Pęseta optyczna

W standardzie wyposażenia jednostek floty kosmiczne w filmie Gwiezdne Wojny jest wiązka prowadząca. Jest to wiązka promieniowania, która zdolna jest przejąć kontrolę nad zewnętrznym obiektem (np. wrogim statkiem). Takie wiązki prowadzące, jeżeli w ogóle możliwe, są pieśnią odległej przyszłości. Ale to co nie wychodzi nam w skali makro udaje się w skali mikro. Co byście powiedzieli na wiązkę prowadzącą zdolną pochwycić bakterię lub inny mikroobiekt?

8 To jest takiego, który ma wygrawerowaną aperturę numeryczną

92

Uchwycenie i prowadzenia mikroobiektu w wiązkę laserową jest jak najbardziej możliwe. Pomysł pojawił się na początku lat 70-tych XX wieku i jest autorstwa Arthura Ashkina (Nagroda Nobla z dziedziny fizyki za 2018 rok). Stosowne urządzenie nazywane jest pęsetą optyczną (ang. optical tweezers). Aby zrozumieć zasadę działania pęsety optycznej potrzebna nam jest niewielka porcja mechaniki kwantowej. W temacie (TX) opisywaliśmy światło jako falę, w tym temacie światło traktujemy jako rozchodzące się wzdłuż promienia. Taki opis nasuwa pomysł, że światło jest zbiorem cząstek, a promienie to trajektorie tych cząstek. Pomysł ten przyświecał między innymi Newtonowi. Oba obrazy „konsumuje” mechanika kwantowa, ale jak to zwykle bywa, to co otrzymujemy po zespoleniu różni się i od klasycznych fal i od klasycznych cząstek. W mechanice kwantowej to falowo-korpuskularne rozdwojenie towarzysz wszystkim fotonom. Mówimy tu o dualizmie korpuskularno falowym (szerzej o tym będzie w temacie TXXX). Nam na szczęście wystarczy prosty obraz światła jako cząstki.

Definicja 4.4.1: Fotony

Kwanty promieniowania elektromagnetycznego nazywamy fotonami

Aby zrozumieć działanie pęsety optycznej musimy przypisać cząstkom światła – fotonom – pęd. Ogólna zależności wiążąca pęd cząstki z długością fali dla jej falowego oblicza ma postać

𝜆 = ℎ

gdzie pf, to pęd fotonu. I to cała wiedza potrzebna z mechaniki kwantowej.

Wiązka światła o mocy P i o długości fali E przenosi w ciągu sekundy N fotonów

𝑁 = 𝑃

𝐸_𝑓 4.4.3

Gdy wiązka ta odbija się od zwierciadła (przy padaniu normalnym), każdy foton zmienia swój pęd o -2p (rys. 4.4.1a). Z zasady zachowania pędu wnioskujemy, że pęd lustra zmienia się o 2p. Ponieważ fotony są zdecydowanie „lżejsze⁹” od

9 Fotony są bezmasowe, więc nazywanie ich lekkimi jest dość podejrzanym chwytem. Teoria zderzeń z udziałem fotonów jest bardziej złożono niż teoria opisujące zderzenia kul. Fotony poruszają się z prędkością światła, a dla cząstek o prędkości bliskiej prędkości światła musimy stosować opis relatywistyczny. W ramach teorii względności istnieje pełna równoważność między masą i energią i w tym kontekście można uznać fotony za lekkie w porównaniu ze zwierciadłem. Możemy na przykład porównać energię fotonu daną wzorem (4.4.2)

93

zwierciadła, obowiązuje ta sama reguła co przy zderzeniu lekkiej kulki z bardzo masywną kulą (TIV 4.1.15a) – masywna kula (zwierciadło) pozostaje praktycznie w spoczynku, a lekka odskakuje praktycznie z tą samą prędkością tyle, że przeciwnie skierowaną. W ogólnym przypadku bierzemy pod uwagę składową normlaną pędu cząstki (rys. 4.4.1b). Wniosek z tego pozostaje taki, że strumień światła wywiera ciśnienie na zwierciadło, tym większe im bardziej prostopadle na to zwierciadło pada.

Jeżeli na zwierciadło pada światło o mocy P, to całkowita zmiana pędu wiązki w jednostce czasu wyniesie

Δ𝑝

Δ𝑡 = −2𝑁𝑝_𝑓 = −2𝑃

𝑐 4.4.4

gdzie skorzystałem z (4.4.2) i (4.4.3).

Rysunek 4.4.1. a) fotony biegnące wzdłuż osi z odbijają się od zwierciadła.

Fotony zwykle rysujemy w postaci zygzakowatych strzałek. Ze względu na bardzo, bardzo, bardzo duży stosunek masy zwierciadła do „masy fotonu”

fotony odskakują z tym samym pędem, z którym nadleciały a zwierciadło, po uderzeniu pojedynczego fotonu, pozostaje praktycznie nieruchome; b) gdy pęd fotonów nie jest zgodny z osią z, musimy wziąć składową z-tową ich pędu.

Zmiana pędu zwierciadła jest równa (4.4.4) ze zmienionym znakiem. A zmiana pędu w czasie to siła, zatem siła wywierana na zwierciadło ma wartość

𝐹 = 2𝑃

𝑐 4.4.5

Zobaczmy co się dzieje kiedy promień przechodzi przez przezroczystą kulkę (rys. 4.4.2). Światło ulega częściowo odbiciu, a częściowo załamaniu na pierwszej powierzchni kulki. Załamany promień ulega ponownie częściowo odbiciu a częściowo załamaniu na drugiej powierzchni kulki. Zatrzymajmy się

z energią spoczynkową zwierciadła o masie m, równą mc² Ważne jest również to, że zderzenie między lekką i masywną cząstką przebiega tak samo jak w przypadku nierelatywistycznym – lekka cząstka odskakuje od nieruchomej ściany z prawie tą samą prędkością, z którą nadleciała.

94

w tym miejscu. Zmiana pędu kulki związana będzie ze zmianą kierunku tej części promienia, która przeszła przez kulkę i tej części, która się od powierzchni kuli odbiła.

Rysunek 4.4.2. Promień padający na przezroczystą kulkę ulega na każdej powierzchni częściowo załamaniu (czerwone linie) a częściowo odbiciu (zielone linie).

Promień reprezentujący światło, po każdym kolejnym odbiciu niesie mniejszą energię.

Przy obliczaniu siły działajacej na kulkę w wiązce świetlnej zwykle wystarczy analiza do drugiego odbicia i związanego z nimi załamania włącznie.

Na pierwszej powierzchni siła wywierana na kulkę w wyniku załamania i odbicia wynosi

𝐅 = 𝑛_𝑝𝑃_𝑝

𝑐 𝐫̂_𝐩− 𝑛_𝑝𝑃_𝑜

𝑐 𝐫̂_𝐨− 𝑛_𝑟𝑃_𝑟

𝑐 𝐫̂_𝐫 4.4.6

Gdzie P_p jest mocą wiązki padającej, P_o jest mocą odbitej części wiązki, Pr jest mocą załamanej części wiązki, np jest współczynnikiem załamania środowiska, n_r jest współczynnikiem załamania kuli, 𝐫̂_𝐩 jest jednostkowym wektorem w kierunku padania wiązki, 𝐫̂_𝐨 jest jednostkowym wektorem w kierunku odbitej części wiązki, 𝐫̂_𝐫 jest jednostkowym wektorem w kierunku załamanej części wiązki (rys. 4.4.3).

Rysunek 4.4.3. Promień padając w kierunku rp ulega kolejnym odbiciom i załamaniom. Część odbita pozostaje wewnątrz kulki, dla części załamanej energia ucieka z kulki (zostaje rozproszona na zewnątrz). Przez ro oznaczyłem kierunki propagacji kolejnych promieni odbitych, a przez rr kierunki propagacji kolejnych promieni załamanych.

Jak widać wzór (4.4.6) jest wektorową różnicą między pędem (na jednostkę czasu) wiązki padającej a wiązkami odbitą i załamaną, czyli na

95

zmianę pędu w jednostce czasu, co jak wiemy daje siłę. Wyjaśnienia wymaga obecność współczynników załamania we wzorze (4.4.6). W 1908 roku Hermann Minkowski zapostulował, że wartość pędu p fotonu w środowisku o współczynniku załamania n wynosi

0

p n h

  4.4.7

gdzie 0 jest długością fali światła w próżni. Rok później Max Abraham na podstawie innego rozumowania stwierdził, że

0

p 1 h n

 4.4.8

Sprawa nie jest rozstrzygnięta do dnia dzisiejszego. Ewentualny eksperyment rozstrzygający jest bardzo trudny. W znamienitej większości procesów i eksperymentów różnica między podejściem Minkowskiego i Abrahama nie wnosi różnic do wyników pomiarów. Tutaj, zgodnie z literaturą, przyjęliśmy wystarcza przyjęcie n=2. Ze względu na ucieczkę energii na zewnątrz sfery, po każdym odbiciu wiązka wewnątrz sfery wyraźnie słabnie.

Dla danego promienia wszystkie promienie odbite i załamane leżą w płaszczyźnie promienia wejściowego. Siłę F zwykle rozkładamy na część działającą wzdłuż osi Froz (tzw. część rozproszenia; ang. scattering force) oraz część działającą prostopadle do osi F_grad (tzw. część gradientowa; ang. gradient force). Układ sił w wiązce równoległej nie tworzy warunków do pułapkowania, gdyż siła rozproszenia wypycha kulkę z wiązki (rys. 4.4.4). Stabilny chwyt zapewnia silnie zogniskowana wiązka laserowa (rys. 4.4.5). Aby ogniskowanie było możliwie duże używane są obiektywy immersyjne o aperturze numerycznej większej niż 1 (rys. 4.1.14). W takiej sytuacji obie siły Fgrad i Froz (rys. 4.4.5) trzymają kulkę w pobliżu ogniska. Pokazać przy tym można, że siła Fgrad jest w centralnym obszarze wiązki proporcjonalna do wielkości odsunięcia kulki od centrum wiązki i przeciwnie skierowana do tego odsunięcia. Możemy więc przy pomiarze sił korzystać z modelu oscylatora harmonicznego.

96 Rysunek. 4.4.4. Równoległa wiązka laserowa o gaussowskim rozkładzie intensywności (tzw. wiązka Gaussowska), charakterystyczna dla laserów gazowych nie nadaje się do chwytu małej dielektrycznej kulki. Promień I i II przechodzi przez kulkę. Grubszy promień oznacza większą intensywność światła w danym obszarze wiązki. Siła gradientowa Fgrad ściąga kulkę do centrum wiązki. Przez FI i FII oznaczone są siły wypadkowe od pierwszego i drugiego promienia. Niestety siła rozproszeniowa Froz wypycha kulkę z wiązki.

Rysunek. 4.4.5. Kulka dielektryczna w zogniskowanej wiązce gaussowskiej, w położeniu przed (A) i za (B) ogniskiem. Przed ogniskiem (A) siła Froz popycha kulkę w kierunku ogniska wiązki. Za ogniskiem (B) siła ta ściąga kulkę z powrotem do ogniska. Siła Fgrad jest równa zeru, gdyż kulka leży na osi.

W przypadku gdy wyjdzie poza oś siła gradientowa ściągnie ją z powrotem w kierunku osi to pokazano na rysunku (4.4.4). W takim układzie otrzymujemy stabilny chwyt kulki przez wiązkę laserową.

97

Za pomocą pęsety optycznej możemy dla obiektów (typowo o wielkości od 0.5m do 20m) mierzyć siły z dokładnością ułamków pikoniutonów (pN=10^-9N). Siła chwytu wynosi od pojedynczych do setek pikonewtonów.