Rysowanie biegu promienia przez soczewkę cienką

Zrobię krótki przystanek poświęcony nauce rysowania biegu promieni przez cienkie soczewki i w przybliżeniu paraksajalnym. Soczewkę cienką zbierającą będziemy oznaczali jako odcinek zakończony z obu stron strzałkami (rys. 3.5.1).

Umieśćmy z lewej strony soczewki przedmiot. Za przedmiot zupełnie wystarczy nam punkt (punkt przedmiotowy) położony poza osią optyczną. Punkt ten będziemy oznaczali strzałką o początku na osi optycznej i końcu w punkcie przedmiotowym. Jak graficznie znaleźć obraz naszego punktu? To proste, trzeba

59

znaleźć punkt, w którym zejdą się promienie załamane na soczewce. Taki punkt wyznaczy nam przecięcie dwóch dowolnych promieni wychodzący z punktu przedmiotowego. W naszym układzie są trzy promienie, które szczególnie łatwo jest narysować. Pierwszy promień (czerwony na rysunku (3.5.1)) wychodzi z punktu obrazowego równolegle do osi. Taki punkt przetnie w pewnym innym punkcie Fo oś optyczną. Punkt przecięcia to oczywiście ognisko obrazowe soczewki (def. 3.4.7). Jeżeli przepuścimy wiązkę promieni równoległych w przeciwnym kierunku, to znaczy z prawa na lewo, to zogniskują się one w punkcie przedmiotowym, po lewej stronie soczewki. Punkt ten jest ogniskiem przedmiotowym soczewki (def. 3.4.3). Mając to na uwadze określimy drugi szczególny promień (zielony). Narysujemy go zgodnie z konwencją o kierunku biegu światła (konw. 3.1), czyli z lewa na prawo tak aby łączył ognisko przedmiotowe i punkt przedmiotowy. Taki promień po przejściu przez soczewkę musi być promieniem równoległym do osi optycznej.

Rysunek 3.5.1. Wyznaczanie obrazu przedmiotu przez soczewkę o ogniskowych: obrazowej fo, przedmiotowej fp. Powstały obraz jest obrazem rzeczywistym, powiększonym i odwróconym.

Dodamy jeszcze trzeci szczególny promień (niebieski). Będzie to promień łączący punkt przedmiotowy z środkiem soczewki. Promień ten, po przejściu przez soczewkę nie zmieni swojego kierunku, z powodów przedstawiony na rysunku (3.5.2). Obraz powstaje tam gdzie przetną się wszystkie promienie (dlatego do jego wyznaczenia wystarczy wykreślić dwa z nich). Tak wyznaczony obraz, podobnie jak przedmiot symbolizowany jest strzałką. Obraz z rysunku (3.5.1) klasyfikujemy jako rzeczywisty, odwrócony i powiększony.

Dlaczego rzeczywisty - to jeszcze wyjaśnię.

60 Rysunek 3.5.2. Promień padający na cienką soczewkę w jej wierzchołku (łamana czarna), pod niedużym kątem (warunek przybliżenie paraksjalnego)

„widzi” ten fragment soczewki prawie jak płytkę płasko- równoległą. Płytka płaskorównoległa nie zmienia kierunku biegu promienia, ale promień padający jest nieco przesunięty względem promienia wychodzącego. Wielkość tego przesunięcia jest tym mniejsza im cieńsza jest soczewka. W przybliżeniu soczewki cienkiej przyjmujemy, że grubość soczewki jest równa zeru – w konsekwencji musimy przyjąć, że wskazany promień ani nie ulega przesunięciu ani nie zmienia kierunku biegu. Promień padający na soczewkę powyżej lub poniżej wierzchołka soczewki (zielony) „widzi” pierwszą i drugą powierzchnię soczewki jako nachylone pod różnymi kątami. Zachowuje się zatem podobnie jak przy przejściu przez pryzmat.

Dlaczego odwrócony – to widać. Punkt będący obrazem punktu przedmiotowego znajduje się po drugiej stronie osi optycznej. Mówiąc krótko obraz powstaje do góry nogami. Obraz jest powiększony, gdyż punkt będący obrazem jest bardziej oddalony od osi optycznej niż punkt przedmiotowy.

Dyskusja 3.5.1: Uwagi o odwzorowaniu w przybliżeniu paraksjalnym

Nie można zapominać, że ciągle korzystamy z przybliżenia paraksjalnego.

W rzeczywistości promienie wychodzące z punktu i przechodzące przez soczewkę zwykle nie zbiegają się do punktu. Inaczej mówiąc obrazem punktu nie jest punkt. Ilustruje to rysunek (3.5.3). Soczewki używane w praktyce często mają różne promienie krzywizny pierwszej i drugiej powierzchni. Nie są zatem z obu stron takie same. W efekcie wiązka promieni równoległych padających z lewej strony nie zachowuje się tak samo jak wiązka promieni równoległych padających z prawej strony, co również ilustruje rysunek (3.5.3).

Przybliżenia soczewki cienkiej i paraksjalne „kasują” jednak te asymetrie oraz powodują, że obrazem punktu jest punkt. Co więcej stosując do opisu powierzchni drugiego stopnia te same rozwinięcia co w przybliżeniu paraksjalnym można pokazać, że w ramach tego przybliżenia nie ma znaczenia jaką powierzchnię drugiego stopnia zastosujemy, jeżeli tylko powierzchnie mają ten sam promień główny. Zatem zmiana jednej powierzchni drugiego stopnia na inną wnosi poprawki wyższego rzędu niż rząd przybliżenia paraksjalnego. Wracając do przykładu z soczewką hiperboliczną (rys. 2.1.1). Zastępując

61

hiperbolę, sferą lub parabolą lub elipsoidą o tym samym promieniu krzywizny w wierzchołku i obliczając obraz w przybliżeniu paraksjalnym dostaniemy ten sam wynik.

Rysunek 3.5.3. Policzone, z prawa załamania, przejście dwóch wiązek promieni równoległych przez soczewkę zbierającą. Ogniskowa soczewki wynosi f=50mm.

Parametry soczewki S1: pierwszy promień r1=100mm, drugi promień r2=-33,33mm. Współczynnik załamania szkła wynosi n=1.5, a grubość soczewki d=2mm. Soczewka S2 jest odwróconą soczewką S1, tzn. r1=33.33mm, r2=-100mm. Rysunek (a) przedstawia bieg promieni. Ekran jest w płaszczyźnie ogniskowej soczewek (50mm od pierwszej powierzchni soczewek). W części (b) pokazane są punkty przecięcia promieni z ekranem. W części (c) pokazany jest powiększony obszar trafień promieni z wiązki zielonej. W przybliżeniu paraksjalnym wszystkie promienie należące do tej samej wiązki trafiałyby w ten sam punkt niezależnie od orientacji soczewki. Przy dokładnym liczeniu biegu promienia promienie, z tej samej wiązki równoległej, trafiają w różne punkty.

Również odwrócenie soczewki zmienia rozmiar obszaru trafień. Uwaga:

w przykładzie przeliczone zostały promienie leżące w płaszczyźnie merydionalnej (def. 3.3). Przeliczenie pełnego trójwymiarowego biegu promieni jeszcze mocniej uwypukliłoby różnice pomiędzy pokazanymi przypadkami.

62

W przykładzie pokazanym na rysunku (3.5.4) utworzony obraz jest obrazem prostym powiększonym i pozornym. Obraz ten powstaje jako efekt przedłużenia wstecz promieni przechodzących przez soczewkę. Promienie po przejściu przez soczewkę są rozbieżne, co jest charakterystyczne, gdy przedmiot jest pomiędzy ogniskiem a soczewką zbierającą. Rozbieżne promienie nie przetną się. Ale przetną się ich przedłużenia wstecz. Fizycznie nie mamy jednak punktu skupienia promieni, stąd nazwa obraz pozorny. Teraz już wiemy, że obraz nazywamy rzeczywistym, gdy jest utworzony przez przecięcie promieni realnie biegnących w układzie optycznym, a nie przez ich przedłużenia. Obraz rzeczywisty możemy oglądać na ekranie. Obrazu pozornego na ekranie obejrzeć się nie da. Potrzebny jest dodatkowy układ optyczny, zbierający promienie w punkty, po stronie obrazowej. Takim układem jest na przykład ludzkie oko.

Rogówka i soczewka oka zbiera rozbieżne promienie uzyskane na przykład z lupy (lupa daje obraz pozorny) i na siatkówce tworzy obraz rzeczywisty.

Rysunek 3.5.4. Bieg promienia dla soczewki zbierającej (dodatnia ogniskowa przedmiotowa) – część (a) wyrysowanie biegu promieni z prawa Snella. Liniami przerywanymi narysowane są wsteczne przedłużenia wybranych promieni.

Promienie te przecinają się w niewielkim obszarze wyznaczającym położenie obrazu. W części (b) konstrukcja obrazu paraksjalnego. Cyframi oznaczona jest kolejność rysowanie poszczególnych odcinków trzech szczególnych promieni zdefiniowanych na rysunku (3.5.1). Liniami przerywanymi narysowane są przedłużenia promieni.

Rysunek (3.5.5) przedstawia przykład konstrukcji obrazu przez soczewkę rozpraszającą. Jak widać z część (a) tego rysunku wiązka promieni równoległych padających na soczewkę rozpraszającą ulega rozproszeniu (stąd nazwa soczewki). Ale przedłużenia promieni wstecz zbiegają się w punkt na osi optycznej, który nazywamy ogniskiem obrazowym soczewki. Ponieważ ognisko obrazowe wypada po lewej stronie soczewki wartość ogniskowej obrazowej jest

63

ujemna. Konsekwentnie ognisko przedmiotowe wyznaczamy po prawej stronie soczewki w tej samej odległości co ognisko obrazowe, a wartość ogniskowej przedmiotowej jest dodatnia.

Fakt 3.5.1:

Dla soczewki zbierającej ogniskowa obrazowa jest dodatnia a przedmiotowa ujemna, a dla soczewki rozpraszającej ogniskowa obrazowa jest ujemna a przedmiotowa dodatnia

Część (b) rysunku (3.5.5) pokazuje bieg promieni dla wybranego punktu przedmiotowego wyliczony z prawa Snella. Pomarańczowe przerywane linie pokazuję przedłużenie dwóch wybranych promieni. Ich przecięcia wskazują obszar, w którym powstaje obraz punktu przedmiotowego. Jest to obszar ponieważ przedłużenia wstecz różnych promieni przecinają się w nieco od siebie oddalonych punktach. Część (c) rysunku (3.5.5) pokazuje konstrukcje obrazu paraksjalnego przez cienką soczewkę rozpraszającą. Cienką soczewkę rozpraszającą oznaczamy przez odcinek zakończony z obu stron odwróconą strzałką. Jak widać z konstrukcji przedmiot umieszczony przed ogniskiem obrazowym daje obraz pozorny, pomniejszony i prosty.

Pokazane przykłady nie wyczerpują wszystkich przypadków na jakie możemy natrafić przy konstrukcji obrazu przez soczewkę cienką. Mam jednak nadzieję, że przykłady te wystarczają do opanowania techniki rysowania.

Spośród trzech szczególnych promieni wykorzystywanych w takich rysunkach do wyznaczenia obrazu wystarczą tylko dwa. Jest kwestią konkretnego przypadku lub osobistych preferencji, jakie dwa zostaną wybrane do skonstruowania obrazu.

64 Rysunek 3.5.5. Część (a) wiązka promieni równoległych i poosiowych pada na soczewkę rozpraszającą; fp=-50mm. Po przejściu wiązka jest rozbieżna, ale promienie przedłużone wstecz przecinają się w pewnym obszarze. Na rysunku zaznaczono przecięcie przedłużenia dwóch wybranych promieni. Trzeba jednak pamiętać, że każda para promieni przetnie się w nieco innym miejscu.

(b) Odwzorowanie przedmiotu punktowego utworzony przez soczewkę rozpraszającą. Obraz tworzy się w obszarze przecięcia przedłużeń promieni przyosiowych. Na rysunku przedłużone są dwa przykładowe promienie. Obraz jest urojony, prosty i pomniejszony. (c) Konstrukcja odwzorowywania przez cienką soczewkę rozpraszającą w przybliżeniu paraksjalnym. Cienka soczewka rozpraszająca rysowana jest jako odcinek zakończony odwróconymi strzałkami.

Inne oznaczenia jak na rysunku (3.5.3). Przy rysowaniu należy pamiętać, że ognisko obrazowe FO jest teraz po lewej stronie soczewki a ognisko przedmiotowe Fp po jej prawej stronie.

3.6. Zwierciadła

Poradziliśmy sobie już z propagacją w wolnej przestrzeni oraz z układami optycznymi zbudowanymi z dowolnej liczby sferycznych powierzchni załamujących. Ale powierzchnie sferyczne, czy płaskie mogą również światło odbijać i noszą wtedy specjalną nazwę – zwierciadła. Chciałem tu zaznaczyć, że słowo „lustro” lub „lusterko” jest użyteczne kiedy się odnośny przedmiot kupuje u pani w kiosku, a w optyce słów tych używać nie wypada.

Zwierciadła do naszego formalizmu włączymy w bardzo prosty sposób.

Kiedy światło propaguje się od strony prawej na lewo wszystkie współczynniki załamania brane są ze znakiem minus.

65