizy można przeprowadzić za-równo dla elementów, w których wykryto pęknięcia lub wady ale także w od-niesieniu do elementów w których takich nieciągłości nie stwierdzono. Należy wówczas założyć istnienie takiej wady o wymiarach odpowiadających czułości aparatury pomiarowej, którą wykorzystywano do badań danego elementu.

LITERATURA

[1] BIGLARI F.,NIKBIN K.M.,GOODALL I.W.,WEBSTER G.A. Determination of fracture mechanics parameters J and C* by finite element and reference stress methods for a semi-elliptical flaw in a plate. International Journal of Pressure Vessels and Piping 2003:80:565-71.

[2] British Energy Generation Ltd. R5: Assessment procedure for the high temperature respons of structures. British Energy Generation Ltd. UK, Issue 3; 2003.

[3] British Energy Generation Ltd. R6: Assessment of the integrity of structures containing defects. British Energy Generation Ltd. UK, Revision 4; 2009.

[4] BS 7910:2005 Guide to methods for assessing the acceptability of flaws in metallic structures. [5] CIECERO S.,GUTIÉRREZ-SOLANA,ÁLVAREZ J.A., Structural integrity assessment of different

com-ponents of a power plant, Engeneering Failure Analysis 2007:14:301-9.

[6] DOGAN B.,PETROVSKI B. Creep crack growth of high temperature weldments. International Jour-nal of Pressure Vessels and Piping 2001:78:795-805.

[7] GOODALL I.W.,WEBSTER G.A., Theoretical determination of reference stress for partially pene-trating flaws in plates. International Journal of Pressure Vessels and Piping 2001:78:687-95. [8] HERNAS A.,DOBRZAŃSKI J., Trwałość i niszczenie elementów kotłów i turbin parowych,

Wydaw-nictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2007.

[9] KIM YUN-JAE,SHIM DO-JUN,HUH NAM-SU,KIM YOUNG-JIN. Plastic limit pressures for cracked pipes using finite element limit analyses. International Journal of Pressure Vessels and Piping 2002:79:321-30.

[10] LEI Y.: A review of limit load solutions for cylinder with axial cracks and development of new solutions, International Journal of Pressure vessels and Piping 2008;85:825-850.

[11] NAM-HYUCK LEE,SIN KIM,BYUNG-HAK CHOE,KEE-BONG YOON,DONG-IL KWON, Failure analy-sis of a boiler tube in USC coal power plant, Engeneering Failure Analyanaly-sis 2009:16:2031-35. [12] NEIMITZ A., DZIOBA I., GRABA M., OKRAJNI J.: Ocena wytrzymałości, trwałości

i bezpieczeństwa pracy elementów konstrukcyjnych zawierających defekty, Wydawnictwo Poli-techniki Świętokrzyskiej, Kielce 2008.

[13] NIKBIN K.M.,YATOMI M.,WASMER K.,WEBSTER G.A.: Probabilistic analysis of creep crack initiation and growth in pipe components. Int J Pressure Vessels Piping 2003;80:585-595. [14] NIU X.-C.,GONG J.-M.,JIANG Y.,BAO J.-T., Creep damage prediction of the steam pipelines with

high temperature and high pressure, International Journal of Pressure Vessels and Piping 2009:86:593-98.

[15] RUSIN A.: Awaryjność, niezawodność i ryzyko techniczne w energetyce cieplnej, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2008.

[16] SALONEN J.,AUERKARI P.,LEHTINEN O.,PIHKAKOSKI M., Experience on in-service damage power plant components, Engeneering Failure Analysis 2007:14:970-77.

[17] SHIBLI A.,STARR F., Some aspects of plant and research experience In the use of New high strength martensitic steel P91, International Journal of Pressure Vessels and Piping 2007:84:114-22.

XI. MODELOWANIE I OPTYMALIZACJA