Znak współczynnika załamania

Jeżeli w danym środowisku światło biegnie zgodnie z wyróżnionym kierunkiem biegu światła, to współczynnikowi załamania przypisujemy znak plus, w przeciwnym razie współczynnikowi załamania przypisujemy znak minus.

Tu ważna uwaga

Uwaga 3.6.1:

To, że współczynnik załamania w próżni (i w dobrym przybliżeniu w powietrzu) jest równy jeden nie oznacza, że go nie ma. Taki współczynnik załamania jest tak samo realny jak każdy inny i przy zmianie kierunku biegu promienia należy przyjąć jego wartość jako -1. Ponieważ, przy biegu promienia z lewej na prawo mnożenie przez jeden zwykle się pomija istnieje niebezpieczeństwo, że jednostkowy współczynnik załamania zostanie zapomniany i nie zmienimy jego znaku.

Weźmy za przykład odbicie od zwierciadła płaskiego, tak jak pokazuje to rysunek (3.6.1). Wielkość Vo= nouo jest zgodnie z powyższą konwencją równa Vo= -n(-up)=Vp. Oznacza to, że kąt optyczny przy odbiciu od zwierciadła nie zmienia swojego znaku co jest niewątpliwie plusem przyjętej konwencji. Jej minusem jest fakt, że operując wielkością kąta optycznego Vo musimy pamiętać, że reprezentuje ona, w tym przypadku, promień poruszający się w kierunku –z, a zatem odpowiedni współczynnik załamania należy przyjąć ze znakiem minus.

Podobnie jest z wielkościami zredukowanej długości T. Zmiana znaku przy długości geometrycznej odcinka dla promieni biegnących w kierunku –z, skompensowana jest zmianą znaku przy współczynniku załamania. Zauważ przy tym, że kąty dla promieni odbity liczymy nie od osi +z a od osi –z, zachowując starą regułę znaków. Czyli jeżeli kąt liczymy od osi –z przeciwnie do ruchu wskazówek zegara to jest on dodatni w przeciwnym razie jest on ujemny.

Fakt 3.6.1:

Dla promieni odbitych kąty liczymy od osi –z, tak że kąty liczone przeciwnie do ruchu wskazówek zegara uznajemy za dodatnie, a liczone zgodnie z ruchem wskazówek zegara uznajemy za ujemne.

66 Rysunek 3.6.1. Odbicie promienia od zwierciadła płaskiego. Zwróć uwagę, że przyjęta metoda obliczania biegu promieni odbitych działa tak jakby kasowała odbicie. Promień nie odbity (zaznaczony zieloną przerwaną linią) przebija płaszczyznę Po na tej samej wysokości co promień odbity płaszczyznę Po. W macierzy ABCD jednym śladem odbicia jest zmieniony znak przy współczynniku załamania ośrodka przed zwierciadłem. Aby wrócić do kąta odbitego trzeba odbić obliczony w ten sposób promień, oś optyczną i kąty względem zwierciadła.

Zobaczymy jak liczymy przejście pomiędzy płaszczyznami Pp i Po dla zwierciadła płaskiego z rysunku (3.6.1). Macierzy przejścia od płaszczyzny przedmiotowej do zwierciadła ma postać.

𝑻_𝟏 = [1 𝑇^𝑝 = 𝑡_𝑝

0 1 1] = [1 𝑡_𝑝

0 1] 3.6.1

Moc optyczną zwierciadła obliczymy korzystając ze wzoru (3.3.5) 𝑃 = 𝑛_𝑜 − 𝑛_𝑝

𝑟 = −𝑛 − 𝑛

𝑟 = −2𝑛

𝑟 3.6.2

Dla zwierciadła współczynniki załamania przed układem n_p (w przestrzeni przedmiotowej) i za zwierciadłem no (w przestrzeni obrazowej) są takie same (równe n). Obie przestrzenie, to jest przedmiotowa i obrazowa to te same przestrzenie, tyle że przedmiotowa jest dla promieni przed odbiciem, a obrazowa dla promieni po odbiciu. Zgodnie z przyjętą regułą dla promieni odbity współczynnik załamania przyjmujemy ze znakiem minus: no=-n.

Reguła znaków dotycząca promieni zwierciadeł jest taka sama jak dla załamujących powierzchni sferycznych (konw. 3.5). Wzór (3.6.2) na moc optyczną zwierciadła pozwala obliczyć moc optyczną dowolnego sferycznego zwierciadła. W naszym przypadku r=, zatem moc optyczna zwierciadła płaskiego jest P=0, a macierz odbicia jest macierzą jednostkową

67

𝑹 = [ 1 0

−𝑃 1] = [1 00 1] 3.6.3

Macierz przejścia od zwierciadła do płaszczyzny obrazowej ma postać.

𝑻_𝟐 = [1 𝑇^𝑜 =−𝑡_𝑜 0 1−1

] = [1 𝑡^𝑜 0 1]

3.6.4 Tu zmieniłem znak przy współczynniku załamania. Macierz ABCD dla całego układu przyjmie postać jakby promień nie ulegał odbiciu. Po przeliczeniu musimy jednak pamiętać, że przeliczony promień trzeba odbić względem płaszczyzny zwierciadła, co oznacza zmianę znaku przy kącie, który dalej pozostaje dodatni, jeżeli weźmiemy pod uwagę fakt, że po odbiciu kąt liczymy od osi –z.

Uwaga 3.6.1.

Zmiana znaku przy współczynniku załamania jest zabiegiem technicznym, czyli takim, który ma za zadanie zapewnić sprawne obliczanie. Znak minus nie oznacza, że mamy ujemny współczynnik załamania. Współczynnik załamania zawsze jest dodatni, a dopisany znak minus może przewędrować do kątów lub długości odcinków, które mogą być ujemne. Moglibyśmy uniknąć techniki dopisywania znaku minus do współczynnika załamania, ale kosztem bardziej rozbudowanego zapisu. A my jeżeli chodzi o zapis jesteśmy wygodni, nawet kosztem zwiększenia ryzyka błędnego stosowania konwencji rachunkowych.

Reguły wykreślania biegu promieni przez zwierciadło są podobne do reguł dla soczewek cienkich. Rysunki (3.6.2a) i (3.6.3a) pokazują dwa przykłady ich zastosowania.

68 Rysunek 3.6.2. Przykład konstrukcji obrazu dla zwierciadła zbierającego (wklęsłego). W książkach zwykle rysuje się zwierciadła jako wycinki sfery, co jest pewną niekonsekwencją w stosunku do przyjętych założeń. W przybliżeniu paraksjalnym przyjmujemy, że punkt pada na zwierciadło na takiej samej wysokości jak na linię prostopadłą do osi optycznej i przechodzącą przez wierzchołek zwierciadła (podobnie jak to było dla soczewek). Zgodnie z tym założeniem powinniśmy rysować zwierciadła jako linie z dwiema strzałkami i tak też będę robił. Jak widać z rysunku obie konstrukcje dają prawie takie samo położenie i wielkość obrazu. W części (a) promienie rysowane zgodnie z przyjętym przybliżeniem paraksjalnym narysowane są liniami ciągłymi, te zgodne z większością podręczników liniami przerywanymi. W części (b) narysowany jest, dla podobnego przypadku, bieg promieni, bez przybliżenia paraksjalnego (z prawa odbicia). Zwierciadło ma promień r=-50mm, a przedmiot leży 65mm przed zwierciadłem. Powstający obraz jest obrazem rzeczywistym, odwróconym i pomniejszonym. Dla odróżnienia zwierciadeł od soczewek strzałki reprezentujące zwierciadła będą kreskowane po stronie nieodbijającej.

69 Rysunek 3.6.3. Konstrukcja biegu promieni w przypadku zwierciadła rozpraszającego (wklęsłego), część (a) rysunku. Zwierciadło rysowane jest jako prosty odcinek ze strzałkami skierowanym do środka odcinka, kreskowany po stronie nieodbijającej. W części (b) rysunku bieg promienia wytyczony z prawa odbicia dla podobnego przypadku. Zwierciadło ma promień r=-50mm, a przedmiot leży 65mm przed zwierciadłem. Powstający obraz jest obrazem pozornym, prostym i pomniejszonym.

Jak widać z rysunków (3.6.2 i 3.6.3) zwierciadła mają jeden punkt ogniskowy;

możemy uznać, że punkty ogniska przedmiotowego i obrazowego z natury samego zwierciadła się pokrywają Fo=Fp, równe są również ogniskowe przedmiotowe i obrazowe f_o=f_p. Wszystko to odnosi się oczywiście do przybliżenia paraksjalnego. W dokładnych obliczeniach wiązka promieni równoległy lub rozchodzących się ze źródła punktowego, odbita od zwierciadła sferycznego nie przecina osi optycznej w jednym punkcie co ilustruje rysunek (3.6.4).

Rysunek 3.6.4. Powiększony fragment rysunku (3.6.2b) w okolicy skupienia promieni odbitych. Jak widać promienie odbite nie trafiają w jeden punkt.

Punktowe zbieganie się promieni otrzymujemy wyniku zastosowania przybliżenia paraksjalnego.

70

Na zakończenie tej sekcji proponuję rozwiązanie przykładowego zadania.

3.7. Przykład

Światło pada z lewej strony na szklaną sferę o promieniu r wykonaną z materiału o współczynniku załamania n. Oblicz macierz ABCD dla tego układu pomiędzy płaszczyznami Pp i Po umiejscowionymi tak jak na rysunku (3.7.1). Wyznacz przejście przykładowego promienia przez układ.

W rozwiązaniu musimy ograniczyć się do promieni, których kąt z osią optyczną jest mały, w przeciwnym razie nasze przybliżone metody nie dadzą wiarygodnych wyników.

Zaczniemy od konstrukcji macierzy ABCD układu. Macierz refrakcji (3.2.8) R1 opisuje załamanie na powierzchni stycznej do płaszczyzny Pp. Promień krzywizny ma tu wartość dodatnią r>0.

𝐑_𝟏 = [ 1 0 1 − 𝑛

𝑟 1] 3.7.1

Następna jest macierz translacji od wejściowej powierzchni kuli do powierzchni leżącej po drugiej stronie

𝐓_𝟏 = [1 2𝑟 0 𝑛1

] 3.7.2

Teraz musimy wyznaczyć macierz odbicia R₂ od drugiej powierzchni sfery, której promień krzywizny ma wartość ujemną r<0. Musimy również przyjąć ujemny współczynnik załamania (konw. 3.5). Moc optyczna tej powierzchni (3.6.2) jest równa

𝑃₂ = −2𝑛

−𝑟 = 2𝑛

𝑟 3.7.3

71 Rysunek 3.7.1. U góry szkic biegu promienia przez obliczany układ. U dołu bieg wiązki promieni równoległych poosiowych przez szklaną kulę, przyjęty współczynnik załamania wynosi n=1,5, a promień kuli r=20mm. Obliczenia zostały wykonane z wykorzystaniem prawa załamania i odbicia. Promienie odbite wyrysowane są na niebiesko.

Macierz odbicia wyraża się wzorem 𝐑_𝟐 = [ 1 0

−2𝑛

𝑟 1] 3.7.4

Dalej potrzebujemy macierz translacji opisującą drogę powrotną do pierwszej powierzchni kuli. Tutaj zarówno wielkość r (konw. 3.2) jak i n wejdą ze znakiem minus, jednak znaki te wzajemnie się uproszczą i otrzymamy

72

𝐓_𝟐 = [1 −2𝑟 0 −𝑛1

] = [1 2𝑟 0 𝑛1

] 3.7.5

Na końcu mamy ponownie macierz refrakcji na pierwszej powierzchni kuli.

Tym razem r>0, ale mamy również zmianę współczynników załamania, bo promień biegnie w kierunku –z

𝐑_𝟑 = [ 1 0 1 − 𝑛

𝑟 1] 3.7.6

Obie macierze refrakcji R1 i R3 mają dokładnie taką samą postać. Jak już wspomniałem odbicia od zwierciadeł liczymy tak jakby wszystkie promienie odbiciu nie ulegały (rys. 3.7.2). Dopiero na końcu odbijamy tak obliczone promienie i przyjmujemy odwrotną konwencję przy znakach promieni.

Rysunek 3.7.2. Przejście promienia przez układ z odbiciem. Przy pierwszym odbiciu zamieniamy znaki przy kątach i odcinkach (kąt i odcinki mnożymy przez ujemny współczynnik załamania), co jest równoznaczne odbiciu ich względem płaszczyzny normalnej do osi optycznej i przechodzącej przez punkt odbicia. Promień biegnie w stronę +z, i zachowuje się tak jakby trafił na odbitą względem tej samej płaszczyzny drugą powierzchnię załamującą. W naszym przypadku druga powierzchnia po odbiciu ma taką samą geometrię jak pierwsza, stąd taka sama postać macierzy R1 i R2. Promień załamany na pierwszej powierzchni (powierzchni wejściowej) musimy odbić względem płaszczyzny normalnej do osi i przechodzącej przez punkt, w którym promień ulega załamaniu. Odbity promień pokazuje zielona przerywana linia. W ten sposób uzyskujemy taki sam promień jak promień wychodzący ze szklanej kuli, co pokazuje rysunek przez nałożenie przerywanej zielonej linii na odcinek reprezentujący promień wychodzący z kuli.

73

Macierz ABCD analizowanego układu ma postać

𝐌 = 𝐑_𝟑𝐓_𝟐𝐑_𝟐𝐓_𝟏𝐑_𝟏 = [

Zauważ, że dla n=2, współczynnik C powyższej macierzy staje się równy zeru, co oznacza zerową moc optyczną całego układu. Zerowa moc optyczna oznacza, że promienie wchodzące propagują się pod takim samym kątem jak wychodzące z układu. Ze względu na odbicie światło wzdłuż promieni wychodzących będzie się propagowało w przeciwną stronę. Teraz wystarczy przemnożyć współrzędne na wejściu (y_p, Vp) przez macierz M aby otrzymać współrzędne na wyjściu (yo, Vo). Na przykład, Niech yp=3, Vp=0 (promień równoległy do osi optycznej padający na wysokości 5mm), n=1,5, a r=20mm. Wtedy mamy

[ −5

Rysunek (3.7.2) porównuje wyniki uzyskane metodą macierzową (przybliżoną) z wynikami otrzymanymi przez przeliczenie biegu tych samych promieni z wykorzystaniem prawa Snella i odbicia. Kąt u_o dla promienia odbitego kreślimy jako dodatni (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara), od osi –z.

Spróbuj teraz to samo zadanie rozwiązać z pomocą szkolnych wzorów, zadanie, którego nie da się rozwiązać w „normalny” sposób.

74 Rysunek 3.7.2. Kolejne punkty określają różnicę współrzędnych trafienia w płaszczyznę Po obliczonych z przybliżenia paraksjalnego i z prawa załamania oraz odbicia. Sfera ma promień r=20mm. Cyfry w nawiasach pokazują y-owe współrzędne wejściowe poszczególnych promieni (podane w milimetrach). Im dalej od osi pada promień tym większa różnica między obliczeniami paraksjalnymi i dokładnymi. Ponieważ jednak wszystkie promienie są równoległe do osi to nawet dla wysokości padania y=5mm różnice nie są duże.

Gdy zajdzie taka potrzeba technikę macierzową można rozszerzyć na przypadek trójwymiarowy. Wtedy możemy obliczać bieg promieni wychodzących poza płaszczyznę merydionalną. Przykładowo jest to konieczne gdy w układzie optycznym pracuje soczewka cylindryczna, która nie ma symetrii kołowej. W tym przypadku macierz ABCD ma rozmiar 4x4. Możemy również uwzględnić błędy w ułożeniu elementów optycznych. W przypadku dwuwymiarowym takie możliwości daje rozszerzenie macierzy 2x2 na odpowiednią macierz 3x3, a w przypadku trójwymiarowym rozszerzamy macierze 4x4 na macierz 5x5. Oczywiście im więcej różnego rodzaju efektów chcemy uwzględnić tym wyżej wymiarowe stają się odnośne macierze. Moim celem było jednak wprowadzenie do opisu macierzowego. Studiowanie złożonych przypadków niepotrzebnie rozszerzyłoby tekst wykładu. Tym bardziej, że będziemy jeszcze potrzebowali miejsca na demonstrację bardziej imponujących możliwości macierzy ABCD od tych, które zostały tu zaprezentowane.

75

4. Proste instrumenty optyczne

Soczewki, zwierciadła czy pryzmaty stanowią zbiór elementów pozwalających na budowę instrumentów optycznych, do których należą między innymi lupy, okulary, mikroskopy, lunety, teleskopy, lornety, peryskopy, aparaty fotograficzne, kamery. Na szczegółowe omówienie tych wszystkich przyrządów nie ma tu miejsca. Zajmę się zasadami działania najbardziej podstawowych typów przyrządów, to jest lupy, lunety, teleskopu, lornetki i mikroskopu. Na deser podam nie prosty instrument optyczny - pęsetę optyczną, przyrząd który karierę zaczął robić na początku wieku XXI. Wszystkie wymienione tu przyrządy optyczne za wyjątkiem pęsety służą klasycznemu obrazowaniu. To znaczy, że zbierają promienie wychodzące punktu i umieszczają je w płaszczyźnie obrazu w punkt (mały dysk), z zachowaniem proporcji geometrycznych w rozmieszczeniu punktów. Podobnie działa kamera otworkowa (rys. 2.1) i każdy układ ABCD, dla którego B=0 (rys.3.4.3)

4.1. Lupa

Lupa jest najprostszym przyrządem optycznym składającym się z pojedynczego elementu skupiającego. W najprostszym wydaniu lupa składa się z pojedynczej soczewki. Lupy lepszej jakości składają się z układu dwóch lub trzech sklejonych soczewek, pozwalających na korekcję chromatyzmu (rys. 2.4.3) oraz niektórych aberracji (aberracje to wady odwzorowania, zob. dygresja (4.1.1)).

Powiększenie lupy zależy od jej położenie względem oka. Lupy są projektowane tak, by największe powiększenie wypadało w odległości dobrego widzenia, która dla zdrowego oka jest równa ok. L=25cm. Przy takim ustawieniu powiększenie lupy o ogniskowej f opisuje z dobrą dokładnością wzór

1 0,25 1 1

4

L dla L m

f f





Rysunek (4.1.1) przedstawia konstrukcję obrazu w lupie

Winien jestem jeszcze wyjaśnienie czym jest odległość dobrego widzenia.